【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（包头专用）
黄金卷 1
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题3分，共 36分。每小题只有一个正确选项.
1．（2022·山东临沂·模拟预测）下列实数是无理数的是（ ）
A． B． C．3.14159 D．√6
【答案】D
【分析】无理数即为无限不循环小数，初中阶段接触的无理数的表现形式主要有：①开方开不尽的数；②
含有π的数；③ （每两个1之间依次多个0）这样的数；据此解答即可．
【详解】解：A、√3−27=−3，属于整数，不是无理数，不符合题意；
B、 为分数，不是无理数，不符合题意；
C、3.14159为有限小数，不是无理数，不符合题意；
D、√6是开方开不尽的数，属于无理数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的定义以及求一个数的立方根，熟练掌握初中阶段无理数的主要表现形式是解
本题的关键．
2．（2022·吉林长春·模拟预测）下列各式正确的是（ ）
A．−4<|−3|<5 B．−4<5<|−3|
C．|−3|<−4<5 D．5<−4<|−3|
【答案】A
【分析】先化简绝对值，再根据负数小于0小于正数，比较大小即可．
【详解】解：∵|−3|=3， −4<3<5，
∴−4<|−3|<5；
故选A．
【点睛】本题考查有理数大小比较．熟练掌握绝对值的意义，负数小于0小于正数，是解题的关键．
3．（2022·山东济南·模拟预测）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中一定成立
的是（ ）A． B．1−3a<1−3b C．|a|−|b|>0 D．ab>−b
【答案】A
【分析】根据数轴可以得到a、b的正负和范围，利用不等式的性质，即可得到哪个选项是正确的．
【详解】解；由数轴可得，
−2<a<−1，2<b<3，a<b， ，
∵b>2，a<0，∴ ，故选项A正确；
∵a<b，∴ ，则1−3a>1−3b，故选项B错误；
∵ ，∴|a|−|b|<0，故选项C错误；
∵ ，b>0，∴ab<−b，故选项D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解题的关键是明确数轴的特点，不等式的性质，利用数形结合的思想解
答．
4．（2022·吉林长春·模拟预测）如图是一个由多个相同小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，图中
所标数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体从正面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有3列，从左到右分
别是1，3，2个正方形．
【详解】解：由俯视图中的数字可得：主视图有3列，从左到右分别是：1，3，2个正方形．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图，利用俯视图上所标数字分析得出小立方体的个数是解题关键．
5．（2022·山东临沂·统考二模）小明将自己的核酸检测二维码打印在面积为25dm2的正方形纸上，如图所
示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为( )
A．7.5dm2 B．5dm2 C．10dm2 D．15dm2
【答案】D
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率进行求解即可．
【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴可以估计黑色部分的面积约为25×0.6=15dm2，
故选D．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟知大量反复试验下，频率的稳定值即为概率是解题的关键．
6．（2022·山东济宁·三模）若m，n是方程2x2−4x−7=0的两个根，则2m2−3m+n的值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．5
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，求解即可．
【详解】解：m，n是方程2x2−4x−7=0的两个根，
则2m2−4m−7=0，m+n=2，
∴2m2=4m+7，
2m2−3m+n=4m+7−3m+n=m+n+7=9，
故选：A
【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
7．（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，
