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第十四讲 几何图形剪拼
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几何图形剪拼主要包括图形的分割与拼接两方面．无论是分割还是拼接，图形的面积都是保持不变的，既
不能凭空多出一块，也不能有任何一块无故消失．本讲主要考察对于图形的直观感觉与判断，所以大家要勤于
动手，勇于实践，擅于总结规律，这才是解决图形剪拼问题的法宝．-
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例题1
请在图中标出分割线，把图形沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分．（如果两个图形通过旋转或翻
转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）．分析：图中有16个小正方形，我们要沿格线把图分割成4个相同的部分，每个部分就都应该由4个小正方形组
成．4个小正方形能组成哪些图形呢？
练习1
请在图中标出分割线，把图形沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分．（如果两个图形通过旋转或翻
转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）．
例题2
下图是由五个相同大小的小正方形拼成的．请把图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形．
分析：题目中没有说要沿着格线分割，所以可以尝试着把图形画出格线再进行分割．
练习2
下图是由一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的图形．请把这个图形剪成四个形状、大小都相同的图形．
在图形分割中，除了利用面积保持不变的特点，我们往往还会利用图形的对称性来分割．常见的对称性有以下两种：
（1）轴对称：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图像能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线
就叫做这个图形的对称轴．下图是一些常见的轴对称图形，其中虚线是对称轴．（2）旋转对称：
如果一个图形绕某一点旋转一定角度后，能够与自身完全重合，这样的图形就叫做旋转对称图形．特别地，
如果图形绕某一点旋转180度后与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，这一点叫做图形的对称中心．
下图是一些旋转对称图形，虚线表示某一方向旋转的角度．
例题3
从一张边长为7厘米的正方形纸片中，最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的长方形纸条？请画图说明
剪裁方法．
分析：大正方形的面积是 平方厘米，小长方形的面积是 平方厘米．由于 ，因
此似乎最多能裁出12个这样的长方形．真的能裁出12个长方形吗？
练习3
从一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片中，最多能裁出多少个长5厘米、宽3厘米的长方形纸条？请
画图说明剪裁方法．
例题4
将下图分割成大小、形状都相同的四部分，使得每一块中都有A、B、C、D各一个．C D
D B C D
A A A
B B
B A
C C D
分析：每块中有A、B、C、D各1个，所以相邻的两个字母如果相同，它们之间一定有一条分割线，我们可以
先画出在相邻字母之间的分割线，如左图．注意到正方形可以按照旋转分割的方法分割成大小、形状都相同的
四部分，如右图．每条分割线绕中心旋转 90度后仍是一条分割线．我们可以在左图中试着画出这样旋转对称
的分割线．
C D
D B C D
A A A
B B
B A
C C D
练习4
将下面的图形分割成形状、大小都相同的四部分，使得每一块中都有A、B、C、D各一个．
C D
C B
B B A A
A A B
C D
C D D
例题5
将左图分割成三部分，拼成右图的正方形．请在左图中画出分割线，在右图中画出拼接线．3
3
1
7
4
4
分析：左图的面积是多少？拼成的正方形的边长是多少？如果两个图形的每边长度都是整数，能否把它们看成
是由若干个边长为1的小正方形组成的图形呢？
例题6
左图是一块 （单位：厘米）的长方形纸片．现在要沿虚线将它分割成三部分，再拼成右图所示的
边长为35厘米的正方形纸片．请在左图中画出分割线，在右图中画出拼接线．在这里，虚线划分成的小长方
形的大小均为 （单位：厘米）．
分析：怎样的分割线才可以横向去掉14厘米，同时纵向增加10厘米呢？课 堂 内 外
数形结合思想
几何能直观地利用图形描述问题和分析问题．把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探
索解决问题的思路，预测结果．简单地说：就是指依托图形进行数学思考、想象．
数形本是相倚依，焉能分作两边飞？
数缺形时少直观，形少数时难入微，
数形结合百般好，隔离分家万事休，
几何代数统一体，永远联系莫分离．
——华罗庚
如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性
地思索问题的解法．
——斯蒂恩（美国数学家）
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作业
1. 如图，请把图形沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分，并在图中标出分割线．（如果两个图形通过
旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）
2. 如图，请把右图沿格线分成形状、大小都相同的五部分，使得每部分都恰好含有一个“○”．
○
○ ○
○ ○3. 如图，从一张边长为10厘米的正方形纸片中，最多能裁出多少个长 4厘米、宽2厘米的长方形纸条？请
画图说明剪裁方法．
4. 如图，将下面的图形分割成形状、大小都相同的四块，使得每一块中都有一个黑色圆圈和一个白色圆圈．
5. 如图，将左图分割成四部分，拼成右图的长方形．请在左图中画出分割线，在右图中画出拼接线．6
3 3
1 1
2 5
4
