2021年广西北部湾经济区初中学业水平考试
35
(满分:120分 考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷
一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1.下列各数是有理数的是( )
A.π B. C. D.0
√2 √33
2.如图是一个几何体的主视图,则该几何体是( )
A B C D
3.如图,小明从A入口进入博物馆参观,参观后可从B,C,D三个出口走出,他恰好从C出口走出的概率是( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 3
4.我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面.经测算,地球跟火星最远距离约400 000 000千米,其中数据400 000 000用科学记数法表示为( )
A.4×109 B.40×107C.4×108 D.0.4×109
5.如图是某市一天的气温随时间变化的情况,下列说法正确的是( )
A.这一天最低温度是-4 ℃ B.这一天12时温度最高
C.最高温比最低温高8 ℃ D.0时至8时气温呈下降趋势
6.下列运算正确的是( )
A.a2·a3=a5 B.(a2)3=a5
C.a6÷a2=a3 D.3a2-2a=a2
7.平面直角坐标系内与点P(3,4)关于原点对称的点的坐标是( )
A.(-3,4) B.(-3,-4) C.(3,-4) D.(4,3)
8.如图,☉O的半径OB为4,CO⊥AB于点D,∠BAC=30°,则OD的长是( )
A. B. C.2 D.3
√2 √39.函数y=2x+1的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”,书中记载:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问:人与车各几何?译文:若3人坐一辆车,则两辆车是空的;若2人坐一辆车,则9人需要步行.问:人与车各多少?设有x辆车,人数为y,根据题意
可列方程为( )
{y=3x-2 {y=3(x-2) {y=3x-2 {y=3(x-2)
A. B. C. D.
y=2x+9 y=2x+9 y=2x-9 y=2x-9
EF
11.如图,矩形纸片ABCD,AD∶AB=√2∶1,点E,F分别在AD,BC上,把纸片如图沿EF折叠,点A,B的对应点分别为A',B',连接AA'并延长交线段CD于点G,则 的值为( )
AG
√2 2 1 √5
A. B. C. D.
2 3 2 3
{a,a≥b,
12.定义一种运算:a*b= 则不等式(2x+1)*(2-x)>3的解集是( )
b,a<b.
1 1
A.x>1或x< B.-1<x<
3 3
1
C.x>1或x<-1D.x> 或x<-1
3
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1
13.要使分式 有意义,则x的取值范围是 .
x-2
14.分解因式:a2-4b2= .
15.如图,从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°,看楼下荷塘D处的俯角为60°,已知楼高AB为30米,则荷塘的宽CD为 米(结果保留根号).
16.为了庆祝中国共产党成立100周年,某校举行“党在我心中”演讲比赛,评委将从演讲内容,演讲能力,演讲效果三个方面给选手打分,各项成绩均按百分制计,然后再按演讲内容占50%,演讲能力占40%,演讲效果占10%,计算选手的综合成绩(百分制),
小婷的三项成绩依次是84,95,90,她的综合成绩是 .
17.如图,从一块边长为2,∠A=120°的菱形铁片上剪出一个扇形,这个扇形在以A为圆心的圆上(阴影部分),且圆弧与BC,CD分别相切于点E,F,将剪下来的扇形围成一个圆锥,则圆锥的底面圆半径是 .
18.如图,已知点A(3,0),B(1,0),两点C(-3,9),D(2,4)在抛物线y=x2上,向左或向右平移抛物线后,C,D的对应点分别为C',D',当四边形ABC'D'的周长最小时,抛物线的解析式为 .三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(本题满分6分)计算:23×( 1 )÷(1-3).
- +1
2
x x
20.(本题满分6分)解分式方程: = +1.
x+1 3x+3
21.(本题满分8分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=∠D,连接AC.
(1)求证:△ABC≌△CDA;
(2)尺规作图:过点C作AB的垂线,垂足为E(不要求写作法,保留作图痕迹);
(3)在(2)的条件下,已知四边形ABCD的面积为20,AB=5,求CE的长.
22.(本题满分8分)某水果公司以10元/kg的成本价新进2 000箱荔枝,每箱质量5 kg,在出售荔枝前,需要去掉损坏的荔枝,现随机抽取20箱,去掉损坏荔枝后称得每箱的质量(单位:kg)如下:
4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7
4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0整理数据:
质量(kg) 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
数量(箱) 2 1 7 a 3 1
分析数据:
平均数 众数 中位数
4.75 b c
(1)直接写出上述表格中a,b,c的值;
(2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势,请根据以上样本数据分析的结果,任意选择其中一个统计量,估算这2 000箱荔枝共损坏了多少千克;
(3)根据(2)中的结果,求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本(结果保留一位小数).
