2021年高考数学试卷（浙江）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2021·高考数学真题

绝密★启用前 2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数 学 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。满分150分 。考试用时120分钟。 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定 的位置上。 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作 答一律无效。 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 柱体的体积公式V =Sh 如果事件A，B相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B) 其中S表示柱体的底面积 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好 ，h表示柱体的高 P(k)=Ckpk(1- p)n-k(k =0,1,2, ,n) 发生k次的概率 n n L 1 V = Sh 1 锥体的体积公式 3 V = (S + S S +S )h 台体的体积公式 3 1 1 2 2 其中S表示锥体的底面积 其中 S 1 ,S 2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高 ，h表示锥体的高 球的表面积公式 S =4pR2 球的体积公式 4 V = pR3 3 其中R表示球的半径 一､选择题     1. 设集合A= x x³1 ，B= x -1< x<2 ，则A I B=（ ）         A. x x>-1 B. x x³1 C. x -1< x<1 D. x1£ x<2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合交集的定义可得结果. 【详解】由交集的定义结合题意可得：A I B=x|1£ x<2 . 第1页 | 共23页故选：D. 2. 已知aÎR， 1+aii =3+i，(i为虚数单位)，则a=（ ） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a的值. 【详解】 1+aii =i+ai2=i-a=-a+i =3+i， 利用复数相等的充分必要条件可得：-a=3,\a=-3. 故选：C. r r r r r r r r r 3. 已知非零向量a,b,c，则“a×c =b×c”是“a = b ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】如图所示，O uu A ur =a r ,O uu B ur =b r ,O uu C ur =c r , u B u A ur =a r -b r ,当AB^OC时，a r -b r 与c r 垂直， r ，所以 成立，此时a r ¹b， r ∴ 不是a r =b的充分条件， r r r r r 当a r =b r 时，a r -b r =0 r ，∴  a-b  ×c=0×c=0,∴ 成立， r ∴ 是a r =b的必要条件， 综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件 故选：B. 第2页 | 共23页4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） 3 3 2 A. B. 3 C. D. 3 2 2 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积. 【详解】几何体为如图所示的四棱柱ABCD-ABC D ，其高为1，底面为等腰梯形ABCD， 1 1 1 1 1 2 该等腰梯形的上底为 2 ，下底为2 2，腰长为1，故梯形的高为 1- = ， 2 2 1   2 3 故V = ´ 2+2 2 ´ ´1= ， ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 2 2 2 故选：A. ìx+1³0 ï 1 5. 若实数x，y满足约束条件íx- y£0 ，则z = x- y 的最小值是（ ） 2 ï 2x+3y-1£0 î 第3页 | 共23页3 1 1 A. -2 B. - C. - D. 2 2 10 【答案】B 【解析】 【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为y =2x-2z，求出过可行域点，且斜率为2的直线在y 轴上截距的最大值即可. ìx+1³0 ï 【详解】画出满足约束条件íx- y£0 的可行域， ï 2x+3y-1£0 î 如下图所示： 1 目标函数z = x- y化为y =2x-2z， 2 ìx=-1 ìx=-1 由í ，解得í ，设A(-1,1)， î2x+3y-1=0 îy =1 当直线y =2x-2z过A点时， 1 3 z = x- y取得最小值为- . 