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第一章 特殊平行四边形单元测试(B 卷·提升能力）（北师大
版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，已知正方形 的边长为8，点 ， 分别在边 、 上， ．当 时，
的面积是（ ）．
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】D
【分析】
如图：△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，可得AH=AF，∠BAH=∠DAF，进一步求出
∠EAH=∠EAF=45°，再利用"边角边"证明△AEF和△AEH全等，再根据全等三角形的面积相等，即可解答.
【详解】
解：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，
根据旋转的性质可得：AH=AF，∠BAH=∠DAF，∵∠EAF=45°，∠BAD=90°
∴∠EAH=∠EAF=45°
在△AEF和△AEH中
AF=Aн∠EAH=∠EAF=45°，AE=AE
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH=EF=8，
∴SAFE=S△AEH=- ×8×8=32.
故选：D.
【点睛】
本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，熟记并灵活应用它们的性质并利用旋转作辅助线、构造出
全等三角形是解题的关键.
2．（2020·全国九年级单元测试）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD上，若
∠EBF＝45°，则△EDF的周长等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
【答案】C
【分析】
根据正方形的性质得AB=BC，∠BAE=∠C=90°，根据旋转的定义，把把△ABE绕点B顺时针旋转90°可得
到△BCG，根据旋转的性质得BG=BE，CG=AE，∠GBE=90°，∠BAE=∠C=90°，∠EBG=∠ABC=90°，于
是可判断点G在CB的延长线上，接着利用“SAS”证明△FBG≌△EBF，得到EF=CF+AE，然后利用三角形
周长的定义得到答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠C＝90°，
∴把△ABE绕点B顺时针旋转90°可得到△BCG，如图，
∴BG＝BE，CG＝AE，∠GBE＝90°，∠BAE＝∠C＝90°，
∴点G在DC的延长线上，∵∠EBF＝45°，
∴∠FBG＝∠EBG﹣∠EBF＝45°，
∴∠FBG＝∠FBE，
在△FBG和△EBF中，
BF＝BF，∠FBG＝∠FBE，BG＝BE
∴△FBG≌△FBE（SAS），
∴FG＝EF，
而FG＝FC+CG＝CF+AE，
∴EF＝CF+AE，
∴△DEF的周长＝DF+DE+CF+AE＝CD+AD＝2+2＝4
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．
3．（2020·武汉市晴川初级中学九年级月考）如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到
正方形 ，图中阴影部分的面积为（ ）
A． a2 B． a2 C．（1﹣ ）a2 D．（1﹣ ）a2
【答案】D
【分析】连接AE．根据HL易证△AB′E≌△ADE，得出∠B′AE=∠DAE=30°．在直角△ADE中，利用含30度的直角
三角形的性质以及勾股定理求得DE= ．再利用三角形的面积公式求出S =2S ，即可求解．
四边形AB′ED △ADE
【详解】
解：设B′C′与CD交于点E，连接AE．
在△AB′E与△ADE中，∠AB′E=∠ADE=90°，
，
∴△AB′E≌△ADE（HL），
∴∠B′AE=∠DAE．
∵∠BAB′=30°，∠BAD=90°，
∴∠B′AE=∠DAE=30°，
∴AE=2DE，
∵ ，即 ，
∴DE= ，
∴S =2S =2
四边形AB′ED △ADE
∴阴影部分的面积=S -S = ．
正方形ABCD 四边形AB′ED
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正方形、旋转的性质，全等三角形的判定及性质，图形的面积，含30度的直角三角形的性
质以及勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．4．如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ，则下列选项错误的是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先说明四边形OCDE是矩形，然后运用菱形的性质逐项排除即可完成解答.
【详解】
解：∵菱形
∴AB=BC=CE=AE,AC⊥BE,OE= BE
又∵ ，
∴四边形OCDE是矩形
∴OD=CE,OE=CD
∴OD=AB=AE,OB=CD
故A、B选项正确；
又∵
∴四边形OBCD是平行四边形
∴OD∥BC
所以D正确；
又OD=CE与BE没有直接关系，所以C错误；
故答案为C.
