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第9讲 平面直角坐标系与函数
一、 知识清单梳理
知识点一：平面直角坐标系 关键点拨及对应举例
（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系． 点的坐标先读横坐标(x轴)，
1.相关概念
（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应． 再读纵坐标(y轴).
( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：
y
点P(x,y)在第一象限⇔ ＞ ， ＞ ；
3
点 在第二象限⇔ ＜ ， ＞ ； 第二象限 2 第一象限
点 （ ）在第三象限x ⇔ 0＜y，0＜ ； (－，＋) 1 (＋，＋)
点P (（x,y)）在第四象限x
⇔
0＞ y，0＜ x
P x,y x 0 y 0
–3 –2 –1
–
O
1
1 2 3 （1）坐标轴上的点不属于任
（2）P坐标x轴,y上点的坐标特征x： 0 y 0. 第 (－ 三 ， 象 － 限 ) –2 第 (＋ 四 ， 象 － 限 ) 何象限.
（2）平面直角坐标系中图形
–3
①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点 的平移，图形上所有点的
坐标变化情况相同.
⇔x＝0，y＝0. （3）平面直角坐标系中求图
2.
点的坐标 （3）各象限角平分线上点的坐标 形面积时，先观察所求图形
特征 ①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等； 是否为规则图形，若是，再进
②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 一步寻找求这个图形面积的
（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征： 因素，若找不到，就要借助割
①关于x轴对称的点P 的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P 的坐标为(－a，b)； 补法，割补法的主要秘诀是
1 2
③关于原点对称的点P 的坐标为(－a，－b)． 过点向x轴、y轴作垂线，从
3
（5）点M（x,y）平移的坐标特征： 而将其割补成可以直接计算
面积的图形来解决.
M（x,y） M(x+a,y)
1
M(x+ a,y+b)
2
（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为| b |；)到y轴的距离为| a |．
3. 坐标点的 （2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：
平行于x轴的直线上的点纵
坐标相等；平行于y轴的直
距离问题 点M 1 (x 1, 0)，M 2 (x 2, 0)之间的距离为|x 1 －x 2 |，点M 1 (x 1 ，y)，M 2 (x 2 ，y)间的距离为|x 1 －x 2 |； 线上的点的横坐标相等.
点M(0，y)，M(0，y)间的距离为|y－y|，点M(x，y)，M(x，y)间的距离为|y－y|．
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
知识点二：函 数
失分点警示
（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做
函数解析式，同时有几个代
变量．
数式，函数自变量的取值范
4 .函数的相关
（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值
围应是各个代数式中自变量
与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、
的公共部分. 例：函数y=
概念
解析法.
（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式 中自变量的取值范围
的被开方数为非负数；使实际问题有意义．
是 x ≥ - 3 且 x ≠ 5.
读取函数图象增减性的技
（1）分析实际问题判断函数图象的方法：
巧：①当函数图象从左到右
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
呈“上升”（“下降”）状态
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化； 时，函数y随x的增大而增
5 .函数的图象 ③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向. 大（减小）；②函数值变化越
（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法： 大，图象越陡峭；③当函数y
值始终是同一个常数，那么
①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式
在这个区间上的函数图象是
子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.
一条平行于x轴的线段.
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