因为OF平分 DOE 所以 DOF EOF ° 23. 【解析】如解图 C E A D 因
模块六 图形与几何 ∠ , ∠ =∠ =45 , ° 由折叠的性质可知 DAC EAD 1 EAC ° 180 ,∠1=∠ +∠ ,∠2=∠ +∠ ,
所以 ∠ FOB +∠ DOC =∠ EOF +∠ BOE +∠ COD =∠ EOF + 80 , ∠ =∠ = 2 ∠ =40 。 为 ∠1+∠2+∠ B =180 ° , 所以 ∠ C +∠ E +∠ A +∠ D +∠ B =
专题 平面图形的认识 ∠ COE +∠ COD =∠ EOF +∠ DOE =45 ° +90 ° =135 ° 。 17. 35 ° 【解析】如解图 , 作出镜面A与镜面B的法线 , 交于 180 ° , 即 ∠ A +∠ B +∠ C +∠ D +∠ E =180 ° 。
31 点O 因为OA OB是法线 所以OA MG OB GN 根据
类型三 三角形的角和边 , , , ⊥ , ⊥ ,
类型一 线段
光反射定理 可知 EAO BAO OBA OBF 因为
, ∠ =∠ ,∠ =∠ ,
1. . 或 . 【解析】 如解图 AC M是AC的中
8.
A
【解析】根据三角形的三边关系
,
可知第三边a的取值
OA MG OB GN 所以 BAG ABG 在
2 5 6 5 (1) ①, =9cm, ⊥ , ⊥ , ∠1=∠ ,∠2=∠ ,
点 AM . AB N 是 AB 中点 AN
范围是
12-9<
a
<9+12,
即
3<
a
<21,
所以三角形的周长C的
AGB中 AGB ° 则 BAG ABG ° 所以
, =9÷2=4 5, =4 cm, , =4÷2=2 △ ,∠ = 110 , ∠ +∠ = 70 ,
cm, MN = AM - AN =4 . 5-2=2 . 5 cm;(2) 如解图 ②, MN = AM 取值范围是 3+12+9< C <21+12+9, 即 24< C <42, 所以三角 ∠1+∠2=70 ° , 因为 ∠1=∠2, 所以 ∠1=35 ° 。 第 题解图
AN . . 形周长可能的值为 23
+ =4 5+2=6 5 cm。 30。 24. 【解析】一副三角板中各个角的度数分别是 ° °
B 30 、60 、
9. . 【解析】三角形的三边长 3 厘米
7 2 :36× =9( ),36× ° ° 选项 ° ° ° 选项 ° ° °
3+4+5 45 、90 。 A :90 +30 =120 ;B :30 +45 =75 ;
选项 ° ° ° 选项 ° ° ° 故选
C :90 +45 =135 ;D :60 +45 =105 , B。
4 厘米 5 厘米 直角边分别长
=12( ),36× =15( )。 25. 【解析】 DCB ° ° ° ACD ° °
3+4+5 3+4+5 108 ∠ =60 -42 =18 ,∠ =45 -18 =
厘米和 厘米 斜边长 厘米 根据三角形的面积公 ° AOC ° ° ° °
第 题解图 9 12 , 15 , 27 ,∠ =180 -45 -27 =108 。
1 26. 解: 【解析】 ABC ACB ° A
式 三角形斜边上的高为 . 厘米 (1)150 90 ∠ +∠ =180 -∠ =
2. . 【解析】图中的线段有 AB AC AD AE BC BD BE , (9×12÷2)×2÷15=7 2( )。 第 题解图
41 6 、 、 、 、 、 、 、 10. 【解析】三角形周长为 由两边之和大于第三边可 17 150 ° ,∠ XBC +∠ XCB =180 ° -∠ X =90 ° 。
CD CE DE 且AE长为 . 厘米 BD长为 厘米 则线段 2 10,
、 、 , 8 9 , 3 , 没有变化
AE上所有线段的长度的总和为AB + AC + AD + AE + BC + BD +
知各边必定小于
5,
则能取的值为
1,2,3,4,
符合三边关 18. 直角 【解析】
180
°
×
5
=90
°
,
这个三角形是直角三 (
因
2
为
)
A °
。
所以 ABC ACB °
系的为 与 共 个 2+3+5 ∠ =30 , ∠ +∠ =150 ,
BE + CD + CE + DE =4 AE +2 BD =41 . 6( 厘米 )。 11. 【解 3 析 ,3 】 , 因 4 为 2 不 ,4 管 ,4 怎 , 么选 2 都 。 不能拼成三角形 所以可 角形 。 因为 ∠ X =90 ° , 所以 ∠ XBC +∠ XCB =90 ° ,
3. 120 或 60 【解析】把绳子对折成线段AB , 已知AP = 1PB , 5 以 5 让两边之和等于第三边 因为木条根数较多 所 , 以可以 19. 60 【解析】如解图 , 连接BC , 由解图知 AB = AC = BC , 所 所以 ∠ ABX +∠ ACX =(∠ ABC -∠ XBC )+(∠ ACB -∠ XCB )=
2 , , 以 ABC为等边三角形 则 BAC ° ABC ACB XBC XCB ° ° °
即PB AP 从P处把绳子剪断 各段绳子中最长的一段 从最小的边开始选起 △ , ∠ =60 。 (∠ +∠ )-(∠ +∠ )=150 -90 =60 。
=2 , , ,1+2=3、2+3=5、3+5=8、5+8=13、 类型四 多边形
为 米 如果A处相连 则AP展开后的长度为 AP PB 所以 根
40 。 , 2 = , 8+13=21、13+21=34、21+34=55、34+55=89, 10
又因为PB段被剪断后 分为相等的两个 PB 所以从 P 处 木条的长度分别为 第二长 27.
, , 1、2、3、5、8、13、21、34、55、89, C
把绳子剪断 , 分为相等的三条线段 , 则绳子的原长为 40× 的木条长 55。 28. 72 【解析】正方形的边长等于长方形的宽 , AE + AB = FB +
EF FG EF EG 厘米 长方形ADHE的周长为 AE
米 如果 B 处相连 这样 PB 段展开后的长度为 12. = + = =16 , ( +
3=120( ); , D 第 题解图
PB 即为最长 则 PB 米 即 个 AP 段是 13. 【解析】等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的 19 AB + BD )×2=(16+20)×2=72( 厘米 )。
2 , , =40÷2=20( ), 2 100 , 20. 等腰三角形 【解析】由 a b b c c a 可知 a b 29. ° 【解析】如解图 连接 BD 因为 BC CD BCD
米 则绳子的原长为 米 则绳子原长为 底角不可能是 ° 所以顶角是 ° ( - )( - )( - )=0 , - = 85 , , = ,∠ =
20 , 40+20=60( ), 100 , 100 。 或b c 或c a 则a b或b c或c a 此三角形一
米或 米 14. 【解析】三角形BDC中 BDC ° ° 所以 0 - =0 - =0, = = = , ° 所以 CBD CDB 1 ° ° ° 以AB
4. 1 解 20 :由题可 60 得 : A A 。 C B=0 . 618, 因为AB =12 . 94cm, 所以AC = AB 4 ∠ 0 B =180 ° -20 ° -90 ° =70 ° , , 在 ∠ 三角形 =9 A 0 BC ,∠ 中 1 , = ∠ 20 B = , 70 ° , 21. 定是 ° 等 【 腰 解 三 析 角 】 形 对 。 折前后的图形 对应线段和对应角分别 为 17 边 0 , 在四边 ∠ 形内部 =∠ 作等边 = △ 2 A × B ( E 1 , 8 连 0 接 -1 C 70 E 、 ) D = E 5 , 则 , AB =
所以 ACB ° ° ° ° ° 150 , BE AE ABE BEA BAE ° 所以 EBD
. . . . 所以 BC AB AC ∠ =70 ,∠2=180 -70 -70 =40 。 相等 在 ADE中 A ADE AED ° 则 ADE = ,∠ =∠ =∠ = 60 , ∠ =
×0 618=12 94×0 618≈8 00(cm), = - = 15. ° 【解析】如解图 连接 BC 因为 BDC ° 所以 。 △ ,∠ +∠ +∠ =180 , ∠ + ABC ABE CBD ° ° ° ° 所以 EBD
. . . 80 , , ∠ =140 , AED ° A ° ° ° 所以 ∠ -∠ -∠ =70 -60 -5 =5 , ∠ =
12 94-8 00=4 94(cm)。 DBC DCB ° ° ° 因为 BGC ° 所以 ∠ =180 -∠ =180 -75 =105 , ∠1+∠2= CBD 又因为BE AB BC 所以 BCE为等腰三角形
答 BC的长度是 . ∠ +∠ =180 -140 =40 , ∠ =110 , ° AED ° ADE ° ∠ , = = , △ 。
: 4 94 cm。 GBC GCB ° ° ° 所以 GBD GCD ° (180 - 2∠ ) + (180 - 2∠ ) = 360 - 2 × 由等腰三角形三线合一可知 BD 垂直平分 CE 所以
∠ +∠ =180 -110 =70 , ∠ +∠ =70 , ,
类型二 角 ° °
° ° 因为BE 是 ABD的平分线 CF 是 ACD的 105 =150 。 CDE为等腰三角形 CD DE 因为 AE AB CD DE
-40 =30 , ∠ , ∠ 22. 【解析】如解图所示 ° ° △ , = , = = = ,
5. B 平分线 , 所以 ∠ ABG +∠ ACG =∠ GBD +∠ GCD =30 ° , 在 108 ,∠4=∠9=60 ,∠7=90 ,∠2= 所以 △ AED 为等腰三角形 , 因为 ∠ BEC =90 ° -∠ EBD =
6. 丙 【解析】α β 都是钝角 所以 ° α ° ° β ABC中 A ° ° ° ° ° 故 A的度数 180 ° -∠8-∠9,∠3=180 ° -∠6-∠7,∠2+∠3=180 ° -∠8 85 ° ,∠ DEC =∠ DCE =90 ° -∠ CDB =85 ° , 所以 ∠ AED =
、 , 90 < <180 ,90 < < △ ,∠ =180 -40 -30 -30 =80 。 ∠ ° ° ° ° AEB BEC DEC ° ° ° °
180 ° , 所以 180 ° < α + β <360 ° , 所以 36 ° < 1 ( α + β )<72 ° , 所以 为 80 ° 。 -∠9 所 +1 以 80 -∠6-∠7,1 ° 80 -∠6-∠8= ° ∠5=180 -∠1- ° 360 -∠ -∠ -∠ = 360 -60 -85 -85 =
5 ∠4, ∠2+∠3=180 -∠9-∠7+180 -∠1-∠4=180 ° 所以 EAD 1 ° AED 1 ° °
计算结果正确的同学是丙 。 +180 ° -60 ° -90 ° -42 ° -60 ° =108 ° 。 130 , ∠ = 2 (180 -∠ )= 2 ×(180 -130 )=
° 所以 BAD BAE EAD ° ° °
7. 解:因为 OD 平分 AOC OE 平分 BOC 所以 AOD 25 , ∠ =∠ +∠ =60 +25 =85 。
∠ , ∠ , ∠ =
COD 1 AOC BOE COE 1 BOC 因为 AOC
∠ = ∠ ,∠ =∠ = ∠ , ∠ + 第 题解图
2 2
15
BOC ° 所以 DOE COD COE 1 AOC 16. ° 【解析】因为在 ABC中 B ° C ° 所以
∠ =180 , ∠ =∠ +∠ = ∠ + 40 △ ,∠ =40 ,∠ =30 ,
2
BAC ° B C ° ° ° ° 因为
∠ =180 -∠ -∠ =180 -40 -30 =110 ,
1 BOC ° 第 题解图 第 题解图
∠ =90 , BAE ° 所以 EAC BAC BAE ° °
2 ∠ =30 , ∠ =∠ -∠ =110 -30 = 22 29
130. 【解析】这个正多边形一个外角的度数是 ° 专题 分类数图形 行四边形组成的平行四边形共 个 由 个小平行四边 15. 【解析】当公共边是 AB 时 如解图 中的 ABC 当
D 180 - 2 ; 4 5 , ① △ 1;
32
° ° ° ° 故选 形组成的平行四边形共 个 共有 个 平 公共边为 BC 时 如解图 中的 A BC 当公共边为 AC
140 =40 ,360 ÷40 =9, D。 类型一 数线段 1 。 4+3+2+1=10( ) , ② △ 1 ;
解题技巧 正多边形的外角有一个特点,所有的外角度 行四边形 。 时 , 如解图 ③ 中的 △ AB 1 C ,△ AB 2 C ,△ AB 3 C 。 所以与
1. ABC面积相等且有一条公共边的格点三角形一共有
数相加是 °,且每一个外角都相等,可以根据此特点算 C △
360
2. 【解析】求票价数相当于求线段数 两市之间停靠 个 个
出这个正多边形的外角的数量,有几个外角就有几条边。 63 , 5 5 。
站点 即一共 个站点 则票价种数
31. 【解析】四边形 截一刀后得到的新多边形可能是三 , 7 , =1+2+3+4+5+6=
D , 种 车票种数 故m n m n
角形 四边形 五边形 所以新多边形的内角和将不变或 21( ), =21×2=42, =21, =42, + =21+ 第 题解图
、 、 , 10
42=63。
增加 °或减少 ° 11. 【解析】由 个图形组成的长方形有 个 由 个图
180 180 。 类型二 数三角形 29 1 10 , 2
32. 【解析】如解图 延长图 中AE到H 由于纸条是长 形组成的长方形有 个 由 个图形组成的长方形有
114 , ② , 5 , 3
3. 个 由 个图形组成的长方形有 个 由 个图形组成
方形 四个角都是直角 所以EH与GF平行 题图 折叠 10 2 , 4 1 , 5
, , , ①
4. 【解析】 个小三角形的有 个 由 个小三角形组成 的长方形有 个 由 个图形组成的长方形有 个 由
成图 即题图 的 DEF HEF ° 再根据折叠的 44 1 16 , 2 2 , 6 3 , 7
②, ① ∠ =∠ =22 ,
的三角形有 个 由 个小三角形组成的三角形有 个 个图形组成的长方形有 个 由 个图形组成的长方形
性质 解图 的 HEF FEG ° 即 AEG ° 16 , 4 8 , 2 , 8
, ② ∠ =∠ =22 , ∠ =180 - 由 个小三角形组成的三角形有 个 图中一共有 有 个 由 个图形组成的长方形有 个 由 个图形组
° ° ° 四边形 ABGE 的内角和是 ° 所以 8 4 , 16+16+ 1 , 9 2 , 10
22 -22 =136 , 360 , 个 三角形 成的长方形有 个 所以一共有
∠
EGB
=360
°
-90
°
-90
°
-136
°
=44
°
,
即
∠
EGF
=180
°
-44
°
5.