⏜
BC=2√3，则 的长为（ ）
BC
4 3
A．π B．2π C． π D． π
3 2【答案】C
【分析】连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于D，根据垂径定理求出BD，根据圆周角定理求出∠BOC，
根据余弦的定义求出OB，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于D，
1
则BD=DC= BC=√3，
2
由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴ ，OB2=BD2+OD2，
1
即OB2=(√3) 2+ OB2
，
4
∴OB=2 (负值已舍)，
120π×2 4
∴ ⏜ 的长= = π，
BC
180 3
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、弧长的计算、垂径定理的应用，掌握圆周角定理、垂径定
理、弧长公式是解题的关键．
8．（2022·陕西渭南·统考一模）若直线l :y=kx−4与直线l :y=−x+b关于y轴对称，且l 、l 分别交x
1 2 1 2
轴于A、B两点，则AB的长为（ ）
A．4 B．8 C．6 D．16
【答案】B
【分析】由直线l :y=kx−4与直线l :y=−x+b关于y轴对称，求出k=1,b=−4，再分别求出A、B坐标
1 2
即可求解．
【详解】∵直线l :y=kx−4与直线l :y=−x+b关于y轴对称，
1 2
∴k=1,b=−4，∴直线l :y=x−4，直线l :y=−x−4，
1 2
当y=0时，0=x−4，0=−x−4，
解得x=4，x=−4，
∴A(4,0),B(−4,0)，
∴AB=|4−(−4)|=8，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数的增减性及一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握知
识点并应用数形结合的思想是解题的关键．
9．（2022·河北唐山·统考一模）在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm增加了
4cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ）
A．4倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍
【答案】C
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答．
【详解】解：因为复印出来的图形与原图形是相似图形，
原来三角形的一条边为2cm，
复印后三角形的对应边2+4=6cm，
其相似比为2∶6=1∶3，故其面积比为1∶9，所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍.
故选C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是关键．
10．（2022·山东济南·统考一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系
5 5
点．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上有且只有一个雅系点(− ,− )，且当m≤x≤0时，函
2 2
1
数y=ax2−4x+c+ (a≠0)的最小值为－6，最大值为－2，则m的取值范围是（ ）
4
7 7 9
A．−1≤m≤0 B．− ≤m≤−2 C．−4≤m≤−2 D．− ≤m≤−
2 2 4
【答案】C
【分析】根据雅系点的概念令ax2-4x+c=x，即ax2-5x+c=0，由题意，△=（-5）2-4ac=0，即4ac=25，方程的
5 5 25 1
根为 =− ，从而求得a=-1，c=- ，所以函数y=ax2-4x+c+ =-x2-4x-6，根据函数解析式求得顶点坐标
2a 2 4 4与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【详解】解：令ax2-4x+c=x，即ax2-5x+c=0，
由题意，�=（-5）2-4ac=0，即4ac=25，
5 5
又方程的根为 =− ，
2a 2
25
解得a=-1，c=- ，
4
1
故函数y=ax2-4x+c+ =-x2-4x-6，
4
∵y=-x2-4x-6=-（x+2）2-2，
∴函数图象开口向下，顶点为（-2，-2），与y轴交点为（0，-6），由对称性，该函数图象也经过点
（-4，-6）．
由于函数图象在对称轴x=-2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，
函数y=-x2-4x-6的最小值为-6，最大值为-2，