23.(本题满分8分)
【阅读理解】如图①,l∥l,△ABC的面积与△DBC的面积相等吗?为什么?
1 2
解:相等.在△ABC和△DBC中,分别作AE⊥l,DF⊥l,垂足分别为E,F.
2 2
∴∠AEF=∠DFC=90°,
∴AE∥DF.
∵l∥l,
1 2
∴四边形AEFD是平行四边形.
∴AE=DF.
1 1
又S = BC·AE,S = BC·DF,
△ABC
2
△DBC
2
∴S =S .
△ABC △DBC
图①
【类比探究】如图②,在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE,CE=DE,AD=4,连接AE,求△ADE的面积.
解:过点E作EF⊥CD于点F,连接AF.
请将余下的求解步骤补充完整.
【拓展应用】如图③,在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG,点B,C,E在同一直线上,AD=4,连接BD,BF,DF,直接写出△BDF的面积.
图②图③
1 7
24.(本题满分10分)2022年北京冬奥会即将召开,激起了人们对冰雪运动的极大热情,如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为x轴,过跳台终点A作水平线的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,图中的抛物线C :y=- x2+ x+1近
1
12 6
1
似表示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从点O正上方4米处的A点滑出,滑出后沿一段抛物线C :y=- x2+bx+c运动.
2
8
(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时,离水平线的高度为8米,求抛物线C 的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围);
2
(2)在(1)的条件下,当运动员运动的水平距离为多少米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米?
(3)当运动员运动到坡顶正上方,且与坡顶距离超过3米时,求b的取值范围.
25.(本题满分10分)如图①,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BC=14,AD=8,BD=6,点E是AD上一动点(不与点A,D重合),在△ADC内作矩形EFGH,点F在DC上,点G,H在AC上,设DE=x,连接BE.
(1)当矩形EFGH是正方形时,直接写出EF的长;
S
(2)设△ABE的面积为S
1
,矩形EFGH的面积为S
2
,令y=
1
,求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围);
S
2
(3)如图②,点P(a,b)是(2)中得到的函数图象上的任意一点,过点P的直线l分别与x轴正半轴,y轴正半轴交于M,N两点,求△OMN面积的最小值,并说明理由.图①
图②
26.(本题满分10分)如图,已知AD,EF是☉O的直径,AD=6√2,☉O与▱OABC的边AB,OC分别交于点E,M,连接CD并延长,与AF的延长线交于点G,∠AFE=∠OCD.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若GF=1,求cos∠AEF的值;
AB
(3)在(2)的条件下,若∠ABC的平分线BH交CO于点H,连接AH交☉O于点N,求 的值.
NH
35 2021年广西北部湾经济区初中学业水平考试(参考答案)
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D C B C A A B C D B A C
1.D 0是有理数,π,√2,√33这三个数都是无理数,故选D.
2.C A选项的主视图是矩形,B选项的主视图是等腰三角形,C选项的主视图是 ,D选项的主视图是 ,故选C.
1
3.B 博物馆出口有三个,所以从C出口走出的概率为 .故选B.
3
4.C 400 000 000=4×108,故选C.
5.A 从折线图看出,在4时温度最低,为-4 ℃;最高温度的时刻在12时之后;最高温比最低温高12 ℃;0时至8时气温先下降后上升.故选A.
6.A a2·a3=a2+3=a5,故选A.
7.B P(3,4)关于原点对称的点的坐标是(-3,-4),故选B.8.C ∠BOC=2∠BAC=60°,所以OD=OB·cos 60°=2,故选C.
9.D 当x=0时,y=1,图象与y轴的交点是(0,1);当y=0时,解2x+1=0得x=-1,图象与x轴的交点是( 1 ),可知一次函数图象不经过第四象限.故选D.
- ,0
2 2
{y=3(x-2),
10.B 由“若3人坐一辆车,则两辆车是空的”得y=3(x-2);由“若2人坐一辆车,则9人需要步行”得y=2x+9.可列方程组 故选B.
y=2x+9,
11.A 如图,作FM⊥AD,垂足为M,则FM=AB,
∠MFE+∠AEF=90°,∠FME=∠D=90°,
∵点A,A'关于直线EF对称,
∴EF⊥AG,设垂足为H.
∴∠DAG+∠AEH=90°,
∴∠MFE=∠DAG,
EF FM
∴△MFE∽△DAG,∴ = ,
AG AD
EF AB √2
∴ = = .
AG AD 2
故选A.
