文档内容
2.2 气体的等温变化（第 2 课时）
目录
【学习目标】.....................................................................................................................................................................................1
【思维导图】.....................................................................................................................................................................................2
【知识梳理】.....................................................................................................................................................................................2
知识点1：封闭气体压强的计算........................................................................................................................................2
知识点2：玻意耳定律...........................................................................................................................................................5
知识点3：气体等温变化的图像........................................................................................................................................7
【方法技巧】...................................................................................................................................................................................10
方法技巧 压强计算..............................................................................................................................................................10
【巩固训练】...................................................................................................................................................................................10
【学习目标】
学习目标：
1. 知道描述气体的三个状态参量和气体的等温变化的含义。
2. 掌握定律的内容、公式及适用条件，学会利用该定律解决有关问题。
3. 理解等温变化的图像，并能利用图像分析实际问题
学习重点：
1. 玻意耳定律的内容、公式及适用条件，能用玻意耳定律解答有关问题。
2. 等温变化的图像，并能利用图像分析实际问题。
学习难点：
1. 玻意耳定律的内容、公式及适用条件，能用玻意耳定律解答有关问题。【思维导图】
【知识梳理】
知识点 1：封闭气体压强的计算
1．平衡状态下封闭气体压强的计算方法
(1)液片参考法：选取假想的液体薄片(自身重力不计)为研究对象，分析液片两侧受力情况，建立受力
平衡方程，进而求得气体压强。
如图甲所示，同一液面C、D两处压强相等，故p＝p＋p；如图乙所示，M、N两处压强相等，从
A 0 h
左侧管看有p＝p＋p，从右侧管看有p＝p＋p。
B A h2 B 0 h1(2)力平衡法：选取与封闭气体接触的液柱(或活塞、汽缸)为研究对象进行受力分析，由F ＝0列式求
合
气体压强。
2．容器加速运动时封闭气体压强的计算
当容器加速运动时，通常选与气体相关联的液柱、汽缸或活塞为研究对象，并对其进行受力分析，然
后由牛顿第二定律列方程，求出封闭气体的压强。
如图所示，当竖直放置的玻璃管以加速度a向上加速运动时，对液柱受力分析，
（ ＋ ）
m g a
有pS－pS－mg＝ma，解得p＝p＋ 。
0 0 S
【归纳总结】
(1) 在考虑与气体接触的液柱所产生的附加压强p＝ρgh时，应特别注意h是表示液面间竖直高度，
不一定是液柱长度。
(2).求由液体封闭的气体压强，一般选择最低液面列平衡方程。
【典例1】求图中被封闭气体𝐴的压强．其中(1)(2)(3)图中的玻璃管内都装有水银，(4)图中的小玻璃管
浸没在水中．大气压强𝑝 = 76 𝑐𝑚𝐻𝑔.(𝑝 = 1.01×105 𝑃𝑎，𝑔 = 10 𝑚/𝑠2，𝜌 = 1×103𝑘𝑔/𝑚3)
0 0 水【典例2】（单选）如图所示，一个横截面积为𝑆的圆桶形容器竖直放置，金属圆板的上表面是水平的，
下表面是倾斜的，下表面与水平面的夹角为𝜃，圆板的质量为𝑚，不计圆板与容器内壁的摩擦．若大气
压强为𝑝 ，则被圆板封闭在容器中的气体的压强𝑝等于 ( )
0
A. 𝑝 + 𝑚𝑔cos𝜃 B. 𝑝 0 + 𝑚𝑔 C. 𝑝 + 𝑚𝑔cos2𝜃 D. 𝑝 + 𝑚𝑔
0 𝑆 cos𝜃 𝑆cos𝜃 0 𝑆 0 𝑆
【变式1】如图所示，竖直放置的𝑈形管，左端开口，右端封闭，管内有𝑎、𝑏两段水银柱，将𝐴、𝐵两段
空气柱封闭在管内。已知水银柱𝑎长ℎ 为10𝑐𝑚，水银柱𝑏两个液面间的高度差ℎ 为5𝑐𝑚，大气压强为75
1 2
𝑐𝑚𝐻𝑔，求空气柱𝐴、𝐵的压强分别是多少?