∴-4≤m≤-2，
故选：C．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别
式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
11．（2022·河南信阳·统考模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，AC=2，BC平行于
y轴，以点A(0,5)为旋转中心，将Rt△ABC逆时针旋转30°，得到 ，则点C'的坐标为（ ）A．(−√5,3) B．(−√5,4) C．(−√3,3) D．(−√3,4)
【答案】D
【分析】过点C'向AO作垂线，垂足为点D，利用勾股定理可得AD=1，C'D=√3，结合点C'在第二象限，
可得点C'的坐标为(−√3,4)．
【详解】解：过点C'向AO作垂线，垂足为点D，如图，
∵∠B=30°，∠C=90°，
∴
∵BC∥y轴，
∴∠BAO=∠B=30°，
∴∠BAO+∠BAC=30°+60°=90°，
将Rt△ABC逆时针旋转30°，得到 ，
∴∠CAC'=∠C' AB=∠BAB'=30°，
∴BC∥AB'，
∴点B'在y轴上，由旋转的性质得，AC'=AC=2,∠C' AD=∠CAD=60°
∴∠AC'D=30°,
1 1
∴AD= AC'= ×2=1,
2 2
∵A(0,5)，
∴OA=5,
∴OD=OA−AD=5−1=4
由勾股定理得，C'D=√AC'2−AD2=√3,
∵点C'在第二象限，
∴点C'的坐标为(−√3,4)
故选：D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半，确定点的坐标等知
识，正确识别图形是解答本题的关键．
12．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD、BC、CD的中
点，BE⊥EG，AD=2√5，AB=3，则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】连接AC、 ，由平行四边形的性质得出AD=BC，AD//BC，证明四边形AFCE是平行四
AQ EQ AE 1
边形，得出AF=CE，由平行线得出 = = = ，设AQ=a，EQ=b，则CQ=2a，BQ=2b，
CQ BQ BC 2
证明EG是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出 ，得出BE⊥AC，由勾股定理得出方程，
11 16 4
求出a2= ，得出BQ2=4b2= ，b2= ，在Rt△EQC中，由勾股定理求出CE，即可得出 的长．
3 3 3
【详解】解：如图所示：连接AC、 ，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵点E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE，
∵AD//BC，
AQ EQ AE 1
∴ = = = ，
CQ BQ BC 2
设AQ=a，EQ=b，则CQ=2a，BQ=2b，
∵点E，G分别是AD，CD的中点，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG//AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
由勾股定理得：AB2−AQ2=BC2−CQ2，
即9−a2=（2√5）2−4a2，
∴3a2=11，
11
∴a2=
，
3
11 16
∴BQ2=4b2=（2√5）2−4× = ，
3 3
16 1 4
∴b2= × = ，
3 4 3
在Rt△EQC中，CE2=EQ2+CQ2=b2+4a2=16，
，
∴AF=4．
故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、三角形中位线定理、勾股定理等知识点，熟练掌握平
行四边形的判定与性质，运用勾股定理进行计算是解答本题的关键．
二、填空题：本大题共有7小题，每小题3分，共21分。
√x
13．（2022·山东德州·德州市同济中学校考模拟预测）使代数式 有意义的x的取值范围是______.
x+2
【答案】x≥0
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x≥0，根据分式有意义的条件可得x+2≠0，再解不等式即可．
√x
【详解】解：根据题意，代数式 有意义，
x+2
{ x≥0
∴ ，解得x≥0．
x+2≠0
故答案为：x≥0．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及解不等式组，牢记分式、二次根
式有意义的条件是解题的关键．
( 5 ) x−3
14．（2022·四川成都·统考二模）化简： x+2− ÷ = ______．