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，灵活掌握菱形、矩形的性质和判定是解答本题的关键.
5．（2021·全国九年级课时练习）如图，矩形 中， ， ， 是对角线 的垂直
平分线，则 的长为（ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接DF，BE，根据矩形的性质得到∠EDO=∠FBO，利用角平分线的性质推出DF=BF，OD=OB=5cm，
， 证得△EDO≌△FBO，得到OE=OF，利用勾股定理求出DF，再利用勾股定理求出
OF，即可求得EF的长度．
【详解】
解：连接DF，BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，AB∥CD，
∴∠EDO=∠FBO，
∵ ， ，
∴BD=10cm，
∵ 是对角线 的垂直平分线，
∴DF=BF，OD=OB=5cm， ，
∴△EDO≌△FBO，
∴OE=OF，
在Rt△ADF中， ，
∴ ，
解得 cm，
∵ ，
∴ cm，
∴ =2OF= ，
故选：C．【点睛】
此题考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟记各性质并正确
连接辅助线解决问题是解题的关键．
6．在菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的点，且AM=AN=MN=AB，则∠C的度数为（ ）
A．120° B．100° C．80° D．60°
【答案】B
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵AM=AN=MN=AB，
∴AB=AM，AN=AD，△AMN是等边三角形，
∴∠B=∠AMB，∠D=∠AND，∠MAN=60°，
设∠B=x，则∠AMB=x，∠BAM=∠DAN=180°-2x，
∵∠B+∠BAD=180°，
∴x+180°-2x+60°+180°-2x=180°，
解得：x=80°，
∴∠B=80°，
∴∠C=180°-80°=100°；
故选：B。
7．（2020·全国八年级课时练习）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝4 ，E
为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（ ）A．4 B．2 C．2 D．8
【答案】C
【分析】
连结DE交AC于点P，连结BP，根据菱形的性质推出AO是BD的垂直平分线，推出PE+PB=PE+PD=DE
且值最小，根据勾股定理求出DE的长即可．
【详解】
如图，设AC，BD相交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD＝2 ，
∵AB＝4，
∴AO＝2，
连结DE交AC于点P，连结BP，作EM⊥BD于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分线，
∴PD＝PB，
∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，
∵E是AB的中点，EM⊥BD，
∴EM＝ AO＝1，BM＝ BO＝ ，
∴DM＝DO+OM＝ BO＝3 ，
∴DE＝ ，
故选C．【点睛】
此题考查了轴对称-最短路线问题，关键是根据菱形的判定和三角函数解答．
8．（2021·河北）如图，菱形 中，过顶点 作 交对角线 于 点，已知 ，则
的大小为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先说明ABD=∠ADC=∠CBD，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD度数，最后再用直角三角形
的内角和定理解答即可.
【详解】
解：∵菱形ABCD
∴AB=AD
∴∠ABD=∠ADC
∴∠ABD=∠CBD
又∵
∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB= (180°-134°)=23°
∴ =90°-23°=67°
故答案为D.
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理.
9．（2021·山东滨州市·八年级期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则
DH等于（ ）A． B． C．5 D．4
【答案】A
【分析】
根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即
可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝ ＝5，
∵S ＝ ，
菱形ABCD
∴ ，
∴DH＝ ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD＝ ×AC×BD＝AB×DH
是解此题的关键．
10．（2021·全国八年级专题练习）如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，
PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.5
【答案】C
【分析】
首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM= AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出
AP的长，即可得AM.
【详解】
在△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，
所以△ABC为直角三角形，∠A=90°，
又因为PE⊥AB，PF⊥AC，
故四边形AEPF为矩形，
因为M 为 EF 中点，
所以M 也是 AP中点，即AM= AP，
故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，
由 ，可得AP= ，
AM= AP=
故本题正确答案为C.
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键.
