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第13章 轴对称 A卷
一、单选题
1. ( 3分 ) 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】 C
【考点】轴对称图形
【解析】【解答】只有第二个不是轴对称图形，是轴对称图形的有3个，故答案为：C
【分析】把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形，根据定义即
可一一判断。
2. ( 3分 ) 到△ABC的三个顶点距离相等的点是 ( )
A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条
边的垂直平分线的交点
【答案】 D
【考点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质知，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
即可判断结果．
【解答】到△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．
故选D．
【点评】解答本题的关键是注意：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，而三
角形三个角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等．这是两个同学们容易混淆的概念。
13. ( 3分 ) 在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（ ）
A. m=3，n=2 B. m=-3，n=2 C. m=3，n=2 B.m=-2，n=3
【答案】 B
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A（m，2）与B（3，n）关于y轴对称，
∴m=-3，n=2.
故答案为：B.
【分析】关于y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，依此即可得出答案.
4. ( 3分 ) 下列几何图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. 平行四边形 B.
圆
C. 等腰三角
形 D.
等边三角形
【答案】 A
【考点】轴对称图形
【解析】【解答】解：平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，
圆，等腰三角形，等边三角形均为轴对称图形.
故答案为：A.
2【分析】根据轴对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，
关键是找到对称轴。
5. ( 3分 ) 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD交于点F，则图中共
有等腰三角形( )
A. 8个 B. 7个
C. 6个
D. 5个
【答案】 A
【考点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】图中的等腰三角形有△ABC、△BCE、△CDB、△BFC、△BFD、△CEF、△AEB、
△ADC，
故答案为：A.
【分析】根据题目条件，求出∠ABC和∠ACB以及∠BEC的度数，按照从小到大的顺序计算等腰三角形
的个数即可。
6. ( 3分 ) 已知等腰三角形的顶角等于30°，则这个等腰三角形的底角等于（ ）
A. 120° B. 75° C. 60° D. 30°
【答案】 B
【考点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】因为等腰三角形的顶角等于30°
1
所以这个等要三角形的底角 = (180∘−30∘)=75∘
2
故答案为：B
【分析】根据等腰三角形两底角相等及三角形的内角和即可算出答案。
7. ( 3分 ) 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
3【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；
故答案为：B．
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是一定要沿某直线
折叠后直线两旁的部分互相重合。即可得出正确选项。
8. ( 3分 ) 如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为
等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 3个以上
【答案】 D
【考点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
4∠PEM=∠PON
{ PE=PO ，
∠EPM=∠OPN
∴△PEM≌△PON．
∴PM=PN，∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选D．
【分析】如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是
等边三角形，由此即可对称结论．
1
9. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，
2
两弧相交于M、N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25o ， 则∠ACB的度
数为( )
A. 100o B. 105o C. 110o D. 115o
【答案】 B
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC，
则DC=BD，
故∠DCB=∠DBC=25°，
则∠CDA=25°+25°=50°，
∵CD=AC，
∴∠A=∠CDA=50°，
∴∠ACB=180°-50°-25°=105°.
故答案为：B.
【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC=BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出
即可.
510. ( 3分 ) 如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则这样的P点有多
少个？（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】 A
【考点】等腰三角形的判定
【解析】
【解答】解：
（1)当点P在x轴正半轴上，
①以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2)，
∴∠AOP=45°，OA=2√2 ，
∴P的坐标是（4，0)或（2√2 ， 0)
；
②以OA为底边时，
∵点A的坐标是（2，2)，
6∴当点P的坐标为：（2，0)时，OP=AP；
（2)当点P在x轴负半轴上，
③以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2)，
∴OA=2√2 ，
∴OA=AP=2√2 ，
∴P的坐标是（-2√2 ， 0)．
故选A．
【分析】没有指明点P在正半轴还是在负半轴，也没有说明哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，从
而求解．
二、填空题
11. ( 4分 ) 如图，在 △ABC 中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD⊥BC.若P、Q分别是AD和AC上的
动点，则PC+PQ的最小值是________.
48
【答案】
5
【考点】垂线段最短，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BP.
7∵△ABC中，AB=AC=10，AD是BC边上的高且AD=8，∴BD=DC，
∴BP=PC，∴PC+PQ=BP+PQ=BQ.