2 2 故选：B . 6. 如图已知正方体ABCD-ABC D ，M，N分别是AD，DB的中点，则（ ） 1 1 1 1 1 1 第4页 | 共23页A. 直线AD与直线DB垂直，直线MN //平面ABCD 1 1 B. 直线AD与直线DB平行，直线MN ^平面BDDB 1 1 1 1 C. 直线AD与直线DB相交，直线MN //平面ABCD 1 1 D. 直线AD与直线DB异面，直线MN ^平面BDDB 1 1 1 1 【答案】A 【解析】 【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证MN//AB,AD ^平面ABD ，即可得出结论. 1 1 【详解】 连AD ，在正方体ABCD-ABC D 中， 1 1 1 1 1 M是AD的中点，所以M 为AD 中点， 1 1 又N是DB的中点，所以MN//AB， 1 MN Ë平面ABCD,ABÌ平面ABCD， 所以MN//平面ABCD. 因为AB不垂直BD，所以MN 不垂直BD 则MN 不垂直平面BDDB ，所以选项B,D不正确； 1 1 在正方体ABCD-ABC D 中，AD ^ AD， 1 1 1 1 1 1 第5页 | 共23页AB^平面AADD，所以AB^ AD， 1 1 1 AD ÇAB= A，所以AD^平面ABD ， 1 1 1 DBÌ平面ABD ，所以AD^ DB， 1 1 1 1 且直线AD,DB是异面直线， 1 1 所以选项C错误，选项A正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个 面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系. 1 7. 已知函数 f(x)= x2 + ,g(x)=sinx，则图象为如图的函数可能是（ ） 4 1 1 A. y = f(x)+g(x)- B. y = f(x)-g(x)- 4 4 g(x) C. y = f(x)g(x) D. y = f(x) 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 1 【详解】对于A，y = f x+gx- = x2 +sinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A 4 ； 1 对于B，y = f x-gx- = x2 -sinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 4 æ 1ö æ 1ö 对于C，y = f xgx= ç x2 + ÷ sinx，则y¢=2xsinx+ ç x2 + ÷ cosx， è 4ø è 4ø p p 2 æp2 1ö 2 当x= 时，y¢= ´ +ç + ÷´ >0，与图象不符，排除C. 4 2 2 è16 4ø 2 故选：D. 第6页 | 共23页8. 1 已知a,b,g是互不相同的锐角，则在sinacosb,sinbcosg,singcosa三个值中，大于 的个数的最大 2 值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 3 【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinacosb+sinbcosg+singcosa£ ，从而可判断三个代 2 1 1 数式不可能均大于 ，再结合特例可得三式中大于 的个数的最大值. 2 2 sin2a+cos2b 【详解】法1：由基本不等式有sinacosb£ ， 2 sin2b+cos2g sin2g+cos2a 同理sinbcosg£ ，singcosa£ ， 2 2 3 故sinacosb+sinbcosg+singcosa£ ， 2 1 故sinacosb,sinbcosg,singcosa不可能均大于 . 2 p p p 取a= ，b= ，g= ， 6 3 4 1 1 6 1 6 1 则sinacosb= < ,sinbcosg= > ,singcosa= > ， 4 2 4 2 4 2 1 故三式中大于 的个数的最大值为2， 2 故选：C. 法2：不妨设acosb>cosg,sina ,singcosa= > ， 4 2 4 2 4 2 第7页 | 共23页1 故三式中大于 的个数的最大值为2， 2 故选：C. 【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注 意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 9. 已知a,bÎR,ab>0，函数 f x=ax2 +b(xÎR).若 f(s-t), f(s), f(s+t)成等比数列，则平面上点 s,t 的轨迹是（ ） A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程. 