一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的)
1.几种气体的液化温度(标准大气压)如下表:
气体 氧气 氢气 氮气 氦气
液化温度℃ -183 -253 -195.8 -268
其中液化温度最低的气体是( )
A.氦气 B.氮气 C.氢气 D.氧气
2.如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=70°.直线DE经过点A,∠DAB=50°,则∠EAC的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
3.如图所示的几何体,其俯视图是( )
A B C D
4.下列计算正确的是( )
1
A.3a2+4a2=7a4B.√a2· =1
a
C.-18+12÷( 3)=4 D. a2 -a-1= 1
-
2 a-1 a-1
{
-2x-3≥1,
5.已知关于x的不等式组 无实数解,则a的取值范围是( )
x a-1
-1≥
4 2
5 5
A.a≥- B.a≥-2 C.a>- D.a>-2
2 26.某学校初一年级学生来自农村、牧区、城镇三类地区,下面是根据其人数比例绘制的扇形
统计图.由图中的信息,得出以下3个判断,错误的有( )
①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3∶2∶7;②若已知该校来自牧区的初一学生有
140人,则初一学生总人数为1 080人;③若从该校初一学生中抽取120人作为样本,调查初一
学生父母的文化程度,则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30人、20人、70人,样本
更具有代表性.
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
7.在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(0,4).以AB为一边在第一象限作正方形ABCD,则对角线
BD所在直线的解析式为( )
1 1 1
A.y=- x+4 B.y=- x+4 C.y=- x+4 D.y=4
7 4 2
8.如图,正方形的边长为4,剪去四个角后成为一个正八边形,则可求出此正八边形的外接圆直
径d,根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想,如果用此正八边形的周长近似代替其
外接圆周长,便可估计π的值,下面d及π的值都正确的是( )
8(√2-1)
A.d= ,π≈8sin 22.5°
sin22.5°
4(√2-1)
B.d= ,π≈4sin 22.5°
sin22.5°
4(√2-1)
C.d= ,π≈8sin 22.5°
sin22.5°
8(√2-1)
D.d= ,π≈4sin 22.5°
sin22.5°
9.以下四个命题:①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分;②A,B,C,D,E,F六
个足球队进行单循环赛,若A,B,C,D,E分别赛了5,4,3,2,1场,则由此可知,还没有与B队比赛的
球队可能是D队;③两个正六边形一定位似;④有13人参加捐款,其中小王的捐款数比13人
捐款的平均数多2元,则小王的捐款数不可能最少,但可能只比最少的多,比其他的都少.
其中真命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.已知二次项系数等于1的一个二次函数,其图象与x轴交于两点(m,0),(n,0),且过
A(0,b),B(3,a)两点(b,a是实数),若0<m<n<2,则ab的取值范围是( )
41 19
A.0<ab< B.0<ab<
8 8
81 49
C.0<ab< D.0<ab<
16 16二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11.因式分解:x3y-4xy= .
k
12.正比例函数y=kx与反比例函数y= 2 的图象交于A、B两点,若A点坐标为(√3,-2√3),则
1
x
k+k= .
1 2
13.已知圆锥的母线长为10,高为8,则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为 (用含π的
代数式表示),圆心角为 度.
14.动物学家通过大量的调查,估计某种动物活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.5,
据此若设刚出生的这种动物共有a只,则20年后存活的有 只,现年20岁的这种动物
活到25岁的概率是 .
15.已知菱形ABCD的面积为2√3,点E是一边BC上的中点,点P是对角线BD上的动点.连
接AE,若AE平分∠BAC,则线段PE与PC的和的最小值为 ,最大值为 .
16.若把第n个位置上的数记为x,则称x,x,x,…,x 有限个有序放置的数为一个数列A.定义
n 1 2 3 k
数列A的“伴生数列”B是:y ,y,y,…,y,其中y 是这个数列中第n个位置上的数,n=1,2,…,k
1 2 3 k n
且y n
={0,x
n-1
=x
n+1
,
并规定x 0 =x k ,x k+1 =x 1 .如果数列A只有四个数,且x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 依次为
1,x ≠x ,
n-1 n+1
3,1,2,1,则其“伴生数列”B是 .
三、解答题(本大题共8小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算求解:
(1)(5分)计算:(1) -1 -( - )÷ + tan 30°;
√80 √20 √5 √3
3
{ 1.5(20x+10 y)=15 000,
(2)(5分)解方程组:
1.2(110x+120 y)=97 200.