【变式2】（单选）在光滑水平面上有一个内、外壁都光滑的汽缸质量为𝑚 ，汽缸内有一质量为𝑚的活
0
塞，已知𝑚 > 𝑚，活塞密封一部分理想气体。现对汽缸施加一个水平向左的拉力𝐹(如图甲所示)，汽缸
0
的加速度为𝑎 ，封闭气体的压强为𝑝 ；若用同样大小的力𝐹水平向左推活塞(如图乙所示)，此时汽缸的
1 1
加速度为𝑎 ，封闭气体的压强为𝑝 。设密封气体的质量和温度不变，则下列选项正确的是 ( )
2 2A. 𝑎 = 𝑎 ，𝑝 < 𝑝 ， B. 𝑎 < 𝑎 ，𝑝 > 𝑝 ，
1 2 1 2 1 2 1 2
C. 𝑎 = 𝑎 ，𝑝 < 𝑝 ， D. 𝑎 > 𝑎 ，𝑝 > 𝑝 ，
1 2 1 2 1 2 1 2
【变式3】在光滑水平面上有一个内外壁均光滑的汽缸，汽缸内有一横截面积为𝑆的活塞，活塞密封一
定质量的理想气体。现对汽缸施加一水平向左的拉力𝐹，其大小为𝑝 𝑆(𝑝 为外界大气压强)，如图甲所
0 0
示，稳定时封闭气体的压强为𝑝 ，体积为𝑉 ；若用同样大小的力水平向左推活塞，如图乙所示，稳定
1 1
时封闭气体的压强为𝑝 ，体积为𝑉 。已知汽缸的质量为活塞质量的10倍，忽略密封气体的质量和温度
2 2
𝑝
的变化，求：𝑝 和𝑝 的比值 1
1 2 𝑝
2
知识点 2：玻意耳定律
1．内容
一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，压强p与体积V成反比。
2．条件
质量一定，温度不变。
3．表达式
pV＝C(常量)或pV＝pV。
1 1 2 2
【归纳总结】
应用玻意耳定律的思路和方法
(1)确定研究对象，并判断是否满足玻意耳定律成立的条件。
(2)确定始末状态及状态参量(p、V，p、V)。
1 1 2 2
(3)根据玻意耳定律列方程pV＝pV，代入数值求解(注意各状态参量要统一单位)。
1 1 2 2
(4)有时要检验结果是否符合实际，对不符合实际的结果要舍去。
【典例1】（单选）如图所示，高为16 𝑐𝑚的两相同玻璃管竖直放置，下端连通，左管上端封闭，右管上端开口。右管中有高为4 𝑐𝑚的水银柱封闭了一部分气体，水银柱上表面离管口的距离为10 𝑐𝑚。管底水
平连接段的体积可忽略，大气压强𝑝 = 76 𝑐𝑚𝐻𝑔。若从右侧端口缓慢注入水银(与原水银柱之间无气隙
0
)，恰好使水银柱下端到达右管底部，整个过程中，管内气体的温度不变，则该过程中注入右管中水银
柱的高度为( )
A. 6 𝑐𝑚 B. 8 𝑐𝑚 C. 10 𝑐𝑚 D. 12 𝑐𝑚
【典例2】如图所示，在开口向上的竖直放置圆筒形容器内用质量为𝑚的活塞密封部分气体，活塞与容
器壁间能够无摩擦滑动，大气压恒为𝑝 ，容器的横截面积为𝑆，活塞静止于位置𝐴。对活塞施加外力𝐹，
0
使其从位置𝐴缓慢移动到位置𝐵，位置𝐴、𝐵到容器底部的距离分别为ℎ 、ℎ ，密封气体与外界温度始终
1 2
保持相同，已知重力加速度为𝑔。。求：
(1)活塞在位置𝐴时，密封气体的压强；
(2)活塞在位置𝐵时，外力𝐹的大小。
【变式1】如图所示，粗细均匀的等高𝑈形玻璃管竖直放置，左管封闭，右端开口，用水银柱封闭长为
