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专项训练六 圆
一、选择题
1．如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与
OA的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．相切 D．均有可能
第1题图 第3题图 第4题图
2．(2016·贺州中考)已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是 120°，则它
的底面圆的直径为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
3．(2016·兰州中考)如图，在⊙O中，若点C是AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC的度
数为( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
4．(2016·杭州中考)如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A、C重合)，点
D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则( )
A．DE＝EB B.DE＝EB C.DE＝DO D．DE＝OB
第5题图 第6题图 第7题图
5．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，
则弦AB所对的圆周角的度数是( )
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
6．(2016·德州中考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问
题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短
直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是
多少？”( )
A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
7．(2016·山西中考)如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，
与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则FE的长为( )
A. B. C．π D．2π
8．(2016·滨州中考)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD
分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB平
分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是( )A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤
第8题图 第9题图 第10题图
二、填空题
9．(2016·安顺中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，
则BE＝________．
10．(2016·齐齐哈尔中考)如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相
切于点D，则∠C＝________度．
11．(2016·贵港中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，将△ABC绕点A
逆时针旋转60°后得到△ADE.若AC＝1，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部
分)的面积是________(结果保留π)．
12．(2016·呼和浩特中考)在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的
切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为________．
13．(2016·成都中考)如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝
18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝________．
第11题图 第13题图 第14题图
14．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，扇形半径为r，点C在AB上，CD⊥OA，垂
足为D，当△OCD的面积最大时，AC的长为________．
三、解答题
15．(2016·宁夏中考)如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于
E，连接ED，若ED＝EC.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AB＝4，BC＝2，求CD的长．
16．(2016·新疆中考)如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过OA的中点C作FD∥OB交
⊙O于D、F两点，且CD＝，以O为圆心，OC为半径作弧CE，交OB于E点．
(1)求⊙O的半径OA的长；
(2)计算阴影部分的面积．17．(2016·西宁中考)如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝
∠CBD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，＝，求BE的长．
18．★如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于A，B两
点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1.
(1)判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；
(2)当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；
(3)当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．参考答案与解析
1．C 2.D 3.A 4.D 5.C
6．C 解析：根据勾股定理得斜边为＝17，则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半
径r＝＝3(步)，即直径为6步．
7．C 解析：连接OE、OF.∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED＝90°.∵四边
形ABCD是平行四边形，∠C＝60°，∴∠A＝∠C＝60°，∠D＝120°.∵OA＝OF，∴∠A＝
∠OFA＝60°，∴∠DFO＝120°，∴∠EOF＝360°－∠D－∠DFO－∠DEO＝30°，∴FE的长
＝＝π.
8．D 解析：①∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∴①正确；
②∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，∴∠AOC≠∠AEC，∴②错误；
③∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠DBC，
∴ CB 平 分 ∠ ABD ， ∴ ③ 正 确 ； ④ ∵ AB 是 ⊙ O 的 直 径 ， ∴ ∠ ADB ＝ 90° ，
∴AD⊥BD.∵OC∥BD，∴∠AFO＝90°.∵点O为圆心，∴AF＝DF，∴④正确；⑤由④有
AF＝DF，∵点 O 为 AB 中点，∴OF 是△ABD 的中位线，∴BD＝2OF，∴⑤正确；
⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，∴⑥错误．
9．4－ 解析：连接 OC.∵弦 CD⊥AB 于点 E，CD＝6，∴CE＝ED＝CD＝3.在
Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝4，∴OE＝＝，∴BE＝OB－OE＝4－.
10．45 解析：连接OD.∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD.∵四边形ABCD是平行四边
形，∴AB∥CD，∴AB⊥OD，∴∠AOD＝90°.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝45°，∴∠C＝
∠A＝45°.
11. 解析：由题意可得△ABC≌△ADE.∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∴AB＝
2.∵∠DAE＝∠BAC＝60°，∴S ＝＝，S ＝＝，∴S ＝S ＋S －S
扇形BAD 扇形△CAE 阴影 扇形DAB △ABC △ADE
－S ＝－＝.