x−2 2x−4
【答案】2x+6
【分析】先将括号内式子通分，再将分式除法转化为分式乘法，最后约分化简即可．
[(x+2)(x−2) 5 ] 2(x−2)
【详解】解：原式= − ⋅
x−2 x−2 x−3
(x−3)(x+3) 2(x−2)
= ⋅
x−2 x−3
=2(x+3)
=2x+6．
故答案为：2x+6．
【点睛】本题主要考查分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
15．（2022·河南商丘·统考三模）小军八年级上学期的数学成绩如下表所示：
平时
测验类
期中考试 期末考试
别
测验1 测验2 测验3 测验4
成绩 110 105 95 110 108 112如果学期总评成绩按扇形图所示的权重计算，问小军上学期的总评成绩是______分．
【答案】109.7
【分析】先利用平均数公式求出平时的平均成绩，然后利用加权平均数计算即可．
110+105+95+110
【详解】解：平时平均成绩为： =105，
4
∴小军上学期的总评成绩为：105×10%+108×40%+112×50%=10.5+43.2+56=109.7．
故答案为：109.7．
【点睛】本题考查平均数与加权平均数，掌握公式的应用与运算方法是解题关键．
16．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=√2．以A为圆心，AD的长
为半径作弧交BC边于点E，则阴影部分的面积是 __．
【答案】
【分析】根据题意可得AD=AE=√2，则可以求出sin∠AEB，可以判断出∠AEB=45°，进一步求解
∠DAE=∠AEB=45°，代入弧长计算公式可得出阴影面积．
【详解】解：
如图，连接AE，在 中，AB=1， ，
，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
，
∴S =S −S −S
阴影部分 矩 形ABCDΔABE 扇 形ADE
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查扇形的面积，解答本题的关键是求出∠DAE的度数，要求我们熟练掌握扇形面积公式
及解直角三角形的知识．
17．（2022·江苏镇江·模拟预测）若关于x的多项式x2−px−6含有因式x−3，则实数 的值为______ ．
【答案】1
【分析】设另一个多项式为(x+b)，再利用整式的乘法进行整理得
x2−px−6=(x−3)(x+b)=x2+（b−3）x−3b得到对应各项系数，然后求得 的值．
【详解】解：设多项式的另一个因式是(x+b)，则x2−px−6=(x−3)(x+b)=x2+（b−3）x−3b，
∴−3b=−6，p=−(b−3)
∴b=2，p=−(2−3)=1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了因式分解的综合应用，设出另一个因式，再利用整式的乘法找到各项系数，使之
对应相等是解答本题的关键．
18．（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）如图，点O为等边△ABC内一点， OA=2√5，
OC=√15，连接BO并延长交AC于点D．若∠DOC=30°，过点B作BF⊥BD交CO延长线于点F，连接
，则AF=_____．4√15
【答案】
3
【分析】在FC上截取FM=FB，设AB,CF交于点Q，可证得△BFM是等边三角形，再证明
△AFB≌△CMB，可得∠FAB=∠MCB，AF=MC，∠AFB=∠BMC=180°−∠BMF=120°，进而
得到 ，设BF=FM=x，可得FO=2BF=2x，从而得到
1
MC=AF=OM+OC=x+√15，作OH⊥AC于H，则∠FOH=30°，可得FH= OF=x，OH=√3x，
2
从而得到AH=√15，再由勾股定理可得OH=√AO2−AH2=√5，即可求解．
【详解】解：在FC上截取FM=FB，设AB,CF交于点Q，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB,∠ABC=60°，
∵BF⊥BD，
∴∠OBF=90°，
∵∠FOB=∠DOC=30°，
∴∠BFM=60°，
∴△BFM是等边三角形，
∴∠FBM=∠ABC=60°，BF=FM，
∴∠FBA=∠CBM，
在△AFB与△CMB中，
{
AB=BC
∠FBA=∠MBC，
FB=MB
∴△AFB≌△CMB，
∴∠FAB=∠MCB，AF=MC，∠AFB=∠BMC=180°−∠BMF=120°，
∴∠AFO=∠AFB−∠BFM=60°，
∵∠AQF=∠CQB，
∴ ，
设BF=FM=x，
∵∠FOB=∠DOC=30°，
∴FO=2BF=2x，
∴OM=x，∴MC=AF=OM+OC=x+√15，
作OH⊥AC于H，则∠FOH=30°，
1
∴FH= OF=x，OH=√3x，
2
∴AH=√15，
∵AO=2√5，