8+4=
【
4
解
4(
析】
)
把包含
。
的三角形按三角形组成的个数进 个 长
1
方形
, 10+5+2+1+2+3+2+1+ 第
15
题解图
12 “★” 2+1=29( ) 。
° 三角形 EGF 的内角和是 ° GFE °
=136 。 180 ,∠ =180 - 行分类 由一个三角形组成的有 个 由两个三角 类型四 格点计数 类型五 数立体图形
:(1) 1 ;(2)
° ° ° FGC ° EGF ° ° °
22 -136 =22 ,∠ =180 -∠ =180 -136 =44 , 形组成的有 个 由三个三角形组成的有 个 由
2 ;(3) 1 ;(4) 12. 【解析】如解图 最多能套出 种 16. 【解析】这个图形的体积为 个小正方体的体积
四边形 GFDC 的内角和是 360 ° , 即 ∠ GFD =360 ° -44 ° - 四个三角形组成的有 个 由六个及以上三角形组成 C , 8 。 8 16 8
° ° ° 根据翻折不变性 图 的 GFD 图 的有 个 所以共有 3 个 ;(5) 之和 , 每个小正方体的体积 :1×1×1=1(cm 3 ), 这个图形
90 -90 =136 。 , ② ∠ = ③ 5 , 12 。
的体积 3 观察图形可得 堆成长方体的长
的 GFD ° 所以图 的 EFD GFD GFE 6. 【解析】本题中所有情况的图形如解图所示 则最多有 :1×8=8(cm )。 : 、
∠ =136 , ③ ∠ =∠ -∠ = 11 ,
宽 高最少分别是由 个正方体组成 则一共需要
° ° ° 个三角形 第 题解图 、 4、3、2 , :
136 -22 =114 。 11 。
12 个 正方体 所以最少还需要添加
4×3×2=24( ) , 24-8=
13. 【解析】以 AB 为腰时 以 A 为顶点的等腰三角形有
个 正方体木块
8 ,
16( ) 。
5
个
,
以B为顶点的等腰三角形有
3
个
,
以 AB 为底的符
17. 【解析】 的正方体的体积是 是个奇数 而
18 3×3×3 27, ,
合题意的等腰三角形不存在 综上所述 共有
。 , 5+3= 的体积都是偶数 所以需要搭配 奇
1×1×2,1×2×2 , 1×1×3
个 分别如解图所示
8( ), : 数数量的木块 且是奇数个 拼法分两种情况 块
, , :①4 1×
第 题解图
32 块 块 块 块
2×2+3 1×1×3+1 1×1×2;②5 1×2×2+2 1×1×
第 题解图
33. 或 【解析】原来的多边形可能是四边形 可能是五 6 块 因为需拼成 个 的正方体 且
2、5 9 , 2+1 1×1×3, 10 3×3×3 , 1×
边形 也可能是六边形 原多边形内的对角线条数有 类型三 数四边形 只有 块 因此 其中 个按情况 拼 个按情况
, , 2、5 1×3 14 , , 8 ② ,2
或 条 拼 共需 块
9 。 7. 【解析】图中有 个中正方形 个小正方形和 个大 第 题解图 ① , 2×8+2=18( )。
34. 【解析】设这个多边形的边数为n 则从一个顶点引出
D 5 、4 1 13
18. 【解析】去掉的小正方体个数如解图 至少去掉
6 , 正方形 个中正方形组成 则一共有 个 正 14. 【解析】如解图所示 直角三角形ABM的面积为 分 18 , 4×2+
的对角线条数为 n 已知边数是从一个顶点引出对 (4 ), 5+4+1=10( ) 4 , 4, 个
( -3)。 方形 三种情况 以点B为直角顶点 AB为一条直角边时 可得 1×10=18( )。
。 : , ,
角线条数的 2 倍 , 则n =2( n -3), n =6。 8. 27 【解析】由 2 个三角形构成的平行四边形有 12 个 , 由 4 符合要求的点M 1, M 2; 以点 A为直角顶点 , AB 为一条直
类型五 圆 个三角形构成的平行四边形有 个 由 个三角形构成 角边时 可得符合要求的点 M M 以顶点 M 为直角顶
12 , 8 , 3, 4;
的平行四边形有 个 共 个 点 AB为一条斜边时 符合要求的点M不存在 所以这样
35. 3 , 12+12+3=27( )。 , , , 第 题解图
B 9. 【解析】正六边形里面的梯形的个数有 个 正六边形 的点M有 个 18
36. 【解析】
12 6 , 4 。
19. 解:从上往下分层计数 如解图所示
B 40÷2=20(cm)。 外面 个三角形组成的梯形有 个 个三角形组成的梯 , :
3 4 ,5
37. 【解析】圆的直径为 宽的方向可以剪
2 3×2=6(cm), 6÷ 形有 个 个三角形组成的梯形有 个 正六边形外面的
1 ,8 1 ,
个 长的方向可以剪 个 一共可以剪
6=1( ), 12÷6=2( ), 1× 梯形的个数有 个 一共有 个 梯形
4+1+1=6( ), 6+6=12( ) 。
2=2( 个 )。 10. 【解析】如解图 大平行四边形被分成 个小平行四
10 , 4
38. 不公平 B D B D为圆上的点 距离圆心 篮 边形 由 个小平行四边形组成的平行四边形共 个 由
(1) (2) 、 , ( , 1 4 ;
第 题解图 第 题解图
球筐 距离相等 个小平行四边形组成的平行四边形共 个 由 个小平 14 19
) 2 3 ; 3
2共有小正方体
:13+6+6+13=38(
个
)。
9.
45
.
7
厘米 【解析】根据题意 AB 的长度等于圆的直径 r
=10,
完整钟面的面积是
π
r2
=314(
平方厘米
)。 7. 解:如解图 连接EC S 1S 1
答 这个立体图形由 个小正方体组成 17. 解:能 思考过程 设圆的半径为 r 近似三角形的底由 , , △ BCG= 正方形BCGF= ×30×30=450,
: 38 。 厘米 弧BC的长度是 1 个圆周长 所以橡皮筋的长度为 , : , 4 2 2
易错点拨 本题容易忽略中间两层三个方向都有重合, 5 , ,
6 段圆弧组成 则底为1 r 近似三角形的高由 个圆半 S 1 S 1
会造成漏数,计数时最好画出每层示意图,做到不重不 6 个线段AB的长度与 6 个弧长BC之和即 5×6+3 . 14×5= , 4 ×2π , 4 △ ECG= 2 ×30×16=240, △ ECB= 2 ×30×16=240,
漏。 45 . 7( 厘米 )。 径组成 则高为 r 圆的面积 近似三角形的面积 1 1 所以三角形BGE的面积为 450+240+240=930。
, 4 , = , × 答 三角形BGE的面积为
专题 平面图形的周长 类型二 周长与面积结合 2 4 : 930。
33 ×2π
r
×4
r
=π
r2
。
类型一 周长 10. 【解析】设大正方形的边长为a厘米 小正方形的边长 专题 平面组合图形的
B ,
34
为b厘米 根据题意可得 a b a b
1. , :4 +4 =80, + =80÷4=20①, 面积———常用方法
2.
A a2
-
b2
=80,(
a
+
b
)(
a
-
b
)= 80,
所以 a
-
b
=80÷20=4②。
5 可得 a 则a 则b 方法一 基本公式
3. 【解析】阴影部分的周长 原长方形周长 ①+② :2 =24, =24÷2=12, =20-12=8,12×
100
厘米
= =(30+20)×2
12+8×8=144+64=208(
平方厘米
)。 1. 【解析】因为平行四边形的面积公式是底 高 所以这 第 题解图
4. 3 = 或 100 7 ( 【解 ) 析 。 】设腰长为 2 x , 底边长为 y , 则 { 2 x + x + y x = = 6 9或 11. 2 厘 0 米 【 ) 解 , 则 析 大 】 正 正 方 方 形 形 的 面 边 积 长 = 边 为 长 10 × 厘 边 米 长 , , 而 10 大 ×1 正 0 方 =1 形 00 的 ( 平 边 方 长 B 四 就 个 是 数 此 里 平 当 行 其 四 中 边 两 形 个 的 数 面 相 积 乘 , 即 等于 20 另 ×7 外 = 两 4× 个 35 数 = 相 × 14 乘 0( , 时 平 , 方 乘积 厘 8. 解 形 : A 直 ED 角梯 三 形 角形 AB F C C D D 的 和 面 四 积 边 7 为 形 (9 E + B 1 F 2 D )× 的 8÷ 面 2 积 =8 均 4, 为 所以三角
{ x x {x {x 恰好是小长方形的长 、 宽之和 , 小长方形的周长 =( 长 + 米 故选 、 84÷3=
2 + =6 解得 =3或 =2 因为 所以两 ), B。 直角梯形EBCD的面积为 所以EB
x + y =9 , y =3 y =7 , 3+6>6,4+4>7, 宽 )×2, 所以小长方形的周长为 10×2=20( 厘米 )。 2. 24 平方厘米 【解析】如果只把长增加 2 厘米 , 那么增加的 28, 28×2=56, =56×2÷
组解均
或
符合条件
则 ,
所
底
以
边
这
长
个
为
等腰
或
三角形的三条边长分别为
12. 36 【解析】如解图 , 连接OA 、 OB 、 OC , 则S △ AOB= 2 1AB ×3;
是
平
一
方
个
厘
以
米
原来
则
的
原
宽
来
为
长
长
方 、 形 2
厘
的
米
宽
为
为
宽的小长方
厘
形
米 ,
其
如
面
果
积是
只 8-9=5,
在直角三角形 FCD 中
,
FC
=28×2÷9=
5
9
6
,
所以
6,6,3 4,4,7, 3 7。 8 , 8÷2=4( );
5. 解:由题图 知 大长方形的长是 a b 所以大长方 S 1 BC S 1 AC S S S 把宽增加 厘米 那么增加的是一个以原来的长为长 厘
BF
=8-
56
=
16
,
所以直角三角形EBF的面积为1
×5×
16
=
② , ( +2 )cm, △ BOC= ×3; △ AOC = ×3; △ ABC = △ AOB+ △ BOC+ 2 , 、2 9 9 2 9
形的宽是 a b 在题图 中 将阴影区域的边平 2 2 米为宽的小长方形 其面积是 平方厘米 则原来长方形
( +2 -6)cm。 ① , , 12 ,
40 故三角形DEF的面积为 40 212
移 , 可知阴影区域的周长等于大长方形的周长 。 S △ AOC=54, 即1 ×( AB + BC + AC )×3=54, AB + BC + AC =36, 的长为 12÷2=6( 厘米 ), 所以这个长方形纸板原来的面积 9 , 28- 9 = 9 。
2
在题图 中 将阴影区域的边平移 可知阴影区域的周长 为 平方厘米
② , , 所以三角形ABC的周长为 6×4=24( )。 答 三角形DEF的面积为212
比大长方形的周长少 b a b a 36。 3. . 【解析】设大正方形的边长为a厘米 圆的半径 : 。
2×[2 -( +2 -6- )]=12(cm)。 15 7 10 , 9
答 图 中阴影区域的周长大 大 a a 方法二 整体减空白
: ① , 12 cm。 为 厘米 则a2 平方厘米 圆的面积 . 2
6. 【解析】假设起点到终点的距离为 d 三条路线中圆弧 , =20 , =3 14×( ) =
D
的 直径 ( 或直径的和 ) 都相等 , 所以圆弧的
,
长也相等 。 15 .
2
7( 平方厘米 ); 圆的直径是小正方形的对角线 , 小
2
正方 9. A 【解析】设长方形的长为a , 宽为b , 则 3 个空白直角三
7. 3 . 83 【解析】外道的起点在内道起点前面的距离为两条 形的面积 = a2 ÷2, 因为a2 =20 平方厘米 , 所以小正方形的 角形的两直角边分别为 1 a和 1 b 、 1 a和b 、 1 b和a , 阴
第 题解图 面积是 平方厘米 2 2 2 2
半圆弧的弧长差 1 R r 1 R r . 12 20÷2=10( )。
:
2
×(2π -2π )=
2
×2π×( - )=3 14×
13. 【解析】中间阴影部分正方形的边长是长方形的长减
4.
25
.
12
【解析】设两个圆的半径为r
,
由图可得
:
阴影部分 影部分的面积是ab
-
1a
×
1 b
×
1
-
1 a
×
b
×
1
-
1 b
×
a
×
1
. . 米 48 的面积 r r r2 所以一个圆的面积 . 2 2 2 2 2 2 2
1 22≈3 83( )。 去长方形的宽 大正方形的边长是长方形的长加长方形 = ×2 ÷2= =8, =3 14×8=
8. 【解析】阴影部分是由 段相同的弧组成的 所以关 , . 2 3ab 阴影部分面积是长方形的3 ab ab 3
314 4 , 的宽 阴影部分的面积是 正方形 ABCD 的面积减去四 25 12(m )。 = , ÷ = 。
键是求每一段弧所对的圆心角的度数 如解图 连接 FI 。 : 8 8 8
FC EC EJ 则 ECF 即为所求 正八边 , 形的一 , 个内角为 , 个长方形面积和的一半 , 即 20-32÷2=4( 平方厘米 ), 所 5. 67 . 5 【解析】由题得 S △ DCB=10×6× 2 1 =30, 所以 S △ DCE= 10. 5 【解析】将大正方形的边长看作单位 则直角三
, , , ∠ ,
°
以大正方形EFGH的面积是
:32+4=36(
平方厘米
),
因为
30-6=24, 则CE =24×2÷10=4 . 8, BF =6×2÷4 . 8=2 . 5, 所 9
“1”,
135 ° , 由正八边形的对称性可知 ,∠ CIF = 13 2 5 , 又因为FC = 正方形的面积是边长 × 边长 , 所以大正方形的边长是 6 厘 以S 四边形ABCD=(10+10+2 . 5)×6÷2=67 . 5。 角形的两条直角边长分别为 1 = 1 , 2 = 2 。 阴影部
° 米 即 长方形的长 长方形的宽 厘米 所以四个长 6. 解:正五边形每个角 ° ° 1+2 3 1+2 3
CI 所以 CFI CIF 135 ° 所以 FCI ° , : + =6( ), :180 ×(5-2)÷5=108
, ∠ +∠ =2× =135 , ∠ =180 - 方形的周长和是 厘米 ° ° 分的面积为 1 2 5 阴影部分的面积占大
2 :6×2×4=48( )。 如解图 这只羊能吃到草的面积为 2 360 -108 1×1- × ÷2×4= ,
° ° 同理可得 JCE ° 所以 ECF ° 14. , 3×7 × ° +3×(7 3 3 9
135 =45 。 ∠ =45 , ∠ =135 -2× A 360
15. 平方厘米 厘米 【解析】圆的半径为 . ° ° ° ° 正方形面积的5 5
° ° 阴影部分的弧长为 45 . 942 157 125 6÷ 2 180 -108 2 180 -108 . ÷(1×1)= 。
45 =45 。 4× 180 ×π×100=3 14×100= . 厘米 圆的面积 长方形的面积 . -3) × 360 ° ×2+3×(7-3-3) × 360 ° ×2=123 3 9 9
厘米 3 14÷2=20( ), = = 3 14× 平方米 11. . 【解析】阴影部分的面积 以AB 为直径的半圆的
314( )。 2 平方厘米 所以阴影部分的面积为 ( ) 6 28 = 1
20 =1256( ), 1256× 答 这只羊能吃到草的草地面积可达 . 平方米 面积 扇形 B AB 的面积 以 AB 为直径的半圆的面积
: 123 3 。 + 1 - =
3 平方厘米 长方形的长为 . 厘米
4 =942( ), 1256÷20=62 8( ), 3 . 14×(4÷2) 2 ÷2+ 45 ×3 . 14×4 2 -3 . 14×(4÷2) 2 ÷2=6 . 28
阴影部分的上部分长为 . . 厘米 所以阴影 360
62 8-20=42 8( ), 平方厘米
( )。
部分的周长 : 1 ×125 . 6+62 . 8+42 . 8+20=157( 厘米 )。 12. 24-4 . 5π 【解析】如解图 , 取半圆圆心为 0, 连接 OA , 过
4
点O作OD AC于点D 则OB OD r 所以 r r
第 题解图 16. 【解析】设钟面的半径为r 则 1 r r . 解得 第 题解图 ⊥ , = = , 6× ÷2+10×
8 314 , 2 π +2 =35 7, 6 ÷2=6×8÷2, 解得r =3, 阴影部分的面积是 6×8÷2-π×3 2 ÷
3. 方法三 等积转化 22. 解:如解图 两个长方形的面积和为 平方 27. . 【解析】如解图所示进行割补 图中阴影面积 长
2=24-4 5π。 , 8×6+4×12=96( 3 44 , =
方形面积的一半 圆的面积
16. 【解析】因为面积P 面积Q 所以图中长方形的面积 厘米 ), S 甲=4×8× 1 =16( 平方厘米 ), S 乙=6×12× 1 =36 - ,4×2=8(cm),4÷2=2(cm),
C = , 2 2 . 2 . 2
8×4÷2-3 14×2 =3 44(cm )。
平方厘米 S 平方厘米
等于两个1 圆的面积之和 长方形的面积为 1 2 ( ), 阴影=96-16-36=44( )。
, ×π×1 ×2
答 阴影部分的面积是 平方厘米
4 4
: 44 。
π XY的长度为π π
= , ÷1= 。
2 2 2
第 题解图 17. . 【解析】如解图 由AC是圆的直径及AD BC 可知
12 78 5 , ∥ , 第 题解图
S S 所以平行四边形面积 S S S 27
13. 解:如解图 , 图中所有三角形均为等腰直角三角形 。 ③= ④, =2×( ②+ ④)= 2×( ①+ 第 题解图 28. 【解析】如解图所示 将原图进行割补 阴影部分的面
S S S 圆的面积 所以平行四边形面积为 22 45 , ,
CF CO 厘米 DE DF 厘米 BC AC 厘米 ④)=2×( ①+ ③)= ,
DC = DF = C 2 F , = 厘米 =7 DB B , C D = C =10 厘米 3 . 14×(10÷2) 2 =78 . 5( 平方厘米 )。 23. π r2 积等于正方形 ABCD 面积的 1 。 则 S 阴影= 1 S 正方形ABCD=
= - =7-2=5( ), = - =10-5=5( ) 5 5
2
DH = DB =5 厘米 , EH = DE - DH =7-5=2( 厘米 ) 24. ab 【解析】如解图 , 从对角线与扇形弧线的交点向下作 1 平方米
S △ EHG=2×(2÷2)÷2=1( 平方厘米 ) 垂线段 , 把左上角的阴影部分沿对角线翻折 , 两块阴影部 5 ×(15×15)=45( )。
梯形EDCO的面积 . 平方厘米 分刚好拼成右下角的长方形 拼成的长方形的长为 b 宽
:(2+7)×5÷2=22 5( ) , ,
阴影部分的面积 . . 平方厘米 第 题解图 为a 所以阴影部分的面积为ab
:22 5-1=21 5( ) 17 , 。
答 阴影部分的面积为 . 平方厘米 18. . 【解析】由题可知 S S 而S S
: 21 5 。 32 5 , △ ABC= △ DEF, 梯形ABEH+ △ HEC=
S S S S 所以S S
△
ABC, 阴影+
△
HEC=
△
DEF, 阴影= 梯形ABEH=(8-3+8)×
.
