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2026 年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(一)
数学参考答案
一 、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A D B C D A
二 、多项选择题
题号 9 10 11
答案 BD ACD ABC
三、填空题
12. 27 13.( x-1)²+( y -1)²=5 14. 2
四 、解答题
15. 【详解】(1)方法一：因为CE= BE -BC ………………………………………………1 分
且AD=2 BC , AF 公 =2BE众 ……号……：……高………考……试……卷……君………………………2 分
所以DF= AF - AD =2 BE -2 BC =2( BE - BC )=2CE …………………………… 3 分
所以EC //DF ……………………………………………………………………………4 分
又因为点C , D , E , F 不在同一条直线上，
所以EC // DF , ………………………………………………………………………5 分
所以C , D , E , F 四点共面 . ………………………………………………………6 分
方法二：如图1,因为AD=2 BC , AF =2 BE,
所以AD// BC, 且AD=2 BC, AF// BE, 且AF =2BE ………………………………1 分
延长AB, DC 交于点P₁ , 延 长 AB, FE 交于点P₂ …………………………………2 分
…………………………………………… 3 分
所以点P₁, P₂为同一点，记为点P …………………………………………………4 分
即 F E与DC 交于点P,
故直线FE 与DC 共面…………………………………………………………………5 分
所以C , D , E , F 四点共面 . …………………………………………………… 6 分
数学模拟测试(一)参考答案 第1页(共9页)图1 图2
(2)因为平面ABEF⊥平面ABCD, 平 面ABEF∩ 平面ABCD=AB,FAC 平面ABEF,
FA⊥AB,
所以FA⊥平面ABCD, 7 分
又因为AD⊥AB,
所以，如图2,以点A 为坐标原点，AB,AD,AF 所在的直线分别为x,y,z 轴，
建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0),D(0,2,0),E(2,0,1),C(2,1,0),
AD=(0,2,0),DE=(2,-2,1),EC=(0,1,-1), 8 分
设平面ADE的法向量为n₁=(x₁,y₁,z₁),
公众号：高考试卷君
则 即 解得
取 x₁=1, 则 n₁=(1,0,-2), ………………… ………………………10 分
设平面CDE的法向量为n₂=(x₂,Y₂,Z₂),
即 解得
取z₂=2, 则 n₂=(1,2,2), ………………………………………………11 分
所以 |cos<n₁, ……………………………12分
所以平面ADE与平面CDE夹角的余弦值 … …………………………13分
16.【详解】(1)因为f(x)=eˣ-a,
所以y=xf(x)=xe-ax,
y'=e-a+xe*, … … … … … … … … … 3 分
数学模拟测试(一)参考答案 第 2 页 ( 共 9 页 )因为x =0是函数y = xf( x)的极值点，
所以y 'lx =o =1- a =0,解得a =1 …………………………………………………5 分
当a=1时， y'= e *-1+ xe*=( x +1) e ˣ-1,
方法一：当x>0时，
因为x +1>1, eˣ>1,
所以(x +1) eˣ> 1 , 即y '>0,函数y= xf(x)单调递增；…………………………6 分
当x<0时，
因为x +1<1,0< e*<1,
所以(x +1) e ˣ< 1 , 即 y'<0,函数y= xf( x)单调递减； ……………………… 7 分
综上所述，x =0是函数y= xf(x)的极小值点，符合题意.故a =1 …………… 8 分
方法二：令φ(x )=( x +1) e -1,φ'( x)=( x +2) e*,
当x<-2时，φ'(x) < 0 , 当x >-2时，φ'(x )>0,
故φ(x)在(-∞,-2)上单调递减，在(-2,+∞)上单调递增…………………6 分
易知，当x≤-1时，φ(x )=( x +1) e *-1<0,
又因为φ(0)=0,且φ(x)在(-1,+∞)上单调递增，
所以 - 1<x <0时，φ(x )<0, x >0时，φ(x )>0 ………………………………7 分
故当x <0时，φ(x) < 0 , 即y'<0,函数y = xf(x)单调递减，当x >0时，φ(x )>
公众号：高考试卷君
0, 即y'>0,函数y= xf(x)单调递增，故x =0是函数y= xf(x)的极小值点，符合