∴当B、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，
∵Q是AC边上的动点，∴当BQ⊥AC，BQ值最小，
令AQ=a，则CQ=10−a，∵BQ⊥AC，∴ AB2−AQ2=BC2−CQ2 ，
14
即 102−a2=122−(10−a) 2 ，解得a= ，
5
48
∴BQ=
√102−a2=
，
5
48
∴PC+PQ的最小值为 ，
5
48
故答案为 .
5
【分析】根据AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合AD是BC边上的高，即可判断AD为BC的垂直
平分线，可得BP=PC，所以PC+PQ=BP+PQ，再根据点到直线的所有连线中垂线段最短即可得出最小值即
是BQ垂直AC时的长度.利用勾股定理即可求出结果.
12. ( 4分 ) 如图，△ABC的内部有一点P ， 且D、E、F是P分别以AB、BC、AC为对称轴的对称点．
若△ABC的内角∠DAF＝70°，∠DBE＝60°，∠ECF＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝________．
【答案】 360°
【考点】轴对称的性质
8【解析】【解答】连接AP ， BP ， CP ，
∵D ， E ， F是P分别以AB ， BC ， AC为对称轴的对称点
∴∠ADB＝∠APB ， ∠BEC＝∠BPC ， ∠CFA＝∠APC ，
∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．
故答案为：360°．
【分析】连接AP ， BP ， CP后，根据轴对称的性质，可得到角相等，结合周角的定义可知答案．
13. ( 4分 ) 如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在
BC上，则∠EAN=________．
【答案】 32°
【考点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=106°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，
即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，
∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．
故答案为32°
【分析】利用三角形内角和定理可求出∠B+∠C的值，再利用线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，
可证得∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，从而可求出∠BAE+∠CAN的值，然后求出∠EAN的度数即可。
14. ( 4分 ) 如图，AD⊥BC，BD=CD，点C在AE的垂直平分线上，已知BD=2，AB=4，则
DE=________．
9【答案】 6
【考点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AB=AC；
又∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC=EC，
∴AB=AC=CE=4；
∵BD=CD=2，
∴DE=CD+CE=2+4=6，
故答案为6
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可证得AB=AC，即可证得AC=CE，就可求出CE的长，然后根据
DE=CD+CE，求出DE的长即可。
15. ( 4分 ) 如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6，
AC=9，则△ABD的周长是________．
【答案】 15
【考点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15，
故答案为：15
【分析】根据垂直平分线的性质可证得DB=DC，再证明△ABD的周长等于AB+AC，即可求出结果。
16. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，
则∠ABD=________度．
10【答案】 35
【考点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，
∴∠A=∠C=35°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=35°，
故答案为：35．
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出＋A的度数，再利用线段垂直平分线的性质，易
证AD=BD，从而可求出∠ABD的度数。
17. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，
则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为________．
【答案】 2a+3b
【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
BE=a，AE=b，
∴AC=AB=a+b，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE=b，
∴∠ECA=∠BAC=36°，
∵∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
11∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，
∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，
∴CE=BC=b，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b
故答案为：2a+3b
【分析】利用已知条件，可表示出AB、AC的长，再根据垂直平分线的性质及三角形内角和定理，去证
明AE=CE=BC，然后求出△ABC的周长。
18. ( 4分 ) 如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交
BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是________．
【答案】 0＜CD≤5
【考点】等腰三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：当点D与点E重合时，CD=0，此时∠CDE=30°不成立，
当点D与点A重合时，
∵∠A=90°，∠B=60°，
∴∠E=30°，
∴∠CDE=∠E，∠CDB=∠B，
∴CE=CD，CD=CB，
1
∴CD= BE=5，
2
∴0＜CD≤5，
故答案为：0＜CD≤5
【分析】分情况讨论：当点D与点E重合时，CD=0，此时∠CDE=30°不成立；当点D与点A重合时，易
证∠E=30°，∠CDE=∠E，∠CDB=∠B，利用等角对等边，得出CE=CD，CD=CB，就可求出CD的长，从
而可得出CD长度的取值范围。
三、作图题
19. ( 8分 )△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
12⑴作出 △ABC 关于y轴对称的 △A B C ；
1 1 1
⑵直接写出 △A B C 各顶点坐标
1 1 1
【答案】 解：（1） △A B C 如图所示：
1 1 1
⑵点A、B 、C 的坐标是 A (2,5),B (4,2),C (1,1) ．
1 1 1 1 1 1
故答案为： A (2,5),B (4,2),C (1,1) ．
1 1 1
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征，作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点A、B、C ， 再顺次连接即可；（2）根
1 1 1
据关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可．
20. ( 8分 ) 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形 ABC （顶点是网格线交点
的三角形）的顶点A、C的坐标分别是 (−5,5) ， (−2,3) .