5÷2=32 5。
19. 【解析】由题意得 S S S S 所以 第 题解图
400 甲+ 空白部分 = 乙+ 空白部分, 28
S 扇形EAF= S △ ABC=10×10× 1 =50( 平方厘米 ),∠ A =45 ° , 所 第 24 题解图 29. 解:如解图 , S 阴影= 1S 正方形= 1 ×8×8=32。
2 25. . 【解析】如解图所示 设圆心为O 连接EO 因为 2 2
128 5 , , , 答 阴影部分面积为
第 题解图 以S 圆=50÷ 45 =400( 平方厘米 )。 ∠ EBF =∠ FBD =30 ° , BA平分 ∠ FBD , 可知阴影部分ABD的 : 32。
13 360
14. 解:由题图可知 扇形EAD的半径为 扇形EBF的半 20. 解:如解图 , 连接IC , FC , BF , 由正方形的对角线易知点F
面积等于空白部分ABF的面积
,
所以阴影部分的面积等于
, 2 cm, 扇形AOE的面积加上三角形EOB的面积 因为圆的直径
在对角线BD上 因为IC BD 所以 IC DF 由等积变形 。
径为 扇形FCG的半径为 扇形 , ∥ , ∥ ,
2+2=4(cm), 4+2=6(cm),
可得 三角形DFI的面积 三角形DFC的面积
AB
=20
厘米
,
所以圆的半径为
20÷2=10(
厘米
),
可得扇形
GDH的半径为 : = =10×(10-
6+2=8(cm)
每个弓形的面积都等于所在的1 圆的面积减去所在的1 6)× 1 =20。 AOE的面积是圆O面积的1 4 , 即 10×10×3 . 14÷4=78 . 5( 平方 第 29 题解图
2
厘米 三角形EOB的面积是 平方厘米 所以 30. 解:如解图所示 图中弓形旋转后阴影部分的面积 扇形
4 4 答 三角形DFI的面积为 ), 10×10÷2=50( ), , =
圆内的等腰直角三角形的面积 则 个弓形的面积之和 : 20。 阴影部分的面积是 . . 平方厘米
, 4 78 5+50=128 5( )。 的面积 其它两块同理 所以阴影部分的面积 60
, , = ×
为 1 . 2 1 1 . 2 1 1 360
( 4 ×3 14×2 -2×2× 2 )+( 4 ×3 14×4 -4×4× 2 )+( 4 3 . 14×2 2 ×3=6 . 28( 平方厘米 )。
答 阴影部分的面积是 . 平方厘米
. 2 1 1 . 2 1 : 6 28 。
×3 14×6 -6×6× )+( ×3 14×8 -8×8× )
2 4 2
=34 . 2(cm 2 ) 第 20 题解图
答 图中 个弓形面积之和是 . 平方厘米 方法四 割补法
: 4 34 2 。 第 题解图
15. 解:因为在 ABC中 ACB是直角 AB 厘米 ABC
25
△ ,∠ , =10 ,∠ = 21. 解:如解图 中间阴影部分切割平移 把阴影面积转化为
° BC 厘米 , , 26. 解:如解图割补 则阴影部分的面积是半径 的 1 圆
60 , =5 。 圆的面积减去正方形的面积 , 4 cm 4 第 30 题解图
将 ABC以点B为中心顺时针旋转 ° 使点C旋转到 。
AB
△
延长线上的点D处
120 , 圆的面积
:π×2
2
=4π,
的面积
-
梯形BCEF的面积
,4÷2=2(cm),3
.
14×4
2
×
1
-
方法五 平移、旋转法
。 正方形的面积 4
所
由题
以
图
△
可
AB
知
C与
S
△ BD
S
E面积相
S
等 ,∠
S
ABE =∠
S
CBD =1
S
20 ° 阴影部分面积 :
=
(
4
2
π
+
-
2
8
)
。
×(2+2)÷2=8, (
答
2
:
+
阴
4)
影
×2
部
÷
分
2=
的
6 .
面
56
积
(c
是
m 2
6
)
.
。
56 cm 2 。
31. 960
米
【解
宽
析
为
】利用平移法
米
可知
的
,
长
草
方
坪
形
是一
那
个
么
长
种
为
植
4
草
2-
坪
2
的
=
: 阴影= 扇形ABE+ △ BDE- △ ABC- 扇形CBD= 扇形ABE- 答 阴影部分面积为 40( ), 25-1=24( ) ,
: 4π-8。
面积为 平方米
S 扇形CBD= 120 ×3 . 14×10 2 - 120 ×3 . 14×5 2 =78 . 5( 平方厘米 ) 32. 旋转 4 . 0×24 【 = 解 96 析 0( 】通过旋 ) 转 。 图 右边的扇形可得到图
360 360 5 13 ①
或者 . 2 2 . 平方厘米 染色部分的面积 半圆面积 个正方形的面积 如解
:3 14×(10 -5 )÷3=78 5( ) ③; = -2 ,
答 AC边扫过的图形 即阴影部分 的面积是 . 平方 图所示 把两个正方形平均分为两份 则三角形AOB是直
: ( ) 78 5 , ,
第 题解图 第 题解图
厘米 角三角形 两个正方形的面积 个三角形AOB的面积
。 21 26 , =2 =
4平方厘米 半圆的面积 . 2 38. 【解析】如解图 连接AF 在正方形AEFG中 EAF
2×3×3÷2=9( )。 =3 14×3 ÷2= 5 , , ,∠ = 2 50 2 50 125 . 平方厘米 又因为 S 1S S 1S 即 S 3 1
. 平方厘米 所以涂色部分的面积 . ° DAE ° 所以 FAD ° 所以 A B F 在同一 6 × +π×8 × -8×5= π-40≈3 6( )。 2 - 1- 2- 3=8, 2 - -3- =8,
14 13( ), =14 13-9= 45 ,∠ =45 , ∠ =90 , 、 、 360 360 9 2 2 2 2
5 . 13( 平方厘米 )。 条
EO
直
F
线
的
上
面
。
积
根据
三
容
角
斥
形
原
BC
理
F
:
的
三
面
角
积
形 B
三
O
角
C
形
的面
BE
积
F
-
的
三
面
角
积
形
43.
答
解
:
:
图
大
中
圆
阴
的
影
半
部
径
分的面积为
厘米
3 . 6 平方厘米 。 解得S = 1
2
3 。
= - , :4÷2=2( )
过点E作EH垂直AF交AF于点H 在正方形AEFG中 小半圆的半径 厘米 答 S的值为13
, : :4÷2÷2=1( ) : 。
FH AH EH AF 正方形AEFG面积 三角形AEF 大圆的面积 . . 平方厘米 2
第 题解图 2 =2 =2 = , =2× 个小半圆的 :2 面 ×2 积 ×3 14=1 . 2 56( . 平方 ) 厘米 方法七 做辅助线
32 的面积 1 AF EH 1 EH EH 所以EH 2 :1×1×3 14=3 14( )
33. 解:如解图进行变换后 阴影部分的面积为 =2× × × =2× ×2× × =18, = 三角形的面积 平方厘米 48. 【解析】连接AC 如解图 四边形AFCE的面积 三角
, 7×4÷2= 2 2 :4×4÷2=8( ) 16 , , =
2 则AF 由于正方形ABCD的面积为 则AB BC 阴影部分的面积 . . . 平方厘米 形AFC 的面积 三角形 AEC 的面积
14(cm )。 3, =6, 16, = = :12 56+3 14-8=7 7( ) + =2×6÷2+5×4÷2
答 阴影部分的面积是 2 答 阴影部分的面积为 . 平方厘米
: 14 cm 。 三角形BCF 的面积 三角形 BEF 的面积 1 : 7 7 =16。
4。 - = ×(6+
2
44. 解:设AO a 则a2 1 阴影部分的面积为 a2 1
= , = , π -1= π-
1 2 2
4)×4- ×(6+4)×3=5。
2
1 . .
1= ×3 14-1=0 57。
2
答 阴影部分的面积为 .
: 0 57。 第 题解图
45. 解:如解图 长方形面积 大扇形的面积 48
第
33
题解图 ,①+③= ,②+③= -
49. . 【解析】如解图 延长CB CD 分别交直线AE于点
小扇形的面积 大扇形的面积 小扇形的面积 长 29 5 , , ,
34. 解: ,②-①= - - F 点G 过点A向BF作垂线 垂足为H 由题知 AED
12×12=144。 , , , , ,∠ =
答 : 四边形的面积是 144。 方形面积 = 1 ×3 . 14×8 2 - 1 ×3 . 14×3 2 -8×(8-3)= 135 ° , 则 ∠ DEG =180 ° -135 ° =45 ° , 又因为 ∠ EDG =90 ° , 故
35. 解:如解图 将 OAB 绕着点 O 逆时针旋转 ° 到达 第 题解图
4 4
三角形 DEG 为等腰直角三角形 G ° 在三角形
, △ 90 , 38 . 平方厘米 ,∠ =45 。
3 175( )。
△ OCF的位置 , 由于 ∠ ABC = 90 ° ,∠ AOC = 90 ° , 所以 39. 15 【解析】根据题意得 , S 矩形ABCD=6×8=48( 平方厘米 ), 答 涂色部分 和涂色部分 的面积相差 . 平方厘米 CFG中 ,∠ G =45 ° ,∠ C =90 ° , 故三角形CFG 为等腰直角
∠ OAB +∠ OCB =180 ° , 而 ∠ OCF =∠ OAB , 所以 ∠ OCF + 由四边形的一半模型可知 , S △ HBC=48÷2÷2=12( 平方厘 : ② ① 3 175 。 三角形 , 再根据 ∠ F =45 ° ,∠ BAF =90 ° , 可知三角形 ABF
∠ OCB =180 ° , 那么B , C , F三点在一条直线上 , 由于OB = 米 ), S △ BDC= S △ BEC= S △ ABC=48÷2=24( 平方厘米 )。 S △ BDC- 为等腰直角三角形 , 则CF = CG = CD + DG = CD + DE =7+2=
OF BOF AOC ° 所以 BOF 是等腰直角三角
,∠ =∠ =90 , △ S
△
BGC= S
△
BEC- S
△
BGC, 即S
△
DGC= S
△
BEG; S
△
ABC- S
△
BFC= S
△
BEC-
9,
故BF
=
CF
-
BC
=9-3=6,
AH
=
1 BF
=3,
故S
五边形ABCDE=
形 , 且斜边 BF 为 5+3=8, 所以 S △ BOF =8×4× 1 =16, S △ BFC, 即 S △ ABF = S △ FCE。 所以 S 阴影部分 = S △ BEC - S △ HBC + S S S 2 .
