2022 年广西北部湾经济区初中学业水平考试
一、选择题(共12 小题,每小题3 分,共36 分.在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合要求的,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑)
1.(2022 广西北部湾经济区,1,3 分)-1
3的相反数是
( )
A.1
3 B.-1
3
C.3 D.-3
2.(2022 广西北部湾经济区,2,3 分)2022 北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵
感来设计的,展现了运动员不断飞跃,超越自我,奋力拼搏,激励世界的冬残奥精
神.下列的四个图中,能由如图所示的会徽经过平移得到的是( )
A
B
C
D
3.(2022 广西北部湾经济区,3,3 分)空气由多种气体混合而成,为了直观介绍空
气中各成分的百分比,最适合使用的统计图是
( )
A.条形图
B.折线图
C.扇形图
D.直方图
4.(2022 广西北部湾经济区,4,3 分)如图,数轴上的点A 表示的数是-1,则点A 关
于原点对称的点表示的数是( )
A.-2
B.0 C.1 D.2
5.(2022 广西北部湾经济区,5,3 分)不等式2x-4<10 的解集是
( )
A.x<3
B.x<7
C.x>3
D.x>7
6.(2022 广西北部湾经济区,6,3 分)如图,直线a∥b,∠1=55°,则∠2 的度数是
( )
A.35°
B.45°
C.55°
D.125°
7.(2022 广西北部湾经济区,7,3 分)下列事件是必然事件的是
( )
A.三角形内角和是180°
B.端午节赛龙舟,红队获得冠军
C.掷一枚均匀骰子,点数是6 的一面朝上
D.打开电视,正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
8.(2022 广西北部湾经济区,8,3 分)如图,某博物馆大厅电梯的截面图中,AB 的
长为12 米,AB 与AC 的夹角为α,则高BC 是( )
A.12sin α 米
B.12cos α 米
C. 12
sin α 米
D. 12
cosα 米
9.(2022 广西北部湾经济区,9,3 分)下列运算正确的是
( )
A.a+a2=a3
B.a·a2=a3
C.a6÷a2=a3 D.(a-1)3=a3
10.(2022 广西北部湾经济区,10,3 分)《千里江山图》是宋代王希孟的作品,如
图,它的局部画面装裱前是一个长为2.4 米,宽为1.4 米的矩形,装裱后,整幅图画
宽与长的比是8∶13,且四周边衬的宽度相等,则边衬的宽度应是多少米?设边衬
的宽度为x 米,根据题意可列方程
( )
A.1.4 - x
2.4 - x
= 8
13
B.1.4 + x
2.4+ x
= 8
13
C.1.4 -2 x
2.4 -2 x
= 8
13
D.1.4 +2 x
2.4 +2 x
= 8
13
11.(2022 广西北部湾经济区,11,3 分)如图,在△ABC 中,CA=CB=4,∠BAC=α,
将△ABC 绕点A 逆时针旋转2α,得到△AB'C',连接B'C 并延长交AB 于点D,当
B'D⊥AB 时, ´
BB'的长是( )
A.2√3
3
πB.4√3
3
π
C.8√3
9
πD.10√3
9
π
12.(2022 广西北部湾经济区,12,3 分)已知反比例函数y=b
x (b≠0)的图象如图所
示,则一次函数y=cx-a(c≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐
标系中的图象可能是
( )
A
B
C
D
二、填空题(本大题共6 小题,每小题2 分,共12 分)
13.(2022 广西北部湾经济区,13,2 分)化简:√8= .
14.(2022 广西北部湾经济区,14,2 分)当x= 时,分式2 x
x +2的值为零.
15.(2022 广西北部湾经济区,15,2 分)如图,一个质地均匀的正五边形转盘,指针
的位置固定,当转盘自由转动停止后,观察指针指向区域内的数(若指针正好指向
分界线,则重新转一次),这个数是一个奇数的概率是 .