【详解】由题意得 f(s-t)f(s+t)=[f(s)]2，即éa(s-t)2 +bùéa(s+t)2 +bù =  as2 +b 2 ， ë ûë û 对其进行整理变形：  as2 +at2 -2ast+b  as2 +at2 +2ast+b  =  as2 +b 2 ，  as2 +at2 +b 2 -(2ast)2 -  as2 +b 2 =0，  2as2 +at2 +2b  at2 -4a2s2t2 =0， -2a2s2t2 +a2t4 +2abt2 =0， 所以-2as2 +at2 +2b=0或t =0， s2 t2 - =1 其中 b 2b 为双曲线，t =0为直线. a a 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心 素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题. a 10. 已知数列 a  满足 a =1,a = n  nÎN* .记数列 a  的前n项和为S ，则（ ） n 1 n+1 1+ a n n n 1 9 9 A ，利用倒数法得到 = + =ç + ÷ - ，再放缩可得 100 2 a a a ç a 2÷ 4 n+1 n n è n ø 1 1 1 4 a a n+1 < + ，由累加法可得a ³ ，进而由 a = n 局部放缩可得 n+1 £ ，然后 a a 2 n (n+1)2 n+1 1+ a a n+3 n+1 n n n 6 利用累乘法求得a £ ，最后根据裂项相消法即可得到S <3，从而得解． n (n+1)(n+2) 100 【详解】因为 a =1,a = a n  nÎN* ，所以a >0，S > 1 ． 1 n+1 1+ a n 100 2 n 2 a 1 1 1 æ 1 1ö 1 由a = n Þ = + =ç + ÷ - n+1 1+ a a a a ç a 2÷ 4 n n+1 n n è n ø 2 1 æ 1 1ö 1 1 1 1 1 1 - < \ <ç + ÷ Þ < + ，即 a ç a 2÷ a a 2 a a 2 n+1 è n ø n+1 n n+1 n 1 n-1 n+1 £1+ = 根据累加法可得， ，当且仅当n=1时取等号， a 2 2 n 4 a a n+1 \a ³ \a = n £ n = a n (n+1)2 n+1 1+ a 2 n+3 n n 1+ n+1 a n+1 \ n+1 £ ， a n+3 n 6 由累乘法可得a £ ，当且仅当n=1时取等号， n (n+1)(n+2) 由裂项求和法得： æ1 1 1 1 1 1 1 1 ö æ1 1 ö 1 所以S 100 £6 ç è2 - 3 + 3 - 4 + 4 - 5 + L + 101 - 102 ÷ ø =6 ç è2 - 102 ÷ ø <3，即 2 2 若 f éf  6 ù =3，则a=___________. ïî x-3 +a,x£2, ë û 【答案】2 【解析】 第10页 | 共23页【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值. 【详解】 f éf  6 ù = f 6-4= f 2= 2-3 +a=3，故a=2， ë û 故答案为：2. 13. 已知多项式(x-1)3+(x+1)4 = x4 +a x3+a x2 +a x+a ，则a =___________，a +a +a =_______ 1 2 3 4 1 2 3 4 ____. 【答案】 (1). 5; (2). 10. 【解析】 【分析】根据二项展开式定理，分别求出(x-1)3,(x+4)4的展开式，即可得出结论. 【详解】(x-1)3 = x3-3x2 +3x-1， (x+1)4 = x4 +4x3+6x2 +4x+1， 所以a =1+4=5,a = -3+6=3， 1 2 a =3+4=7,a = -1+1=0， 3 4 所以a +a +a =10. 2 3 4 故答案为：5,10. 14. 在 ABC 中，ÐB=60°,AB=2，M是BC的中点，AM =2 3，则AC =___________， V cosÐMAC =___________. 2 39 【答案】 (1). 2 13 (2). 13 【解析】 【分析】由题意结合余弦定理可得BC=8，进而可得AC，再由余弦定理可得cosÐMAC. 【详解】由题意作出图形，如图， 第11页 | 共23页在 ABM 中，由余弦定理得AM2 = AB2 +BM2 -2BM ×BA×cosB， V 1 即12=4+BM2 -2BM ´2´ ，解得BM=4（负值舍去）， 2 所以BC=2BM=2CM=8， 1 在 ABC 中，由余弦定理得AC2 = AB2 +BC2 -2AB×BC×cosB=4+64-2´2´8´ =52， V 2 所以AC =2 13； AC2 + AM2 -MC2 52+12-16 2 39 在 AMC中，由余弦定理得cosÐMAC = = = . V 2AM ×AC 2´2 3´2 13 13 2 39 故答案为：2 13； . 13 15. 袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为x，若取出的两个球都是红球的 1 1 概率为 ，一红一黄的概率为 ，则m-n=___________，Ex=___________. 6 3 8 【答案】 (1). 1 (2). 