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5.1 认识二元一次方程组
7大知识点（基础）+能力提升题（9道）+拓展培优练（3道）
一、二元一次方程的定义
1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
1
A．xy=1−y B．x+2y=3x−2 C．3x−1=2 D． x+1=2−
y
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的最高项的次数为1的整
式方程叫做二元一次方程，据此求解即可．
【详解】解：根据二元一次方程的定义可知，只有B选项中的方程是二元一次方程，
故选：B．
2．（24-25七年级下·河南新乡·期末）下列方程中，是二元一次方程的为（ ）
1
A．x= y B．x+1=2 C． +1= y D．xy−1=2
x
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程方程的定义，二元一次方程需满足：①含有两个未知数；②未知数的次数
为1；③整式方程，逐一验证选项即可．
【详解】A. x= y，含两个未知数x,y，次数均为1，且为整式方程，符合题意；
B. x+1=2，仅含一个未知数x，是一元一次方程，不符合题意；
1
C. +1= y，分母含未知数x，不是整式方程，不符合题意；
x
D. xy−1=2，即xy=3，xy项次数为2，不符合题意．
故选：A．
3．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）若关于x，y的方程x|m−1)+(m−2)y=3是二元一次方程，则m
的值为（ ）
A．±2 B．0或2 C．2 D．0
【答案】D
【分析】此题主要考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次
方程．根据二元一次方程定义可得：|m−1|=1，且m−2≠0，再求解即可．
【详解】解：由题意得：|m−1|=1，且m−2≠0，
解得：m=0，
故选：D．
4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
1
①xy+2x−y=7；②4x+1=x；③ + y=5；④x=3 y；⑤x2−y2=2；⑥x+ y+z
x
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数
都是1的整式方程），逐一判断各式的符合情况．
【详解】① xy+2x−y=7：含二次项xy，是二元二次方程，不符合，
② 4x+1=x：化简为3x+1=0，仅含一个未知数，是一元一次方程，不符合，
1
③ + y=5：分母含未知数，是分式方程，不符合，
x
④ x=3 y：变形为x−3 y=0，含两个未知数且次数均为1，是二元一次方程，符合，
⑤ x2−y2=2：含二次项，是二元二次方程，不符合，
⑥ x+ y+z：是代数式而非方程，不符合，
综上，只有④符合条件，总个数为1，
故选A．
5．（24-25七年级下·四川眉山·期末）如果xa−2+2yb+1=0是二元一次方程，则a= ，b= ．
【答案】 3 0
【分析】此题考查的是对二元一次方程的定义理解，根据未知数的次数为1，可以列出方程组求解．
{a−2=1)
【详解】解：依题意得： ，
b+1=1
{a=3)
解得： ，
b=0
故答案为：3，0．
二、二元一次方程组的定义{ x+ y=5 ) { xy=1 )
{1
+
1
=1)
1．（24-25七年级下·河南商丘·期末）在下列方程组：① ，② ，③ x y ，
3 y−x=1 x+2y=3
x+ y=1
{x=1)
④ 中，是二元一次方程组的是（ ）
y=3
A．①③ B．①④ C．①② D．只有①
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“1、只有两个未知数；2、未知数的项最高次数都应是一
次；3、都是整式方程”，即可得到答案．
{ x+ y=5 ) {x=1)
【详解】解：方程组① ，④ 中符合二元一次方程组的定义，符合题意．
3 y−x=1 y=3
{ xy=1 )
方程组② 属于二元二次方程组，不符合题意．
x+2y=3
{1
+
1
=1)
方程组③ x y 中的第一个方程不是整式方程，不符合题意．
x+ y=1
综上，符合条件的是①和④，
故选：B．
2．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
{3x−y=4) {x+3=1) {4x+2y=1) { x+ y=2 )
A． B． C． D．
2y−z=6 y=x2 xy=−1 y−2x=4
【答案】D
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的定义，判断各选项是否满足两个
条件：①含有两个未知数；②每个方程都是整式方程且次数为1，即可．