𝐿 = 20𝑐𝑚的一段空气柱，右侧水银柱比左侧高出ℎ = 8𝑐𝑚，已知大气压为𝑝 = 76𝑐𝑚𝐻𝑔。现用一质量不
0
计的薄活塞封住右端开口，缓慢向下压活塞使两边液面相平，此过程中环境温度始终不变，当两边液
面相平时，求：
(1)左侧空气柱的压强。(2)右侧空气柱的长度多少厘米？(计算结果保留两位小数)
【变式2】如图所示，用两个质量均为𝑚、横截面积均为𝑆的密闭活塞𝑃、𝑄，将开口向上的导热汽缸内
的理想气体分成𝐴、𝐵两部分。上面活塞通过轻绳悬挂在天花板上，汽缸和汽缸下方通过轻质绳子悬挂
的物块的质量均为2𝑚，整个装置处于静止状态，此时两部分气柱的长度均为𝑙 = 30 𝑐𝑚。环境温度、
0
大气压强𝑝 均保持不变，且满足6𝑚𝑔 = 𝑝 𝑆，𝑔为重力加速度，不计一切摩擦。
0 0
(1)求此时𝐴气体的压强；
(2)剪断连接物块的绳子，一段时间后两活塞重新恢复平衡，求汽缸上升的距离。
【变式3】如图所示，竖直放置在水平桌面上的左右两汽缸粗细均匀，内壁光滑，横截面积分别为𝑆、
2𝑆，由体积可忽略的细管在底部连通。两汽缸中各有一轻质活塞将一定质量的理想气体封闭，左侧汽
缸底部与活塞用轻质细弹簧相连。初始时，两汽缸内封闭气柱的高度均为𝐻，弹簧长度恰好为原长。现
1 1
往右侧活塞上表面缓慢添加一定质量的沙子，直至右侧活塞下降 𝐻，左侧活塞上升 𝐻。已知大气压强为
3 2
𝑝 ，重力加速度大小为𝑔，汽缸足够长，汽缸内气体温度始终不变，弹簧始终在弹性限度内。求
0
(1)最终汽缸内气体的压强。
(2)弹簧的劲度系数和添加的沙子质量。
知识点 3：气体等温变化的图像
1．概念
一定质量的某种气体的p－V图线的形状为双曲线的一支，它描述的是温度不变时p与V的关系，称
为等温线。1
2． p－V图像与p－ 图像的比较
V
两种
1
p－V图像
p－ 图像
V
图像内容
图像特点
一定质量的气体，在温度不变的情况 一定质量的气体，温度不变
1
物理意义 下，p与V成反比，等温线是双曲线的 时，p与 成正比，等温线是过
V
一支 原点的直线
直线的斜率为p与V的乘积，
一定质量的气体，温度越高，气体压强
与体积的乘积越大，等温线离原点越
判断温度高低 斜率越大，pV乘积越大，温度
远，图中T＜T
1 2
越高，图中T＜T
1 2
【典例1】（单选）如图所示，导热良好的汽缸内封闭一定质量的理想气体，汽缸与活塞间的摩擦忽略
不计。现缓慢向沙桶倒入细沙，下列关于密封气体的状态图像一定正确的是( )
A. B. C. D.
【典例2】（单选）某同学用同一个注射器做了两次验证玻意耳定律的实验，操作完全正确，根据实验
数据却在𝑝、𝑉图上画出了两条不同的双曲线如图所示，造成这种情况的可能原因是( )①两次实验中空气质量不同
②两次实验中温度不同
③两次实验中保持空气质量、温度相同，但所取的气体压强的数据不同
④两次实验中保持空气质量、温度相同，但所取的气体体积的数据不同．
A. ①②B. ②④C. ②③D. ①②④
【变式1】（单选）如图，封有空气的玻璃瓶开口向下静置于恒温水中。将其缓慢往下压了一小段距离，
此过程中气体的质量保持不变。不考虑气体分子间的相互作用，则能反映瓶内气体状态变化的图像是
( )