2 S 四边形EFHG=24-12+3=15( 平方厘米 )。 △ CFG- △ DEG- △ ABF=9×9÷2-2×2÷2-6×3÷2=29 5。
OBC的面积为 5 40. 【解析】如解图 三角形的面积 圆形的面积
△ 16× =10。 10 , + =50+
8
平方厘米 又因为三张纸板盖住的总面积也是
答 OBC的面积为 50=100( ); 第 题解图
:△ 10。 45
平方厘米 包括正方形的面积 由此可得A的面积
100 ( ), = 46. 解:如解图 将各部分进行命名 S
B的面积 又因为阴影部分的总面积是 平方厘米 所 , 。 扇形ABC =①+②+③;
; 30 ,
S S S
以用 减去 就是 A B 部分的面积和 然后再除以 扇形ABD=②+③+④, 正方形ABCD=①+②+③+④+⑤, 扇形ABC+
50 30 、 ; 2
S S 所以 S S
就是A的面积 即 平方厘米 扇形ABD- 正方形ABCD=②+③-⑤, ③-⑤= 扇形ABC+ 扇形ABD
。 (50-30)÷2=10( )。
- S 正方形ABCD-②=3 . 14×300 2 ÷4+3 . 14×300 2 ÷4-300×300- 第 题解图
49
. 2 平方厘米
3 14×(300÷2) ÷2=15975( )。 50. . 【解析】如解图 过点G作DA边上的高 与DA的延
第 题解图 答 两块阴影部分的面积差是 平方厘米 7 5 , ,
35 : 15975 。 长线交于点 H 因为 EAB BAG BAG GAH
。 ∠ +∠ =∠ +∠ =
方法六 容斥原理求面积 ° 所以 EAB GAH 正方形 AEFG 的面积是
90 , ∠ = ∠ 。
2 所以AE AG 所以可将三角形AHG看作由
36. 【解析】盖住桌面的部分等于两个正方形的面积减去 第 题解图 25 cm , = =5cm,
64 40 三角形ABE旋转得到的 BE2 AE2 AB2
阴影部分的面积 , 两个正方形盖住桌面的面积为 7×7+5× 41. 5 . 83 cm 2 【解析】S 平行四边形ABCD=10×4=40(cm 2 ), S 扇形EAB= BE HG 。 所以 = 三角 - 形AD = G 2 的 5- 面 16 积 = 为 9,9=
3×3, =3 cm, =3 cm, 5×
37. 3 5 . - 8 2 5 × 5 【 = 解 64 析 。 】大半圆半径为 4÷2=2(cm), 小半圆半径为 π×10 2 × 3 3 6 0 0 = 2 3 5 π(cm 2 ), S 扇形DAM=π×8 2 × 3 3 6 0 0 = 1 3 6 π(cm 2 ), 第 题解图 3÷2=7 . 5(cm 2 )。
S S S S S 46
2÷2=1(cm), 1
2
×3 . 14×2 2 +
2
1 ×3 . 14×1 2 =7 . 85(cm 2 ), 直
阴影
S
=(2 扇
S
形EAB- 平
S
行四边形ABCD)-( 平行
2
四
5
边形AB
1
CD
6
-2 扇形DAM)=
47. 解:由题意可得 4 S -7=4 S - S 1- S 2- S 3, 则S 1+ S 2+ S 3=7①,
2( 扇形EAB+ 扇形DAM- 平行四边形ABCD)= ( π+ π-40)×2=
角三角形ABC面积为1 ×4×2=4(cm 2 ), 阴影部分面积之 3 3 再由S 3= 1S 1= 1S 2 可得S 1= S 2=3 S 3②,
2 41 82 . 2 3 3
和 两个半圆面积和 三角形面积 . ( π-40)×2= π-80≈5 83(cm )。 将 代入 得 S S S 解得S
= - = 7 85 - 4 = 3 3 ② ①, 3 3+3 3+ 3=7, 3=1,
3 . 85(cm 2 )。 42. 解:阴影部分的面积为 S 扇形DAE+ S 扇形DCF- S 平行四边形ABCD=π× 所以S 1= S 2=3。 第 50 题解图
551. 解:如解图 延长BA GH交于点O BG a 在 EDH中 ED a DH b b 在
, , , 55. 【解析】设BC x厘米 则CD 75 x 厘米 根据题 = +2; △ , =10- , =10-3- =7- ; 高为14 6 8 面积为AB 8 平方厘米
280 = , =( - ) , HGC中 HC b GC a a 所以S S AB-CD=AB, ×AB=8( )。
2 △ , =3+ , =10-2- =8- ; △ AEF+ △ FBG
答 平行四边形ABCD的面积为 平方厘米
意得 x 75 x 解得x 平行四边形ABCD的 S S 1 a b b a a b : 8 。
14 =( 2 - )×16, =20, + △ EDH+ △ HGC= 2 [ ×(10- )+ ×( +2)+(10- )×(7- ) 方法九 巧分图形
面积为 平方厘米 b a 平方厘米 所以四边形EFGH面
56. 解:如解
20
图
×1
,
4
连
=2
接
80(
AE , BE , C
)
E
。
, 则 S △ ABC = S △ AEC+ S △ ABE 积
+(
为
3+
1
)
0×
×
1
(
0
8
-
-
47
)
=
]
5
=
3
4
(
7
平
(
方厘米 )。
), 64.
8 大 三
【
角
解
形
析】
平
如
均
解
分
图
成 ,
添加
个
辅
面
助
积
线
相 , 等
可
的
将
等
正
底
方
等
形的
高
一
的
半
三 ( 角
一
形
个
第 题解图 + S △ BEC, 61. 解:如解图 , 根据题意 , 等腰直角三角形ABC绕点C顺时 ) 8 ,
51 针旋转 度后的三角形为三角形DAC 阴影部分面积占正方形一半面积的 2 所以阴影部分的
所以1 AB BC 1 AC ED 1 AB EF 1 BC EH 90 , ,
因为EF =4, 并且D是EF的中点 , 2 × × = 2 × × + 2 × × + 2 × × , 因为AB边在旋转时所扫过的面积为 BE FD 弧 EF 弧 8
、 、 、
所以DF = ED =4÷2=2, 即 7×24=25×1 . 76+7× EF +24× EH , BAD所围成的图形面积 面积为 8×8÷2× 2 =8( 平方厘米 )。
,
所以AE AD ED 整理得 EF EH 8
易得四边 = 形A - EHO = 是 6- 正 2= 方 4 形 , 因为四边 7× 形E + F 2 B 4 H × 是正 =1 方 24 形 , 所以EF EH 所以AB 边在旋转时所扫过的面积 = S 半圆- S △ CBE- S △ CFD
, , = , - S 扇形ECF,
则BO GO 则 EF 所以EF 厘米
=6+4=10, =4+4=8, 31× =124, =4( ), . a2
所以正方形EFBH的面积为 平方厘米 设AC BC a 则 AB a BE CE 2a 则3 14×
所以阴影部分的总面积为 1 4×4=16( )。 = = , = 2 , = = , -
8×10× -4×4=24。 答 正方形EFBH的面积为 平方厘米 2 2
2 : 16 。
答 阴影部分的总面积是 . 2a 2 第 题解图
: 24。 3 14×( ) 64
52. 解:D是BC的中点 所以BD DC E是AB的三等分点 1a2 2 . 解得a2 5652
, = 。 , - =14 13, = , 65. 【解析】将图形分割如解图 等腰直角三角形
2 4 271 9 ∶ 8 , 1、2
所以AB BE 如解图所示 连接AD
=3 , , 。
所以原来等腰直角三角形的面积为1 5652 2826 平方 的面积都是小正方形乙的 1 等腰直角三角形 的面积
× = ( , 5
S 阴影= 3 1S △ ABD= 3 1 × 2 1S △ ABC= 6 1S △ ABC, 第 56 题解图 厘米 2 271 271 2
57. 【解析】设大圆的半径为R 小圆的半径r 则阴影部分 )。 是正方形乙的1 若设正方形乙面积为 则大三角形的
S S S 5S 50π , , , 1,
空白=
△
ABC-
△
BED=
6 △
ABC,
的面积
=
1
×
R2
-
1
×
r2
=25(
平方厘米
),
则
(
R2
-
r2
)=50,
圆
答
:
原来等腰直角三角形的面积为2
2
8
7
2
1
6平方厘米
。
面积是 1
4
1 1 9 正方形乙的面积占大三角形的
1 S 5S 1 5 1 2 2 1+ + + = ,
△ ABC÷ △ ABC= ÷ = 。 环的面积 R2 r2 R2 r2 平方厘米 2 2 4 4
6 6 6 6 5 =π× -π× =π( - )=50π( )。
答 : 阴影部分面积是空白部分面积的1 。 58. 16 【解析】设AB = x cm, AD = y cm, 所以xy =48, S 三角形EFG=
4
9 ;
等腰直角三角形
3、4
的面积都是小正方形甲的 1
2 ,
正
5
S 长方形ABCD- S 梯形AEGD- S 三角形EBF- S 三角形FCG = xy - 1 ×( 1 x + 方形甲的面积占大三角形的 1
,
那么正方形甲和正方形
2 4 第 题解图 2
61
1x y 1 3x 1y 1 1x 2y 2 乙的面积比为1 4
)× - × × - × × =16(cm )。 62. 解:设上底长为 a 下底长为 a 三角形 AOD的高为 h ∶ =9 ∶ 8。
2 2 4 3 2 2 3 2 , 3 , , 2 9
59. 【解析】如解图 连接CF BG 设S x 因为CD 三角形BCO的高为x
92 , , , △ CGD= 。 = 。
第 题解图
52 BE 1BC 所以DE CD BE 所以S x S 由题意可列方程 a h a x 解得x 4h
= , =2 =2 , △ DEG=2 , △ BEG= (2 × ) ∶ (3 × )=10∶ 12, = ,
53. 解:如解图 , 延长 FG 交 BC 于点 H , 1 圆的面积为 2 2 × x 所以 4 S x x x 所以 S 5
4 , △ DEF = 24+3 -(22+ )= 2+2 , △ EBF = 所以梯形的高为h 4 h 9 h 又因为三角形AOD面积
+ = 。
. 1 . 平方厘米 阴影部分的面积为 1S x 所以S S x 所以S S 5 5 第 题解图
3 14× =3 14( ), 2×4+ △ EDF= +1, △ CDF= △ BEF= +1, △ CGF= △ DGF+ 65
4 2 为 可得1 a h
. . 平方厘米 S S x x 所以 S S 10, ×2 × =10, 66. 解:如解图 将正六边形分成六个面积为 平方厘米的正
3 14-(4+2)×2÷2=5 14( )。 △ CGD- △ DCF =22+ -( +1)= 21, △ BFG = △ EGF+ 2 , 1
答 图中阴影部分的面积为 . 平方厘米 S S x x 因为 AF BF 所以 S 三角形 再取它们各边的中点将每个正三角形分为 个
: 5 14 。 S S △ △ △ B B AB E F C F G - = = 2 2 △ S 5 B △ , EG A 所 F = C= 2 以 4 9 + 2 S 。 △ + AF 1 C - = S = △ 2 A 5 FG , + S △ CGF = = 25+ , 21=46, △ 所 AFG 以 = 所 所 45( 以 以 平 阴 a 方 h 影 = 厘 1 部 0 米 , 分 梯 ), 的 形 面 面 积 积 为 为 (2 a +3 a )× 5 9h ÷2 平 = 方 2 9 厘 ah 米 = 2 9 ×10= 小 三 米 正 角 三 形 三 , 角 , 角 每 形 形 个 , M 于 小 N 是 正 P 正 由 三 六 角 边 个 形 形 小 的 正 A 面 B 三 C 积 D 角 是 E 形 F 6 组 被 ÷2 成 分 4 成 =0 了 . 2 2 5 4 ( 平 个 方 小 4 正 厘
45-10-12=23( )。 ), 9 ,
答 阴影部分的面积是 平方厘米 所以三角形MNP的面积 . . 平方厘米
: 23 。 =0 25×9=2 25( )。
63. 解: PAB以AB为底时 高为7×2 14
答
:
三角形MNP的面积是
2
.
25
平方厘米
。
△ , AB =AB;
第 题解图
53
PCD以CD为底时 高为3×2 6
方法八 结合方程 △ , CD =CD。
第 题解图
59 因为AB CD
54. 【解析】正方形周长之比等于边长之比 设正方形甲 = ,
32 , 、 60. 53 【解析】设BM长为a , CN长为b ( a >0, b >0), FB = b , 所以平行四边形ABCD以AB为底时
乙 丙的边长分别为 a a a 由丙区域面积为 可得 ,
、 4 ,5 ,7 ; 48 : AE a 所以在 AEF 中 AF b AE a 在 FBG 中
49
a2
-25
a2
=48,
解得a2
=2,
所以甲的面积是
16
a2
=32。
= , △ , =10- ; = , △ , 第
66
题解图
6专题 平面组合图形的面 6. 解:如解图 连接AO AC 易得A O E三点共线 根据底高 9. 【解析】如解图所示 过点H分别作HM CD于点 M 11. 【解析】 厘米 即长方形的长 三角形的高
, , , , , , 6 , ⊥ , A 40÷5=8( ), 、 、
35
模型 得 S S S S S S S HN AD于点N 过点G分别作GO BC于点O GQ AB 平行四边形的高以及圆的直径都是 厘米 三角形的面
积———常用模型 , △ BOD= △ AOD, 阴影= △ BOD+ △ DOE= △ AOD+ △ DOE= ⊥ , ⊥ , ⊥ 8 ,
S 根据底高模型 得 S S 所以 S S 于点Q 设BE a 因为正方形 ABCD 中 CE BE DF 积为 平方厘米 平行四边形的面积为
模型一 底高模型 △ ADE, , △ ADE= △ ACD, 阴影= △ ACD= 。 = , , =2 , = 10×8÷2=40( ), 4×8
CF 所以CE DF a CF BE a AB BC CD DA a 平方厘米 圆的面积为 . 2 . 平
1AD DC 1 . 平方厘米 2 , = =2 , = = , = = = =3 , =32( ), 3 14×(8÷2) =50 24(
1. × = ×13×13=84 5( )。 方厘米 说法都正确
2.
