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2023 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题
2+i
z =
1. 设 1+i2 +i5 ，则z=（ ）
A. 1-2i B. 1+2i C. 2-i D. 2+i
【答案】B
【解析】
【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
2+i 2+i
i2+i
2i-1
【详解】由题意可得z = = = = =1-2i，
1+i2 +i5 1-1+i i2 -1
则z = 1 + 2i .
故选：B.
2 设集合U =R，集合M = x x<1 ，N = x -1< x<2 ，则 x x³2 =（ ）
.
A. ð U M U N B. N U ð U M
C. ð U M I N D. M Èð U N
【答案】A
【解析】
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为
x|x³2
即可.
【详解】由题意可得M U N =x|x<2 ，则ð U M U N=x|x³2 ，选项A正确；
ð U M =x|x³1 ，则N U ð U M =x|x>-1 ，选项B错误；
M
I
N =x|-10，则T =π，w= =2，
2 3 6 2 T
π π π
当x= 时， f x 取得最小值，则2× +j=2kπ- ，kÎZ，
6 6 2
5π æ 5πö
则j=2kπ- ，kÎZ，不妨取k =0，则 f x=sin ç 2x- ÷，
6 è 6 ø
æ 5πö æ 5πö 3
则 f - =sin - = ，
ç ÷ ç ÷
è 12ø è 3 ø 2
故选：D.
7. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有
（ ）
A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种
【答案】C
【解析】
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有C1种情况，
6
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A2种，
5
根据分步乘法公式则共有C1×A2 =120种，
6 5
故选：C.
8. 已知圆锥PO的底面半径为 3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，ÐAOB=120°，若
V
PAB的面
9 3
积等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
4
A. p B. 6p C. 3p D. 3 6p
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.
第4页 | 共25页【 详 解 】 在 V AOB中 ， ÐAOB=120o， 而 OA=OB= 3， 取 AC中 点 C， 连 接 OC,PC ， 有
OC ^ AB,PC ^ AB，如图，
3 9 3 1 9 3
∠ABO=30o，OC = ,AB=2BC =3，由
V
PAB的面积为 ，得 ´3´PC = ，
2 4 2 4
3 3 3 3 3
解得PC = ，于是PO= PC2 -OC2 = ( )2 -( )2 = 6 ，
2 2 2
1 1
所以圆锥的体积V = π´OA2´PO= π´( 3)2´ 6 = 6π.
3 3
故选：B
9. 已知 ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，
V
则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
1 2 3 2
A. B. C. D.
5 5 5 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.
【详解】取 AB的中点 E，连接CE,DE，因为 ABC是等腰直角三角形，且 AB为斜边，则有
V
CE^AB，
又△ABD是等边三角形，则DE^AB，从而ÐCED为二面角C-AB-D的平面角，即ÐCED=150o，
第5页 | 共25页显然CEÇDE = E,CE,DE Ì平面CDE，于是AB^平面CDE，又ABÌ平面ABC，
因此平面CDE ^平面ABC，显然平面CDEÇ平面ABC =CE，
直线CDÌ平面CDE，则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，
从而ÐDCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB=2，则CE =1,DE = 3，在 CDE中，由余弦
V
定理得：
3
CD= CE2 +DE2 -2CE×DEcosÐCED = 1+3-2´1´ 3´(- ) = 7，
2
DE CD 3sin150o 3
由正弦定理得 = ，即sinÐDCE = = ，
sinÐDCE sinÐCED 7 2 7
3 5
显然ÐDCE是锐角，cosÐDCE = 1-sin2ÐDCE = 1-( )2 = ，
2 7 2 7
3
所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为 .
5
故选：C
10. 已知等差数列 a 的公差为 2p ，集合S = cosa nÎN* ，若S =a,b ，则ab=（ ）
n 3 n
1
1
A. －1 B. - C. 0 D.
2 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.