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2020·新乡市第七中学八年级期中）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于
点E，若∠CBF=20°，则∠AED等于__度．
【答案】65
【分析】
先由正方形的性质得到∠ABF的角度，从而得到∠AEB的大小，再证△AEB≌△AED，得到∠AED的大小【详解】
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD
∵∠FBC=20°，∴ABF=70°
∴在△ABE中，∠AEB=65°
在△ABE与△ADE中
∴△ABE≌△ADE
∴∠AED=∠AEB=65°
故答案为：65°
【点睛】
本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出∠AEB的大小.
12．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=15，E、F分别为矩形外两点，DF=BE= 4，AF=CE=3，则EF
等于____．
【答案】
【详解】
由题意得： 都是直角三角形.
,
13．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）
剪下，再打开，得到菱形的面积为______cm2．【答案】10
【详解】
解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5cm，4cm，而沿两邻边中点的连线
剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，所以菱形的两条对角线的长分别为
5cm，4cm，所以．菱形的面积=4×5÷2=10cm2．故答案为10．
点睛：本题考查了三角形中位线的性质、矩形、菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形
面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而出错．
14．如图，在矩形 中，点 、 、 分别在边 、 、 、 上，点 在矩形 内，若
， ， ， ，四边形 的面积为 ，则四边形 的面积为
________．
【答案】11
【分析】
连接 、 ，把该四边形分解为三角形进行解答，设 在 边上的高为 ， 在 边上的
高为 ，得出 ， ，然后得出 ，根据题意可求解.
【详解】
连接 、 ，如图所示：
设 在 边上的高为 ， 在 边上的高为 ，
则 在 边上的高为 ， 在 边上的高为 ，
， ，，
，
，
，
，
，
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算等知识点，把四边形的面积分解为三角形的面积来求解解决问
题的关键.
15．（2021·全国八年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交
DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG=30°．某班学习委员得到四个结论：①DC=3OG；②OG=
BC；③ OGE是等边三角形；④S = S ，问：学习委员得到结论正确的是___________．
△AOE 矩形ABCD
（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，再根据等边对等角可得
，根据直角三角形两锐角互余求出 ，从而判断出 是等边三角形，判断出③
正确；设 ，根据等边三角形的性质表示出 ，利用勾股定理列式求出 ，从而得到 ，再求
出 ，然后利用勾股定理列式求出 ，从而判断出①正确，②错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确．
【详解】
解：∵ ，点 是 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ 是等边三角形，故③正确；
设 ，则 ，
由勾股定理得， ，
∵ 为 中点，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ， ，
∴ ，故②错误；
∵ ，
，
∴ ，故④正确；
综上所述，结论正确是①③④，
故答案为：①③④．【点睛】
本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，等腰三角
形的判定与性质，三角形的面积，设 ，然后用 表示出相关的线段更容易理解．
16．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在BC，CD边上，且CE=DF，BF与DE交于点G，
若BG=2，DG=4，则CD长为__．
【答案】2
【详解】
延长DE至H，使GH=BG，连接BH、CH，∵四边形ABCD为菱形，∴BC=DC=AB=BD，∴△BDC是等边
三角形，∴∠DBC=∠BCF=60°，∵CE=DF，∴BC﹣CE=CD﹣DF，即BE=CF，在△DBE和△BCF中，