√5 √15
∴OH=√AO2−AH2=√5，FH=x= = ，
√3 3
√15 4√15
∴AF=FH+AH= +√15= ．
3 3
4√15
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅
助线是解题的关键．
1
19．（2022·浙江宁波·一模）如图，直线y=− x+2交x轴于点A、交y轴于点B，点C在反比例函数
2
的图象上，且BC⊥AB，连接AC交反比例函数图象于点D，若CD=2DA，则k的值为
___________．
【答案】4
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，可得 ∽ΔBEC，设E(0,m)，m>2，(m−2 ) (14+m m)
可得C ,m ，结合CD=2DA，可得D , ，由点C、点D都在反比例函数 的
2 6 3
图象上，可求m，从而可得点C的坐标，则k的值即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，
则CE//DF//AO，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°
∴∠ABO+∠EBC=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴ ，
在 与ΔBEC中，
{ ∠EBC=∠OAB
，
∠BEC=∠AOB=90°
∴ ∽ΔBEC，
AO BE
∴ = ．
OB EC
1
∵直线y=− x+2交x轴于点A、交y轴于点B，
2
令x=0，得y=2；令y=0，得x=4，
∴A(4,0)，B(0,2)，
∴OA=4，OB=2，
AO BE 4
∴ = = =2，
OB EC 2
1
即CE= BE；
2设E(0,m)，m>2，
则BE=m−2，
m−2
∴CE= ，
2
(m−2 )
∴C ,m ，
2
∵CE//DF//AO，CD=2DA，
EF CD
∴ = =2，即EF=2OF，
OF DA
1 m
∴OF= OE= ，
3 3
∵CD=2DA，
∴x −x =2(x −x )，
D C A D
1 14+m
所以x = (x +x )= ，
D 3 A C 6
(14+m m)
∴D , ，
6 3
∵点C、点D都在反比例函数 的图象上，
m−2 14+m m
∴ ×m= × ，
2 6 3
解得：m=0（舍去）或m=4，
∴C(1,4)，
∴k=1×4=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是作出辅助线，利用数形结合的思想
求出点点C、点D的坐标．
三、解答题：本大题共有6小题，共63分。
20．（8分）（2022·山东济南·统考一模）为了让全校学生牢固树立爱国爱党的崇高信念，某校举行了一次
党史知识竞赛（百分制）.现从初一、初二两个年级各随机抽取了15名学生的测试成绩，得分用x表示，
共分成4组：A：60≤x<70，B：70≤x<80，C：80≤x<90，D：90≤x≤100，对成绩进行整理分析，
得到了下面部分信息：
初一的测试成绩在C组中的数据为：81，85，88．初二的测试成绩为：76，83，71，100，81，100，82，88，95，90，100，86，89，93，86．
年级 平均数 中位数 最高分 众数
初一 88 a 98 98
初二 88 88 100 b
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)请补全条形统计图；
(3)若初一有400名学生，请估计此次测试成绩初一达到90分及以上的学生有多少人？
【答案】(1)85，100
(2)见解析
(3)160人
【分析】（1）中位数为第(15+1)÷2=8位的数，选择从小到大排序后的第8位数即可，众数为出现次数
最多的数，按照定义选取即可．
（2）根据信息补全图像即可．
（3）利用样本估计总体，列式计算即可．
【详解】（1）解：中位数为第(15+1)÷2=8位，从小到大排序后为：85分，故a=85，
测试成绩中100分的个数最多，故b=100．
（2）解：如图所示6
（3）解：400× =160（人）
15
答：此次测试成绩初一达到90分及以上的学生有160人．
【点睛】本题主要考差统计的知识点，能够熟练的从数据中得出所需的数据并利用样本估算总体是解题关
键．
21．（8分）（2022·山东枣庄·校考模拟预测）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为
伸缩连杆， 和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．当按压
柄△BCD按压到底时，BD转动到BD'，此时BD'∥EF（如图3）．求点D到直线EF的距离（结果精确
到0.1cm）．（参考数据：
sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08