18.(8分)如图,四边形ABCD是平行四边形,BE∥DF,且分别交对角线AC于点E,F.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当四边形ABCD分别是矩形和菱形时,请分别说出四边形BEDF的形状.(无需说明理由)19.(10分)某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况,在大学一年级和二年级举
行有关党史知识测试活动.现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩(满分50
分,30分及30分以上为合格;40分及40分以上为优秀)进行整理、描述和分析,给出了下面的
部分信息.
大学一年级20名学生的测试成绩为:
39,50,39,50,49,30,30,49,49,49,43,43,43,37,37,37,43,43,37,25.
大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示,两个年级抽取的学生的测试成绩的
平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示.
年级 平均数 众数 中位数 优秀率
大一 a b 43 m
大二 39.5 44 c n
请你根据上面提供的所有信息,解答下列问题:
(1)上表中a= ,b= ,c= ,m= ,n= ;
根据样本统计数据,你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好,并说明理由
(写出一条理由即可);
(2)已知该大学一、二年级共1 240名学生参加了此次测试活动,通过计算,估计参加此次测
试活动成绩合格的学生人数能否超过1 000人;
(3)从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生,用列举法求两人在同
一年级的概率.20.(8分)如图,线段EF与MN表示某一段河的两岸,EF∥MN.综合实践课上,同学们需要在河岸
MN上测量这段河的宽度(EF与MN之间的距离),已知河对岸EF上有建筑物C、D,且
CD=60米,同学们首先在河岸MN上选取点A处,用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°
方向,再沿河岸走20米到达B处,测得D建筑物位于B北偏东55°方向,请你根据所测数据求
出该段河的宽度.(用非特殊角的三角函数或根式表示即可)
21.(7分)下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3.
考虑下列问题:
①设一个月内用移动电话主叫为t min(t是正整数).根据上表,列表说明:当t在不同时间范围
内取值时,按方式一和方式二如何计费.
②观察你的列表,你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗?通过计算验证你
的看法.
小明升入初三再看这个问题,发现两种计费方式,每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的
变化,他把主叫时间视为在正实数范围内变化,决定用函数来解决这个问题.
(1)根据函数的概念,小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y,请你
帮小明写出:
x表示问题中的 ,y表示问题中的 ,并写出计费方式一和二分别对应的函数解
析式;
(2)在给出的正方形网格纸上画出(1)中两个函数的大致图象,并依据图象直接写出如何根据
主叫时间选择省钱的计费方式.(注:坐标轴单位长度可根据需要自己确定)22.(7分)为了促进学生加强体育锻炼,某中学从去年开始,每周除体育课外,又开展了“足球俱
乐部1小时”活动.去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2 880
元,B品牌足球共花费2 400元,且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍,每个足球的售
价,A品牌比B品牌便宜12元.今年由于参加俱乐部人数增加,需要从该店再购买A、B两种
足球共50个,已知该店对每个足球的售价,今年进行了调整,A品牌比去年提高了5%,B品牌
比去年降低了10%,如果今年购买A,B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半,那么学
校最多可购买多少个B品牌足球?
23.(10分)已知AB是☉O的任意一条直径.
(1)如图1,求证:☉O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形;
(2)已知☉O的面积为4π,直线CD与☉O相切于点C,过点B作BD⊥CD,垂足为D,如图2.
1
求证:① BC2=2BD;
2
②改变图2中切点C的位置,使得线段OD⊥BC时,OD=2√2.
图1
图224.(12分)已知抛物线y=ax2+kx+h(a>0).
(1)通过配方可以将其化成顶点式为 ,根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象
的特征,可以判断,当顶点在x轴 (填上方或下方),即4ah-k2 0(填大于或小于)
时,该抛物线与x轴必有两个交点;
(2)若抛物线上存在两点A(x ,y),B(x ,y),分布在x轴的两侧,则抛物线顶点必在x轴下方.请你
1 1 2 2
结合A、B两点在抛物线上的可能位置,根据二次函数的性质,对这个结论的正确性给以说明;
(为了便于说明,不妨设x<x 且都不等于顶点的横坐标;另如果需要借助图象辅助说明,可自己
1 2
画出简单示意图)
(3)利用二次函数(1)(2)结论,求证:当a>0,(a+c)·(a+b+c)<0时,(b-c)2>4a(a+b+c).