9 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得m,n的值，再根据随机变量x的分布列即可求出Ex ． C2 6 1 【详解】P(x=2)= 4 = = ÞC2 =36，所以m+n+4=9， C2 C2 6 m+n+4 m+n+4 m+n+4 C1×C1 4m m 1 P一红一黄 = 4 m = = = Þm=3, 所以n=2, 则m-n=1． C2 36 9 3 m+n+4 1 C1×C1 4´5 5 C2 10 5 由于P(x=2)= ,P(x=1)= 4 5 = = ,P(x=0)= 5 = = 6 C2 36 9 C2 36 18 9 9 1 5 5 1 5 8 \E(x)= ´2+ ´1+ ´0= + = ． 6 9 18 3 9 9 8 故答案为：1； ． 9 x2 y2 16. 已知椭圆 + =1(a >b>0)，焦点F(-c,0)，F (c,0) (c>0)，若过F 的直线和圆 a2 b2 1 2 1 2 æ 1 ö ç x- c ÷ + y2 =c2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF 2 ^ x轴，则该直线的斜率是___________ è 2 ø 第12页 | 共23页，椭圆的离心率是___________. 2 5 5 【答案】 (1). (2). 5 5 【解析】 2 【分析】不妨假设c=2，根据图形可知，sinÐPFF = ，再根据同角三角函数基本关系即可求出 1 2 3 2 k =tanÐPFF = 5；再根据椭圆的定义求出a，即可求得离心率． 1 2 5 【详解】 如图所示：不妨假设c=2，设切点为B， AB 2 2 2 sinÐPFF =sinÐBFA= = ，tanÐPFF = = 5 1 2 1 FA 3 1 2 32 -22 5 1 2 5 PF 8 5 1 12 5 所以k = , 由k = 2 , FF =2c=4，所以 PF = ， PF = PF ´ = ， 5 FF 1 2 2 5 1 2 sin∠PFF 5 1 2 1 2 c 2 5 于是2a= PF + PF =4 5，即a =2 5，所以e= = = ． 1 2 a 2 5 5 2 5 5 故答案为： ； ． 5 5 17. 已知平面向量a r ,b r ,c r ,(c r ¹0 r )满足 a r =1,b r =2,a r ×b r =0,  a r -b r ×c r =0.记向量d ur 在a r ,b r 方向上的投影分别 ur r r 为x，y，d -a在c方向上的投影为z，则x2 + y2 +z2的最小值为___________. 2 【答案】 5 【解析】 r 【分析】设a r =(1,0),b =(0，2),c r =(m,n)，由平面向量的知识可得2x+ y- 5z =2，再结合柯西不等式 即可得解. 第13页 | 共23页r 【详解】由题意，设a r =(1,0),b =(0，2),c r =(m,n)， r r r 则 a-b ×c=m-2n=0，即m=2n， 又向量d ur 在a r ,b r 方向上的投影分别为x，y，所以d ur =x,y， ur r (d -a)×c r mx-1+ny 2x-2+ y ur r r 所以d -a在c方向上的投影z = = = ， r |c| m2 +n2 ± 5 即2x+ y 5z =2, m 所以x2 + y2 +z2 = 1 é ê 22 +12 +  ± 5 2ù ú  x2 + y2 +z2 ³ 1  2x+ y m 5z 2 = 2 ， 10ë û 10 5 ì 2 x= ï 5 ì x y z ï ï = = ï 1 当且仅当í 2 1 m 5 即í y = 时，等号成立， 5 ï ï î2x+ y m 5z =2 ï 5 ïz = m î 5 2 所以x2 + y2 +z2的最小值为 . 5 2 故答案为： . 5 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是由平面向量的知识转化出x,y,z之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小 值. 三､解答题 18. 设函数 f x=sinx+cosx(xÎR). 2 é æ pöù （1）求函数 y = ê f ç x+ ÷ú 的最小正周期； ë è 2øû æ pö é pù （2）求函数 y = f(x)f ç x- ÷在 ê 0, ú 上的最大值. è 4ø ë 2û 2 【答案】（1）p；（2）1+ . 