）
【答案】点D到直线EF的距离约为7.3cm
【分析】过D作DG⊥BD'于G，过E作EH⊥BD'于H，在Rt△BDG中，求出DG=3.54(cm)，在
Rt△BEH中，HE=3.80(cm)，故DG+HE≈7.3cm，即点D到直线EF的距离为 ．【详解】解：过D作DG⊥BD'于G，过E作EH⊥BD'于H，如图：
∵BD'∥EF，
∴∠BEF+∠EBD'=180°，
∵∠DBE=∠BEF=108°，
∴∠EBD'=72°，∠DBG=108°−72°=36°，
在Rt△BDG中，DG=BDsin36°≈6×0.59=3.54(cm)，
在Rt△BEH中，HE=BEsin72°≈4×0.95=3.80(cm)，
∴DG+HE=3.54cm+3.80cm=7.34cm≈7.3cm，
∵BD'∥EF，
∴点D到直线EF的距离约为 ，
答：点D到直线EF的距离约为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用三角函数解直角三角形．
22．（10分）（2020·山东青岛·统考一模）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，
该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
(1)请求出y与x的函数关系式；(2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，
为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？
【答案】(1)
(2)30元，1000元
(3)该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元
【分析】（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx+b，将（30，100），（35，50）代入求解即可确定函数
解析式；
（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，根据题意确定函数解析式，依据二次函数的性质即可得出
结果；
（3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，确定函数解析式，然后根据题意求解，画出函数图象，即可得出结
果．
（1）
解：设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx+b，
将（30，100），（35，50）代入 y＝kx+b，
{30k+b=100
得 ，
35k+b=50
{k=−10
解得： ，
b=400
∴y与x的函数关系式为 y＝﹣10x+400；
（2）
设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，
由题意得 w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣10x+400）
＝﹣10x2+600x﹣8000
＝﹣10（x﹣30）2+1000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，w最大值为1000．
答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000 元；
（3）
设捐款后每天剩余利润为 z 元，由题意可得 z＝﹣10x2+600x﹣8000﹣200
＝﹣10x2+600x﹣8200，
令z＝550，即﹣10x2+600x﹣8200＝550，
﹣10（x2﹣60x+900）＝﹣250，
x2﹣60x+900＝25，
解得x＝25，x＝35，
1 2
画出每天剩余利润z关于销售单价x的函数关系图象如解图，
由图象可得：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利
润不低于550 元．
【点睛】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，确定相应的函数解析式是解题关键．
23．（12分）（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图所示，Rt❑△ABC中∠ACB=90°，斜边AB与⊙O
相切于D，直线AC过点O并于⊙O相交于E、F两点，BC与DF交于点G，DH⊥AC于 ．
(1)求证：∠B=2∠F；
3
(2)若HE=4，cosB= ，求DF的长．
5
【答案】(1)见解析
(2)8√5【分析】(1)根据切线的性质得到∠ADO=90°，结合题意推出∠OAD=∠BAC，从而根据直角三角形的
性质推出∠AOD=∠B，根据圆周角定理得到∠AOD=2∠F，进而得出∠B=2∠F；