16.(2022 广西北部湾经济区,16,2 分)古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方
法,在金字塔影子的顶部直立一根木杆,借助太阳光测金字塔的高度.如图,木杆
EF 长2 米,它的影长FD 是4 米,同一时刻测得OA 是268 米,则金字塔的高度BO
是 米.
17.(2022 广西北部湾经济区,17,2 分)阅读材料:整体代值是数学中常用的方法.
例如“已知3a-b=2,求代数式6a-2b-1 的值”.可以这样解:6a-2b-1=2(3a-b)
-1=2×2-1=3.根据阅读材料,解决问题:若x=2 是关于x 的一元一次方程ax+b=3
的解,则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b-1 的值是 .
18.(2022 广西北部湾经济区,18,2 分)如图,在正方形ABCD 中,AB=4√2,对角线
AC,BD 相交于点O,点E 是对角线AC 上一点,连接BE,过点E 作EF⊥BE,分别交
CD,BD 于点F,G,连接BF,交AC 于点H,将△EFH 沿EF 翻折,点H 的对应点H'恰
好落在BD 上,得到△EFH'.若点F 为CD 的中点,则△EGH'的周长是 .
三、解答题(本大题共8 小题,共72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤)
19.(2022 广西北部湾经济区,19,6 分)计算:(-1+2)×3+22÷(-4).
20.(2022 广西北部湾经济区,20,6 分)先化简,再求值:(x+y)(x-y)+(xy2-
2xy)÷x,其中x=1,y=1
2.
21.(2022 广西北部湾经济区,21,10 分)如图,在▱ABCD 中,BD 是它的一条对角
线.
(1)求证:△ABD≌△CDB;
(2)尺规作图:作BD 的垂直平分线EF,分别交AD,BC 于点E,F(不写作法,保留作
图痕迹);
(3)连接BE,若∠DBE=25°,求∠AEB 的度数.
22.(2022 广西北部湾经济区,22,10 分)综合与实践
【问题情境】数学活动课上,老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行
分类”的实践活动.
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10 片,通过测量得到这
些树叶的长y(单位:cm),宽x(单位:cm)的数据后,分别计算长宽比,整理数据如
下:
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
芒果树叶
的长宽比3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
荔枝树叶
的长宽比2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9
【实践探究】分析数据如下:
平均数中位数众数
方差
芒果树
叶
的长宽
比
3.74
m
4.0 0.042 4
荔枝树
叶
的长宽
比
1.91
2.0
n
0.066 9
【问题解决】
(1)上述表格中:m= ,n= ;
(2)①A 同学说:“从树叶的长宽比的方差来看,我认为芒果树叶的形状差别大.”
②B 同学说:“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看,我发现荔枝树叶的
长约为宽的两倍.”
上面两位同学的说法中,合理的是 (填序号);
(3)现有一片长11 cm,宽5.6 cm 的树叶,请判断这片树叶更可能来自芒果、荔枝
中的哪种树,并给出你的理由.
23.(2022 广西北部湾经济区,23,10 分)打油茶是广西少数民族特有的一种民俗.
某特产公司近期销售一种盒装油茶,每盒的成本价为50 元,经市场调研发现,该
种油茶的月销售量y(盒)与销售单价x(元)之间的函数图象如图所示.
(1)求y 与x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围;
(2)当销售单价定为多少元时,该种油茶的月销售利润最大?求出最大利润.
24.(2022 广西北部湾经济区,24,10 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,以AC 为直径
作☉O 交BC 于点D,过点D 作DE⊥AB,垂足为E,延长BA 交☉O 于点F.
(1)求证:DE 是☉O 的切线;
(2)若AE
DE =2
3,AF=10,求☉O 的半径.
25.(2022 广西北部湾经济区,25,10 分)已知抛物线y=-x2+2x+3 与x 轴交于A,B
两点(点A 在点B 的左侧).