扇形ACE
12．24 解析：如图，设AB与⊙O相切于点F，连接OF，OD，延长FO交CD于点
E.∵2πR＝26π，∴R＝13，∴OF＝OD＝13.∵AB是⊙O的切线，∴OF⊥AB.∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，即 OE⊥CD，∴CE＝ED.∵EF＝18，OF＝13，∴OE＝5.在 Rt△OED 中，
∵∠OED＝90°，OD＝13，OE＝5，∴ED＝＝12，∴CD＝2ED＝24.
13. 解析：作直径 AE，连接 CE，∴∠ACE＝90°.∵AH⊥BC，∴∠AHB＝90°，
∴∠ACE＝∠AHB.又∵∠B＝∠E，∴△ABH∽△AEC，∴＝，∴AB＝.∵AC＝24，AH＝
18，AE＝2OC＝26，∴AB＝.
14.πr 解析：∵OC＝r，CD⊥OA，∴DC＝＝，∴S ＝OD·，∴＝OD2·(r2－OD2)＝
△OCD
－OD4＋r2OD2＝－(OD2－)2＋，∴当OD2＝，即OD＝r时，△OCD的面积最大，∴∠OCD
＝45°，∴∠COA＝45°，∴AC的长＝＝πr.15．(1)证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C.∵∠B＋∠ADE＝180°，∠EDC＋∠ADE＝
180°，∴∠B＝∠EDC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；
(2)解：连接AE.∵AB为直径，∴AE⊥BC.由(1)知AB＝AC，∴AC＝4，BE＝CE＝BC
＝.∵∠C＝∠C，∠EDC＝∠B，∴△EDC∽△ABC，∴＝，即CE·BC＝CD·AC，∴·2＝
4CD，∴CD＝.
16．解：(1)连接 OD.∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°.∵CD∥OB，∴∠OCD＝90°.在
Rt△OCD中，∵C是AO的中点，CD＝，∴OD＝2OC.设OC＝x，∴x2＋()2＝(2x)2，∴x＝
1，∴OD＝2，∴⊙O的半径为2；
(2)∵sin∠CDO＝＝，∴∠CDO＝30°.∵FD∥OB，∴∠DOB＝∠CDO＝30°，∴S ＝
阴影
S ＋S －S ＝×1×＋－＝＋.
△CDO 扇形OBD 扇形OCE
17．(1)证明：连接OD.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠BDO.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA
＝∠ODB.又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠ADO＋
∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CD.∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；
(2)解：∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，∴△CDA∽△CBD，∴＝.∵＝，BC＝6，
∴CD＝4.∵CE，BE是⊙O的切线，∴BE＝DE，BE⊥BC，∴BE2＋BC2＝EC2，即BE2＋62
＝(4＋BE)2，解得BE＝.
18．解：(1)原点O在⊙P外．理由如下：∵直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于A，B
两点，∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，－2)．在Rt△OAB中，tan∠OBA＝＝
＝，∴∠OBA＝30°.如图①，过点 O 作 OH⊥AB 于点 H，在 Rt△OBH 中，OH＝
OB·sin∠OBA＝.∵＞1，∴原点O在⊙P外；
(2)如图②，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠OBA＝
30°，∴⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角的度数为180°－30°－30°＝120°，∴弧长为＝；
同理：当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为.∴当⊙P过点B时，⊙P被y轴所
截得的劣弧的长为；
(3)如图③，当⊙P与x轴相切时，且位于 x轴下方时，设切点为 D，作PD⊥x轴，
∴PD∥y轴，∴∠APD＝∠ABO＝30°.在Rt△DAP中，AD＝DP·tan∠DPA＝1×tan30°＝，
∴OD＝OA－AD＝2－，∴此时点D的坐标为；当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，
根据对称性可以求得此时切点的坐标为.综上所述，当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为或.