2π 2π 2π
【详解】依题意，等差数列{a }中，a =a +(n-1)× = n+(a - )，
n n 1 3 3 1 3
2π 2π
显然函数 y =cos[ n+(a - )]的周期为 3，而 nÎN*，即 cosa 最多 3 个不同取值，又
3 1 3 n
第6页 | 共25页{cosa |nÎN*}={a,b}，
n
则在cosa ,cosa ,cosa 中，cosa =cosa ¹cosa 或cosa ¹cosa =cosa ，
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2π 2π π
于是有cosq=cos(q+ )，即有q+(q+ )=2kπ,kÎZ，解得q=kπ- ,kÎZ，
3 3 3
π π 4π π π 1
所以kÎZ，ab=cos(kπ- )cos[(kπ- )+ ]=-cos(kπ- )coskπ=-cos2kπcos =- .
3 3 3 3 3 2
故选：B
y2
11. 设A，B为双曲线x2- =1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
9
A.
1,1
B.
(-1,2)
C.
1,3
D.
-1,-4
【答案】D
【解析】
【分析】根据点差法分析可得k ×k =9，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；
AB
对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
æ x +x y + y ö
【详解】设Ax ,y ,Bx ,y ，则AB的中点M ç 1 2 , 1 2 ÷，
1 1 2 2 è 2 2 ø
y + y
1 2
y - y y + y
2
可得k = 1 2 ,k = = 1 2 ，
AB x -x x +x x +x
1 2 1 2 1 2
2
ì y2
x2 - 1 =1
ï
ï 1 9 y2 - y2
因为A,B在双曲线上，则í ，两式相减得 x2 -x2 - 1 2 =0，
ï y2 1 2 9
x2 - 2 =1
ïî 2 9
y2 - y2
所以k ×k = 1 2 =9.
AB x2 -x2
1 2
对于选项A： 可得k =1,k =9，则AB: y =9x-8，
AB
ìy =9x-8
ï
联立方程í y2 ，消去y得72x2 -2´72x+73=0，
x2 - =1
ï
î 9
此时D=-2´722
-4´72´73=-288<0，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
第7页 | 共25页9 9 5
对于选项B：可得k =-2,k =- ，则AB: y =- x- ，
AB 2 2 2
ì 9 5
y =- x-
ï
ï 2 2
联立方程í ，消去y得45x2 +2´45x+61=0，
y2
ï x2 - =1
ïî 9
此时D=2´452
-4´45´61=-4´45´16<0，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得k =3,k =3，则AB: y =3x
AB
由双曲线方程可得a =1,b=3，则AB: y =3x为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
9 9 7
对于选项D：k =4,k = ，则AB: y = x- ，
AB 4 4 4
ì 9 7
y = x-
ï
ï 4 4
联立方程í ，消去y得63x2 +126x-193=0，
y2
ï x2 - =1
ïî 9
此时D=1262 +4´63´193>0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
12. 已知 e O的半径为1，直线PA与 e O相切于点A，直线PB与 e O交于B，C两点，D为BC的中
uuur uuur
点，若 PO = 2，则PA×PD的最大值为（ ）
1+ 2 1+2 2
A. B.
2 2
C. 1+ 2 D. 2+ 2
【答案】A
【解析】
uuur uuur
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得 PA×PD
1 2 æ pö uuur uuur 1 2 æ pö uuur uuur
= - sin
ç
2a-
÷
，或PA×PD = + sin
ç
2a+
÷
然后结合三角函数的性质即可确定PA×PD
2 2 è 4ø 2 2 è 4ø
的最大值.
【详解】如图所示， OA =1, OP = 2，则由题意可知:ÐAPO=45o，
第8页 | 共25页由勾股定理可得PA= OP2 -OA2 =1
p
当点A,D位于直线PO异侧时，设ÐOPC =a,0£a£ ，
4
uuur uuur uuur uuur æ pö
则：PA×PD =|PA|×|PD|cos ç a+ ÷
è 4ø
æ pö
=1´ 2cosacos a+
ç ÷
è 4ø
æ 2 2 ö
= 2cosaç cosa- sina÷
ç ÷
2 2
è ø
=cos2a-sinacosa
1+cos2a 1
= - sin2a
2 2
1 2 æ pö
= - sin 2a-
ç ÷
2 2 è 4ø
p p p p
0£a£ ，则- £2a- £
4 4 4 4
π π
uuur uuur
\当2a- =- 时，PA×PD有最大值1.