3 3
(2)根据(1)可知∠AOD=∠B，结合题意由cosB= 得到cos∠AOD= ，从而在Rt△ODH中有
5 5
OH 3
cos∠HOD= = ，设OH=3x，OD=5x，则DH=4x，结合图形根据线段之间的关系列出方程
OD 5
4+3x=5x，解得 ，进而在Rt❑△DHF中利用勾股定理求得DF．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
与⊙O相切于D，
∴∠ADO=90°，
又 ，∠OAD=∠BAC，
，
∵∠AOD=2∠F，
∴∠B=2∠F；
（2）解：由(1)可知∠AOD=∠B，
3
又∵cosB= ，
5
3
∴cos∠AOD= ，
5
又 于 ，
OH 3
在Rt△ODH中，cos∠HOD= = ，
OD 5
设OH=3x，OD=5x，则DH=4x，OE=HE+OH=4+3x
∵OE=OD，
∴4+3x=5x，解得 ，
∴DH=8，OH=6，OF=OD=10，则，HF=OH+OF=6+10=16
∴DF=√DH2+H F2=√82+162=8√5
OH 3
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理及解直角三角形，解题的关键是由cos∠HOD= = ，设
OD 5
OH=3x，OD=5x，则DH=4x，结合图形利用线段之间的和差关系求得 ，与此同时充分熟练切线
的性质、圆周角定理及勾股定理的运用．
24．（12分）（2022·浙江宁波·校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个
四边形为“对角互余四边形”．
(1)如图1，在“对角互余四边形” ABCD中，AD=CD，BD=6.5，
∠ABC+∠ADC=90°，AB=4，CB=3，求四边形ABCD的面积．
(2)如图2，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC=90°，点O是△ACD外接圆的圆心，连接OA，
∠OAC=∠ABC．求证：四边形ABCD是“对角互余四边形”；
(3)在（2）的条件下，如图3，已知AD=a，DC=b，AB=3AC，连接BD，求BD2的值．（结果用带
有a，b的代数式表示）
【答案】(1)9
(2)见解析
(3)10a2+3b2
【分析】（1）作CE⊥BC，使CE=AB=4，且点E、A在直线BC异侧，连接BE、DE，则
∠BCE=90°，先由CB=3，根据勾股定理求得BE=5，再证明△DCE≌△DAB，得
13 1 5
ED=BD=6.5= ,S ＝S ，作DF⊥BE于点F，则∠BFD=90°，BF=EF= BE= ，根据
2 △DCE △DAB 2 2
勾股定理求得DF＝6，即可由S =S +S =S +S =S −S 求得四边形
四 边 形ABC△DDAB △DCB △DCE △DCB △DBE △BCE
ABCD的面积是9；（2）连接OC，则OC=OA，所以∠OAC=∠OCA，而∠AOC=2∠D，可推导出
2∠D+2∠OAC=180°，则∠D+∠ABC=∠D+∠OAC=90°，即可证明四边形ABCD是“对角互余
四边形”；
（3）在CD下方作∠GCD=∠ACB，作DG⊥CG于点G，连接AG，则∠DGC=∠BAC=90°，先证
明△GDC∽△ABC，∠GDC=∠ABC，所以∠ADG=∠ADC+∠GDC=∠ADC+∠ABC=90°，
GD DC
由AB=3AC，根据勾股定理得BC=√(3AC) 2+AC2=√10AC，由 = ，得
AB BC
GD = AB = 3AC = 3√10 ，则GD= 3√10 b，所以AG2=AD2+GD2=a2+ (3√10 b ) 2 =a2+ 9 b2 ，
DC BC √10AC 10 10 10 10
AG AC AC √10
再证明△ACG∽△BCD，得 = = = ，所以BD=√10AG ，则
BD BC √10AC 10
BD2=10AG2=10a2+9b2．
【详解】（1）解：如图1，作CE⊥BC，使点CE=AB=4，且点E、A在直线BC异侧，连接BE、DE，
则∠BCE=90°，
∵CB=3，
∴BE=√32+42=5，
∵∠ABC+∠ADC=90°，
∴∠DAB=360°−(∠ABC+∠ADC)−∠DCB＝270°−∠DCB，
∵∠DAE=360°−∠BCE−∠DCB＝270°−∠DCB，
∴∠DCE=∠DAB，
∵CD=AD，
∴△DCE≌△DAB，
13
∴ED=BD=6.5= ,S ＝S ，
2 △DCE △DAB
1 5
作DF⊥BE于点F，则∠BFD=90°，BF=EF= BE= ，
2 2
√ (13) 2 (5) 2
∴DF= − =6，
2 21 1
∵S =S +S =S +S =S −S = ×5×6− ×4×3=9，
四 边 形ABC△DDAB △DCB △DCE △DCB △DBE △BCE 2 2
∴四边形ABCD的面积是9．