2 【解析】 【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得y=1-sin2x，再由三角函数最小正周期公式即可得解； 第14页 | 共23页æ pö 2 （2）由三角恒等变换可得y =sin ç 2x- ÷ + ，再由三角函数的图象与性质即可得解. è 4 ø 2 æ p ö 【详解】（1）由辅助角公式得 f(x)=sinx+cosx= 2sin ç x+ ÷， è 4 ø 2 2 é æ pöù é æ 3pöù æ 3pö æ 3pö 则y = ê f ç x+ ÷ú = ê 2sin ç x+ ÷ú =2sin2 ç x+ ÷ =1-cos ç 2x+ ÷ =1-sin2x， ë è 2øû ë è 4 øû è 4 ø è 2 ø 2p 所以该函数的最小正周期T = =p; 2 æ pö æ pö æ pö （2）由题意，y = f x f ç x- ÷ = 2sin ç x+ ÷ × 2sinx=2sin ç x+ ÷ sinx è 4 ø è 4 ø è 4 ø æ 2 2 ö =2sinx×ç sinx+ cosx÷= 2sin2 x+ 2sinxcosx ç ÷ 2 2 è ø 1-cos2x 2 2 2 2 æ pö 2 = 2× + sin2x= sin2x- cos2x+ =sin 2x- + ， ç ÷ 2 2 2 2 2 è 4 ø 2 é pù p é p 3pù 由xÎ 0, 可得2x- Î - , ， ê ú ê ú ë 2û 4 ë 4 4 û p p 3p 2 所以当2x- = 即x= 时，函数取最大值1+ . 4 2 8 2 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形， ÐABC =120°,AB =1,BC =4,PA= 15，M，N分别为BC,PC的中点，PD ^ DC,PM ^ MD. （1）证明：AB^ PM ； （2）求直线AN与平面PDM 所成角的正弦值. 15 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 6 第15页 | 共23页【解析】 【分析】（1）要证AB^ PM ，可证DC ^ PM ，由题意可得，PD^ DC ，易证DM ^ DC，从而 DC ^平面PDM ，即有DC ^ PM ，从而得证； （2）取AD中点E，根据题意可知，ME,DM,PM 两两垂直，所以以点M 为坐标原点，建立空间直角 uuur 坐标系，再分别求出向量AN和平面PDM 的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出． 【详解】（1）在△DCM 中，DC =1，CM =2，ÐDCM =60o，由余弦定理可得DM = 3， 所以DM2 +DC2 =CM2，\DM ^ DC．由题意DC ^PD且PDÇDM = D，\DC ^平面PDM ， 而PM Ì平面PDM ，所以DC ^ PM ，又AB//DC ，所以AB^ PM ． （2）由PM ^ MD，AB^ PM ，而AB与DM 相交，所以PM ^平面ABCD，因为AM = 7 ，所 以PM =2 2 ，取AD中点E，连接ME，则ME,DM,PM 两两垂直，以点M 为坐标原点，如图所示 ，建立空间直角坐标系, 则A(- 3,2,0),P(0,0,2 2),D( 3,0,0),M(0,0,0),C( 3,-1,0) æ 3 1 ö uuur æ3 3 5 ö 又N 为PC中点，所以Nç ,- , 2÷,AN =ç ,- , 2÷. ç ÷ ç ÷ 2 2 2 2 è ø è ø r 由（1）得CD^平面PDM ，所以平面PDM 的一个法向量n =(0,1,0) 5 uuur r | AN×n| 2 15 从而直线AN与平面PDM 所成角的正弦值为sinq= uuur = = ． | AN‖n r | 27 25 6 + +2 4 4 【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明AB^ PM ，可以考虑DC ^ PM ， 题中与DC 有垂直关系的直线较多，易证DC ^平面PDM ，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由 第16页 | 共23页第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出． 9 20. 已知数列 a  的前n项和为S ，a =- ，且4S =3S -9. n n 1 4 n+1 n （1）求数列 a  的通项； n （2）设数列 b  满足3b +(n-4)a =0(nÎN*)，记 b  的前n项和为T ，若T £lb 对任意nÎN*恒 n n n n n n n 成立，求实数l的取值范围. 3 【答案】（1）a =-3×( )n；（2）-3£l£1. n 4 【解析】 【分析】（1）由4S =3S -9，结合S 与a 的关系，分n=1,n³2讨论，得到数列{a }为等比数列 n+1 n n n n ，即可得出结论； （2）由3b +(n-4)a =0结合(1)的结论，利用错位相减法求出T ，T £lb 对任意nÎN*恒成立，分 n n n n n 类讨论分离参数l，转化为l与关于n的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当n=1时，4(a +a )=3a -9， 1 2 1 9 27 27 4a = -9=- ,\a =- ， 2 4 4 2 16 当n³ 2时，由4S =3S -9①， n+1 n 得4S =3S -9②，①-②得4a =3a n n-1 n+1 n 27 a 3 a = - ¹0,\a ¹0,\ n+1 = ， 2 16 n a 4 n a 3 