31
2021年呼和浩特市中考试卷
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D B D D C A C B C
1.A ∵-268<-253<-195.8<-183,∴液化温度最低的气体是氦气.故选A.
2.D ∵∠B=∠DAB=50°,∴DE∥BC,∴∠EAC=∠C=70°.故选D.
3.B 从上往下看得到的平面图形是俯视图,故选B.
1 1 1 1
4.D 3a2+4a2=7a2,故选项A错误.当a>0时,√a2· =a· =1,当a<0时,√a2· =-a· =-1,故选项B
a a a a
错误.-18+12÷( 3)=-18-8=-26,故选项C错误. a2 -a-1= a2 -(a+1)(a-1)=
-
2 a-1 a-1 a-1
a2-(a2-1) 1
= ,故D正确.
a-1 a-1
{ x≤-2,
5.D 解不等式组得 由不等式组无实数解,得2a+2>-2,解得a>-2.故选D.
x≥2a+2.6.C 由扇形统计图可知城镇对应的圆心角的度数为210°,∴该校初一学生在这三类不同地区
60° 1
的分布情况为90∶60∶210=3∶2∶7,∴①正确;∵来自牧区的初一学生的占比为 = ,∴初一学
360° 6
1
生总人数为140÷ =840,∴②错误;若从该校初一学生中抽取120人作为样本,则样本中农村、
6
3 2 7
牧区、城镇学生各有120× =30(人),120× =20(人),120× =70(人),∴③
3+2+7 3+2+7 3+2+7
正确.故选C.
7.A ∵A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4.过点D作DE⊥x轴于点E,由四边形ABCD是正方形可得
∠BAD=90°,AB=AD,∴∠BAO+∠DAE=∠ADE+∠DAE=90°,∴∠BAO=∠ADE.∵∠BOA=∠AED=
90°,∴Rt△BOA≌Rt△AED,∴AE=OB=4,DE=OA=3,∴D(7,3).将点D坐标分别代入选项A、B、
C、D,只有选项A符合.故选A.
8.C 如图,设点O为正方形的中心,正八边形的边长AB=x,则有2xsin 45°+x=4,即√2x+x=4,
360°
解得x=4(√2-1).过点O作OD⊥AB于D点,连接OA,OB,则∠AOB=
8
AB 4(√2-1)
=45°,∴∠AOD=22.5°,∴AB=2AD=2OAsin 22.5°=dsin 22.5°,∴d= = .∵
sin22.5° sin22.5°
8AB
用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长,∴dπ≈8AB,∴π≈ =8sin 22.5°.故选C.
d
9.B 由中位线定理和中线的定义可知①正确;根据单循环赛可知每个队分别与其他队比赛
一场,最多赛五场,A队已经赛完五场,则每个队均与A队赛过,E队仅赛一场(即与A队赛过),
所以E队还没有与已比赛四场的B队赛过,所以②错误;两个正六边形一定相似,但不一定位
似,所以③错误;因为小王的捐款数比平均数多2元,所以小王的捐款数不可能最少,假设平均
数为100元,则13人的捐款总数为1 300元,有这种可能:11人都捐了105元,小王捐了102元,
一人捐了43元,所以④正确,故选B.
10.C 设二次函数的解析式为y=x2+px+q,由题意知m,n是x2+px+q=0的两根,由根与系数的
a-b-9
关系可得m+n=-p,mn=q.当x=0时,q=b,∴y=x2+px+b.当x=3时,9+3p+b=a,解得p=
3
a-b-9 a-b-9
,∴y=x2+ x+b,∴m+n=- ,mn=b.∵0<m<n<2,抛物线开口向
3 3
上,∴0<m+n<4,a>0,b>0,∴0<-a-b-9<4,ab>0,化简得-3<a-b<9,∴0≤(a-b)2<81.∵Δ=(a-b-9) 2
3 3
-4b=(a-b
)
2-4b>0,即a+b<(a-b)2+9,∴a+b<9.又∵(a-b)2=a2+b2-
-3
3 18 2 2
(9) 2
(a+b)2 81 81
2ab≥0,∴a2+b2≥2ab,∴4ab≤(a+b)2,∴ab≤ < 2 = ,∴0<ab< .