题意 . 故a =1. ………………………………………………………………… 8 分
(2)由(1)得f(x )= e*- 1,所以 ,x≠0,
由(1)可知，x =0是函数y= xf(x)的极小值点，
所以对任意的x ≠0, y = xf(x )>0 ………………………………………………10分
即证x -( e*-1)>- x( e*-1),化简得(x -1)( e *-1)+ x >0,
令h(x )=( x -1)( e *-1)+ x , h'( x )= xe *, …………………………………12分
当x∈(- ∞,0)时，h'( x )<0, h ( x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时， h'( x )>0,
h(x) 单调递增， …………………………………………………………………13分
所以h( x )> h(0)=0 …………………………………………………………… 14分
综上所述， 在x∈(-∞,0)U(0,+∞)上恒成立. … 15分
数学模拟测试(一)参考答案 第3页(共9页)…………………………………………………………… 4分
因为A,B,C 成等差数列，
所以2B=A+C,
又因为A+B+C=π,
所以 ……………………………………………………………………5分
又因为A≤B,
所以 ……………………………………………………………………6分
因为A+B+C=π,
所以 …………… 8分
当 tan A 取最大值时，m 取得最小值，
因为
*
公众号：高考试卷君
故当 时 ，m 取得最小值1. ……… ……………………………………9分
(2)因为a,b,c 成等比数列，
所以b²=ac,……………………………………………………………………10 分
由(1)知
所以 ………………………………………………………11分
将b= √ac 代入 |a-c|<b<a+c 并化简得(a-c)²<ac<(a+c)²,
同除以ac, ,即
………………………………… ……………………… 12分
数学模拟测试(一)参考答案 第 4 页 ( 共 9 页 )解得 ……………………………… ………………………13分
又因为A≤B,
所以a≤b, 即 a≤ √ac, 解得 ………………………………………14分
故 m 的取值范围 ………………………………………………15分
18.【详解】不妨设点M 在第一象限，点N 在第四象限.
(1)离心率 ①……………………………………………………… 1分
当x=c 时 ， ,所以 即 ② ……………………2分
又因为c²=a²+b², ……………………………………………………………3 分
…………………………… ………………………………………4分
所以双曲线C 的标准方程为 ………………………………………5分
(2)由(1)得F₂ (2,0),
公众号：高考试卷君
当直线MN斜率为0时，直线MN与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合
条件； …………………………………… ………………………………………6分
当直线MN 斜率不为0时，设直线MN为x=ty+2,M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),
化简得(3t²-1)y²+12ty+9=0,
…………………………………………………7分
由题意 解得 …………………………………8分
|MF₂I·|NF₂I=√ 1+t²·Iy₁1·√ 1+t² ·
…………………………………………………………………10分
数学模拟测试(一)参考答案 第 5 页 ( 共 9 页 )因为
所以0<1 - 3t²≤1,
所以 |MF₂ I · |NF₂ | 的最小值为9. …………………………………………… 11分
(3)如图3,设◎P 与边MN切于点E,
由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得，
2|ME|=|MF₁I+|MN|-|NF₁I=|MF₁|+|MF₂|+
|NF₂I-|NF₁I=(2+|MF₂I)+|MF₂|-(|NF₁I-
|NF₂I)=2+|MF₂|+|MF₂I-2=2|MF₂I,
所以点F₂ 与 点E 重合，即◎P 与边MN 切于点F₂.
…………… ………………………………… … 1 3 分
设⊙P 与边 F₁M 切于点 G,
所以 |GF₁ I=|MF₁ I-|MG|=|MF₁ I-|MF₂ |=2, 图3
在直角三角形 PGF₁ 中， |PF₁ I²=|PGI²+|GF₁ I²=|PF₂ I²+|GF₁ I²=|PF₂ I²+4,
设点P(x₀,yo), 公 点 Q众(x₃,y号₃), ：高考试卷君
则(xo+2)²+yỏ=(x₀-2)²+y2+4,
解得
所以点P 在直线 ……………………………………………………14分
过点Q(x₃,y₃) 作直线 的垂线，交直线 于 点T,
……… 15分
设点Q 关于 的对称点为点D,
所以IQF₂|=2|QT|=|QD|.