(1)求点A,点B 的坐标;
(2)如图,过点A 的直线l:y=-x-1 与抛物线的另一个交点为C,点P 为抛物线对称
轴上的一点,连接PA,PC,设点P 的纵坐标为m,当PA=PC 时,求m 的值;
(3)将线段AB 先向右平移1 个单位长度,再向上平移5 个单位长度,得到线段
MN,若抛物线y=a(-x2+2x+3)(a≠0)与线段MN 只有一个交点,请直接写出a 的
取值范围.
26.(2022 广西北部湾经济区,26,10 分)已知∠MON=α,点A,B 分别在射线
OM,ON 上运动,AB=6.
(1)如图①,若α=90°,取AB 中点D,点A,B 运动时,点D 也随之运动,点A,B,D
的对应点分别为A',B',D',连接OD,OD'.判断OD 与OD'有什么数量关系?证明你
的结论;
(2)如图②,若α=60°,以AB 为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,求点O 与
点C 的最大距离;
(3)如图③,若α=45°,当点A,B 运动到什么位置时,△AOB 的面积最大?请说明
理由,并求出△AOB 面积的最大值.
图①
图②
图③
2022 年广西北部湾经济区初中学业水平考试
1.A 只有符号不同的两个数互为相反数,所以-1
3
的相反数是1
3
.
2.D 平移不改变图形的形状、大小、方向.
3.C 条形图易看出各部分的数量,折线图易看出数据的变化趋势,扇形图易看出各部分的百分比.
4.C 互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称,-1 的相反数是1,所以点A 关于原点
对称的点表示的数是1.
5.B 2x-4<10,2x<14,x<7.
6.C ∵a∥b,∴∠1=∠3,
又∵∠2=∠3,∴∠2=∠1=55°.
7.A 在一定条件下,必然会发生的事件为必然事件.
三角形内角和是180°为必然事件.
赛龙舟红队获得冠军,掷骰子点数是6 的一面朝上,打开电视正在播放神舟十四号载人飞船发射
实况都是随机事件.
8.A ∵BC⊥AC,∴∠ACB=90°,
在Rt△ABC 中,sin α=BC
AB
,
∴BC=AB·sin α,
又∵AB=12 米,∴BC=12sin α 米.
9.B a+a2=a+a2,故A 错误;
a·a2=a3,故B 正确;
a6÷a2=a4,故C 错误;
(a-1)3=a-3,故D 错误.故选B.
10.D 它的局部画面装裱后宽为(1.4+2x)m,长为(2.4+2x)m.
∵整幅图画宽与长的比是8∶13,
∴可列方程1.4 +2 x
2.4 +2 x
= 8
13
,故选D.
11.B ∵∠B'AB=2α,∠BAC=α,
∴∠B'AC=∠B'AB-∠BAC=α,
∴∠B'AC=∠BAC,
又∵AB=AB',AC=AC,
∴△ABC≌△AB'C(SAS),
∴∠ABC=∠AB'C,
∵CA=CB,∴∠ABC=∠BAC=α,
∴∠AB'C=α,
在Rt△ADB'中,∠ADB'=90°,
∴∠B'AB+∠AB'C=2α+α=3α=90°,
∴α=30°.
∴∠B'AB=2α=60°,∠BAC=α=30°,
在Rt△ACD 中,∠ADC=90°,
∴AD=AC·cos 30°=4×√3
2
=2√3,
∵AC=BC,CD⊥AB,
∴AD=BD,
∴AB=2AD=4√3,
∴´
BB'的长为60×π ×4√3
180
=4√3
3
π.
12.D 由反比例函数图象可知b>0,对于选项A、B,由二次函数图象可知a<0,抛物线对称轴为
直线x=- b
2a
,当a<0,b>0 时,- b
2a
>0,不符合题意,故A、B 错误;对于选项C,由一次函数图象可
知c>0,则二次函数图象与y 轴的交点(0,c)应在原点上方,不符合题意,故C 错误;对于选项D,
由一次函数图象可知a>0,c<0,当a>0,b>0 时,- b
2a
<0,∴抛物线的对称轴在y 轴左侧,又
∵c<0,∴抛物线与y 轴交点(0,c)在原点下方,符合题意,故选D.