【详解】解：选项A：方程组含三个未知数x,y,z，不符合“二元”条件，故本选项不符合题意．
选项B：第二个方程y=x2含二次项，次数不为1，故本选项不符合题意．
选项C：第二个方程xy=−1含二次项xy，次数不为1，故本选项不符合题意．
选项D：两个方程均为一次方程，且仅含x,y两个未知数，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（24-25七年级下·河南周口·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）{1
+ y=4) {4x+3 y=6)
A． x B．
y=4
x−y=1
{x+2y=6) {3x+5 y=15)
C． D．
x−y=4 x+10 y=15
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，判断各选项中的方程组是
否满足两个条件：①由两个一次方程组成；②均为整式方程且含有两个未知数．
{1
+ y=4) 1
【详解】解：选项A的方程组为 x ，第一个方程 + y=4不是整式方程，因此整个方程组不符合
x
x−y=1
二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组，故A符合题意；
选项B、C、D中的方程组均由两个一次整式方程组成，且均含两个未知数，符合二元一次方程组的条件，
故B、C、D不符合题意．
故选：A．
{ x+ y=5 ) {x+ y=2) { xy=1 )
4．（24-25七年级下·山东烟台·期中）在下列方程组：① ，② ，③ ，
3 y−x=1 3 y=−1 x+2y=3
{1
+
1
=1) {x=1)
④ x y ，⑤ 中，是二元一次方程组的是（ ）
y=1
x+ y=1
A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．①②③⑤
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“①只有两
个未知数；②未知数的项最高次数都应是一次；③都是整式方程”．据此即可判断．
{ x+ y=5 )
【详解】解：① ，符合二元一次方程组的概念；
3 y−x=1
{x+ y=2)
② ，符合二元一次方程组的概念；
3 y=−1
{ xy=1 )
③ 中，xy=1中含未知数的项的次数不是一次，不符合二元一次方程组的概念；
x+2y=3
{1
+
1
=1) 1 1
④ x y 中， + =1不是整式方程，不符合二元一次方程组的概念；
x y
x+ y=1{x=1)
⑤ ，符合二元一次方程组的概念；
y=1
综上，①②⑤是二元一次方程组．
故选：A．
{3x−5 y=1) {x=5) { x−y=10 )
5．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列方程组中，① ，② ，③ ，④
y=z+1 y=1 2x+3 y=5
{ x2+ y=1 )
属于二元一次方程组的有（ ）
x+2y=−1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，需满足：①含两个未知数；②每
个方程均为一次整式方程；据此逐一分析各方程组即可；
【详解】解：方程组①含三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件，故不属于二元一次方程组；
方程组②含两个未知数x、y，且均为一次方程，属于二元一次方程组；
方程组③含两个未知数x、y，且均为一次方程，属于二元一次方程组；
方程组④中第一个方程含二次项x2，不符合“一次”条件，故不属于二元一次方程组；
综上，符合条件的为②和③，共2个；
故选：B．
三、二元一次方程的解
{x=2)
1．（2025·广东广州·二模）若 是关于x，y的二元一次方程x−ay=4的一组解，则a的值为（ ）
y=2
A．−2 B．−1 C．1 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的解．
{x=2)
直接将 代入x−ay=4求解即可．
y=2
{x=2)
【详解】解：将 代入x−ay=4得：
y=2
2−2a=4，
解得：a=−1．故选：B．
2．（24-25七年级下·山西临汾·期末）下列四组数值中，是二元一次方程x+ y=0的解的是（ ）
{x=1) {x=1) { x=1 ) {x=−1)
A． B． C． D．
y=1 y=2 y=−1 y=2
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，将各选项代入方程，验证是否满足等式x+ y=0．
【详解】选项A：x=1，y=1，代入得1+1=2≠0，不满足．
选项B：x=1，y=2，代入得1+2=3≠0，不满足．
选项C：x=1，y=−1，代入得1+(−1)=0，满足方程．
选项D：x=−1，y=2，代入得−1+2=1≠0，不满足．
综上，只有选项C满足方程，
故选C．
{x=−1)