4 4
p
当点A,D位于直线PO同侧时，设ÐOPC =a,0£a£ ，
4
第9页 | 共25页uuur uuur uuur uuur æ pö
则：PA×PD =|PA|×|PD|cos ç a- ÷
è 4ø
æ pö
=1´ 2cosacos a-
ç ÷
è 4ø
æ 2 2 ö
= 2cosaç cosa+ sina÷
ç ÷
2 2
è ø
=cos2a+sinacosa
1+cos2a 1
= + sin2a
2 2
1 2 æ pö
= + sin 2a+
ç ÷
2 2 è 4ø
p p p p
0£a£ ，则 £2a+ £
4 4 4 2
p p uuur uuur 1+ 2
\当2a+ = 时，PA×PD有最大值 .
4 2 2
uuur uuur 1+ 2
综上可得，PA×PD的最大值为 .
2
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查
了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
二、填空题
13. 已知点A 1, 5 在抛物线C：y2 =2px上，则A到C的准线的距离为______.
9
【答案】
4
【解析】
5
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x=- ，最后利
4
用点的坐标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可.
2
【详解】由题意可得： 5 =2p´1，则2p=5，抛物线的方程为 y2 = 5x ，
5 æ 5ö 9
准线方程为x=- ，点A到C的准线的距离为1- ç - ÷ = .
4 è 4ø 4
9
故答案为： .
4
第10页 | 共25页ìx-3y£-1
ï
14. 若x，y满足约束条件í x+2y£9 ，则z =2x- y的最大值为______.
ï
3x+ y³7
î
【答案】8
【解析】
【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.
【详解】作出可行域如下图所示：
z =2x- y，移项得y =2x-z，
ìx-3y =-1 ìx=5
联立有í ，解得í ，
îx+2y =9 îy =2
设A5,2 ，显然平移直线y =2x使其经过点A，此时截距-z最小，则z最大，
代入得z =8，
故答案为：8.
15. 已知 a 为等比数列，a a a =a a ，a a =-8，则a =______.
n 2 4 5 3 6 9 10 7
【答案】-2
【解析】
【分析】根据等比数列公式对 a a a =a a 化简得 aq =1，联立 a a =-8求出 q3 =-2，最后得
2 4 5 3 6 1 9 10
a =aq×q5 =q5 =-2.
7 1
【详解】设 a 的公比为qq ¹0 ，则a a a =a a =a q×a q，显然a ¹0，
n 2 4 5 3 6 2 5 n
则a =q2，即aq3 =q2，则aq =1，因为a a =-8，则aq8×aq9 =-8，
4 1 1 9 10 1 1
则q15 = q53 =-8=-23 ，则q3 =-2，则a =aq×q5 =q5 =-2，
7 1
故答案为：-2.
第11页 | 共25页16. 设aÎ0,1 ，若函数 f x=ax +1+ax 在 0,+¥ 上单调递增，则a的取值范围是______.
é 5-1 ö
【答案】ê ,1÷
÷
2
ë ø
【解析】
【分析】原问题等价于 f¢x=axlna+1+ax ln1+a³0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，
æ1+a ö x lna
可得ç ÷ ³ - ，由右侧函数的单调性可得实数a的二次不等式，求解二次不等式后可确定实
è a ø ln1+a
数a的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得 f¢x=axlna+1+ax ln1+a³0在区间 0,+¥ 上恒成立，
æ1+a ö x lna
则1+ax ln1+a³-axlna，即ç ÷ ³ - 在区间 0,+¥ 上恒成立，
è a ø ln1+a
0
æ1+aö lna
故ç ÷ =1³- ，而a+1Î1,2 ，故ln1+a>0，
è a ø ln1+a
ìlna+1³-lna ìaa+1³1
5-1
故í 即í ，故 £a<1，
î0b>0的离心率为 ，点A-2,0 在C上.
a2 b2 3
（1）求C的方程；
第16页 | 共25页（2）过点
-2,3
的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段
MN的中点为定点.
y2 x2
【答案】（1） + =1
9 4
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求解a,b,c，进而可得结果；
y + y
（2）设直线PQ的方程，进而可求点M,N 的坐标，结合韦达定理验证 M N 为定值即可.
2
【小问1详解】
ì
ï b=2 ìa=3
ï ï ï
由题意可得ía2 =b2 +c2 ，解得íb=2 ，
ï ï
ï
c 5 îc= 5
e= =
ïî a 3
y2 x2
所以椭圆方程为 + =1.