∵DB=BC，∠DBC=∠BCF，BE=CF，∴△DBE≌△BCF（SAS），∴∠BDG=∠FBC，
∴∠BDG+∠DBF=∠FBC+∠DBF=60°，∴∠BGE=∠BDG+∠DBF=60°，∴△BGH为等边三角形，
∴BG=BH=2，∠GBH=60°，∴∠DBF+∠FBC=∠HBC+∠FBC，∴∠DBF=∠HBC，在△BGD和△BHC中，
∵BD=BC，∠DBF=∠HBC，BG=BH，∴△BGD≌△BHC（SAS），∴DG=CH=4，
∵∠FBC=∠BDG=∠BCH，∴BF∥CH，∴△BGE∽△CEH，∴ ，∵EG+EH=2，
∴EG= ，∴BF=DE=4+ = ，∵∠FBC=∠FBC，∠BGE=∠BCD=60°，∴△BGE∽△BCF，∴
，∴ ，∴CF2= ，CF= ，∴BE=CF= ，∴BC=3BE=3× = ，∴CD=BC=
．
故答案为 ．点睛：本题考查了菱形的性质、三角形全等的性质和判定、三角形相似的性质和判定、等边三角形的性质
和判定，作辅助线，构建全等三角形是本题的关键，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得
△BGH为等边三角形是突破口．
17．（2020·全国九年级课时练习）四边形 、四边形 都是正方形，当正方形 绕点 逆时
针旋转45°（ ）时，如图，连接 ， ，并延长 交 于点 ，且 ．若
， ，则线段 的长是________．
【答案】
【分析】
如图（见解析），先根据正方形的性质可得 ，再根据勾股定理可得 ，然后根据三
角形全等的判定定理与性质可得 ，最后利用等面积法求出 ，据此利用线段的和
差即可得出答案．
【详解】
如图，连接 交 于点 ，连接 ，
∵正方形 绕点 逆时针旋转 ，
∴ 与 互相垂直平分，且 在 上，∵四边形 是正方形， ，
∴ ， ， ， ，
四边形ABCD是正方形， ，
，
∴ ，
在 中， ，
在 和 中， ，
，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正方形的旋转问题与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方
形的性质是解题关键．
18．（2021·全国八年级期末）如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点E、F、G分别为线段
BC，CD，BD上的任意一点，则EG+FG的最小值为______．【答案】2
【分析】
根据轴对称确定最短路线问题，作点E关于BD的对称点E′，连接E′F与BD的交点即为所求的点G，然后
根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知E′F⊥CD时EG+FG的最小值，然后求解即
可．
【详解】
如图，作CK⊥AB于K，E关于BD的对称点E′，作E′H⊥CD于H，当E′、G、F共线，点F与H重合时，
EG+GF的值最小，最小值为E′H的长，即CK的长，
∵四边形ABCD为菱形，AB＝4，
∴BC=4，
∵∠ABC＝60°，
∴CK=4× ＝2 ，
∴EG+FG的最小值为2 ．
故答案为：2 ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，解题的关键是熟记利用轴对称确定最短路线的方法．
三、解答题（共5小题，满分46分）
19．（8分） a、b、c、d是四边形四条边的长，且 ，试判断此四边形的形状.
【答案】菱形.【分析】
观察a4+b4+c4+d4-4abcd=0，运用完全平方式转化为（a2﹣b2）2+（c2﹣d2）2+2（ab﹣cd）2=0．运用非负数的
性质，偶次方大于等于0．因此可解得a、b、c、d间的数值关系．因此可知四边形的形状．
【详解】
由已知可得：（a4﹣2a2b2+b4）+（c4﹣2c2d2+d4）+（2a2b2﹣4abcd+2c2d2）=0，
即（a2﹣b2）2+（c2﹣d2）2+2（ab﹣cd）2=0．
因为a，b，c，d都是正数，
所以（a2﹣b2）2≥0，（c2﹣d2）2≥0，（ab﹣cd）2≥0，
所以
由于a，b，c，d都为正数，
所以，解①，②，③有：a=b=c=d．
故此四边形为菱形．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、菱形的判定．解决本题的关键是将等式转化为多项平方和的
形式，令其每项均大于等于0，解出a、b、c、d数值关系．
20．（9分）（2020·全国八年级课时练习）在 中，AD是BC边上高线，E是AB的中点，
于G， .
（1）求证：
（2）若 ，求CE的长.
【答案】（1）证明见详解；（2） .
【分析】(1)连接DE，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，可得：DE=AE=BE，从而得到CD=DE，根据
等腰三角形三线合一，即可得证；
(2)作EF⊥BD于点F，根据勾股定理，可得：AB=10，即BE=5，由BE=DE，EF⊥BD，
得到：BF=DF= BD=4，进而得到： ，最后在Rt∆CEF中，利用勾股定理，即可求解.