4 16 16
4
二、填空题
11.答案 xy(x+2)(x-2)
解析 x3y-4xy=xy(x2-4)=xy(x+2)(x-2).12.答案 -8
k
解析 将A点坐标分别代入y=kx和y= 2 得k=-2,k=-6,∴k +k=-8.
1 1 2 1 2
x
13.答案 12π;216
解析 由题意可得圆锥的底面圆的半径r= =6,则所求的弧长为2πr=12π,圆心角为
√102-82
12π
×360°=216°.
2π×10
5
14.答案 0.8a;
8
解析 由题意可知20年后存活的有0.8a只,25年后存活的有0.5a只,∴现年20岁的这种动物
0.5a 5
活到25岁的概率是 = .
0.8a 8
15.答案 √3;2+√7
解析 如图所示,由点E是BC的中点,且AE平分∠BAC,易证AB=AC,∴AE⊥BC.∵四边形
ABCD是菱形,∴AB=BC,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.由菱形性质可
1
知,AC⊥BD,∠ABD=∠DBC=30°,∴OB=√3OA,∴BD=√3AC.∵菱形的面积为 AC·BD=2√3
2
,∴AC=2,BD=2√3,∴AB=BC=CD=2.连接AP、DE.∵点A和点C关于直线BD对
称,∴PA=PC,∴PC+PE=PA+PE.当点A、P、E三点共线时,PA+PE取得最小值,最小值为
√3
AE=ABsin 60°=2× =√3.当点P在D点时取得最大值,最大值为DE+DC的值.如图,作
2
1 1
DM⊥BC的延长线于M点,则DM=BDsin 30°=2√3× =√3,CM=CD·sin 30°=2× =1,∴EM=2,
2 2
在直角三角形DEM中,DE= = = ,∴DE+DC=2+ .
√DM2+EM2 √(√3)2+22 √7 √7
16.答案 0,1,0,1
解析 由已知可得k=4,x=x,x≠x.①当n=1时, x =x,x =x,由规定知x=x=x,而
2 4 1 3 n-1 0 n+1 2 0 k 4
x=x,∴x =x,∴y =0;②当n=2时, x =x,x =x,而x≠x,∴y =1;③当n=3时, x =x,x =x,而
2 4 0 2 1 n-1 1 n+1 3 1 3 2 n-1 2 n+1 4
x=x,∴y =0;④当n=4时, x =x,x =x,由规定知x=x,而x≠x,∴y =1.∴其“伴生数列”B是
2 4 3 n-1 3 n+1 5 5 1 1 3 4
0,1,0,1.
三、解答题
17.解析 (1)原式=3-2√5÷√5+1=3-2+1=2.
{ 1.5(20x+10 y)=15 000,
(2)
1.2(110x+120 y)=97 200.
{ 2x+ y=1 000,①
化简得
11x+12y=8 100,②
①×12-②得13x=3 900,解得x=300.
把x=300代入①得y=400.
{x=300,
∴方程组的解为
y=400.
18.解析 (1)证明:∵BE∥DF,∴∠BEC=∠DFA,
∴∠AEB=∠CFD.又∵四边形ABCD是平行四边形,∴ABCD,
∴∠BAE=∠DCF,∴△ABE≌△CDF.
(2)四边形BEDF分别是平行四边形与菱形.
19.解析 (1)将大学一年级20名同学成绩整理如下表:
成绩 25 30 37 39 43 49 50
人数 1 2 4 2 5 4 2
a=41.1,b=43,c=42.5,m=55%,n=65%.
从优秀率看,大学二年级样本优秀率达到65%高于大学一年级的55%,∴估计大学二年级学生
的优秀率高,∴用优秀率评价,估计大学二年级学生掌握党史知识较好.
37 37
(2)∵样本合格率为 ×100%,∴估计总体的合格率为 ×100%,∴估计参加测试的两个年级合
40 40
37
格学生为1 240× ×100%=1 147(人),
40
∴估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数超过了1 000.
(3)大学一年级满分的有2人,设为A、B,大学二年级满分的有3人,设为1、2、3,
则从这5人中选取2人的所有情况为AB,A1,A2,A3,B1,B2,B3,12,13,23,共有10种,且每种情
况的可能性相等,抽取到的两人在同一年级的情况有4种,
4 2
∴两人在同一年级的概率P= = .
10 5
20.解析 如图,过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN,垂足分别为P、Q.
设河宽为x米.
由题意知,△ACP为等腰直角三角形,
∴AP=CP=x米,BP=(x-20)米.