3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若 是二元一次方程2x+3 y=7的一个解，则a=（ ）
y=a
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程的解．
{x=−1)
直接将 代入2x+3 y=7计算即可．
y=a
{x=−1)
【详解】解：∵ 是二元一次方程2x+3 y=7的一个解，
y=a
∴−2+3a=7，
解得：a=3，
故选：D．
4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）下列四对数值，是二元一次方程x−y+1=0的解的是（ ）
{ x=0 ) {x=0) {x=1) {x=2)
A． B． C． D．
y=−1 y=0 y=2 y=1
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
将各选项的x和y值代入方程x−y+1=0，验证等式是否成立．
{ x=0 )
【详解】A． 当 时，左边=0−(−1)+1=0+1+1=2≠0，不满足方程；
y=−1{x=0)
B． 当 时，左边=0−0+1=1≠0，不满足方程；
y=0
{x=1)
C． 当 时，左边=1−2+1=0，满足方程；
y=2
{x=2)
D． 当 时，左边=2−1+1=2≠0，不满足方程．
y=1
故选：C．
{ x=2 )
5．（24-25七年级下·江西上饶·期末）若 是二元一次方程x+ay=5的一组解，则a的值为 ．
y=−1
【答案】−3
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题关键是掌握方程组的解是能使方程组中两方程成立的未知数
{ x=2 )
的值．将解 代入方程，求出a的值即可．
y=−1
{ x=2 )
【详解】解：∵ 是二元一次方程x+ay=5的一组解，
y=−1
∴2−a=5，
解得：a=−3，
故答案为：−3．
四、二元一次方程组的解
1．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知
{ x=1
,
{x=2
,
{x=3)))
是二元一次方程x−y=2的三个解，
y=−1 y=0 y=1
{x=−1
,
{x=1))
,
{x=3)
是二元一次方程x+2y=5的三个解，则二元一次方程组
{x−y=2
) 的解是
y=3 y=2 y=1 x+2y=5
（ ）
{ x=1 ) {x=1) {x=3) {x=−1)
A． B． C． D．
y=−1 y=2 y=1 y=3
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的定义．根据两个
二元一次方程的公共解是二元一次方程组的解进行判断即可．【详解】解：
{ x=1
,
{x=2
,
{x=3)))
是二元一次方程x−y=2的三个解，
y=−1 y=0 y=1
{x=−1
,
{x=1))
,
{x=3)
是二元一次方程x+2y=5的三个解，
y=3 y=2 y=1
{x=3)
∴ 是二元一次方程x−y=2和x+2y=5的公共解，
y=1
{x−y=2
)
{x=3)
∴二元一次方程组 的解为 ，
x+2y=5 y=1
故选：C．
{x=−1) {x=1) {x=3)
2．（24-25八年级上·北京·期末）已知 ， ， 是二元一次方程2x−y=0的三个解，
y=−2 y=2 y=6
{x=−1) {x=1) {x=3) {2x−y=0)
， ， 是二元一次方程x+2y=5的三个解，则二元一次方程组 的解是
y=3 y=2 y=1 x+2y=5
（ ）
{x=−1) {x=1) {x=−1) {x=3)
A． B． C． D．
y=−2 y=2 y=3 y=1
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的定义．根据两个
二元一次方程的公共解是二元一次方程组的解进行判断即可．
{x=−1) {x=1) {x=3)
【详解】解：方程2x−y=0的解为 ， ， ；
y=−2 y=2 y=6
{x=−1) {x=1) {x=3)
方程x+2y=5的解为 ， ， ；
y=3 y=2 y=1
{2x−y=0) {x=1)
二元一次方程组 的解为两个方程的公共解，为 ，
x+2y=5 y=2
故选：B．
{x=1)
3．（22-23七年级下·山东济宁·期末）解为 的方程组是（ ）
y=2
{x−y=1 ) {x−y=−1 ) { x−y=3 ) {x−y=−1)
A． B． C． D．
3x+ y=5 3x+ y=−5 3x−y=1 3x+ y=5
【答案】D
【分析】根据方程组的解的定义，将方程组的解代入各个选项中的方程组，判断其是否成立即可．
【详解】解：当x=1，y=2时，x−y=−1，3x+ y=5，3x−y=1，{x=1) {x−y=−1)
故 是方程组 的解．
y=2 3x+ y=5
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的前提．