因为点Q 与 点D, 点 A 与 点F2 分别关于直线 对称，
所以|DA|=|QF₂ |=|QD|, |PA|=|PF₂ | 且|PQl=|PD|, 所以点 A,D,Q 均在
⊙P 上，且∠ APD=∠DPQ=∠QPF₂, …………… ……………………16 分
数学模拟测试( 一 )参考答案第6页(共9页)所以∠APQ=2∠F₂PQ. 17 分
19.【详解】(1)设事件A₁ 表示“甲社区的参赛选手都是女生”,事件B₁ 表示“乙社区的
参赛选手都是女生”,事件A₂ 表示“甲社区的参赛选手都是男生”,事件 B₂ 表示
“乙社区的参赛选手都是男生”,
贝 . …………… 1分
所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况：都是男生或者都是女生，即
A₁B₁UA₂B₂. …2 分
因为A₁NA₂=,
所以A₁B₁ ∩A₂B₂=, 即事件A₁B₁ 与 A₂B₂ 互斥，
易知事件A₁ 与 B₁ 相互独立，事件A₂ 与 B₂ 相互独立， ………………………3分
所以所求事件的概率
…………………………… …… ……………………… … 5 分
(2)(i) 方法一：因为甲社区中男生和女生都认识，因此A,(m)=(C")²·A"=
………………… ………………………………………6分
公众号：高考试卷君
当2≤m≤n-1 时 ，Aₙ_ 1(m)=(Cm_ 1)² ·
Aₙ_(m-1)=(Cm 二1)² · ……………………7分
观察结构，运算
………………………………………… ………………………………………8分
……………………………………………………………………9分
两边同时乘I 得A,(m)=A-1(m)+(2n-m)A,_(m-1).
…………… ……………………………………………………………………10分
数学模拟测试(一)参考答案 第7页(共9页)方法二：因为甲社区中男生和女生都认识，因此Aₙ(m)=(C")²·Am=
…………………………………………………………… 6分
A,(m) 表示甲社区从n 个女孩和n 个男孩选出m 队，考虑甲社区中的女生X 和男
生 Y, 可以分成以下四种情况：
①女生X 和男生Y 都没被选上，此时剩下 n-1 个男生和n-1 个女生，从中选出
m 队，共有A,-1(m) 种选法； …………………………………………………7分
②女生X 选上了，男生Y 没被选上，第一步，从除女生X 和男生Y 外的n-1 个男
生和n-1 个女生中选出m-1 队，共有An-1(m-1) 种选法；第二步，男生还剩下
n-m+1 人，排除男生Y, 选一个男生和女生X组队，共有 n-m 种选法，因此②
共有(n-m)A,_ 1(m-1) 种选法；
③女生X 没选上，男生Y 选上了，情况与②类似，共有(n-m)A,-1(m-1) 种选
法 ； ………………………………………………………………………………8分
④女生X 和男生Y 都被选上，若女生X 和男生Y组队，此时剩下n-1 个男生和
n-1 个女生，从中选出m-1 队，共有An-1(m-1) 种选法，若女生X 不和男生Y
组队，可以把她的搭档和男生Y互换，此时可以等价看作女生X 和男生Y 组队，
他们对应的搭档组队，共有(m-1)A-1(m-1) 种，因此④共有 mA,_ (m-1) 种选
法 ； ………………………………………………………………………………9分
公众号：高考试卷君
综上所述，A,(m)=A,-1(m)+2(n-m)A-1(m-1)+mA_(m-1)=An-1(m)+
(2n-m)An-1(m-1). … … … … … … … … … … … 10 分
(ii) 下面考虑B(m) 的递推关系式，
当2≤m≤n-1 时，考虑乙社区中的女生gn, 有以下两种情况：
①当女生gn 被选中时，其余 m-1 队共有B-1(m-1) 种不同选法，gn 可在余下
(2n-1)-(m-1)=2n-m 个男生中任选一人，有2n-m 种选法，因此由乘法计
数原理可知，共有(2n-m)Bₙ-(m-1) 种选法；
②当女生gn 没被选中时，此时从g₁,82,…,gn-1 选出m 个女生，从b₁,b₂,…,
b₂n-3选出m 个男生组队，共有B,-1(m) 种选法；
所以，当2≤m≤n-1 时 ，B,(m)=Bπ-(m)+(2n-m)B_ (m-1), ……12 分
当 m=n 时，由前述分析得B,(n)=nB-1(n-1) , ……… 分
由(i) 可知A(m) 满足相同的递推公：
因为A(1)=n², (1),
数学模拟测试( 一 )参考答案第8页(共9页)A₂(2)=2=B₂(2),
所以A(m) 和 B,(m) 有相同的递推关系和初始值， …………………………14分
所以对任意n∈N* 和 m=1,2,…,n, 均有A,(m)=B,(m). ……………15 分
所以A 。(m)=(C")²·A",
设乙社区中各选m 个男生和m 个女生，男、女组成m 队，共有Ω(m) 种情况，
则Ω2(m)=C"·C2-1·A. … … …… 16 分
因此满足组队要求的概率
………………………………………………………… 17分
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