13.答案 2√2
解析 √8=√4×2=√4×√2=2√2.
14.答案 0
解析 ∵2 x
x +2
=0,∴{
2 x =0,
x +2≠0,
∴x=0.
15.答案 3
5
解析 指针指向区域内的数有5 种等可能的情况,分别为1,2,3,4,5,其中有3 种情况为奇数,∴
所求概率为3
5
.
16.答案 134
解析 ∵BO⊥OA,EF⊥OA,
∴∠BOA=∠EFD=90°,由题意知BA∥ED,
∴∠BAO=∠EDF,∴△BOA∽△EFD,∴BO
EF
=OA
FD
,
∴BO
2
=268
4
,∴BO=134 米.
∴金字塔的高度BO 是134 米.
17.答案 14
解析 由题意得2a+b=3,
原式=(2a+b)2+2(2a+b)-1
=32+2×3-1
=9+6-1
=14.
18.答案 √5+5
解析 过点E 作MN∥AD 交AB 于点M,交CD 于点N,
∵四边形ABCD 为正方形,
∴∠BCD=∠ADC=90°,AD=AB,
∵MN∥AD,
∴∠MNF=∠NMB=∠AMN=∠MND=90°,
∴四边形AMND 是矩形,
∴MN=AD=AB,
∵AC 为正方形ABCD 的对角线,∴∠CAB=45°,
∵∠AMN=90°,∴AM=ME=√2
2
AE,
∴EN=MN-ME=AB-AM=BM,
∵EF⊥BE,∴∠BEF=90°,∴∠FEN+∠BEM=90°,
又∵∠BEM+∠EBM=90°,
∴∠EBM=∠FEN,∴△MEB≌△NFE(ASA),
∴BE=EF,
∴△BEF 为等腰直角三角形,∴BE=EF=√2
2
BF,∠EBF=∠EFB=45°,
∵四边形ABCD 是正方形,AB=4√2,∴AB=BC=CD=AD=4√2,CF=FD=1
2
CD=2√2,BD=AC=8,
∴AO=BO=OD=1
2
AC=4.
在Rt△BCF 中,BF=√BC
2+C F
2=√(4√2)
2+(2√2)
2=2√10,∴BE=EF=√2
2
BF=2√5,
由翻折的性质可得△EHF≌△EH'F,
∴∠EFH'=∠EFH=45°,FH=FH',EH=EH',
∴∠HFH'=90°,
∴∠2+∠BFC=90°,
又∠1+∠BFC=90°,
∴∠1=∠2,
∵∠BEF+∠BCF=90°+90°=180°,
∴B、E、F、C 四点共圆,
∴∠3=∠1=∠2,
又∠EFH=∠HCB=∠FDH'=45°,
∴△BCH∽△FDH'∽△EFH,
由△FDH'∽△BCH 可得DF
BC
= DH '
CH
= FH '
BH
,即2√2
4√2
= DH '
CH
= FH '
BH
=FH
BH
,
∴FH'=FH=1
3
BF=2√10
3
,BH=2
3
BF=4√10
3
,CH=2DH',
由△EFH∽△FDH'可得EH
FH '
= EF
DF
= FH
DH '
,即
EH
2√10
3
=2√5
2√2
=
2√10
3
DH '
,
∴EH'=EH=10
3
,DH'=4
3
,
∴CH=2DH'=8
3
,AE=AC-CH-EH=8-8
3
-10
3
=2,
∴EO=AO-AE=4-2=2,
∵∠BEF=∠EOB=90°,
∴∠3+∠BEO=90°,∠3+∠EGO=90°,
∴∠BEO=∠EGO,
∵tan∠BEO=BO
EO
=tan∠EGO= EO
GO
,即4
2
= 2
GO
,
∴GO=1,
∴EG=√EO
2+GO
2=√5,GH'=BD-BO-GO-DH'=8-4-1-4
3
=5
3
,
∴△EGH'的周长为EG+GH'+EH'=√5+5
3
+10
3
=√5+5.