4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于x，y的二元一次方程a x+b y=c 的部分解如表1，关于
1 1 1
{a x+b y=c )
x，y的二元一次方程a x+b y=c 的部分解如表2，则关于x，y的二元一次方程组 1 1 1 的
2 2 2 a x+b y=c
2 2 2
解是 ．
表1
x ⋯ −1 −2 5 8 11 ⋯
y ⋯ −19 −12 −5 2 9 ⋯
表2
x ⋯ −1 2 5 8 11 ⋯
y ⋯ −70 −46 −22 2 26 ⋯
{x=8)
【答案】
y=2
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组解的定义解答即可，掌握二元一次方程组
解的定义是解题的关键．
【详解】解：由表可知，
{x=8)
既是方程a x+b y=c 的解，又是方程a x+b y=c 的解，
y=2 1 1 1 2 2 2
∴二元一次方程组
{a
1
x+b
1
y=c
1
)
的解是
{x=8)
，
a x+b y=c y=2
2 2 2
{x=8)
故答案为： ．
y=2
五、已知二元一次方程组的解求参数
{x−ay=4)
1．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知关于x，y的二元一次方程组 ，小颖在解这个方程组
bx+ y=3{x=2)
时误将系数a前面的“−”抄成了“+”，解得 ，则5a−3b的值为（ ）
y=5
A．5 B．2 C．0 D．-1
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据小颖的错误操作，将解代入错误的方程组求出a和b的值，
再代入5a−3b计算即可．
{x=2) {x+ay=4)
【详解】解：把 代入 ，得
y=5 bx+ y=3
{2+5a=4)
，
2b+5=3
{ a= 2 )
∴ 5 ，
b=−1
2
∴5a−3b=5× −3×(−1)=5．
5
故选A．
{2x+ y=■) { x=2 )
2．（24-25七年级下·新疆和田·阶段练习）已知方程组 的解为 ，则■，▲分别为
x+ y=3 y=▲
（ ）
A．1，2 B．1，5 C．5，1 D．2，4
【答案】C
{x=2)
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义．把x=2代入②可得▲=1，把 代入①得：■
y=1
=4+1=5，从而可得答案．
{2x+ y=■①) { x=2 )
【详解】解：∵方程组 的解为 ，
x+ y=3② y=▲
∴2+ y=3，解得：y=1，
∴▲=1，
{x=2)
把 代入①得：■=4+1=5，
y=1
故选：C．
{ x=1 ) {3x+ay=5 )
3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若 是方程组 的解，则a+b的值是 ．
y=−2 2bx+2y=2
【答案】2【分析】本题考查了二元一次方程组的解．
{ x=1 ) {3x+ay=5 ) {3−2a=5) {a=−1)
将 代入 得到 ，进而得到 ，即可求出a+b的值．
y=−2 2bx+2y=2 2b−4=2 b=3
{ x=1 ) {3x+ay=5 ) {3−2a=5)
【详解】解：将 代入 得 ，
y=−2 2bx+2y=2 2b−4=2
{a=−1)
即
b=3
∴a+b=−1+3=2，
故答案为：2．
{3x−ay=16) {x=7)
4．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于x,y的方程组 的解是 ，则ab=
2x+by=15 y=1
．
【答案】5
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．代入
{x=7) {21−a=16)
到方程组，得到 ，求出a,b的值即可解答．
y=1 14+b=15
{x=7) {3x−ay=16) {21−a=16)
【详解】解：代入 到方程组 ，得 ，
y=1 2x+by=15 14+b=15
{a=5)
解得 ，
b=1
∴ab=5×1=5．
故答案为：5．
{ x+ y=1 ) {x=2)
5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，则
2x−y=a y=b
ba= ．
【答案】−1
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
把x与y的值代入方程组求出a、b，即可求得ba的值．
{x=2) { x+ y=1 ) {2+b=1)
【详解】解：把 代入 得： ，
y=b 2x−y=a 4−b=a
{ a=5 )
解得： ，
b=−1
∴ba=(−1) 5=−1．故答案为：−1．
六、根据实际问题列二元一次方程组