9 3 又 2 = ,\{a }是首项为- ，公比为 的等比数列， a 4 n 4 4 1 9 3 3 \a = - ×( )n-1 =-3×( )n； n 4 4 4 n-4 3 （2）由3b +(n-4)a =0，得b =- a =(n-4)( )n， n n n 3 n 4 2 3 4 n 3 æ3ö æ3ö æ3ö æ3ö 所以T n = -3´ 4 -2´ ç è4 ÷ ø -1´ ç è4 ÷ ø +0´ ç è4ø ÷ + L +(n-4)× ç è4ø ÷ ， 2 3 4 n n+1 3 æ3ö æ3ö æ3ö æ3ö æ3ö 4 T n = -3´ ç è4 ÷ ø -2´ ç è4 ÷ ø -1´ ç è4 ÷ ø + L +(n-5)× ç è4 ÷ ø +(n-4)× ç è4 ÷ ø ， 2 3 4 n n+1 1 3 æ3ö æ3ö æ3ö æ3ö æ3ö 两式相减得 4 T n =-3´ 4 + ç è4 ÷ ø + ç è4 ÷ ø + ç è4 ÷ ø + Lç è4 ÷ ø -(n-4)× ç è4 ÷ ø 第17页 | 共23页9 é æ3ö n-1ù ê1-ç ÷ ú 9 16êë è4ø úû æ3ö n+1 =- + -(n-4) ç ÷ 4 3 è4ø 1- 4 n+1 n+1 n+1 9 9 æ3ö æ3ö æ3ö =- + -4 ç ÷ -(n-4)× ç ÷ =-n× ç ÷ ， 4 4 è4ø è4ø è4ø 3 所以T = -4n×( )n+1， n 4 3 3 由T £lb 得-4n×( )n+1 £l(n-4)×( )n恒成立， n n 4 4 即l(n-4)+3n³0恒成立， n = 4时不等式恒成立； 3n 12 n<4时，l£- =-3- ，得l£1； n-4 n-4 3n 12 n>4时，l³- =-3- ，得l³-3； n-4 n-4 所以-3£l£1. 【点睛】易错点点睛：（1）已知S 求a 不要忽略n=1情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正 n n 负零讨论，如（2）中l(n-4)+3n³0恒成立，要对n-4=0,n-4>0,n-4<0讨论，还要注意 n-4<0时，分离参数不等式要变号. 21. 如图，已知F是抛物线y2 =2pxp>0 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 MF =2， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线MA,MB,AB，x轴依次交于点P，Q，R 第18页 | 共23页2 ，N，且 RN = PN ×QN ，求直线l在x轴上截距的范围.   【答案】（1）y2 =4x；（2） -¥,-7-4 3ù ûU é ë -7+4 3,1 U 1,+¥ . 【解析】 【分析】（1）求出 p的值后可求抛物线的方程. （2）设AB:x=ty+1，Ax ,y ,Bx ,y  ，Nn,0 ，联立直线AB的方程和抛物线的方程后可得 1 1 2 2 y y =-4,y + y =4t，求出直线MA,MB的方程，联立各直线方程可求出y ,y ,y ，根据题设条件可 1 2 1 2 P Q R æn+1ö 2 3+4t2 得ç ÷ = ，从而可求n的范围. èn-1ø 2t-12 【详解】（1）因为 MF =2，故 p =2，故抛物线的方程为：y2 =4x. （2）设AB:x=ty+1，Ax ,y ,Bx ,y  ，Nn,0 ， 1 1 2 2 y 1 所以直线l:x= +n，由题设可得n¹1且t ¹ . 2 2 ìx=ty+1 由í 可得y2 -4ty-4=0，故y y =-4,y + y =4t， îy2 =4x 1 2 1 2 2 æ 1 ö 1 1 因为 RN 2 = PN ×QN ，故ç 1+ y ÷ = 1+ y × 1+ y ，故y2 = y × y . ç 4 R ÷ 4 P 4 Q R P Q è ø ì y y = 1 x+1 y ï ï x +1 2n+1y 又MA: y = 1 x+1 ，由í 1 可得y = 1 ， x 1 +1 ï x= y +n P 2x 1 +2- y 1 ïî 2 2n+1y 同理y = 2 ， Q 2x +2- y 2 2 ìx=ty+1 ï 2n-1 由í y 可得y = ， ï x= +n R 2t-1 î 2 é2n-1ù 2 2n+1y 2n+1y 所以ê ú = 2 ´ 1 ， 2t-1 2x +2- y 2x +2- y ë û 2 2 1 1 2 æn-1ö y y 整理得到ç ÷ =2t-12 1 2 ， èn+1ø 2x +2- y 2x +2- y  2 2 1 1 第19页 | 共23页42t-12 = æ y2 öæ y2 ö 2 +2- y 1 +2- y ç ÷ç ÷ è 2 2 øè 2 1 ø 42t-12 2t-12 = = y2y2 y +y 3+4t2 2 1 +y +y 2 - y y - 2 1´y y -2y +y +4 4 2 1 2 1 2 1 2 2 1 æn+1ö 2 3+4t2 故ç ÷ = ， èn-1ø 2t-12 s+1 令s =2t-1，则t = 且s ¹0， 2 3+4t2 s2 +2s+4 2 4 æ1 1ö 2 3 3 故 = =1+ + =4 ç + ÷ + ³ ， 2t-12 s2 s s2 ès 4ø 4 4 ì æn+1ö 2 3 ïç ÷ ³ ìn2 +14n+1³0 故íèn-1ø 4即í ， ï în¹1 în¹1 解得n£-7-4 3或-7+4 3 £n<1或n>1. 