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高一年级期中考试数学试题
一单项选择题：本题共
､
8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 与
角的终边相同的最小正角是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意
，则与
角的终边相同的最小正角是
.
2. 已知
，
与
的夹角为
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的夹角坐标公式求解即可.
【详解】因为
，
,所以
，
，
因为
与
的夹角为
，所以
.
3. 已知向量
，
，
，若
与
平行，则
（ ）
A.
B.
C.
D. 1
【答案】B
【解析】
【详解】因为
，
，
则
又因为
与
平行，
所以
，
化简：
，即
，
解得：
.
4. 角
终边过点
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据任意角正余弦函数值的定义求出正余弦值，代入计算即可.
【详解】因为角
终边过点
，所以
，
.
所以
.
故选：A.
5. 已知函数
在
内有且仅有三条对称轴，则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】由
，结合区间内对称轴的个数，得出有关
的不等式，进而求出
的
取值范围.
【详解】解：由正弦函数
的对称轴为
，函数
，
令
，
解得对称轴方程为
，则
，
化简得
，因为
为整数且
，要在区间内有且仅有
条对称轴，
则整数
的取值为
，共
个，因此必须满足
，解得
.
6. 已知向量
均为单位向量，且向量
夹角为
，则
（ ）
A.
B. 1
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算法则及定义，
两边平方后化简即可得解,
【详解】因为
，所以
，
即
，
又因为向量
均为单位向量，且向量
夹角为
，
所以
，即
.
7. 已知锐角
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，若
，
，则
的面积的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由余弦定理求得角
，然后利用三角形面积公式和正弦定理，将面积表示为
的正弦型函数，根
据三角函数的图象性质即可求解．
【详解】由
，
和余弦定理，可得
，
，所以
，
又由正弦定理，可得
，则
，
所以
的面积
，
因为
为锐角三角形，
由
解得
，则
，
，
故
.
8. 已知点
和
是
图象的两个相邻的对称中
心，如图，过原点的直线与
的图象在第一象限的一对相邻的交点分别为
（其中
在
的左
侧），过点
分别作x 轴的垂线，垂足分别为
，若
，且
的面积是
的面积
的9 倍，则（ ）
A.
B.
C. 点B 的坐标
D. 点A 的坐标为
【答案】D
【解析】
【分析】
相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出
；因为
的面积是
的面积的9 倍，可得
，
，
，代入到
中
求解即可.
【详解】由题意得
，所以
，故B 错误；
则
.
因为
的面积是
的面积的9 倍，
所以
，解得
，
所以
，
，
，
所以
，即
，
化简得
，
令
，则
，所以
，
化简得
，解得
，
又
，所以
，即
，所以
.故A 错误；
所以
，所以
.
所以点
的坐标为
，故D 正确；
又
，所以点
的坐标为
，故C 错误.
二､多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知
，
，则
的最小值为6
B. 已知向量
，
，且
与
的夹角为锐角，则
的取值范围是
C. 在
中，若
，则
为钝角三角形
D. 已知
，
，则
在
上的投影向量的坐标为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据向量的数量积运算律即可判断A；根据向量夹角的求解即可判断BC；根据投影向量的计算
即可判断D.
【详解】A，因为
，
当
，
反向共线时等号成立，故A 正确；
B：
，由
与
的夹角为锐角得，
，
所以
，则
.
当
与
共线且同向时，
，解得
，
所以
的取值范围是
，B 不正确；
C，由
可知
的外角为钝角，所以
为锐角，
故不能判断
为钝角三角形，故C 错误；
D：
在
上的投影向量的坐标为：
，故D 正确.
10. 函数
（其中
，
，
）的部分图象如图所示，则下列说法正确
的是（ ）
A. 函数
在
单调递减
B. 函数
图象关于
中心对称
C. 将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象
D. 若
在区间
上的值域为
，则实数a 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB 的正误，利用图像变换可判断C 的
正误，根据正弦函数的性质可判断D 的正误.
【详解】由图象可得
，且
，故
即
，
而
，故
，
因为
，故
，故
，
对于A，当
，
，
而
在
上为减函数，故
在
为减函数，故A 正确.
对于B，
，故
为函数图象的对称轴，故B 错误.
对于C，将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，
故C 正确.
对于D，当
时，
，
因为函数的值域为
，故
，
故
，故D 正确.
故选：ACD.
11. 如图，点B 是线段
的中点，
，点
是平行四边形
内（含边界）的一点，且
，以下结论中正确的是（ ）
A. 当
是线段
的中点时，
B. 当
时，
C. 当
为定值
时，点
的轨迹是一条线段
D.
的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】对于A，当
是线段
的中点时，
，
所以
，所以A 正确.
对于B，当
时，取线段
，线段
的中点，分别记为
，则
平行于
.
延长
与直线
交于点
，则
，
.
所以
，所以
，所以点
的轨迹为线段
.
当点
与
重合时，
.
当点
与
重合时，
.
所以
.所以B 不正确.
对于C，当
为定值2 时，
.
令
，可得
三点共线.
分别取线段
的中点，记为
，所以
，即
.
连接
交
于点
，则
.
所以点
的轨迹是线段
，所以C 正确.
对于D，由于平行四边形
在
的左上方，且
三点共线，所以
.
所以
，所以
，即当
时，
取得最大值
，此时点
与点
重合，
所以D 正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 已知
是两个不共线的向量，向量
共线，则
的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量共线定理建立等量关系，从而求出
的值.