A. B. C. D.
【变式2】（多选）一定质量的某种理想气体状态变化的𝑝―𝑉图像如图所示，下列说法正确的是( )
A. 状态𝐴时气体分子的内能比状态𝐵时小
B. 气体分子单位时间内对器壁单位面积上的碰撞次数状态𝐴时比状态𝐵时多
C. 气体由状态𝐴变化到状态𝐵的过程中温度一直保持不变
D. 气体由状态𝐴变化到状态𝐵的过程中分子平均速率先增大后减小【变式3】（多选）如图为一定质量的某种气体的两条𝑝―𝑉图线，两曲线均为双曲线的一部分，则下列
关于各状态温度的关系式正确的是(𝐴、𝐵、𝐶、𝐷为四个状态)( )
A. 𝑡 = 𝑡 B. 𝑡 = 𝑡 C. 𝑡 > 𝑡 D. 𝑡 > 𝑡
𝐴 𝐵 𝐵 𝐶 𝐶 𝐷 𝐷 𝐴
【方法技巧】
方法技巧 压强计算
(1)在考虑与气体接触的液柱所产生的附加压强p＝ρgh时，应特别注意h是表示液柱竖直高度差，不
一定是液柱长度。
(2)特别注意大气压强的作用，不要漏掉大气压强。
【巩固训练】
一、单选题。
1.如图所示，两端开口、粗细均匀的足够长玻璃管插在大水银槽中，管的上部有一定长度的水银柱，两
段空气柱被封闭在左右两侧的竖直管中。平衡时水银柱的位置如图，其中ℎ = 5𝑐𝑚，ℎ = 7𝑐𝑚，𝐿
1 2 1
= 50𝑐𝑚，大气压强为75𝑐𝑚𝐻𝑔。则右管内气柱的长度𝐿 等于( )
2
A. 44𝑐𝑚B. 46𝑐𝑚C. 48𝑐𝑚D. 50𝑐𝑚2.血压仪由加压气囊、臂带，压强计等构成，如图所示。加压气囊可将外界空气充入臂带，压强计示数
为臂带内气体的压强高于大气压强的数值，充气前臂带内气体压强为大气压强，体积为𝑉；每次挤压气
囊都能将60𝑐𝑚3的外界空气充入臂带中，经5次充气后，臂带内气体体积变为5𝑉，压强计示数为
150𝑚𝑚𝐻𝑔。已知大气压强等于750𝑚𝑚𝐻𝑔，气体温度不变。忽略细管和压强计内的气体体积。则𝑉等于
( )
A. 30𝑐𝑚3 B. 40𝑐𝑚3 C. 50𝑐𝑚3 D. 60𝑐𝑚3
3.气球在空中缓慢上升，体积逐渐变大.将气球内的气体视为理想气体，忽略环境温度的变化，该过程中
球内气体压强𝑝和体积𝑉的关系可能正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如图所示，两根粗细相同的玻璃管下端用橡皮管相连，左管内封有一段长30𝑐𝑚的气体，
右管开口，左管水银面比右管内水银面高25𝑐𝑚，大气压强为75𝑐𝑚𝐻𝑔，现移动右侧玻璃管，
使两侧管内水银面相平，此时气体柱的长度为( )
A. 20𝑐𝑚
B. 25𝑐𝑚
C. 40𝑐𝑚
D. 45𝑐𝑚
二、多选题。5.如图所示，用活塞把一定质量的理想气体封闭在导热汽缸中，现用水平外力𝐹作用
于活塞杆，使活塞缓慢地向右移动一段距离，由状态①变化到状态②。如果环境保
持恒温，分别用𝑝、𝑉、𝑇表示该理想气体的压强、体积、温度。气体从状态①变化到状态
②，此过程可用下图中的图象表示的是( )