C
C 【解析】因为点 E 是线段 AD 的中点 , 所以 S △ ABE = 答
2
: 阴影部分
2
的面积是 84 . 5 平方厘米 。
所以S
正方形ABCD=3
a
×3
a
=9
a2
,
S
△ ADF= 2
1 AD
×
DF
= 2
1
×3
a
×2
a
12. 24 【
)
解
。
析
①
】
②
因
③
为 D 是边
。
AB 的中点 , 所以 S △ BCD =
S △ BDE= 2 1S △ ABD, S △ ACE= S △ CDE= 2 1S △ ACD, 则S △ BCE= 2 1 S △ ABC= =3 a2 , S △ ABE= 2 1AB × BE = 2 1 ×3 a × a = 2 3 a2 。 因为 BD 是正 2 1S △ ABC, 又因为 E AC C = 3 1 , 所以 S △ BCE = 3 1 S △ ABC, S 阴影差 =
方形ABCD的对角线 即BD是正方形ABCD的对称轴 所
2 1 ×12=6, 因为点F为CE的中点 , 所以S △ BEF= 2 1 S △ BCE= 以HM = HN , GO = GQ , , 所以 S △ ADH ∶ S △ DFH = AD ∶ DF , = S △ BCD- S △ BCE= 2 1 S △ ABC- 3 1 S △ ABC= 6 1 S △ ABC=4, 所以 S △ ABC
a a S S AB BE a a 因为
1 ×6=3。 第 题解图 3 ∶ 2 =3 ∶ 2, △ ABG ∶ △ BEG= ∶ =3 ∶ =3 ∶ 1。 =24。
2 6 S S S S S S 所以 S
3. 3 A 角 3 O . 形 B 5 , A 三 O 【 角 B 解 形 的 析 面 O 】 B 如 积 C 是 解 , 三 甲 图 角 的 , 形 连 面 接 A 积 OC O 的 B 三 一 , 部 将 半 分 阴 三 。 影 角 根 部 据 形 分 底 分 OB 高 成 C 模 三 的 型 角 面 , 形 三 积 7. 解 S △ : AB ( E 1 + ) 因 S △ 为 ACE AE = = E S △ D B , D 所 E + 以 S S △ △ C A D B E E , = 即 S △ BD S E 四 , S 边 △ 形 A A C B E EC = S = △ C S DE △ , B 所 EC 以 = 5 2 △ A S D △ F A = DF= △ A 5 2 DH × + 3 a2 △ = DFH 5 6 , a2 △ , A S BE △ B = EG= △ A 4 1 BG S + △ AB △ E B = EG 4 1 , × 2 3 a2 = △ D 8 3 FH a = 2 。 13. S 2 7 △ 4 B DE 【 = 解 1 析 S △ 】 A 如 BE, 解 S △ 图 AD , C 连 = 接 1 S A △ E A , BC C , D 又 , 因 因 为 为 B AD E = = 2 1 1B AB C , , 所 所 以 以
是丁的面积的一半 , 三角形 AOC 的面 , 积是乙的面积的一 2 1S △ ABC= 2 1 。 因为S △ BCD= 2 1S 正方形ABCD= 2 1 ×9 a2 = 2 9 a2 , 所以S 五边形ECFHG= S 2 1 S S 2 2 S 所以 S 3 1 1
半 将甲 乙 丁的面积加起来就是阴影部分的面积的 △ ABE= △ ABC, △ AEC = △ ABC, △ BDE = × ×
倍 , , 所以阴 、 影 、 三角形的面积是 (12+22+33)÷2=33 . 5。 2 答 : 三角形BEC的面积是1 2 ; S a △ BCD- 正 S 方 △ DF 形 H- A S B △ C BE D G= 的 2 9 边 a 长 2 - 是 5 6a2 a - 8 3 a2 = 1 4 1 0 7a2 =11 . 7, 解得 S △ ABC= 1 3 S △ ABC。 因为CF 3 = 1 AC , 所以 S △ ADF= 3 2 S △ AD 3 C=
根据底高模型可得 AF BF S S 1 =2, 3 =3×2=6。 6 4 4
(2) , ∶ = △ ACF ∶ △ BCF =( -
2 3 1 S 3 S S 1 S 1 2 S
× △ ABC= △ ABC, △ EFC= △ AEC= × × △ ABC=
4 2 8 4 4 3
1 1 1 故S 1 1
10 ) ∶ ( 2 + 10 )=2 ∶ 3, △ AEF= 10 ÷3×2= 15 。 1S 所以S 1 3 1 S 7 S 又
△ ABC, △ DEF=(1- - - )× △ ABC= △ ABC,
6 6 8 6 24
答 三角形AEF的面积是1
: 。
第 3 题解图 8. 解:如解图 设 AE 交 BG 1 于 5 点 P AD 交 BG 于点 N 连接 第 题解图 因为S △ DEF=1, 所以S △ ABC=1÷ 2 7 4 = 2 7 4 。
4. 【解析】如解图 连接FC CI DF和CI都是正方形的 , , , 9
96 , , 。
CP CN 点D E是BC边的三等分点 点F G是AC边的三
对角线上的线段 所以DF和 CI平行 所以三角形DFI与 , , , , , 10. 解:如解图 连接BE 由于AE BD 把 ABD作等积变
, , ①, , ∥ , △
三角形DFC是等底等高的三角形 即面积相等 所以S 等分点 所以S S 1S 换 变成 BDE 此时 BDE 以 DE 为底边 以 BG 为高
, , △ DFI= , △ AEC= △ BCG= △ ABC, , △ , △ , ,
3 且面积是 此时 BDE ADE DEC有相同的底边
S △ DFC= 2 1DC · CE = 2 1 ×24×(24-16)=96。 ì ï ï x +3 y = 1 ×84 DE , 由于四 75 边 , 形AB , C △ D是等 ,△ 腰梯形 , , △ 第 题解图
设S △ PCE= x , S △ PCG= y , 则í ï
ï x y
3
1
, 如解图 ② 所示 , 分别过点 A , D 作与 BC 垂直的垂线
14. 【解析】因为 D 为
1
B
3
C 的中点 所以 S S
î3 + = ×84 AH DG 224 , △ BDE= △ CDE,
3 , 。
解得x y 即S 易得BH GC AD HG S S 1S 又因为 BE 1 AB 所以 S
+ =14, 四边形PECG=14。 = , = , △ ACD= △ ABD= △ ABC, = , △ BCE=
设S a S b 则S a S b 因此BG BH HG GC AD 2 4
△ BDN= , △ CGN= , △ NDC=2 , △ NGA=2 , = + = + ,
第 4 题解图
ì
ï ï3 a + b = 1 ×84
在
可
等
得
式
BG
两边
DE
同时乘
G
以
C
D
A
E
D ÷2, DE 4
1S
△
ABC, S
△
BDE=
4
1 S
△
ABD=
8
1S
△
ABC, 所以S
△
ADE=
2
1 S
△
ABC-
5. 解 △ : F 如 OD 解 和 图 △ , F 设 OC A 是 C 同 与 底 E 等 F 高 的 的 交 三 点 角 为 形 O , 则 , 连 面 接 积相 FB 等 和 , S 阴 F 影 C = , 则 î í ï ï 2 a +3 b = 3 3 2 ×84 , 解得a =4, b =16。 用 而 乘 S 法分 × 配 B 律 G ÷2 得 = D B ( E G × D + E S ÷ ) 2 × = GC ÷ C × 2 G D , E ÷ D 2 E + AD × D S E ÷2, AD 8 1S △ ABC = 8 3 S △ ABC, 又因为 EF ∶ CF = S △ ADE ∶ S △ ACD =
S 形 △ , AF 所 O+ 以 S △ 这 FOD 两 = 个 S △ 三 AFC 角 ,△ 形 A 面 FC 积 和 相 △ 等 A , F 所 B 是 以 同 S 阴 底 影部 等 分 高 = 的 S △ 三 AFC 角 = 故 S 阴影部分 = S △ BCG - S △ BDN - S 四边形PECG = 3 1 × 84-4-14= D 因 E 此 ÷ △ 2 所 B , D 求 E = 的三 × 角形 ÷ AE 2 D , 的 △ D 面 EC 积 = 就是 × 75- ÷ 45 2 = , 3 △ 0。 AED = × 3 8 3 ∶ S 4 △ , AB 因 C 为 ∶ 1 2 S △ S D △ E A F BC = = 12 3 平 ∶ 4 方 , 所 厘 以 米 , S 所 △ DE 以 F ∶ S S △ △ CD D E CF = = 1 E 2 F ÷3 ∶ × C ( F 3 = +
S 答 △ AF 阴 B= 影 2 1 部 S 分 长方 的 形A 面 BEF 积 = 是 30÷2= 平 1 方 5( 厘 平 米 方厘米 )。 答 10 : ( 阴 cm 影 2 ) 部 。 分的面积是 10cm 2 。 答 : 三角形AED的面积是 30。 厘 4) 米 =2 ) 8 , ( 所 平 以 方 S 厘 △ A 米 BC ) = , 5 所 6× 以 4= S 2 △ 2 B 4 CE ( = 平 2 方 S △ 厘 CDE 米 = ) 2 。 8×2=56( 平方
: 15 。
15. 解:因为BD 1DC 则BD DC S 2 S
= , ∶ =1 ∶ 2, △ ACD= △ ABC=
2 1+2
2 因为AF 1 FD 则AF FD S
×36=24。 = , ∶ =1 ∶ 2, △ CDF=
3 2
第 5 题解图 第 8 题解图 第 10 题解图 2 S △ ACD= 2 ×24=16。 因为 CE = 1 EF , 则 CE ∶ EF =
1+2 3 2
725. 【解析】根据蝴蝶模型可知 S S S 形FGED的面积占 份 梯形BCED的面积占 份 梯形
1 ∶ 2, S △ DEF= 1+ 2 2 S △ CDF= 3 2 ×16= 3 3 2 。 形ABCD面积的 1- 2 1 - 2 7 0 = 2 3 0 , 梯形ABCD的面积是 15÷ 6 , △ AOB× △ COD = △ AOD× BCED各部分面积 9 梯形 , FGED各部分面积所对 36 应的 , 份数
S 所以S 2 平方千米 所以陆地面 、
答 三角形DEF的面积是32 3 2 △ BOC, △ AOB=1×2÷3= 3 ( ), 如解图
: 。 =100(cm )。 :
3 20
积 2 2 平方千米
16. 解:因为S S 所以CD AD 又因 =1+2+3+ - =6( )。
△ CGD ∶ △ AGD=1 ∶ 2, ∶ =1 ∶ 2, 3 3
为AC =48, 所以 CD =48÷(1+2)×1=16。 因为 S △ BEH ∶ 26. 50 【解析】设左下角长方形面积为 S , 由蝴蝶模型可得
S △ CEH=1 ∶ 1, 所以 BE ∶ CE =1 ∶ 1, 又因为 BC =40, 所以 120 ∶ 90= S ∶ 75, 解得S =100, 阴影部分面积为其一半 , 即
BE CE 因为 S S 所以
= =40÷2=20。 △ ACG ∶ △ ABC =1 ∶ 2, 100÷2=50。
AG AB 又因为AB 所以AG 因
∶ =1 ∶ 2, =60, =60÷2=30。 第 题解图 27. 720 【解析】如解图 , 连接AE , EF , 因为BE ∶ EC =2 ∶ 3, 第 题解图
为S S 所以AF AG 又因为AG 20 29
△ ADF ∶ △ ADG=1 ∶ 2, ∶ =1 ∶ 2, =
30, 所以AF =30÷2=15。 所以AF + BE + CD =15+20+16=
21. 解
S
:如解图
平 ,
连
方
接
分米
AE
,
因为 AB 和 EF 平行
,
所以 S
△ ABE=
DF
∶
FC
=1 ∶ 2,
所以DF
= 3
1DC
,
EC
= 5
3 BC
,
所以S
△ ADF= 所以阴影部分的面积为 5 份 , S 阴影部分=72× 5 =10。
51 答 : AF + BE 模 + C 型 D的 二 长度之 一 和 半 为 5 模 1。 型 根 △ 据 ABF 一 =2 半 0 模型 , 可得 , 平行四边形 ABCD 的面积是 (20+ AD · DF × 2 1 = AD · 1 3 DC × 2 1 = 6 1 S 长方形ABCD, S △ ADE = 答 : 阴影五边形的面积是 10。 36
平方分米 30. 解:如解图 连接EF FG GH EH 因为正方形ABCD的边
17. 【解析】因为等底等高的平行四边形的面积是三角形 24)×2=88( )。 AD DC 1 1 S S DF EC 1 1 DC , , , , ,
B 答 平行四边形ABCD的面积是 平方分米 · × = 长方形ABCD, △ FDE= · × = · 长为 AH HD DG GC CF FB BE EA 所以AH
面积的 倍 所以这两个三角形 阴影部分 的面积和等 : 88 。 2 2 2 3 12, = , =2 , =2 , = , =
2 , ( ) HD DG GC CF BF BE EA 根据蝴
于平行四边形的面积 也就是长方形的面积等于平行四 3 BC 1 1 S 在四边形 AEFD中 根据蝴蝶模 =6, =8, =4, =8, =4, = =6。
, × = 长方形ABCD, ,
边形的面积 5 2 10 蝶模型可得 EO S △ EFO+ S △ EHO S △ EFH 因为 S
18. 5 【解析】如 。 解图 , 连接 BF , 根据一半模型 , 得 S △ BEF= 第 题解图 型可得 , AG ∶ GF = S △ ADE ∶ S △ FDE= 2 1 ∶ 1 1 0 =5 ∶ 1, 所以AF S S ,O S G = S △ GFO+ S △ GHO = S △ GFH , △ EFH =
S 的 △ 面 CEF 积 =1 = , S 则 △ AB S F △ + A S BF △ = BE 2 F S = △ 4 B + CF 1 = = 2 5 × 。 (1+1)= 4, 所以阴影部分 22. 解:由一半模型可得 , S △ AB 2 C 1 = 2 1 S 长方形, S △ DCE= 2 1 S 长方形, 所 1 ∶ 20 G ( F 平 = 方 6∶ 厘 1, 米 因 ) 为 , 所 S 以 △ DF S G 长 = 方形 20 ABC 平 D= 方 12 厘 0÷ 米 1 , 所 =7 以 20( S 平 △ A 方 DF 厘 =2 米 0× ) 6 。 = 3 梯 0, 形 S AB △ F G H F - H= △ S A 梯 E 所 H 形 - 以 DCF △ E H B - O EF S △ = 3 D ( G 0 H 6 - + S 1 4 △ 5 ) CG × 即 F 1 = 2 E ( ÷ O 6 2 + - 8 O 6 ) G × × 6 12 ÷ ÷ 2 2 - - 4 6 × × 6 8 ÷ ÷ 2 2 = -
以S S S 因为S S S S 6 4×8÷2=44, OG= = , ∶ =15 ∶ 22。
△
ABC+
△
DCE= 长方形。
△
ABC+
△
DCE- 阴影部分= 长方形 44 22
所以S 答 EO OG
-(14+37+48), 阴影部分=14+37+48=99。 : ∶ =15 ∶ 22。
答 图中阴影部分的面积是
: 99。
23. 解:如解图 连接AE AD BD
第 题解图 , , , 。
18 因为 M 为 AB 的中点 N 为 CD 的中
,
19. 31 . 5 【解析】如解图 , 连接 ED , FD , S △ EDF = S 正方形ABCD- 点 , P为DE的中点 , Q为FA的中点 , 第 27 题解图
根据一半模型设S S a 28. 解:如解图 连接 AC BF 因为四边形 ABCD 和四边形
S △ AED- S △ EBF- S △ FCD=6×6- 1 ×1 . 5×6- 1 ×(6-3)×(6- △ EFQ= △ AQE= , , , 、 , 第 题解图
2 2 S S b BGFE为正方形 所以AC BF 由蝴蝶模型可得 图中 30
△ AEP= △ APD= , , ∥ , , ①
. 1 . S S . S S c 的面积等于 的面积 所以阴影部分的面积为扇形 ABC 模型四 金字塔模型
1 5)- ×3×6=15 75, 长方形EFGH=2× △ EDF=2×15 75= △ ADM= △ BDM= , ② ,
31 . 5。 2 S △ BDN= S △ BCN= d 。 第 23 题解图 的面积 , 31. C 【解析】因为点O , E分别是BD和CD的中点 , 所以由
因为游览区 APEQ 与 BNDM 的面积和是 平方米 中 金字塔模型可知 OE BC DE DC 所以 BC
间的湖水AMDP的面积是 平方米 900 , 即S 阴影部分= 1 ×3 . 14×6 2 =28 . 26。 , ∶ = ∶ =1 ∶ 2, =
361 , 4 OE 因为四边形ABCD是菱形 所以AB BC CD
2 =6。 , = = =
即a b c d 平方米 b c 平方米 答 图中阴影部分的面积是 .