19.解析 原式=1×3+4÷(-4)=3+(-1)=3-1=2.
20.解析 原式=x2-y2+x(y2-2y)÷x
=x2-y2+y2-2y
=x2-2y,
将x=1,y=1
2
代入上式,得原式=12-2×1
2
=0.
21.解析 (1)证明:在▱ABCD 中,ABCD,
∴∠ABD=∠CDB,
在△ABD 和△CDB 中,
{
AB =CD ,
∠ABD =∠CDB ,
BD = DB ,
∴△ABD≌△CDB(SAS).
(2)如图所示,EF 即为所求.
(3)∵EF 垂直平分BD,∴BE=DE,∴∠DBE=∠BDE=25°,∴∠AEB=∠DBE+∠BDE=50°.
22.解析 (1)3.75;2.0.
详解:10 片芒果树叶的长宽比按从小到大的顺序排列为
3.4,3.5,3.6,3.6,3.7,3.8,3.8,4.0,4.0,4.0,所以中位数为第五位和第六位的平均数,故m=
3.7+3.8
2
=3.75.
10 片荔枝树叶的长宽比出现次数最多的为2.0,所以众数n=2.0.
(2)②.
详解:树叶的长宽比的方差越小,数据越稳定,树叶形状差别越小,
因为0.042 4<0.066 9,所以芒果树叶形状差别小,故A 同学的说法不合理.
(3)这片树叶更可能来自荔枝树.
理由:这片树叶的长宽比为11÷5.6≈1.96,
接近荔枝树叶长宽比的平均数、中位数、众数,所以这片树叶更可能来自荔枝树.
23.解析 (1)由函数图象可得,函数图象过(60,200),(80,100)两点,
设y 与x 的函数解析式为y=kx+b,
则{
60k +b=200,
80k +b=100,解得{
k =-5,
b=500,
∴y 与x 的函数解析式为y=-5x+500,
令y=0,则-5x+500=0,∴x=100,
由函数图象可得50<x<100,
∴y=-5x+500(50<x<100).
(2)设该种油茶的月销售利润为w 元,
则w=(x-50)y
=(x-50)(-5x+500)
=-5x2+750x-25 000
=-5(x-75)2+3 125,
∵-5<0,∴二次函数图象开口向下,又50<x<100,
∴当x=75 时,w 取得最大值,最大值为3 125.
∴当销售单价定为75 元时,该种油茶的月销售利润最大,最大利润为3 125 元.
24.解析 (1)证明:连接AD,OD,
∵AC 为☉O 的直径,∴∠ADC=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD 为△ABC 中BC 边上的中线,
∴D 为BC 的中点,
又∵O 为AC 的中点,
∴OD 为△ABC 的中位线,
∴OD∥AB,
∴∠ODE=∠BED,
∵DE⊥AB,∴∠BED=90°,
∴∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,又∵OD 为☉O 的半径,
∴DE 是☉O 的切线.
(2)连接FC,由(1)得BD
BC
=1
2
,
∵DE⊥AB,
∴∠BED=90°,
∵AC 为☉O 的直径,
∴∠AFC=90°,
∴∠BED=∠AFC,
又∵∠B 为公共角,∴△BDE∽△BCF,
∴BE
BF
= DE
CF
=BD
BC
=1
2
,
又∵BF=BE+EF,
∴BE=EF,
∵AE
DE
=2
3
,
∴设AE=2x,则DE=3x,
∴CF=6x,
∵AB=AC,AB=BE+AE=EF+AE,EF=AE+AF,
∴AC=EF+AE=(AE+AF)+AE=2AE+AF,
∵AF=10,∴AC=2×2x+10=4x+10,
在Rt△AFC 中,AF2+CF2=AC2,
∴102+(6x)2=(4x+10)2,
∴x1=0(舍去),x2=4,
∴AC=4x+10=26,∴OA=1
2
AC=13.