【详解】由向量
共线，根据平面向量共线定理可得
，
化简得：
，
所以
，解得
，
因此
.
13. 如图，一个半径为10 米的水轮按逆时针方向每分钟转4 圈，记水轮上的点
到水面的距离为
（
在
水面下，则
为负数），则
米）与时间（秒）之间满足关系式：
，且当
点从水面上浮现时开始计算时间，则
米)关
于时间（秒）的函数解析式为
________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据
的最大值和最小值求出
，再根据每分钟转4 圈求出周期，从而可求得
和
.
【详解】由图可知
的最大值为15，最小值为
，
所以
，解得
，
因为每分钟转4 圈，所以转一圈需要15 秒，即周期为15，
所以
，得
，
当
时，
，即
，则
，
因为
，则
，
所以
.
14. 已知向量
，
，
，
.若
（其中
表示不超过
的最大整数，如：
，
，则
的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由
，结合取整函数的定义，分类讨论可得到
的取值范围，根据向量模长
公式将
转化为关于
和
的表达式，再结合之前得到
的取值范围求解该表达式的范围.
【详解】因为
，
所以
，
当
时，
，显然不成立；
当
时，
，显然成立，
当
时，
，显然不成立；
当
时，
，显然不成立；
当
时，
，显然不成立；
当
时，
，显然不成立；
当
时，
，显然不成立；
当
时，
，显然不成立；
所以
，
，
，
，
，
因为
，
所以
.
所以
的取值范围为
.
四､解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知
.
（1）若
，且
，求
的值；
（2）若
，且
，求
的坐标.
【答案】（1）
（2）
或
【解析】
【分析】（1）根据向量坐标运算可得
，再结合题意建立关于
的方程并求解；
（2）根据向量共线设
，再结合向量的模的坐标运算求解
即可.
【小问1 详解】
已知
，解得
，
.
由
，代入坐标得：
，
则
，解得：
；
【小问2 详解】
设
（
为实数），
由
，可得：
解得
，即
或
，
所以
或
.
16. 设函数
.
（1）列表并画出
，
的图象；
（2）求函数
在区间
上的值域.
【答案】（1）答案见解析
（2）
.
【解析】
【分析】（1）根据五点作图法画出图象.
（2）化简
的解析式，根据三角函数值域的求法求得正确答案.
【小问1 详解】
列表：
0
x
1
4
7
10
y
0
2
0
0
作图：
【小问2 详解】
由已知
，
由已知
，
∴
，
∴
，
∴函数
在区间
上的值域是
.
17. 已知点
，
，
为坐标原点，函数
（1）求
的解析式及最小正周期
（2）三角形
中，角
所对的边分别为
，
为
的角平分线，
，
.若
，求
的面积
【答案】（1）
，最小正周期为
（2）
或
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积坐标运算、二倍角公式和辅助角公式可化简得到
，根据正弦型函数最
小正周期求法可求得结果；
（2）由
，结合
的范围可求得
或
；当
时，根据余弦定理和勾股定理可证得
，根据角度关系可求得
，进而求得
；当
时，根据正弦定理可求得
，结合两角和差正弦公式和三角形面积公式可求得
.
【小问1 详解】
，
，
，
则
的最小正周期
.
【小问2 详解】
，
，
，
，则
或
，
或
；
当
时，
，
，
，
，
，
，
又
为
的角平分线，
，
，
，
，
；
当
时，
，
，
，
为
的角平分线，
，
在
中，由正弦定理得：
，
，
在
中，由正弦定理得：
，
，
.
综上所述：
的面积为
或
.
18. 在
中，
为
的中点，
在边
上，
交
于
，且
，设
．
（1）用
表示
；
（2）
，求
；
（3）若
在
上，且
设
，若
，求
的范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由
，
三点共线结合平面向量基本定理可得答案；
（2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案.
（3）设
，结合
及（1）可得
，即可
得答案.
【小问1 详解】
因P,R,C 共线，则存在
使
，
则
，整理得
.
由
共线，则存在
使
，
则
，整理得
.
根据平面向量基本定理，有
，
则
.
【小问2 详解】
由（1），
，
，
则
，
，
.
则
，
所以
.
【小问3 详解】
由（1）知
，则
.
由
共线，设
.
又
.
则
.
因
，则
，则
，
所以
.
19. 已知单位圆
与
轴正半轴分别交于
两点，过线段
上一点
作
轴的垂线交单位圆于点
（
在第一象限），延长
至点
，使得
为
的中点，连接
.设
.
（1）若
，求
；
（2）求
取得最大值时
的值；
（3）若
，设
的面积为
，线段
与劣弧
围成的图形面积是
，记
，用定义证明
的单调性并求
的值域.
可用公式：
时，
.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意结合二倍角公式求解即可；
（2）根据题意，先表示出
，令
，则
，可得
，进而根据二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意，先表示出
，利用函数的单调性的定义
证明
在
上单调递增，进而求解即可.
【小问1 详解】
由题意，在
中，易知
，
由
可得
.
【小问2 详解】
在
中，
，由
为
的中点，
可得
，
在
中，
，
所以
，
令
，则
，
所以
，
令
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
取得最大值，此时
，
因此可得
.
【小问3 详解】
梯形
的面积为
，扇形
的面积为
，
所以
，
所以
，
先证当
时，
，由
的面积小于扇形
的面积，即
，所以
，
，且
，
，
因为
，所以
，
所以
，则
，
所以
在
上单调递增，又
，
所以
的值域为
.