A. B. C. D.
6.疫情防控，人人有责，增强体质，共抗病毒。如今增强体质对抗病毒已成为人们的共识，有人设计了
一款健身器材如图所示，一定质量的理想气体密封在导热良好的容器中，容器上有刻度，容器内装有
一可上下移动的活塞，活塞的面积为0.01 𝑚2，厚度可以忽略，人们可以使用上方的把手拉动活塞达到
锻炼身体的目的．已知在锻炼时，器材下方固定在地面上防止容器离开地面，活塞初始高度为30 𝑐𝑚，
当地大气压强为1.0×105𝑃𝑎，活塞、把手和连接杆的质量都可忽略，不计活塞与容器间的摩擦，外界
气温不变。下列说法正确的是( )
A. 当用500 𝑁的力往上拉，稳定时活塞高度为60 𝑐𝑚
B. 当用500 𝑁的力往下压，稳定时活塞高度为15 𝑐𝑚
C. 若要使活塞稳定在120 𝑐𝑚高度处，则拉力应为1000 𝑁
D. 若要使活塞稳定在120 𝑐𝑚高度处，则拉力应为750 𝑁
7.如图所示为一定质量的气体在不同温度下的两条等温线，则下列说法中正确的是( )
A. 一定质量的气体在发生等温变化时，其压强与体积成反比B. 一定质量的气体，在不同温度下的等温线是不同的
C. 𝑇 > 𝑇
1 2
D. 𝑇 < 𝑇
1 2
8.如图所示，竖直放置的直玻璃管中用水银柱密封一段空气柱，空气柱和水银柱的长度均为20𝑐𝑚，现
将玻璃管以某一初速度沿足够长斜面上滑或下滑，斜面倾角为37∘，玻璃管与斜面间的动摩擦因数为0.5，
标准大气压强𝑝 = 75𝑐𝑚𝐻𝑔，重力加速度𝑔 = 10𝑚/𝑠2，sin37∘ = 0.6，cos37∘ = 0.8，设气体温度不变，
0
下列说法正确的是( )
A. 玻璃管上滑时空气柱压强为78𝑐𝑚𝐻𝑔B. 玻璃管上滑时空气柱长度约为28.4𝑐𝑚
C. 玻璃管下滑时空气柱压强为83𝑐𝑚𝐻𝑔D. 玻璃管下滑时空气柱长度约为22.9𝑐𝑚
9.两端封闭、粗细均匀的玻璃管内，一段水银柱将内部的理想气体分隔成𝐴、𝐵两段，当玻璃管竖直静止时，
𝐴、𝐵两段的长度相等，如图甲所示;仅将玻璃管旋转180∘，再次平衡时，𝐴、𝐵两段的长度之比为1:2，
如图乙所示。下列说法正确的是( )
5
A. 图甲中𝐴、𝐵两段气体的压强的比值为
7
7
B. 图甲中𝐴、𝐵两段气体的压强的比值为
10
10
C. 图乙中𝐴、𝐵两段气体的压强的比值为
7
7
D. 图乙中𝐴、𝐵两段气体的压强的比值为
5
三、计算题。
10.受台风‘杜苏芮’的影响，我国多地出现暴雨天气。路面水井盖因排气孔(如图甲)堵塞可能会造成井盖
移位而存在安全隐患。如图乙所示，质量𝑚 = 20𝑘𝑔的某井盖排气孔被堵塞且与地面不粘连，圆柱形竖直井内水面面积𝑆 = 0.4𝑚2，初始时刻水位与井盖之间的距离ℎ = 2.01𝑚，井内密封空气的压强恰好为
大气压强𝑝 = 1.00×105𝑃𝑎，若井盖内的空气视为理想气体，温度始终不变，重力加速度𝑔取10𝑚/𝑠2。
0
求：
(1)密闭空气的压强为多大时水井盖刚好被顶起；
(2)水井盖刚好被顶起时，水位上升的高度。
11.某款全自动增压供水系统的圆柱形储水罐的总容积𝑉 = 2𝑚3，水龙头正常工作时，罐内水面缓慢下
0
降，最低只能下降到储水罐的正中间，水龙头出水口到罐内水面的最大高度差△ℎ = 10𝑚，如图所示，
此时水泵自动启动给罐内补水，当压力开关检测到罐内封闭气体的压强达到𝑝 = 4.0×105𝑃𝑎时，自动
断开水泵电源停止补水。已知水的密度𝜌 = 1.0×103𝑘𝑔/𝑚3，封闭气体可视为理想气体，忽略封闭气体
温度的变化，外界大气压恒为𝑝 = 1.0×105𝑃𝑎，取重力加速度大小𝑔 = 10𝑚/𝑠2，求：
0
(1)水泵刚开始工作时罐内封闭气体的压强𝑝 ;(2)水泵停止工作时罐内水的体积𝑉。
min
12.如图，一汽缸中由活塞封闭有一定量的理想气体，中间的隔板将气体分为𝐴、𝐵两部分；初始时，𝐴、
𝐵的体积均为𝑉，压强均等于大气压𝑝 。隔板上装有压力传感器和控制装置，当隔板两边压强差超过0.5𝑝
0 0
时隔板就会滑动，否则隔板停止运动。气体温度始终保持不变。向右缓慢推动活塞，使𝐵的体积减小为
𝑉
。
2(ⅰ)求𝐴的体积和𝐵的压强；
(ⅱ)再使活塞向左缓慢回到初始位置，求此时𝐴的体积和𝐵的压强。