故☉O 的半径是13.
25.解析 (1)∵抛物线y=-x2+2x+3 与x 轴交于A,B 两点,
令y=0,则-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,
∴点A 的坐标为(-1,0),点B 的坐标为(3,0).
(2)∵A,C 为直线y=-x-1 与抛物线y=-x2+2x+3 的交点,
联立得{
y =- x -1,
y =- x
2+2 x +3,
∴x2-3x-4=(x-4)(x+1)=0,∵xA=-1,
∴xC=4,代入y=-x-1,得yC=-5,
∴C(4,-5),
∵抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4 的对称轴为直线x=1,
∴P(1,m),
∵PA=PC,∴√(1+1)
2+(m-0)
2=√(1- 4)
2+(m+5)
2,
∴m=-3.
(3)a≤-1 或a=5
4
或a>5
3
.
详解:∵A(-1,0),B(3,0),
∴M(0,5),N(4,5),
当a>0 时,抛物线y=a(-x2+2x+3)=-a(x-1)2+4a 开口向下,
如图,当抛物线的顶点(1,4a)在线段MN 上时,抛物线与线段MN 只有一个交点,
∴4a=5,∴a=5
4
.
如图,当抛物线y=a(-x2+2x+3)恰好过点M(0,5)时,将点M(0,5)代入y=a(-x2+2x+3),解得a=
5
3
,
当抛物线继续向上拉伸时,抛物线与线段MN 只有一个交点,∴a>5
3
.
当a<0 时,抛物线y=a(-x2+2x+3)=-a(x-1)2+4a 开口向上,
如图,当抛物线y=a(-x2+2x+3)恰好过点N(4,5)时,将点N(4,5)代入y=a(-x2+2x+3),解得
a=-1,
当抛物线继续向下拉伸时,抛物线与线段MN 只有一个交点,∴a≤-1.
综上,a 的取值范围为a≤-1 或a=5
4
或a>5
3
.
26.解析 (1)OD=OD'.
证明:∵∠AOB=90°,∠A'OB'=90°,D 为AB 的中点,D'为A'B'的中点,
∴OD=1
2
AB,OD'=1
2
A'B',
∵AB=A'B',
∴OD=OD' .
(2)作△ABO 的外接圆,圆心记为E,连接AE,BE,OE,取AB 中点F,连接EF,FC,OF,
∵∠AOB=60°,
∴∠AEB=120°,
∵F 为弦AB 的中点,
∴EF⊥AB,又AE=BE,
∴∠BEF=∠FEA=1
2
∠AEB=1
2
×120°=60°,
∴OE=BE=
BF
sin ∠FEB
=
1
2 AB
sin60°
=
1
2 ×6
√3
2
=2√3,EF=
BF
tan ∠FEB
= 3
√3
=√3,
∵△ABC 为等腰直角三角形,F 为斜边AB 的中点,
∴FC=1
2
AB=1
2
×6=3,
∴OC≤OF+FC≤OE+EF+FC=2√3+√3+3=3+3√3,
∴当O、E、F、C 四点共线时,OC 有最大值,为3+3√3.∴点O 与点C 的最大距离为3+3√3.
(3)作△AOB 的外接圆,圆心记为Q,取AB 的中点T,连接OT,过点O 作OP⊥AB 于点P,连接
OQ,QT,QA,QB.
∵∠AOB=45°,∴∠AQB=2∠AOB=90°,
∵T 为AB 的中点,
∴QT⊥AB 且BT=AT=1
2
AB=3,
又∵AQ=BQ,
∴∠BQT=∠AQT=1
2
∠AQB=45°,
∴QT=
BT
tan 45°
=3,OQ=QB=
BT
sin 45°
=3√2,
∵OP≤OT≤OQ+QT=3√2+3,
∴当点P 与点T 重合时,OP 取得最大值,为3√2+3,
∴S△AOB的最大值为1
2
AB·OP 最大值=1
2
×6×(3√2+3)=9√2+9.