【详解】
（1）连接DE，
∵AD是BC上的的高，
∴∠ADB=90°，
∵CE是AB边上的中线，
∴DE=AE=BE，
∵CD=AE，
∴CD=DE，
即∆CDE是等腰三角形，
∵DG⊥CE，
∴CG=GE(等腰三角形三线合一)；
（2）作EF⊥BD于点F，
∵AD=6，BD=8，
∴AB= ，
∴BE=5，
∵BE=DE，EF⊥BD，
∴BF=DF= BD=4，
∵ ，
∴ ，
∵CD=DE=BE=5，
∴CF=DF+CD=4+5=9，
在Rt∆CEF中，∠CFE=90°，EF=3，CF=9，
∴ .【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质和勾股定理，添加合适的辅助线构造等腰三角形和直
角三角形，是解题的关键.
21．（9分）（2021·湖北十堰市·）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于
点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝2 ，AC＝4，求OE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）4.
【分析】
（1）由AD∥BC，BD平分∠ABC，可得AD＝AB，结合AD∥BC，可得四边形ABCD是平行四边形，进
而，可证明四边形ABCD是菱形，
（2）由四边形ABCD是菱形，可得OC＝ AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝4，根据“在
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”，即可求解.
【详解】
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝ AC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝ ＝4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，
∴OE＝ BD＝4．
【点睛】
本题主要考查菱形的判定定理及性质定理，题目中的“双平等腰”模型是证明四边形是菱形的关键，掌握
直角三角形的性质和勾股定理，是求OE长的关键.
22．（10分）（2021·全国八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对
角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE=15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）135°；（3）
【分析】
（1）根据有三个角是直角是四边形是矩形判定即可；
（2）首先根据矩形的性质得出OD=OC，然后利用角平分线的定义得出△DCE是等腰直角三角形，进而得
出△OCD是等边三角形，然后可得∠OCE=30°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠COE=∠CEO=75°，最后利用∠DOE=∠COD+∠COE即可求解；
（3）作OF⊥BC于F，首先根据三角形中位线的性质得出OF=1，然后利用勾股定理求出BC的长度，进而
得出BE的长度，最后利用面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）∵AD BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）由（1）可得：AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴OD=OC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=45°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴∠DEC=45°，CD=CE，
∵∠BDE=15°，
∴∠DBC=∠ADB=45°-15°=30°，
∴∠BDC=60°，又OD=OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=CD=CE，∠DCO=∠COD=60°，
∴∠OCE=30°，
∴∠COE=∠CEO=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°+75°=135°；
（3）作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BF=FC，
∴OF= CD=1，
∵EC=CD=AB=2，
∴AC=BD=4，∴BC= = ，
∴BE=BC-CE= -2，
∴△BOE的面积= ．
【点睛】
本题主要考查四边形综合，掌握矩形的判定及性质，等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
23．（10分）（2021·科尔沁左翼中旗教研室八年级期末）如图，以四边形 的边 ， 为边分别
向外侧作等边三角形 和等边三角形 ，连接 ， 相交于点 ．
（1）当四边形 为正方形时（如图①）， 和 的数量关系是______．（不用证明）
（2）当四边形 为矩形时（如图②）， 和 具有怎样的数量关系？并加以证明．
（3）四边形 由正方形到矩形再到一般平行四边形的变化过程中， 是否发生变化？如果改变，
请说明理由；如果不变，请在图③中求出 的度数．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）（3）不变，60°
【分析】
（1）根据正方形的性质和等边三角形的性质得出 ， ， ，再根据ASA证明
，再根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据等边三角形的性质结合SAS证明 ≌ ，再根据全等三角形的性质即可得证；
（3）根据等边三角形的性质结合SAS证明 ≌ ，再根据全等三角形的性质得出 ，
设 ， ，根据角的关系即可得出答案
【详解】解：（1） 四边形ABCD为正方形
三角形ADE和三角形ABF是等边三角形
即
在 和 中
（2） ，
理由如下：
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ≌ （SAS），
∴ ．
（3）不变，理由如下：
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ≌ （SAS），
∴ ，
设 ， ，∴ ， ，
∴在 中，
．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形内角和，熟练掌握性质
定理是解题的关键．