{2x+1≥2-x,
12.C 由题意,原不等式可转化为Ⅰ.
2x+1>3,
{2x+1<2-x,
Ⅱ. 解Ⅰ得x>1,解Ⅱ得x<-1,所以不等式(2x+1)*(2-x)>3的解集是x>1或x<-1,故选C.
2-x>3.
二、填空题
13.答案 x≠2
1
解析 要使分式 有意义,则x-2≠0,所以x的取值范围是x≠2.
x-2
14.答案 (a+2b)(a-2b)
解析 a2-4b2=a2-(2b)2=(a+2b)(a-2b).
15.答案 (30-10√3)
解析 如图,∵AE∥BC,
∴∠ADB=∠EAD=60°,∠ACB=∠EAC=45°,
AB AB
∴BD= =10√3米,BC= =30米,
tan60° tan45°
∴CD=BC-BD=(30-10√3)米.
16.答案 89
解析 84×50%+95×40%+90×10%=42+38+9=89.
√3
17.答案
3
解析 如图,连接AF,则AF⊥CD,
∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,
∴∠DAB+∠D=180°,即∠D=60°,
∴AF=AD·sin 60°=√3.120×π×√3 2√3π
则圆锥的底面圆周长= = ,
180 3
2√3π √3
底面圆半径为 ÷2π= .
3 3
18.答案 y=( 25) 2
x-
13
解析 如图1,将点A,B沿C'C的方向,平移C'C长度,得到点A',B',连接CD,B'C,A'D,由平行四边形的性质可知四边形ABC'D'的周长等于四边形A'B'CD的周长.
如图2,将点D向左平移2个单位,得到点D(0,4),作点D 关于x轴的对称点D(0,-4),作直线CD 交x轴于点B',将点B'向右平移2个单位,得到点A',连接A'D,B'D ,由平行四边形的性质可知四边形A'B'CD的周长等于CD+A'B'+CD,即CD+AB+CD.因为
1 1 2 2 1 2 2
两点之间线段最短,所以此时四边形A'B'CD的周长最小,即四边形ABC'D'的周长最小.
设直线CD
2
的解析式为y=kx-4,代入点C(-3,9),得9=-3k-4,解得k=-13,所以直线CD
2
的解析式为y=-13x-4.当y=0时,x=-12,所以B'(
-
12
,0
),将点B'向右平移25个单位到点B,所以新的抛物线解析式为y=(
x-
25) 2 .
3 3 13 13 13 13
图1
图2
三、解答题
19.解析 原式=8×1÷(-2)=8×1×( 1)
-
2 2 2
=8×( 1)=-2.
-
4
20.解析 左右两边同乘3(x+1),得3x=x+3(x+1),
3x=x+3x+3,x=-3,
经检验,当x=-3时,3(x+1)≠0,故原方程成立.
所以,原方程的解为x=-3.
21.解析 (1)证明:∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,
在△ABC和△CDA中,{
∠B=∠D,
∠BAC=∠DCA,
AC=CA,
∴△ABC≌△CDA(AAS).
(2)垂线CE如图所示.
(3)由(1)得,△ABC≌△CDA,∴AB=CD,
又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵四边形ABCD的面积为20,AB=5,
∴AB·CE=20,∴5CE=20,解得CE=4.
4.7+4.8
22.解析 (1)由表格可知a=20-(2+1+7+3+1)=6,b=4.7,c= =4.75.
2
(2)取平均数4.75,
则共损坏:2 000×(5-4.75)=500(kg),
答:根据平均数估算这2 000箱荔枝共损坏了500千克.
(3)设该公司出售这批荔枝每千克定为x元.
则有2 000×4.75x≥2 000×5×10,
10
解得x≥10 ,取x≥10.6,
19
答:该公司出售这批荔枝每千克定为10.6元才不亏本.
23.解析 【类比探究】∵△CDE为等腰三角形,EF⊥CD,
1
∴DF=CF= CD=2.又∵EF∥AD,
2
1
∴S = AD·DF=4.
△ADE
2
【拓展应用】连接AC,交BD于点O,连接CF,
∵四边形ABCD、CEFG都是正方形,
∴∠DBC=∠FCE=45°,∴BD∥CF.
1
∵BD=AC=√2AD=4√2,∴OC= AC=2√2,
2
1
∴S = BD·OC=8.
△BDF
2
1 3
24.解析 (1)由题可知抛物线C :y=- x2+bx+c过点(0,4)和(4,8),将两点坐标代入C 中,解得c=4,b= .
2 2
8 2
1 3
∴抛物线的解析式为y=- x2+ x+4.