+ + + =900( ), + =361( ) : 28 26。 AD 所以菱形ABCD的周长为
, 6×4=24。
所以a d 平方米
+ =900-361=539( )
32. 【解析】因为AE CG 1 AC AD BF 1 AB 所以
答 草地的总面积是 平方米 1 ∶ 5 = = , = = ,
: 539 。 3 3
第 题解图 模型三 蝴蝶模型
19 AE EG CG 1 AC AD DF BF 1 AB S S
20. 【解析】如解图 连接 AC AF CE DE 则 S 24. 【解析】如解图 连接 EF 则 S S S = = = 3 , = = = 3 , △ ADE ∶ △ AGF=
1 S 0 △ 0 D 1 EG S , S △ BEG S = S △ CEG, S 所以 , S △ 1 ABG S + S , △ CDG 所 , = 以 S △ , C S DE。 , 因为 S △ S AE △ G BE = C A S △ CDQ, 即S 阴影部分= S △ , ABP+ S △ CDQ= , a + b 。 △ ABP = △ EPF, △ EFQ = 29. 解:因为 ABC的面积 第 为 28 题 D 解 E 图 分别是AB AC的中点 A 可 E 知 2 ∶ , S A 四 G 边 2 形 = D A EG D F 2 = ∶ 3, A S F △ 2 A = DE 1 ∶ ∶ S 4 △ , AB 设 C= S A △ E AD 2 E ∶ = A 1 C , 2 由 = 金 AD 字 2 塔 ∶ A 模 B2 型 =
= 2 △ ABC, △ AED = △ AFD = 2 △ ADC, △ BEC+ △ AED = 所以梯形 △ BCED的面积为 96, , 1 , 因为F G分 , 1 2 ∶ 3 2 =1 ∶ 9, 即 S △ ABC =9, 故 S 四边形BCGF =9-1-3=5,
1S 1 S 1 S 所以 S 1 S 即 96×(1- )= 72, , S S
△ ABC+ △ ADC= 梯形ABCD, △ CDE= 梯形ABCD, 4 △ ADE ∶ 四边形BCGF=1 ∶ 5。
2 2 2 2 别为BE CD的中点 假设FG的长度是 份 则DE的长 33. 证明:如解图 过点A作AM A′C′ 交CC′于点M 交BB′于
, , 1 , , ∥ , ,
S S S 1 S 所以 ADG 的面积占梯 第 题解图
△ ABG+ △ CDG= △ CDE= 2 梯形ABCD, △ 24 度是 2 份 , BC的长度是 4 份 , 根据多次蝴蝶定理可知 : 梯 点N , 连接CN和BM 。 因为AM ∥ A′C′ , 且AA′ ∥ BB′ ∥ CC′ ,
8S AB S AN 因为点E F分别为AB BC的中点
所以AN = A′B′ , NM = B′C′ ,S △ ABM =BC,S △ ACN =NM。 S △ ABF= 1 ×3×(3+4)= 21 , 所以S △ AOB= S △ ABF× 3 =3 . 15。 , , , EH EHQ在EH边上的高 1a
BCM NCM 2 2 10 所以 △ 4 1
因为BB′ CC′ BCM和 △ NCM同底等 △ 高 所以S △ BEF= 1S △ ABC= 1 ×36=9( 平方厘米 ), CF= △ CFQ在CF边上的高= 1 a = 2 ,
∥ ,△ △ , 4 4
所以S S S S S S 则S 平方厘米 2
△ BCM= △ NCM, △ ACM- △ BCM= △ ACM- △ NCM, 阴影=72-12-6-6-9=39( )。
所以S △ ABM= S △ ACN, 答 : 图中阴影部分的面积是 39 平方厘米 。 所以在 △ EHQ中 , EH边上的高 = 1+ 1 2 × h = 3 1h ,
AB AN A′B′ 39. 解:因为 P Q 为长方形 ABCD 的三等分点 所以 PQ
根据金字塔模型可得 , , =
BC=NM=B′C′, 在 CFQ中 CF边上的高 2 h 2h
△ , = × = ,
第 题解图 1AD 三角形ADE中阴影部分的面积 1S 如解图 1+2 3
AB A′B′ 35 , = △ ADE。
所以 3 3
BC=B′C′。 36. 198 【解析】如解图 , 延长BE交CD于点F , 因为S △ BEC= 所示 , 将AC和BE的交点记作点M , 将AC和BD的交点 所以S △ EHQ= 2 1 × 4 1a × 3 1h = 2 1 4 ah ,
2 BE 所以CF 在 ABE 记作点 O 将 BD 和 CE 的交点记作点 N 由 APM 和
15cm , =10cm, =15×2÷10=3(cm), △ , , △ 所以S S S 1ah 1ah 1ah
和 EFC中 根据沙漏模型 AB BE 即15 10 解得EF △ BMC构成沙漏模型 , 可得AM ∶ MC = AP ∶ BC =1 ∶ 3, 所 △ EPQ= △ PEH+ △ EHQ= 40 + 24 = 15 ,
△ , CF=EF, =EF, =
3 以M是AC 的四等分点 也是 AO 的中点 所以 S 1ah
第
33
题解图 2, 梯
2
形 ABCD 的面积为 (15+15+3)×(10+2)÷2=198 S
△
BAM, 同理可得S
△
CON= S ,
△
CDN, 所以四边形 , ABCD中 △ B 阴 OM 影 = 所以 S
平行
S
四
△
边
EP
形
Q
ABCD
= 1
2
5 ah =
3
1
0
。
(cm )。
答 EPQ与平行四边形ABCD的面积比是
34. 解:如解图 , 过点G作GH ∥ BC交AD于点H , 交AF 于点 部分的面积 = S △ ABP+ S △ DCQ = 1 × 2 × S 四边形ABCD = 1 × :△ 1∶30。
2 3 3
I 连接CN和FG 因为G是AC的中点 所以AG 1AC
, 。 , = , S 综上 阴影部分面积 1 S 1
2 四边形ABCD。 , = × 五边形ABCDE = ×
3 3
根据金字塔模型可得 GH 1 CD GI 1 CF 由题意得
= , = , 24=8。
2 2
第 题解图 答 阴影部分的面积为 第 题解图
BD 1 CD CF 1 BF 则 GH 3 BD GI 1 BF 所以 36 : 8。 40
= , = , = , = ,
3 3 2 6 37. 解:如解图 延长AF BC交于点M ADF和 FCM构成 模型六 燕尾模型
, , ,△ △
GM ∶ BM =3 ∶ 2, GN ∶ NB =1 ∶ 6, 所以 BM = 2 BG , BN = 沙漏模型 , 则AD ∶ CM = DF ∶ FC =1 ∶ 1, 41. 【解析】因为BD CD 所以根据燕尾模型
5 ADO和 OEM构成沙漏模型 则DO OE AD EM 10 ∶ 9 ∶ =3 ∶ 4,
△ △ , ∶ = ∶ = 得S S 因为AE CE 所
6BG 所以S 2S 2 1S 1 S S △ AOB ∶ △ AOC=3 ∶ 4=15 ∶ 20。 ∶ =5 ∶ 6,
, △ ABM= △ ABG= × △ ABC= △ ABC, △ BNF= 因为S 1S 1 所以S 3 S 以S S 所以 S S
7 5 5 2 5 2 ∶ 3, △ DEF= 长方形ABCD= , △ OEF= △ DEF △ AOB ∶ △ BOC =5 ∶ 6=15 ∶ 18, △ AOB ∶ △ AOC ∶
7 6S △ BFG, 因为 BF = 4 3 BC , 所以 S △ BFG = 4 3 S △ BCG, 所以 = 4 3 0 。 8 8 2+3 第 39 题解图 S 即 △ B A O F C= ∶ 1 F 5 B ∶ = 2 1 0 0 ∶ ∶ 1 9 8 。 , 所以S △ AOC ∶ S △ BOC=20 ∶ 18=10 ∶ 9,
S 6 3 S 9 S S 9 S 42. 解:延长AP交BC于点N 如解图所示
△ BNF=
7
×
4
△ BCG=
14
△ BCG, 四边形FCGN=(1-
14
) △ BCG= 答 三角形OEF的面积为3 40. 解:如解图
,
取BC的中点G
,
连接EG
,
交AF于点H
,
, 。
: 。 因为S S
5S 5 1 S 5 S 因为 ABM 的面积比 40 设AB = a , 平行四边形ABGE的EG边上的高为h , △ ABP ∶ △ APC=9 ∶ 3=3 ∶ 1,
14 △ BCG= 14 × 2 △ ABC= 28 △ ABC。 △ 因为EH AB EPH与 BPA构成为沙漏模型 由燕尾模型得 , BN ∶ NC =3 ∶ 1,
∥ ,△ △ ,
设BN a 则NC a 则BC a 因为M是BC中点
四边形 FCGN 的面积大 平方厘米 所以 1 S EH EPH在EH边上的高 =9 , =3 , =12 。 ,
6 , 5 △ ABC- 所以 BA= △ BPA在BA边上的高。 所以BM = MC =6 a ,
△
5S △ ABC=6, 所以S △ ABC=6÷( 1 - 5 )=280( 平方厘米 )。 因为EH ∥ CD , E为AD的中点 , F为CD的中点 , 根据金字 可得MN = BN - BM =3 a , 所以点M , C到点N的距离相等 ,
28 5 28 第 题解图 即MN NC 所以S S
答 ABC的面积是 平方厘米 37 1a ∶ =1 ∶ 1, △ APM= △ APC=3。
:△ 280 。 38. 解:因为 AB CD AD BC 所以四边形 ABCD 为平行四 EH 答 APM的面积是
∥ , ∥ , 塔模型得EH 1DF 1 1 a 1 a 所以 4 1 :△ 3。
= = × = , BA= a = ,
边形 2 2 2 4 4
,
EPH在EH边上的高
所以S 平行四边形ABCD =2 S △ ADC =2 S △ ABC =2×36=72( 平方厘 所以△ BPA在BA边上的高= 1 ,
米 △ 4
),
AE AO FC CM 所以在 PHE中 EH边上的高 1 h 1h
由沙漏模型可得 1 1 △ , = × = ,
CD=CO= ,AD=AM= , 1+4 5 第 题解图
第 题解图 2 2 42
34
模型五 沙漏模型
因此点O
,
M为AC的三等分点
,
在
△
PBA中
,
BA边上的高
=
4
×
h
=
4h
。
43. 解:如解图
,
连接FC
,
1+4 5
所以S 1 S 1 平方厘米 S
35. 3 . 15 【解析】如解图 , 连接OC , 由沙漏模型可得 F AO O= A B D F= △ ODM= 3 △ ACD= 3 ×36=12( ), △ AEO = 所以S △ PEH= 1EH · EH边上的高 = 1 × 1a × 1h = 1ah 。
2 2 4 5 40
1S 1 平方厘米 同理S 平方
3 3 所以 AO 3 由底高模型可得 S △ AOB 3 而 4 △ OCD= 4 ×12×2=6( ), △ FMC=6( 因为S 平行四边形ABGE= ah 。 所以S 平行四边形ABCD= a ×2 h =2 ah 。
3+4 = 7 , AF= 10 , S △ ABF = 10 , 厘米 )。 又因为EH ∥ DC ,△ EHQ与 △ CFQ构成沙漏模型 , 第 43 题解图
9设S 份 模型七 鸟头模型 49. 解:如解图 连接BD 根据鸟头模型可得 所以S S S S S
△ DEF=1 。 , , △ DEF = △ CEF+ △ ADE- △ ABC- △ BDF = 12+2-1-6
因为EC DE 则S S 份 平方厘米
=2 , △ ECF=2 △ DEF=2 。 46. 解:因为AF FC EF BC =7( )。
∶ =2 ∶ 1, ∥ ,
因为G是BC的中点 所以BG GC 答 DEF的面积是 平方厘米
, = 。 AE AF :△ 7 。
所以AF AC 2
由燕尾模型 得S S BG GC ∶ =2 ∶ 3,AB=AC= , 模型八 多个模型结合
, △ DFB ∶ △ DFC= ∶ =1 ∶ 1, 3
那 同 么 理可 S △ 得 DFB S =1+2= S 3( 份 ), DE EC 根据鸟头模型可得 S S △ AEF = A A E B × A A F C= 4 , 53. 36 【解析】根据底高模型 , S △ DEC ∶ S △ DEA = CE ∶ AE =
, △ DFB ∶ △ BFC= ∶ =1 ∶ 2, △ ABC × 9 则S 平方厘米 S
AE EF 1 ∶ 2, △ DEA=6×2=12( ), △ ADC=12+6=18
那么S 份 S 1 份 又因为点E是BD的中点 2 第 题解图 平方厘米 所以长方形ABCD的面积 S
△ BFC=3×2=6( ), △ FGC=6× 1+1 =3( ), ,AB=BC= 3 , 49 ( ), =2 △ ADC=18×2=
平方厘米
则阴影部分的面积为 1 2+3 . 平方厘 所以 EG DE 1 EG 3 GF 1 S △ ABD AB × AD 1×1 1 36( )。
3× × =0 625( BC=DB= ,EF= ,EF= , S =AE AH= = , 54. 【解析】如解图 连接GE BF FC BE 设正方形ABCD
2 1+2+3+6 2 4 4 △ AEH × 2×3 6 45 , , , , ,
米 )。 所以再次用鸟头模型可得 S △ GFC GF × FC 1 S △ BCD BC × CD 1×1 1 的面积为 份 则三角形BCE的面积为1 份 三角形EFG
S =EF AF= , S =CF CG= = , 1 , ,
答 : 阴影部分的面积为 0 . 625 平方厘米 。 △ AEF × 8 △ CFG × 3×2 6 4
44. 解:如解图
,
连接AO
,
BD
,
根据燕尾定理得出S
△ AOB ∶
S
△ BOD=
所以S
△ GFC=
1S
△ AEF=
1S
△ ABC=
1a
。
S
△
AEH+ S
△
CFG=6 S 四边形ABCD, 的面积为1 份
,
三角形 DEF 的面积为 3 份
,
三角形 ABF
AF ∶ DF =1 ∶ 2, S △ AOD ∶ S △ BOD= AE ∶ BE =2 ∶ 1, 由底高模 8 18 18 同理连接AC , 可得S △ BEF+ S △ DGH=6 S 四边形ABCD, 8 16
型得出S △ AOE ∶ S △ BEO=2 ∶ 1, S △ AOF ∶ S △ DOF=1 ∶ 2, 可以得 答 : 阴影部分的面积是 1 1 8 a 。 所以S 四边形EFGH=(6+6+1) S 四边形ABCD=13×5=65( 平方厘米 )。 的面积为1 8 份 , 三角形EFC的面积为 1 3 6 份 。 利用蝴蝶模
答 四边形EFGH的面积是 平方厘米
到S △ AOE= 3 1 S △ BOD, S △ AOF= 3 2 S △ BOD。 又因为 S △ BOD=48÷ 47. 解:因为 即 A B E G ∶ A E D B =1 ∶ 2, 在 所以 AM B D E 和 ∶ AB B = M 2 G ∶ 中 (2 根 +1 据 ) 沙 = 50. 解 : :因为 ∠ ADC +∠ ADG +∠ C 65 DE +∠ EDG 。 =360 ° ,∠ ADC = 型可得 , GH ∶ HB = S △ EFG ∶ S △ EFB= 8 1 ∶ (1- 4 1 - 1 3 6 - 8 1 )=
2 ∶ 3, ∶ =2 ∶ 3, △ △ ,
EDG °
2=24( 平方厘米 ), 所以S 四边形AEOF= S △ AOE+ S △ AOF= 3 1 S △ BOD+ 漏模型得 ,M M B A = A B D G= 2 3 , 即 M AB A = 5 3 , 在 △ ADN 和 △ CGN ∠ 所以 ∠ = AD 90 G + , ∠ CDE =180 ° , 2 ∶ 7, 同理可得 , GI ∶ IC = S △ EFG ∶ S △ EFC= 8 1 ∶ 1 3 6 =2 ∶ 3。
在三角形GBC中 利用鸟头模型可得 S S GI
2S △ BOD= S △ BOD=24( 平方厘米 )。 中 根据沙漏模型得 NA AD AD 3 即 NA 即 ∠ ADG和 ∠ CDE互补 , , , △ GIH ∶ △ GBC=(
答 3 : 四边形AEOF的面积是 24 平方厘米 。 N , A 3 在 ABC , 中 NC 根 =C 据 G 鸟 = 头 BG 模 + 型 BC 得 = S 5 △ , AMN A A C M = 根 DG 据 )。 鸟头模型 , 可得 S △ CDE ∶ S △ ADG =( ED × DC ) ∶ ( AD × × GH ) ∶ ( GC × GB )=4 ∶ 45, 即S GIH= 4 4 5 S △ GBC, 所以S △ GIH=
AN NC= 。 △ , ,S =AB×
+ 8 △ ABC 因为四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形 , 2S 正方形 △ ABCD=2 平方厘米 , 那么正方形 ABCD 的面积是
AN 45
3 3 9 所以 S 9 S 9 1 所以DG DE AD DC
AC= 5 × 8 = 40 , △ AMN = 40 × △ ABC = 40 × 2 × = , = , 2 平方厘米
所以S S 2÷ =45( )。
△ CDE ∶ △ ADG=1 ∶ 1, 45
S 9
正方形ABCD= 80 。 所以S △ CDE= S △ ADG=10 平方厘米 。
答 CDE的面积为 平方厘米
第 44 题解图 答 三角形AMN的面积是9 :△ 10 。
: 。 51. 解:根据鸟头模型可得
45. 解:如解图 连接AI 根据燕尾模型 80 ,
, , , 48. 解:如解图 连接CD S AD AE
得S S BD AD S S CF AF , 。 △ ADE × 5×4 4
△ B 所 CI 以 ∶ S △ ACI= S ∶ S =2 ∶ 1, △ BCI ∶ △ A 又 BI= 因为 ∶ S = 因为AE ∶ EC =3 ∶ 2, S △ ABC =AB × AC= 13×(19-4) = 39 , 第 题解图
1∶ 2, △ BCI ∶ △ ABI ∶ △ ACI=2 ∶ 4 ∶ 1。 △ BCI+ 所以AE AC 54
∶ =3 ∶ (3+2)=3 ∶ 5, 故S 4
S △ ABI+ S △ ACI= S △ ABC, 所以 S △ BCI= 2 S △ ABC, 同理可求 , S △ ACG 根据鸟头模型可得 , △ ADE=39× 39 =4。 55. 解:根据一半模型可知 , 三角形 ACE 的面积是正方形
7 答 三角形ADE的面积是 ABCD面积的一半 因为四边形 ABDC 是正方形 所以
AE AD : 4。 , ,
S S × 3×2 6
= S △ ABH= 2S △ ABC。 所以S 阴影= S △ ABC- S △ BCI- S △ ACG- S △ ABH= △ AED ∶ △ ABC=AB × AC= 5×5 = 25 , 52. 解:由鸟头模型可得 , AC ∥ BD , AC = BD , 在四边形ABEC中 , 根据沙漏模型可知 ,
7
S S CE CF CA CB
所以 ABC的面积为 6 平方厘米 △ CEF ∶ △ ABC=( × ) ∶ ( × )=(1+2)×(1+3) ∶ BE AC EF AF 因为E是BD的中点 所以BE 1 BD
1S 即 ABC的面积是阴影 HGI面积的 倍 △ 12÷ =50( )。 ∶ = ∶ 。 , = =
7 △ ABC, △ △ 7 。 25 (1×1)=(3×4) ∶ (1×1)=12 ∶ 1, 2
答 :△ ABC的面积是阴影 △ HGI面积的 7 倍 。
答
:△
ABC的面积是
50
平方厘米
。 所以S △ CEF=1×12=12( 平方厘米 ), 1AC , 所以EF ∶ AF =1∶2, 由底高模型得S △ CEF= 1 S △ ACE=
S S AD AE AB AC 2 1+2
△ ADE ∶ △ ABC=( × ) ∶ ( × )= (1×2) ∶ (1×1)
1 1S 1
=2 ∶ 1, × 正方形ABDC= ×12=2。
3 2 6
所以S 平方厘米
△ ADE=1×2=2( ), 答 三角形CEF的面积为
: 2。
S S BF BD BC BA
△ BDF ∶ △ ABC=( × ) ∶ ( × )=(3×2) ∶ (1×1)= 56. 解:因为AE BE
=2 ,
6 ∶ 1,
第 45 题解图 第 48 题解图 所以S △ BDF=1×6=6( 平方厘米 ), 所以S △ CAE= 3 2S △ ABC= 3 2 ×120=80。
10因为D G分别为AC EC的中点 向 处是点 点 西偏南 °方向 处 长 高 宽 高 可知 这两个长方体的表面积之和最大
、 、 即S 24 三角形 CEI的底 CE 由解图 100 m (7,1), (9,8) 45 150 m × + × )×2 ,
如解图 连接DG 根据鸟头模型得 △ CGI= 7 ×14÷2=24, =6, 是点 点 西偏北 °方向 处是点 是 . .