（2）证明：如图2，连接OC，则OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA=180°，∠AOC=2∠D，
∴2∠D+2∠OAC=180°，
∴∠D+∠OAC=90°，
∵∠OAC=∠ABC，
∴∠D+∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是“对角互余四边形”．
（3）解：如图3，在CD下方作∠GCD=∠ACB，作DG⊥CG于点G，连接AG，则
∠DGC=∠BAC=90°，
∴△GDC∽△ABC，
∴∠GDC=∠ABC，
∴∠ADG=∠ADC+∠GDC=∠ADC+∠ABC=90°，
∵AD=a，DC=b，AB=3AC，
∴BC=√(3AC) 2+AC2=√10AC，
GD DC
∵ = ，
AB BC
GD AB 3AC 3√10
∴ = = = ，
DC BC √10AC 10
3√10
∴GD= b，
10
2
∴AG2=AD2+GD2=a2+ (3√10 b ) =a2+ 9 b2 ，
10 10
∵∠ACG=∠GCD+∠ACD，∠BCD=∠ACB+∠ACD，且∠GCD+∠ACD=∠ACB+∠ACD，
∴∠ACG=∠BCD，
∴△ACG∽△BCD，
AG AC AC √10
∴ = = = ，
BD BC √10AC 10
∴BD=√10AG，∴BD2=(√10AG) 2=10AG2=10 ( a2+ 3 b2) =10a2+9b2
，
10
∴BD2的值为10a2+9b2．
【点睛】此题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、
圆周角定理、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，此题难度较大，正确地作出辅助线是解题的关
键．
25．（13分）（2022·上海松江·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与x轴交于点
A、与y轴交于点B，抛物线y=−x2+bx+c经过点A、B．
(1)求抛物线的表达式；
(2)P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N．
①当 时，求点P的坐标；
PC
②连接OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求 的值．
OC
【答案】(1)y=−x2−2x+8
(2)①(−2,8)；②√2−1【分析】（1）由 求A(−4，0)，B(0，8)，将A、B代入y=−x2+bx+c即可求解；
（2）设①设点P的坐标为(t，−t2−2t+8)，点M的坐标为(t，2t+8)，由PN∥x轴，PM∥y轴，可得
PM MN
△PMN∽△OBA， = ，当 时，PM=4即可求解；
OB AB
②过点C作 轴，延长PM交x轴于点E，则PE∥CD，当点C是MN的中点时，可得PC=NC=MC，
CN CA CP CO
由PN∥x轴，PM∥y轴，得 = ， = ，设点P的坐标为(t,−t2−2t+8)，则
CP CO CM CB
PE CD
PE=−t2−2t+8，OE=−t，由 = =2，即可求解；
OE OD
【详解】（1）解：将x=0代入 得，y=8，
将y=0代入得0=2x+8，解得：x=-4，
所以A(−4，0)，B(0，8)，
∵A(−4，0)，B(0，8)在抛物线y=−x2+bx+c上，
{−16−4b+c=0 {b=−2
∴ ，解得
c=8 c=8
∴抛物线的解析式y=−x2−2x+8
（2）①设点P的坐标为(t，−t2−2t+8)，
∵PM∥y轴，且点M在直线 上，
∴点M的坐标为(t，2t+8)
∴PM=−t2−2t+8−2t−8=−t2−4t
∵A(−4，0)，B(0，8)，
∴OA=4，OB=8，
∵PN∥x轴，PM∥y轴，
∴∠PNM=∠OAB，∠PMN=∠OBA，
∴△PMN∽△OBA，
PM MN
∴ = ，
OB AB当 时，PM=4
∴−t2−4t=4，解得t=−2
∴点P的坐标为(−2,8)
②过点C作 轴，延长PM交x轴于点E，则PE∥CD.
当点C是MN的中点时，可得PC=NC=MC
∵PN∥x轴，PM∥y轴，
CN CA CP CO
∴ = ， =
CP CO CM CB
∴AC=BC=OC
∴点C是AB的中点
∴DO=2，CD=4
设点P的坐标为(t,−t2−2t+8)，则PE=−t2−2t+8，OE=−t
∵PE∥CD，
∴△OCD∽△OPE，
PE CD
∴ = =2，
OE OD
−t2−2t+8
即 =2，
−t
∴t=−2√2
PC ED 2√2−2
∴ = = =√2−1.
OC DO 2
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数综合应用、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的
关键．