1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某糖果厂用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒
底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，现有45张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好
配套制作糖果盒．则下列方程组中符合题意的是（ ）
{x+ y=45) { x+ y=45 )
A． B．
y=2x 30x=2×40 y
{
x+ y=45
)
{x+ y=45
)
C． 40 y D． 2x y
30x= =
2 30 40
【答案】C
【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．用x张制作盒身，y张制作盒底，先根
据有45张铁皮可得x+ y=45，再根据每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒底40个，一个盒身与两个盒
40 y
底配成一套糖果盒，恰好配套制作糖果盒可得30x= ，由此即可得．
2
{
x+ y=45
)
【详解】解：由题意，可列方程组为 40 y ，
30x=
2
故选：C．
2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产
桌子17张或椅子32把，决定用25天时间生产一批这样的餐桌椅，其中，安排x天只生产桌子，剩余y天
只生产椅子．若使生产的桌子和椅子恰好配套，则可列方程组（ ）
{
x+ y=25
)
{x+ y=25
) { x+ y=25 )
A． x y B． 17x C． D．
=4× =4 4×17x=32y
17 32 32y
{ x+ y=25 )
17x=4×32y
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．设安排x天生产桌
子，y天生产椅子，根据 用25天时间生产一批这样的餐桌椅，1 张桌子配 4 把椅子即生产椅子数量是生
产桌子数量的 4 倍可列方程组．【详解】解：设安排x天生产桌子，y天生产椅子，
{ x+ y=25 )
根据题意可列方程组为： ．
4×17x=32y
故选C．
3．（24-25七年级下·河南漯河·期末）《算法统宗》中有这样一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知
银，七两分之多四两，九两分之少半斤（注：这里1斤=16两）．敢请诸君算一算，多少客人多少银”．
译文：“隔墙听见有几位客人分银子，每人分得7两时，多余4两，每人分得9两时，还缺8两．问客人
和银子各是多少？”设客人有x人，银子是y两，可列方程组为（ ）
{7x−4= y) {9x−8= y) {9x−y=8) {9x−8= y)
A． B． C． D．
9x+8= y 7x−4= y 7x= y+4 7x= y−4
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设客人为x人，银子为y两，根据“每人分得7两时，多余4
两，每人分得9两时，还缺8两”列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设客人有x人，银子是y两，
依题意得：
{9x−8= y)
，
7x= y−4
故选：D．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）一辆汽车从A地驶往B地，前三分之一路段为普通公路，其余路段为
高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A
地到B地一共行驶了2.2h．设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，则可列方程组为 ．
{
y=2x
)
【答案】 x y
+ =2.2
60 100
【分析】本题考查了由实际问题列二元一次方程组，设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，根据
题意列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，
{
y=2x
)
由题意可得： x y ，
+ =2.2
60 100
{
y=2x
)
故答案为： x y ．
+ =2.2
60 100七、根据几何图形列二元一次方程组
1．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）某数学兴趣小组开展“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．如图，
小明用边长为30厘米的正方形纸板制作有底无盖长方体纸盒．他先在纸板上剪去一个小长方形，用虚线将
其余部分分为几个小长方形，沿虚线压折，再用胶带粘合起来．已知BE=3EF，求底边EF和AE的长．