13（ 1 ）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（ 2 ）请画出 △ABC 关于y轴对称的 △A B C ；
1 1 1
（ 3 ）请在x轴上求作一点P，使 △PB C 的周长最小（保留作图痕迹，不写作法）.
1
【答案】 解：（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）P点位置如图所示|
【考点】作图﹣轴对称，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）将点A向右平移5个单位，再向下平移5个单位后的对应点作为坐标原点，建立平
面直角坐标系即可；
（2）利用方格纸的特点及轴对称的性质画出A、B、C关于y轴对称的点A、B 、C ， 再顺次连接即
1 1 1
可；
（3）作点B 关于x轴的对称点B ， 连接CB 交x轴于点P，该点就是所求的点.
1 2 2
四、解答题
21. ( 15分 ) 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的
三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
14（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△DEF，其中点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F
（3）写出点E关于原点的对称点M的坐标．
【答案】 （1）解：
15（2）解：
（3）根据图象得到点E的坐标为（2，1），其关于原点对称的点的坐标为（﹣2，﹣1）
【考点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据题意画出坐标系即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点作出△DEF即可；
（3）根据中心对称的特点直接写出答案即可．
22. ( 10分 ) 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上，点P是直线CD上
的点连BP，点A′是点A关于直线BP的对称点
（Ⅰ）在图①中，当DP=1（点P在点D的左侧）时，计算DA′的值；
（Ⅱ）当DA′取值最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺画出点A′，并简要说明点A′的位
置如何找到的（不要求证明）
16【答案】 解：（Ⅰ）由图象可知：DA′= √32+12 = √10 ，
（Ⅱ）如图2中，
点A′即为所求．
①连接BD，
②在直线CD上截取BDP=BD=5，
③取点E，连接AE交BD于A′．（目的使得PB⊥AE）
点A′即为所求．
【考点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】（Ⅰ）利用勾股定理计算即可；（Ⅱ）①连接BD，②在直线CD上截取BDP=BD=5，
③取点E，连接AE交BD于A′．（目的使得PB⊥AE），点A′即为所求；
23. ( 5分 ) 如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数.
【答案】 解：∵AB=AC，∠A=40°
∴∠ABC=（180°-∠A）÷2=70°
∵MN是AB的垂直平分线
∴AD=BD
∴∠A=∠ABD=40°
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°.
【考点】线段垂直平分线的性质
17【解析】【分析】根据等边对等角及三角形的内角和得出 ∠ABC=（180°-∠A）÷2=70° ，根据线段垂直平
分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AD=BD ，再根据等边对等角得出 ∠A=∠ABD=40° ，最后
由角的和差，根据∠DBC=∠ABC-∠ABD 即可算出答案。
24. ( 6分 ) 如图，在ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F，
FD∥AC交BC于点D．求证：△AEF是等腰三角形．
【答案】 证明：∵FD∥AC
∴∠PFD=∠E，∠FDB=∠C，
∵AB=AC
∴∠B=∠C，
∴∠FDB=∠B
∴FB=FD，
∵FB=FD，EP⊥BC
∴∠PFB=∠PFD，
∵∠PFB=∠AFE，
∴∠PFD=∠AFE
∵∠PFD=∠E，
∴∠E=∠AFE，
∴AE=AF即△AEF是等腰三角形
【考点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质，可证得∠PFD=∠E，∠FDB=∠C，根据等边对等角可证得∠B=∠C，
再根据垂直的定义推出∠E=∠PED，然后去证明∠E=∠AFE，然后利用等角对等边就可证得结论。
25. ( 6分 ) 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
18【答案】 证明：如图，
∵DE∥AC，
∴∠1=∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴△BDE是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】利用平行线的性质及角平分线的定义，去证明∠2=∠3，可证AE=DE，再根据垂直的定
义及同角的余角相等，可证得∠B=∠BDE，利用等角对等边就可得出DE=BE，利用等腰三角形的定义，可
证得结论。
19