在Rt△BDQ中,∠BDQ=55°,
BQ x-20+60
∴tan 55°= = ,∴tan 55°·x=x+40,
DQ x
40 40
∴(tan 55°-1)·x=40,∴x= ,∴河宽为 米.
tan55°-1 tan55°-1
21.解析 (1)主叫时间;计费.
{ 58,0≤x≤150,
方式一:y=
58+0.25(x-150),x>150.
{ 88,0≤x≤350,
方式二:y=
88+0.19(x-350),x>350.
(2)大致图象如下:
由图可知,当主叫时间在270分钟以内选方式一,270分钟时两种方式所需费用相同,超过270
分钟时选方式二.
22.解析 设去年A品牌足球售价为x元/个,则B品牌足球售价为(x+12)元/个.
2 880 3 2 400 4 5
由题意得 = · ,整理得 = ,
x 2 x+12 x x+12
解得x=48,
经检验,x=48是原分式方程的解且符合题意,
∴x+12=48+12=60(元).∴去年A品牌足球的售价为48元/个,B品牌足球的售价为60元/个.
设今年购进B品牌足球的个数为a,根据题意得(50-a)×48×(1+5%)+a×60×(1-10%)≤(2 880+2
1
400)× ,
2
100
整理得50.4×50-50.4a+54a≤2 640,解得a≤ .
3
∴最多可购进33个B品牌足球.
23.证明 (1)如图,设P是☉O上除点A、B以外的任意一点.
过点P作PP'⊥AB,交☉O于点P',垂足为M.
若M与圆心O不重合,连接OP,OP'.
在△OPP'中,∵OP=OP',∴△OPP'是等腰三角形.
又PP'⊥AB,∴PM=MP',则AB是PP'的垂直平分线.
若M与圆心O重合,显然AB是PP'的垂直平分线.
因此☉O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形.
(2)①设☉O的半径为r.
由πr2=4π可得r=2,∴AB=4,连接OC,AC,则∠BCA=90°.
∵C是切点,∴OC⊥CD.
又∵BD⊥CD,∴OC∥BD,∴∠OCB=∠DBC.
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∴∠DBC=∠OBC.
又∵∠BCA=∠BDC=90°,∴△ACB∽△CDB,
BC BD 1
∴ = ,∴BC2=AB·BD=4BD,∴ BC2=2BD.
AB BC 2
②由①可知∠CBD=∠OBC与切点C的位置无关.
由OD⊥BC,易得BD=OB.
又OB=OC,∴OC=BD,∴四边形BOCD是平行四边形.
∵△OCB是等腰三角形,∴BC与OD互相垂直平分.
∵∠BDC=90°,∴四边形BOCD是边长为2的正方形,
∴OD=2√2.
24.解析 (1)y=a( k ) 2 +4ah-k2;下方;小于.
x+
2a 4a
(2)若设x<x 且不等于顶点横坐标,
1 2
则A、B两点位置可能有以下三种情况:
①当A、B都在对称轴左侧时,由于在对称轴左侧,函数值随x的增大而减小,∴点A在x轴上
方,点B在x轴下方,顶点M在点B下方,∴抛物线顶点必在x轴下方.如图1所示.
图1
②当A、B都在对称轴右侧时,由于在对称轴右侧,函数值随x的增大而增大,∴点B在x轴上
方,点A在x轴下方,顶点M在点A下方,∴抛物线顶点必在x轴下方.如图2所示.图2
③当A、B在对称轴两侧时,由于A、B分布在x轴两侧,∴不管A、B哪个点在x轴下方,都
可以根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上,同①或②,可以说明
抛物线顶点M必在x轴下方.如图3所示.
图3
(3)证明:令y=ax2+(b-c)x+(a+b+c),a>0,
当x=0时,y=a+b+c;
1 1
当x=-1时,y=2(a+c).
2 2
又(a+c)(a+b+c)<0,∴y ·y<0,
1 2
∴y=ax2+(b-c)x+(a+b+c)的图象上存在两点(-1,2a+2c),(0,a+b+c)分别位于x轴两侧,
∴由(1)(2)可知,y=ax2+(b-c)x+(a+b+c)的顶点在x轴下方,
4a(a+b+c)-(b-c)2
即 <0,
4a
又a>0,
∴4a(a+b+c)-(b-c)2<0,即(b-c)2>4a(a+b+c).