9 4
【小问2详解】
由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ: y =kx+2+3,Px ,y ,Qx ,y ，
1 1 2 2
ìy =kx+2+3
联立方程 ï íy2 x2 ，消去y得： 4k2 +9 x2 +8k2k+3x+16 k2 +3k =0，
ï + =1
î 9 4
则Δ=64k22k+32 -64 4k2 +9 k2 +3k =-1728k >0，解得k <0，
8k2k+3 16 k2 +3k
可得x +x =- ,x x = ，
1 2 4k2 +9 1 2 4k2 +9
y
因为A-2,0 ，则直线AP: y = 1 x+2 ，
x +2
1
2y
æ 2y ö
令x=0，解得y= 1 ，即Mç0, 1 ÷,
x +2 è x +2ø
1 1
æ 2y ö
同理可得Nç0, 2 ÷，
è x +2ø
2
第17页 | 共25页2y 2y
1 + 2
则 x 1 +2 x 2 +2 = é ë kx 1 +2+3ù û + é ë kx 2 +2+3ù û
2 x +2 x +2
1 2
ékx +2k+3ùx +2+ékx +2k+3ùx +2 2kxx +4k+3x +x +42k+3
= ë 1 û 2 ë 2 û 1 = 1 2 1 2
x +2x +2 xx +2x +x +4
1 2 1 2 1 2
32k k2+3k 8k4k+32k+3
- +42k+3
4k2+9 4k2+9 108
= = =3，
16 k2+3k 16k2k+3 36
- +4
4k2+9 4k2+9
所以线段PQ的中点是定点 0,3 .
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；
也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
æ1 ö
21. 已知函数 f(x)= ç +a ÷ ln(1+x).
è x ø
（1）当a=-1时，求曲线y = f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
æ1ö
（2）是否存在a，b，使得曲线y = f ç ÷关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明
è xø
第18页 | 共25页理由.
（3）若 f x 在 0,+¥ 存在极值，求a的取值范围.
【答案】（1） ln2x+ y-ln2=0；
1 1
（2）存在a = ,b=- 满足题意，理由见解析.
2 2
æ 1ö
（3）ç 0, ÷.
è 2ø
【解析】
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求
解切线方程即可；
(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可
得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的a,b是否正确即可；
(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数gx=ax2 +x-x+1lnx+1
，然后对函数求
1 1
导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a£0，a³ 和00，即函数的定义域为 -¥,-1È0,+¥ ，
x x
1 1
定义域关于直线x=- 对称，由题意可得b=- ，
2 2
第19页 | 共25页æ 1 ö æ 1 öæ 1ö
由对称性可知 f ç - +m ÷ = f ç - -m ÷ç m> ÷，
è 2 ø è 2 øè 2ø
3
取m= 可得 f 1= f -2 ，
2
1 1
即a+1ln2=a-2ln ，则a+1=2-a，解得a= ，
2 2
1 1 1 1
经检验a = ,b=- 满足题意，故a = ,b=- .
2 2 2 2
1 1
即存在a = ,b=- 满足题意.