8 2
(2)设运动员运动的水平距离为m米时,与小山坡的竖直距离为1米.
依题意得,-1m2+3m+4-(
-
1
m2+
7
m+1
)=1,
8 2 12 6
∴(m-12)(m+4)=0,解得m=12,m =-4(舍),
1 2
∴运动员运动的水平距离为12米时,与小山坡的竖直距离为1米.
1 7 1 61
(3)由C :y=- x2+ x+1得,y=- (x-7)2+ ,
1
12 6 12 12∴小山坡坡顶坐标为( 61).
7,
12
1
将(0,4)代入C 得,c=4,则C :y=- x2+bx+4,
2 2
8
1 17
将x=7代入C 得,y=- ×72+7b+4,则y=- +7b,
2
8 8
17 61
依题意得,- +7b- >3,
8 12
245 35
∴7b> ,∴b> .
24 24
25.解析 (1)∵CD=BC-BD=8,∴CD=AD,
∴△ADC是等腰直角三角形,∴∠C=45°,
∵矩形EFGH是正方形,
∴△EDF、△FGC都是等腰直角三角形,
∵DE=x,∴EF=FG=√2x,FC=√2FG=2x,
8 8√2
∴DC=3x=8,得x= ,∴EF= .
3 3
(2)∵四边形EFGH是矩形,
∴EF∥AC,FG⊥AC,
∴∠EFD=∠C=45°,
∴△EDF、△FGC都是等腰直角三角形,
∵DE=x,∴DF=x,EF=√2x,AE=8-x,
√2 √2
∴FC=CD-DF=8-x,FG= FC= (8-x),
2 2
∴S=1AE·BD=3(8-x),S =EF·FG= x·√2(8-x)=x(8-x),∴ S =3,即y=3.
1 2 √2 1
2 2 S x x
2
3
(3)由(2)得点P在y= (x>0)的图象上,
x
设l:y=kx+m(其中k<0),则M( m ),N(0,m),
- ,0
k
若△OMN面积最小,则两个函数图象仅有一个交点,
3
令 =kx+m,得kx2+mx-3=0,
x
则Δ=m2+12k=0,m2=-12k,
∴S
△OMN
=1OM·ON=1(
-
m)·m
2 2 k
1 m2 1 -12k
= · = · =6.
2 -k 2 -k
26.解析 (1)证明:∵四边形OABC是平行四边形,
∴OC∥AB,∴∠OAE=∠DOC,
∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,∴∠DOC=∠OEA,
∵EF是直径,∴∠EAF=90°,
∴∠AFE+∠OEA=90°,
∵∠AFE=∠OCD,∴∠OCD+∠DOC=90°,
∴∠ODC=90°,即OD⊥CD,
∵OD为圆的半径,∴CD是圆O的切线.
(2)如图,连接FD,∵CD是☉O的切线,∴∠G+∠GAD=90°,
∵AD是直径,∴∠ADF+∠GAD=90°,∴∠G=∠ADF,
又∵∠FAD=∠DAG,∴△AFD∽△ADG,
AF AD AF 6√2
∴ = ,∴ = ,
AD AG 6√2 AF+1
∴AF=8或AF=-9(舍),
∴在Rt△AEF中,由勾股定理得AE= =2 ,
√EF2-AF2 √2
AE 2√2 1
∴cos∠AEF= = = .
EF 6√2 3
(3)延长CO交AF于点K,如图,
∵OC∥AB且∠EAF=90°,∴OK⊥AF,
由垂径定理知AK=FK,
1
又由(2)知AE=2√2,∴OK= AE=√2.
2
∵OA=OF,∴∠OAF=∠OFA,
∵∠OAF+∠G=90°,∠OFA+∠AEF=90°,∴∠G=∠AEF,
∴tan G=tan∠AEF,
CK AF CK 8
即 = ,即 = ,解得CK=10√2,
GK AE 5 2√2
∵BH平分∠ABC,且OC∥AB,
∴∠ABH=∠CBH=∠CHB,∴CH=BC=OA=3√2,
∴MH=CK-OK-OM-CH=10√2-√2-3√2-3√2=3√2,
∴在Rt△AHK中,由勾股定理得AH= = ,连接FM,MN,
√H K2+AK2 √114
1 1
∵∠AFM= ∠AOM= ∠ABC,∠AFM+∠ANM=180°,
2 2
∴∠AFM=∠ABH=∠MNH,
∵∠HAB=∠OHA,
AB AH √114 √57
∴△ABH∽△HNM,∴ = = = .
NH MH 3√2 3