设EF=x，AE= y，则可以列方程组为（ ）
{3x+3 y=30) { y=2x ) {3x+ y=30) {3x+ y=30 )
A． B． C． D．
x+ y=30 2x+2y=30 x=3 y 2x+2y=30
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，需由图形中的数量关系建立等式列方程组，结合无盖长
方体纸盒的展开图结构分析并结合BE=3EF是解决本题的关键．
首先可由BE=3EF得到BE=3x，结合AE= y，可由AB=AE+BE=30列第一个方程，再根据正方形的
另外一条边由两个EF和两个AE组成即可列第二个方程．
【详解】解：因为EF=x，AE= y，BE=3EF，
所以BE=3x，
又因为AB=AE+BE=30，
可得3x+ y=30；
又因为该无盖长方体纸盒的底面由AEFG组成，
所需两个EF和两个AE组成，为正方形的另外一条边长，
所以2x+2y=30，
{3x+ y=30
)
所以可以列方程组为 ．
2x+2y=30
故选：D ．
2．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由6块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，
中间最小的正方形边长为2．若设标有序号①、②的两个正方形边长分别为x，y，则根据题意可得到的
二元一次方程组为（ ）{2(y−2)=x+2) {y−2=x+2)
A． B．
y+2=x−2 y+2=x−2
{2(y+2)=x+2) {2(y−2)=x+2)
C． D．
y−2=x+2 y=x−2
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出方程组即可，解题关键是观察图形中正方形边
长的拼接关系，找出等量关系列出方程组．
【详解】解：水平方向，观察图形可知，存在由两个边长为y−2的部分组成的水平线段，其长度等于边长
为x的正方形边长加最小正方形边长2，即 2(y−2)=x+2；
垂直方向，从垂直边的拼接关系看，边长为y的正方形边长加2，等于边长为x的正方形边长减2，即
y+2=x−2；
{2(y−2)=x+2)
综上，符合条件的二元一次方程组为 ，
y+2=x−2
故选：A．
3．（23-24七年级下·北京·期中）如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已
知大长方形的周长为2a，则小长方形的周长为（ ）
1 3 2 4
A． a B． a C． a D． a
10 10 5 5
【答案】D
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解题的关键是根据图找出小长方形长
和宽之间的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，利用大长方形的周长列出方程，求出小长方形的长与宽，进而求解．
2a
设小长方形的长为x，宽为y，结合图形得到等式：（1）2x=x+3 y；（2）2x+x+ y= ，联立方程组
2
并解答．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，
{ 2x=x+3 y① )
由题意知， 2a ，
2x+x+ y= ②
2
解①，得x=3 y，
将x=3 y代入②中，
a
解得y= ，
10
3a
{ x= )
10
即 ，
a
y=
10
(3a a ) 4a
所以小长方形的周长为：2 + = ．
10 10 5
故答案为：D．
4．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5
个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，
下列方程组正确的是（ ）
{x+2y=20) {x+2y=20) {x+2y=20) {x+2y=20)
A． B． C． D．
4x=15 4 y=15 3 y=x x+ y=15
【答案】C
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找对等量关系是列方程组的关键．根据图形体现
的小矩形的长与宽的两倍的和是15，长是宽的3倍，即可得到方程组．
【详解】解：设小矩形的长为x，宽为y，{x+2y=20)
则可得 ，
3 y=x
故选：C．
{ x=2 )
1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若 是方程mx+ y=5的一组解，则m的值为（ ）
y=−1
A．−3 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】将解代入原方程，解关于m的一元一次方程即可．本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方