2 2
【小问3详解】
æ 1 ö æ1 ö 1
由函数的解析式可得 f¢x= ç - ÷ lnx+1+ ç +a ÷ ，
è x2 ø è x ø x+1
由 f x 在区间 0,+¥ 存在极值点，则 f ¢x 在区间 0,+¥ 上存在变号零点;
æ 1 ö æ1 ö 1
令ç - ÷ lnx+1+ ç +a ÷ =0，
è x2 ø è x ø x+1
则-x+1lnx+1+ x+ax2 =0，
令gx=ax2 +x-x+1lnx+1
，
f x 在区间 0,+¥ 存在极值点，等价于gx 在区间 0,+¥ 上存在变号零点，
1
g¢x=2ax-lnx+1,g¢¢x=2a-
x+1
当a£0时，g¢x<0，gx
在区间
0,+¥
上单调递减，
此时gx< g0=0，gx
在区间
0,+¥
上无零点，不合题意;
1 1
当a³ ，2a³1时，由于 <1，所以g''x>0,g¢x 在区间 0,+¥ 上单调递增，
2 x+1
所以g¢x> g¢0=0，gx
在区间
0,+¥ 上单调递增，gx> g0=0，
所以gx
在区间
0,+¥
上无零点，不符合题意；
1 1 1
当00，g¢x 单调递增，
è2a ø
第20页 | 共25页æ 1 ö
故g¢x 的最小值为g¢
ç
-1
÷
=1-2a+ln2a，
è2a ø
-x+1
令mx=1-x+lnx0< x<1 ，则m¢x= >0，
x
函数mx 在定义域内单调递增，mx0 ，则h¢x= ，
x
当xÎ0,1 时，h¢x>0,hx
单调递增，
当xÎ1,+¥ 时，h¢x<0,hx
单调递减，
故hx£h1=0，即lnx£ x2 -x(取等条件为x=1)，
所以g¢x=2ax-lnx+1>2ax-éx+12 -x+1ù =2ax- x2 +x ，
ë û
g¢2a-1>2a2a-1-é2a-12 +2a-1ù =0，且注意到g¢0=0，
ë û
根据零点存在性定理可知:g¢x
在区间
0,+¥
上存在唯一零点x .
0
当xÎ0,x 时，g¢x<0，gx
单调减，
0
当xÎx ,+¥时，g¢x>0，gx 单调递增，
0
所以gx < g0=0.
0
令nx=lnx- 1æ ç x- 1ö ÷，则n¢x= 1 - 1æ ç 1+ 1 ö ÷ = -x-12 £0，
2è xø x 2è x2 ø 2x2
则nx 单调递减，注意到n1=0，
1æ 1ö 1æ 1ö
故当xÎ1,+¥ 时，lnx- ç x- ÷ <0，从而有lnx< ç x- ÷，
2è xø 2è xø
所以gx=ax2 +x-x+1lnx+1
1é 1 ù
>ax2 +x-x+1´ x+1-
ê ú
2ë x+1û
第21页 | 共25页æ 1ö 1
= ç a- ÷ x2 + ，
è 2ø 2
æ 1ö 1 1 æ 1 ö
令ç è a- 2 ÷ ø x2 + 2 =0得x 2 = 1-2a ，所以gç ç è 1-2a ÷ ÷ ø >0，
所以函数gx
在区间
0,+¥
上存在变号零点，符合题意.
æ 1ö
综合上面可知:实数a得取值范围是ç 0, ÷.
è 2ø
【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等
函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利
用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
四、选做题
【选修 4-4】（10分）
22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程
1
æπ πö ìx=2cosa p
为r=2sinq ç £q£ ÷ ，曲线C ：í （a为参数， 0
若直线y = x+m与C ,C 均没有公共点，则m>2 2 或m<0，
1 2
即实数m的取值范围 -¥,0 U 2 2,+¥ .
【选修 4-5】（10分）
23. 已知 f x=2 x + x-2 .
（1）求不等式 f x£6-x的解集；
ìf(x)£ y
（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组í 所确定的平面区域的面积.
îx+ y-6£0
【答案】（1）[-2,2]；
（2）6.
【解析】
【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.
第23页 | 共25页（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.
【小问1详解】
ì3x-2,x>2
ï
依题意， f(x)=íx+2,0£ x£2，
ï
-3x+2,x<0
î
ìx>2 ì0£ x£2 ìx<0
不等式 f(x)£6-x化为：í 或í 或í ，
î3x-2£6-x îx+2£6-x î-3x+2£6-x
ìx>2 ì0£ x£2 ìx<0
解í ，得无解；解í ，得0£ x£2，解í ，得-2£ x<0，因此
î3x-2£6-x îx+2£6-x î-3x+2£6-x
-2£ x£2，
所以原不等式的解集为：[-2,2]
【小问2详解】
ìf(x)£ y
作出不等式组í 表示的平面区域，如图中阴影 ABC，
V
îx+ y-6£0
ìy =-3x+2 ìy = x+2
由í ，解得A(-2,8)，由í , 解得C(2,4)，又B(0,2),D(0,6)，
îx+ y =6 îx+ y =6
1 1
所以 ABC的面积S = |BD|´ x -x = |6-2|´|2-(-2)|=8.
V VABC 2 C A 2
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