, , , (6,5), (5,6) 45 50 m (4,7)。 (7×5+7×1 5+5×1 5)×2×2=212。
S △ CDG ∶ S △ AEC=(1×1) ∶ (2×2)=1 ∶ 4,
可知高为
6,
即S
△ CEI=6×6÷2=18, 6. 2008 【解析】五个正方体不计重叠时的总面积 :(2×2+4×
则S △ CDG=80÷4=20, 根据风筝模型可得GO ∶ OE =24 ∶ 18=4 ∶ 3, 4+6×6+10×10+16×16)×6=2472( 平方厘米 ), 重叠部分面
又因为D为AC的中点 , 所以S 阴影部分= 72 × 4 = 288 。 积 :2×2×6+4×4×6+6×6×4+10×10×2=464( 平方厘米 ), 多
所以AD CD 所以 S S AEC 和 7 4+3 49 面体的表面积 平方厘米
∶ =1 ∶ 1, △ ADG= △ CDG=20,△ :2472-464=2008( );
△
DGC构成金字塔模型
,
AE
∶
DG
=
AC
∶
DC
=2 ∶ 1,
答
:
图中阴影部分的面积是288
。
一题多解前面面积:
6×6+10×10+16×16=392
(平方厘
49
由于AE DG ABM和 DGM构成沙漏模型 米),右面面积: (平方厘米),上面面
∥ ,△ △ ,
10×10+16×16=356
所以DM
∶
BM
=
DG
∶
AB
=1 ∶ 3, 第 题解图
积:
16×16=256
(平方厘米),多面体的表面积:(
392+356+
又因为F为BD的中点 , 可知DM ∶ MF =1 ∶ 1, 1 ) (平方厘米),所以这个多面体的表面积是
类型二 三视图 256 ×2=2008
所以S S 所以S
△ ADG ∶ △ AFG=1 ∶ 1, △ AFG=20。 2008 平方厘米。
答 AFG的面积为 2. 3. 4.
:△ 20。 C 6 9 9 类型三 长方体、正方体体积
第 题解图 类型三 染色问题
58 7. . 【解析】缸内的水会升高 .
0 5 (10×10×10)÷(40×50)= 0 5
59. 解:如解图 连接 HG DG IF ID HF 与 IG 交于点 O HD 5. 【解析】从正面能看到 个 正方形 从左面
, 、 、 、 , , 132 1+2+3=6( ) ,
(cm)。
能看到 个 正方形 从上面能看到 个正方形
与IG交于点K 根据金字塔模型得 S S 1 1+2+3=6( ) , 9 , 8. 【解析】设水面高为x分米 则 x x 解
, , △ AHG= △ BDI= 2 , 8×6 +6×4 =8×6×3,
1+2+1 故共能看到
6×2+6×2+9=33(
个
)
正方形
,
每个正方形的面
得x 所以水面高为 分米
=2, 2 。
第 56 题解图 × 1 × S △ ABC= 1 , S △ CDG= S △ AIF= 1+2 × 1+2 × S △ ABC= 积为 2×2=4, 故表面被染成红色的面积为 33×4=132。 9. 288 【解析】由题可得 , 正八面体分为 2 个四棱锥 , 四棱锥
57. 解:在长方形ABCD中 AB DF
1+2+1 16 1+2+1 1+2+1 6.
244
【解析】第一层涂红色不考虑
;
第二层
:
去掉第一层
的高是正方体棱长的一半 即 四棱锥的底
, ∥ , , 12÷2=6(cm),
DF HF 9 , 根据鸟头模型得 , S △ AIG= (2+1)×1 × S △ ABC= 后 , 剩下的正方体的每条棱上排列 9-2=7( 个 ) 小正方体 , 面积是边长为 的正方形的面积的一半 即
由沙漏模型 3 16 (1+2+1)×(1+2+1) 12 cm , 12×12÷2
:AB=AH= , 这一层涂黄色 第三层 去掉第二层后 剩下的正方体的每
5 ; : ,
因为E为AD中点 3 ; 所以S 梯形HGFI= S △ AIF- S △ AHG= 1 , S 梯形HIDG= S △ ABC- S △ CDG- 条棱上排列 个 小正方体 这一层涂红色 第四 =72(cm 2 ), 所以正八面体的体积 : 1 ×72×6×2 = 288
, 16 2 7-2=5( ) , ; 3
OE ⊥ AD , 由金字塔模型 : O D E F=A A D E = A A O F= 2 1 , S △ AHG- S △ BDI = 1 5 6 ; 根据蝴蝶模型得 , S △ HGO = (1+1 1 + 2 2) 2 × 层 个 : 去 小 掉 正 第 方 三 体 层后 这 , 一 剩 层 下 涂 的 黄 正 色 方体 第 的 五 每 层 条 去 棱 掉 上 第 排 四 列 层 5- 后 2= 剩 3 (cm 3 )。 ( 四棱锥体积 = 3 1 × 底面积 × 高 )
( ) , ; : ,
OE 类型四 表面积与体积综合
所以AO 1AF 1 3 2 下 个 正方体 涂红色 涂有黄色的小正方体共
= 2 = 2 ×(5+3)=4(cm),AB= 10 , S 梯形HGFI= 1 , S △ HIK= 2 2 × S 梯形HGDI= 1 , 3-2=1( ) , 。
32 (1+2+2) 20 有 个 10. 【解析】由题意可得 宽 高 平方厘米
GO OE 7×7×7-5×5×5+3×3×3-1=244( )。 290 , × =48÷2=24( ),
由沙漏模型得 3
:AG=AB= , 所以S S S S S 7 专题 立体图形—长方体、正方体 长 高 平方厘米 长 宽 平方
10 △ HOK= △ AIG- △ AHG- △ HGO- △ HIK= , × =99÷3=33( ), × =352÷4=88(
160 37
厘米 原长方体的表面积 平方
因为GO AO AG 所以AG 10 40 个阴影部分面积的计算方法相同 面积也相同 类型一 长方体、正方体的棱长 ), =(88+33+24)×2=290(
= - , =4× = (cm)。 6 , ,
13 13
厘米
)。
答 AG的长度为40
S
阴影部分=
7
×6=
21 1.
A 11. 【解析】切面与前面 后面平行 表面积增加
58. 解:
:
2 2
1
2
3
即
cm
C
。
E2 CD2 DE2 由勾股定理的逆定 答 阴影部
16
分
0
的面
8
积
0
为21
类型二 长方体、正方体表面积 1
cm
10
2
5
,
即长
×
高
=130÷2=65(c
、
m
2
);
切面与
,
左面
、
右面平行
130
,
理可 ( 知 1)6 C + D 8 E = 为 10 直 , 角三角 + 形 故 = S , : 80 。 2. 50 【解析】拼在一起后 , 表面积减少了 2 个正方形的面 表面积增加 442 cm 2 , 即宽 × 高 =442÷2=221(cm 2 ); 切面
答 三角 △ 形CDE的面积是 , △ CDE=6×8÷2=24。 积 , 即 5×5×2=50( 平方厘米 )。 与上面 、 下面平行 , 表面积增加 170 cm 2 , 即长 × 宽 =170÷2
: 24。
如解图 连接AC 可得S 3. 【解析】 厘米 4 厘米 =85(cm 2 )。 65=5×13,85=5×17,221=13×17, 长方体的
(2) , , △ ACE=6×8÷2=24, 208 72÷4=18( ),18× 4+3+2 =8( ),18× 长 宽高分别是 所以原来这个长方体的体积是
S 根据风筝模型可得 、 5、17、13,
△ ADE=8×8÷2=32, :
3 厘米 2 厘米 表面积为 3
S S DG CG =6( ),18× =4( ), (8×6+ 5×17×13=1105(cm )。
△ ADE ∶ △ ACE= ∶ =32 ∶ 24=4 ∶ 3, 4+3+2 4+3+2
第 题解图 专题 立体图形———圆柱圆锥
即S △ CEG= 3 S △ CDE= 3 ×24= 72 。 59 8×4+6×4)×2=208( 平方厘米 )。 38
4+3 7 7 专题 方向与位置 4. 【解析】 平方厘米 类型一 圆柱表面积
36
28 3×8+4×8+3×4÷2×2-5×8=28( )。
答 : 三角形CEG的面积是7 7 2 。 三视图 染色问题 5. 212 【解析】本题考查的是长方体表面积的计算 , 沿平行 1. B 【解析】圆柱体的侧面积 = 底面周长 × 高 , 因为 2×2=
于长为 宽为 的面的方向切一刀而成的表面积之和最
如解图 延长CD CE作一个正方形 连接GI 三角形 7、 5 平方分米 所以圆柱体的底面周长是 分米 所以这个
(3) , 、 , , 类型一 方向与位置 4( ), 2 ,
大 可以把这个长方体截成长 宽分别为 高为
, 、 7,5, 3÷2=
CIG的底CG 3 CD 24 由解图可知高为 圆柱体的表面积为 2 2 4 2
= = , 8+6=14, 1. 【解析】如解图 点 东偏南 °方 . 的两个长方体 根据长方体表面积计算公式 长 宽 4+π×( ) ×2=4+π× 2 ×2=
4+3 7 7 1 6 5 4 7 , (5,3) 45 1 5 , ( × + 2π 4π π
11平方分米 11. . 【解析】 . . . 2 PQ在面EFGH上 连好线的图形如解图所示
+4( )。 28 26 3 14×(12 56÷3 14÷2) ×3×750= 1 2 2 19000π 立方厘 。 。
π×[(60÷2) ×30-(40÷2) ×20] = (
2. . 【解析】滚动 周压路面积为 . . . . 千克 千克 . 吨 3 3
30 144 1 3 14×0 8×1 2=3 28260( ),28260 =28 26 。
平方米 滚动 周压路面积为 . . 12. . 【解析】增加的表面积是长方体左 右两个长方形 米 )。 水龙头的出水口直径是 20 毫米 , 即 2 厘米 , 水龙头
0144( ), 10 3 0144×10=30 144 502 4 、
( 平方米 )。 的面积 , 所以一个长方形的面积为 80÷2=40(cm 2 ), 圆柱 每分钟出水 (2÷2) 2 π×19×60=1140π( 立方厘米 ), 注满
3. 226 . 08 【解析】底面直径 :80÷2÷5=8( 厘米 ), 圆柱表面 的底面半径为 40÷10= 4(cm), 底面积为 3 . 14×4 2 = 水盆需要的时间为19000 π÷(1140π)= 50 ( 分 )。
积 . 2 . . 平方厘米 . 2 长方体和圆柱的体积相等 即体积为 . 3 9
:3 14×(8÷2) ×2+3 14×8×5=226 08( )。 50 24(cm ), , 50 24
4. 【解析】这个物体的表面积等于底面半径为 . 3 21. 解: 厘米 厘米 2 1 第 题解图
4710 20 cm ×10=502 4(cm )。 4÷2=2( ),4+6=10( ),π×2 ×10+ ×(π× 7
的 . 2 个圆的面积 + 三个圆 . 柱的侧面积 , 即 :3 . 14 . ×20 2 ×2+2× 13. 29233 1 【解析】由三视图可得 : 上面是一个圆锥 , 底面 2 2 ×10)=60π( 立方厘米 )。 2 8. B
3 14× 20× 10+ 2× 3 14× 10× 10+ 2× 3 14× 5× 10 3 答 该新几何体的体积是 立方厘米 9. 【解析】由圆柱A的侧面展开图为长方形 圆柱A底面
=4710(cm 2 )。 直径是 20, 高是 50, 下面是一个长方体 , 长 、 宽 、 高分别为 : 60π 。 C 周 长为长方形的长 圆柱A的高为长方形 , 的宽 圆柱B
5. 【解析】 . . 厘米
易错警示 新几何体的体积可以看作拼成的完整的圆柱 4π, ,
4 25 12÷1÷3 14÷2=4( )。 故该几何体的体积是 1 . 底面周长为 设圆柱B底面半径为r 则 r 解得r
6. 【解析】设原圆柱体的底面半径为r 则此圆柱体的
60、40、10。 60×40×10+
3
×3 14× 的体积
+
拼成的完整的圆柱的体积的一半,注意拼成的完 6, , 2π =6, =
1884 ,
高h =2 r , 圆柱的侧面积 : S 侧面积=2π rh =4π r2 , 圆柱的表面 (20÷2) 2 ×50=29233 1 。 整的圆柱的高是( 4+6 )厘米。 π 3 , 底面面积为 π( π 3 ) 2 = π 9 , 又由圆柱B的高为 4π, 圆柱
积 : S 表面积= S 侧面积+ S 底面积=4π r2 +2π r2 =6π r2 , 则 S S 表 侧 面 面 积 积 = 4 6 π π r r 2 2 = 14. 23550 【解析】该零件 3 的体积大约是 3 . 14×[(40÷2) 2 - 类型一 专题 平 3 面 9 图 立 形与 体 立 图 体 形 图 综 形 合 的转化 B的体积为 π 9 ×4π=36。
(20÷2)
2
]×50÷2=23550(cm
3
)。 10. 正方 【解析】当圆柱的底面周长与它的高相等时 沿着
3 , 又因为圆柱截去圆锥后的表面积与圆锥表面积差即圆 15. 【解析】一个圆柱和一个圆锥的高相等 圆柱与圆 1. ,
2 24 2 , C 高将圆柱的侧面展开得到的是正方形
锥的底面半径比是 则它们的体积比是 2 2. 【解析】a b c 所以 a b 。
柱的侧面积 所以 S 平方厘米 则 S 3 2∶1, (2 ×3) ∶1= 81 =1×3=3, =2×3=6, =3×3=9, ( + )× 11. D
, 侧面积=1256 , 表面积= 2 × 12∶1, 又因为它们的体积之和是 26 cm 3 , 所以圆柱的体积 c =(3+6)×9=81。 12. C和E 【解析】根据展开图可以看出此立体图形是一个
1256=1884( 平方厘米 ), 即圆柱的表面积为 1884 平方 是 26÷(12+1)×12=24(cm 3 ), 圆锥的体积是 26÷(12+1) 3. 432 【解析】设长方体纸盒的长 、 宽 、 高分别为a 、 b 、 h , 则V 四棱锥 底面是正方形 EFGD 图中与点 A 重合的有 C
厘米 。 ×1=2(cm 3 )。 abh a b h 当 a b h 即 a b h 和E , ,
7. 122 . 8 【解析】如解图为捆成一捆的圆柱的截面图 , 需要 16. 3768 【解析】 3 米 =300 厘米 , 截成 4 段需要切 3 刀 , 增加 = , 2 + 2 +2 =18, 2 = 2 =2 =6 , = =4 =12 13. 三 。 棱柱
的纸张的长为 个圆的周长再加 个直径 需要纸张的宽 时容积最大 最大是 立方厘米 (1)
1 3 , 2×3=6( 个 ) 底面 , 圆柱底面积为 75 . 36÷6=12 . 56( 平方厘 , 12×12×3=432( )。 【解析】所有棱长的和为
为圆柱的长 从而可以求出这个长方形的面积 也就是需 4. 【解析】如解图所示 故共有 种不同的拼法 (2)42 36 (3+4+5)×2+6×3=
, , 米 ), 这根钢材的体积是 12 . 56×300=3768( 立方厘米 )。 4 , 4 。 体积为 3
要的纸张的最少面积 , 即 (2×3+3 . 14×2)×10=(6+6 . 28)× 17. 0 . 019 【解析】 1 克煤油的体积 :1÷0 . 8=1 . 25( 立方厘 14. 42( . cm), 【解析】 3 如 × 解 4÷ 图 2×6 最 = 大 36 的 (c 等 m 腰 )。 直角三角形的腰长
. . 平方厘米 226 08 ,
10=12 28×10=122 8( )。 米 ), 油膜的厚度 :1 . 25÷(30÷2) 2 ÷3≈0 . 0019( 厘米 ), 为 厘米 旋转一周形成圆锥 底面圆半径为 厘米 高
6 , , 6 ,
. 厘米 . 毫米
0 0019 =0 019 。
18. . 【解析】等底等高的圆柱体和圆锥体 圆柱体体积 为 6 厘米 , 则体积为1 ×6 2 ×π×6=226 . 08( 立方厘米 )。
9 42 , 3
是圆锥体体积的 倍 因此圆锥形铁块的体积 .