故直线l在x轴上的截距的范围为n£-7-4 3或-7+4 3 £n<1或n>1. 【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方 程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题 转化为常见函数的范围问题. 22. 设a，b为实数，且a>1，函数 f x=ax -bx+e2(xÎR) （1）求函数 f x 的单调区间； （2）若对任意b>2e2，函数 f x 有两个不同的零点，求a的取值范围； blnb e2 （3）当a=e时，证明：对任意b>e4，函数 f x 有两个不同的零点x,x ，满足x > x + . 1 2 2 2e2 1 b (注：e=2.71828×××是自然对数的底数) æ b ö 【答案】(1)b£0时， f(x)在R上单调递增；b>0时，函数的单调减区间为ç -¥,log ÷，单调增区 è a lnaø æ b ö 间为ç log ,+¥ ÷； è a lna ø 第20页 | 共23页(2)  1,e2ù û ； (3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性； (2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取 值范围； (3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立. 【详解】(1) f(x)=ax -bx+e2, f¢(x)=axlna-b， ①若b£0，则 f¢(x)=axlna-b³0，所以 f(x)在R上单调递增； ②若b>0， æ b ö 当xÎ ç -¥,log ÷时， f 'x<0, f x 单调递减， è a lnaø æ b ö 当xÎ ç log ,+¥ ÷时， f 'x>0, f x 单调递增. è a lna ø 综上可得，b£0时， f(x)在R上单调递增； æ b ö æ b ö b>0时，函数的单调减区间为ç -¥,log ÷，单调增区间为ç log ,+¥ ÷. è a lnaø è a lna ø (2) f(x)有2个不同零点Û ax -bx+e2 =0有2个不同解Ûexlna -bx+e2 =0有2个不同的解， bt b et +e2 令t = xlna，则et - +e2 =0Þ = ,t >0， lna lna t et +e2 et ×t-  et +e2 et(t-1)-e2 记g(t)= ,g¢(t)= = ， t t2 t2 记h(t)=et(t-1)-e2,h¢(t)=et(t-1)+et ×1=et ×t >0， 又h(2)=0，所以tÎ(0,2)时，h(t)<0, tÎ(2,+¥)时，h(t)>0， b b 则g(t)在(0,2)单调递减，(2,+¥)单调递增，\ > g(2)=e2,\lna< ， lna e2 b Q b>2e2,\ >2,\lna£2Þ1e4， x x 1 2 ex +e2 注意到函数y = 在区间 0,2 上单调递减，在区间 2,+¥ 上单调递增， x e5 +e2 故x <2< x ，又由 5， 1 2 2 5 ex 1 +e2 2e2 2e2 b= < Þ x < ， x x 1 b 1 1 blnb e2 e2 要证x > x + ，只需x >lnb+ ， 2 2e2 1 b 2 b ex 2 +e2 2ex 2 e2 b= < 且关于b的函数gb=lnb+ 在b>e4上单调递增， x x b 2 2 2ex 2 e2x 所以只需证x >ln + 2 x >5 ， 2 x 2ex 2 2 2 2ex 2 e2x 只需证lnex 2 -ln - 2 >0， x 2ex 2 2 e2x 只需证lnx- -ln2>0， 2ex e2 4x <4，只需证h(x)=lnx- -ln2在x>5时为正， Q 2 ex 1 1 由于h¢(x)= +4xe-x -4e-x = +4e-xx-1>0，故函数hx 单调递增， x x 20 5 20 4x 又h(5)=ln5- -ln2=ln - >0，故h(x)=lnx- -ln2在x>5时为正， e5 2 e4 ex 从而题中的不等式得证. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以 在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度 进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单 调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合 第22页 | 共23页思想的应用． 第23页 | 共23页