程，熟练掌握解方程是解题的关键．
{ x=2 )
【详解】解： 代入方程mx+ y=5，得：
y=−1
m×2+(−1)=5
整理，得2m−1=5
解得：m=3
故选：D．
2．（24-25七年级下·福建福州·期末）为打造福州西湖公园风光带，现有一段长为160米的人行步道修建
任务，由A、B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天修建12米，B工程小组每天修建10米，共
用时20天，设A工程小组修建人行步道x米，B工程小组修建人行步道y米，依题意可列方程组（ ）
{ x+ y=20 ) { x+ y=20 )
A． B．
12x+10 y=160 10x+12y=160
{
x+ y=160
) {
x+ y=160
)
C． x y D． x y
+ =20 + =20
10 12 12 10
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组，根据题意，人行步道总长为160米，A、B两队的工作量之和应等
于总长度；两队的工作时间之和为20天，由此可建立两个方程组成方程组．
【详解】解：设A工程小组修建x米，B工程小组修建y米，
两队修建的总长度等于160米，
即x+ y=160，
x y
A队每天修12米，修x米需 天；B队每天修10米，修y米需 天，总时间为20天，
12 10x y
即 + =20，
12 10
{
x+ y=160
)
综上，方程组为 x y ，
+ =20
12 10
故选：D．
3．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）将50名学生分成4人或6人的学习小组，随着分配方案的不同，4
人组可能有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设可分
成每小组4人的小组x组，每小组6人的小组y组，利用各组人数之和为50人，即可得出关于x，y的二元
一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出共有4种分组方案，进一步分析即可．
【详解】解：设可分成每小组4人的小组x组，每小组6人的小组y组，
依题意得：4x+6 y=50，
25−3 y
∴x= ．
2
又∵x，y均为自然数，
{x=11) {x=8) {x=5) {x=2)
∴ 或 或 或 ，
y=1 y=3 y=5 y=7
∴共有4种分组方案，其中4人组可能有11或8或5或2．
故选：A．
4．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）在学习了《二元一次方程》后，数学兴趣小组的同学们探究了
多元一次方程正整数解问题．如：方程x+ y=2的正整数解有1个，方程x+ y=3的正整数解有2个，方程
x+ y=4的正整数解有3个，⋯， 那么方程x+ y+z=8的正整数解的个数是（ ）
A．7 B．21 C．22 D．23
【答案】B
【分析】本题考查了三元一次方程的正整数解个数，由题意可得方程x+ y=n（n≥2且n为正整数）的正整
数解有n−1个，由方程x+ y+z=8得x+ y=8−z，进而通过对z取值把三元一次方程转化为二元一次方程
的情况进行求解即可，理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵方程x+ y=2的正整数解有1个，方程x+ y=3的正整数解有2个，方程x+ y=4的正整数解
有3个，⋯，∴方程x+ y=n（n≥2且n为正整数）的正整数解有n−1个，
∵x+ y+z=8，
∴x+ y=8−z，
当z=1时，x+ y=7，其正整数解有6个；
当z=2时，x+ y=6，其正整数解有5个；
当z=3时，x+ y=5，其正整数解有4个；
当z=4时，x+ y=4，其正整数解有3个；
当z=5时，x+ y=3，其正整数解有2个；
当z=6时，x+ y=2，其正整数解有1个；
∴总解数为6+5+4+3+2+1=21，
选项：B．
{x=2)
5．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）写出一个解为 的二元一次方程组为 ．
y=1
{x+ y=3)
【答案】 （答案不唯一）
x−y=1
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方
程成为解题的关键．
直接根据二元一次方程组的定义写成方程组即可．
{x=2) {x+ y=3)
【详解】解：依题意，以 为解的一个的二元一次方程组为 ．
y=1 x−y=1
{x+ y=3)
故答案为： （答案不唯一）．
x−y=1
6．（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）某公司用10000元购进甲、乙两种货物，货物卖出后，甲种货
物的利润是15%，乙种货物的利润是20%，共获得利润1700元.设购进甲、乙两种货物分别花费了x元，y
元，根据题意列方程组为 .
【答案】¿
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设两种货物进货花费分别为x，y元，根据等量关
系：用10000元购进两种货物、共得到利润1700元，列出方程组，此题得解．
{ x+ y=10000 )
【详解】解：依题意得： ．
15%x+20% y=1700
{ x+ y=10000 )
故答案为： ．
15%x+20% y=1700
7．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若将关于x、y的二元一次方程变形为y=ax+b的形式（a、b是常数，a≠0），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为(a,b)．例如：将二元一
1 1 (1 1)
次方程x−2y=1变形为y= x− ，则二元一次方程x−2y=1的“相伴系数对”为 ,− ．
2 2 2 2
(1)二元一次方程2x+ y=1的“相伴系数对”为______；
{ x=3 )
(2)已知一个关于x、y的二元一次方程的解为 ，且该方程的“相伴系数对”为(k,k+3)，写出这个
y=15
二元一次方程为______．
【答案】(1)(−2,1)；
(2)3x−y+6=0．
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是理解已知条件中的“相伴系数对”和二元一次方
程解的定义．
（1）将关于x、y的二元一次方程变形为y=ax+b的形式，根据已知条件中的“相伴系数对”的定义求出
答案即可；
{ x=3 )
（2）根据已知条件中的“相伴系数对”的定义和已知条件写出这个二元一次方程，然后把 代入，
y=15
得到关于k的方程，解方程求出k，再把k代入这个方程即可．
【详解】（1）解：2x+ y=1，
整理得：y=−2x+1，
∴方程2x+ y=1的“相伴系数对”为(−2,1)，
故答案为：(−2,1)；
（2）解：由题意知，这个二元一次方程可写成：y=kx+k+3，
{ x=3 )
把 代入y=kx+k+3，
y=15
可得：3k+k+3=15，
整理得：4k=12，
解得：k=3，
∴这个二元一次方程为：y=3x+6，
即3x−y+6=0，
故答案为：3x−y+6=0．
8．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）某班级恰好用200元购买笔记本和笔作为奖品，笔记本每本5元，笔
每支3元，要求笔的数量不多于笔记本的数量，设购买笔记本x本，笔y支（x、y均为正整数）．
(1)求写出x、y的关系式；(2)求出所有可能的购买方案；
(3)若希望奖品总数最多，应选择哪种方案？说明理由．
【答案】(1)x、y的关系式为5x+3 y=200，且y≤x；
(2)见解析；
(3)笔记本25本，笔25支时奖品总数最多．理由见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组得应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）根据题意列出二元一次方程组即可；
200−5x
（2）由（1）得5x+3 y=200，则y= ，然后求出x、y的正整数解即可；
3
（3）根据（2）得结果进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，x、y的关系式为5x+3 y=200，且y≤x；
（2）解：由（1）得，5x+3 y=200，
200−5x
∴y= ，
3
∵x、y均为正整数，
{x=25)
∴ ，即笔记本25本，笔25支，
y=25
{x=28)
，即笔记本28本，笔20支，
y=20
{x=31)
，即笔记本31本，笔15支，
y=15
{x=34)
，即笔记本34本，笔10支，
y=10
{x=37)
，即笔记本37本，笔5支；
y=5
（3）解：由（2）可得：①笔记本25本，笔25支，总数50，
②笔记本28本，笔20支，总数48，
③笔记本31本，笔15支，总数46，
④笔记本34本，笔10支，总数44，
⑤笔记本37本，笔5支，总数42，
∴笔记本25本，笔25支时奖品总数最多．
9．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）若一个三位数m，百位数字是a，十位数字比百位数字大1，个位数
字比十位数字大1． 另有一个三位数n，百位数字为b，十位数字比百位数字小2，个位数字比十位数字小2． 若p=m+n（1