3 , :15 7÷(1+ 第 题解图
. 立方分米 则圆柱形铁块的体积 . 4
1+3)=3 14( ), :3 14×3=
5. A 【解析】如果E面是长方体底面 那么A面是长方
第 题解图 . 立方分米 32 ,
8 9 42( )。
体上面 这个长方体的体积是
类型二 圆柱、圆锥体积 19. 【解析】 牙膏出口处的半径为 。 (36-2×2)÷2÷2=8(cm),
25 1 cm=10 mm, 5÷2= 第 题解图
. 新包装出口处的半径为 所以只 8×2×2=32(cm 3 )。 14
2 5(mm), 6÷2=3(mm),
8. B 【解析】 1 ×3 . 14×(8÷2) 2 ×15×2=502 . 4( 立方厘米 )。 能用 . . 2 . 2 次 6. 25 【解析】如解图 , 将长方体的正面和右面展开后 , 正面 15. 解:以BC为半径 AB为高的圆锥的体积 1 . 2
3 3 14×2 5 ×10×36÷(3 14×3 ×10)=25( )。 和右面合起来变成了一个大长方形 连接 EC 则线段 EC 、 : 3 ×3 14×6 ×
9. 【解析】圆柱A底面半径为 . . 体 , ,
B 18 84÷3 14÷2=3(cm), 20. 50 【解析】如解图
积为 . 2 . . 3 圆柱B底面半径为 9 , 的长就是最短路线 此时EB BC 1 AB 1 10=376 . 8(cm 3 ),2 个以BC为直径 , 以 1 AB为高的圆锥
3 14×3 ×25 12=709 8912(cm ); 。 =12+8=20, = = × 2
2 2
. . 体积为 . 2 .
2 9 5 46 1 . 2 52 ÷ 1 3 6(c 1 m 4 3 ÷ ) 2 ,7 = 09 4 . ( 89 c 1 m 2 ) < , 946 . 5216, 3 即 1 V 4 A< × V 4 B。 ×18 84 = E 30 C = 2 15, 2 根据勾 即 股 E 定 C 理可得 , EB2 + BC2 =20 2 +15 2 =625= 的体积 :2× 3 1 ×3 . 14×(6÷2) 2 ×(10÷2)= 94 . 2(cm 3 ), 涂色
10. . 【解析】将正方体铁块熔铸成圆柱 体积不 ,25 =625, =25。 立体图形的体积 . . . 3
216 56 52 , :(376 8-94 2)×2=565 2(cm )。
变 所以圆柱体积等于正方体体积 立方分 答 涂色部分扫出的立体图形的体积是 . 立方厘米
, 。 6×6×6=216( : 565 2 。
米 在正方体中削成最大的圆锥 圆锥的底面直径和高 16. 解:第一个图形旋转得到一个圆柱 . 2 .
); , 第 题解图 :3 14×2 ×4=50 24,
都等于正方体的棱长 圆锥底面半径 分米 圆 20
锥底面积 . 。 . 平方分 :6÷ 米 2=3 圆 ( 锥体 ) 积 ; 根据水盆底面所在平面与侧边的夹角为 45 ° , 可得出底面 第 6 题解图 第二个图形旋转得到两个圆锥 , 体积为 : 1 3 ×3 . 14×3 2 ×3×
:3 14×3×3=28 26( ), :
直径为 厘米的圆锥的高为 厘米 底面直径为 厘 7. 解:点P在EF边上 点Q在GF边上 线段AC在面ABCD . . .
40 20 , 60 , , 2=56 52,50 24 ∶ 56 52=8 ∶ 9。
. 1 . 立方分米
28 26×6× =56 52( )。 米的圆锥的高为 厘米 故水盆体积等于V V 上 线段AP 在面 ABFE 上 线段 QC 在面 BCGF 上 线段 答 得到的两个旋转体的体积之比是
3 30 , 大圆锥- 小圆锥= , , , : 8 ∶ 9。
1217. 解: 这句话是正确的 验证如下 2 2 25. 解:大圆柱的体积 . 2 . 3 所以水未浸没长方体铁块 容器内水面升高 角形的面积为 平方厘米
(1) 。 :(3×9 ×6)∶(3×6 × :3 14×(12÷2) ×10=1130 4(cm ) 8<15, , 1 cm。 8÷2×4=16( )。
2 2 所 中间大圆柱的体积 . 2 . 3 综上所述 容器内的水面将上升的高度为 . 或 9. 【解析】设AB x 根据折叠的性质 得图 右图中
9)=3∶2,[3×(9÷3÷2) ×6]∶[3×(6÷3÷2) ×9]=3∶2, :3 14×(4÷2) ×10=125 6(cm ) , 1 6 cm 129 = cm, , ②
以这句话是正确的 。 中间每个小圆柱的体积 :3 . 14×(2÷2) 2 ×10=31 . 4(cm 3 ) 1 cm。 BF = DE =43÷2- x =(21 . 5- x )cm, 根据题意可列方程 2×
(2) 原来长方形的长与宽的比是 9∶6=3∶2。 零件体积 :1130 . 4-125 . 6-31 . 4×8=753 . 6(cm 3 ) 32. 40 【解析】题目右图中露出的铁块的体积 :12×5×2-5×4× (21 . 5- x )+ x =40, 解得x =3, 所以原纸片的面积是 43×3=
答 : 这两个比与原来长方形纸的长与宽的比值相等 。 753 . 6 cm 3 =0 . 7536 dm 3 ≈0 . 75 dm 3 . 立方厘米 铁块的总体积 1 立方厘米 129(cm 2 )。
类型二 等体积转换 答 这个零件的金属用量大约是 . 立方分米 5 5=10( ), :10÷ 4 =40( )。 10. 100 【解析】根据折叠可得 , 两个三角形面积和的一半是
18. 25 . 12 【解析】圆锥 的体积是 1 ×3 . 14×(8÷2) 2 ×12= 26. 解 开
:
: 了 (1) 开了 的 3× 孔 1×5 挖 的 去 孔 , 挖去 3
0
×1
75
× 个 5 小 =1 立 5 方 个 体 小
。
立 开 方 了 体 , 33. 7 油 层 【 高 解析 x厘 】水 米 高 油 = 层 16 的 ×1 体 2× 积 6÷ V (16×12-8×8)= 9( 厘米 ), 设 20÷2=10( 平方厘米 ), 图 ① 的面积是 10÷(1- 6 5 )=60( 平
3 1×1×5 , 1×1×5-1=4 , 2× , =16×12×6=(12-9)×(16×
200 . 96( 立方分米 ), 长方体的高为 200 . 96÷4÷2=25 . 12 1×5 的孔 , 挖去 2×1×5-(2+2)=6 个小立方体 , 12-8×8)+( x -3)×16×12, 解得x =7。 方厘米 ), 图 ② 的面积是 60× 6 5 =50( 平方厘米 ), 这张梯
分米 剩余部分的体积是 34. 解:原来水的体积为 立方厘米 形纸的面积是 平方厘米
( )。 :5×5×5-(15+4+6)=100。 12×12×11=1584( ), 50×2=100( )。
19. 【解析】设容器底面圆的面积为S 容器中水的体积占 答 剩余部分的体积是 插入圆棒后 如解图所示 A部分水的体积为 11. ° α 【解析】因为在 ABC中 AB AC BAC的度
D , : 100。 , , (12×12-24) 180 -2 △ , = ,∠
S 表面积可以看成外部和内部两部分 外部的表面积为 立方厘米 ° BAC
容器容积的 10 5 (2) , ×12=1440( ), 数为α 所以 C ABC 180 -∠ ° 1 α 因为
10 S +(20-16) S= 7 。 5×5×6-12=138, 内部的面积可以分为前后 、 左右 、 上下三 B部分水的体积为 1584-1440=144( 立方厘米 ), , ∠ =∠ = 2 =90 - 2 。
20. 解:正放和倒放时水的体积是不变的 , 也就是容器中空的 个方向 , 面积分别为 2×(2×5+1×5-1×2-1×3)= 20,2× 144÷(8×8-24)=3 . 6( 厘米 ), BC = BD , 所以 ∠ BDC =∠ C = 90 ° - 1 α , 所以 ∠ ABD =
部分体积是一样的 从倒放图中可以求出空的部分的体 . . 厘米 2
, (1×5+3×5-1×3-1)=32,2×(1×5+1×5-1×1-2)=14, 12+3 6-11=4 6( ),
积是 3 . 14×(12÷2) 2 ×5=565 . 2( 立方厘米 ), 假设正放时 , 所以剩余部分的表面积为 138+20+32+14=204。 故水面上升了 4 . 6 厘米 。 ∠ BDC -∠ BAC =90 ° - 2 3 α 。 由折叠的性质可得 ∠ BDE =
空的部分恰好是圆锥 , 体积为 1 ×3 . 14×(12÷2) 2 ×11= 答 : 剩余部分的表面积为 204。 答 : 此时水面上升了 4 . 6 厘米 。 ∠ BDC =90 ° - 1α , 所以 ∠ BFE =∠ ABD +∠ BDF =180 ° -2 α 。
3 类型四 浸水问题 2
. 立方厘米 因为 . 立方厘米 . 立方 12.
414 48( ), 565 2 >414 48 C
厘米 , 所以假设不成立 , 也就是说正放时 , 圆柱有部分是 27. 0 . 18 【解析】容器的水面上升了 3 . 14×0 . 3 2 ×0 . 5÷(3 . 14 13. C
空的 。 设圆锥高为 x 厘米 , 以两种情况下空的体积相等 ×0 . 5 2 )=0 . 18( 米 ),1 . 3+0 . 18=1 . 48( 米 ),1 . 48<1 . 5, 故 14. 60 ° 【解析】由旋转可知 ,∠ C =∠ A =120 ° ,∠ D =∠ B =40 ° , 所
成立 第 题解图
以 COD ° C D ° α ° COD °
为等量关系列方程 . 2 x . 2 1 。 34 ∠ =180 -∠ -∠ =20 ,∠ =80 -∠ =60 。
:5×3 14×6 =(11- )×3 14×6 + 3 × 28. 0 . 24 【解析】 12000 立方厘米 =12 立方分米 , 放入铁块 类型五 立体图形综合题 15. C
3 . 14×6 2 × x , 解得 x =9。 所以这个容器的体积为 3 . 14× 后水面上升高度为 10 . 8-10=0 . 8( 分米 ), 木桶底面积为 35. 解: 因为a2 所以a 16. 4 9∶ 1 【解析】按 1∶ 3 缩小后 , 底为 2 cm, 高为 4 cm, 缩小
6 2 ×12+ 1 ×3 . 14×6 2 ×9=1695 . 6( 立方厘米 )。 12÷0 . 8=15( 平方分米 ), 木桶容积为 15×16=240( 立方 答 ( 图 1 中 ) a的值 = 是 175÷(10-3)=25, =5。 后面积 :2×4÷2=4(cm 2 ), 缩小前面积 :6×12÷2=36(cm 2 ), 缩
3 分米 立方分米 . 立方米 : 5。 小前后面积比为
),240 =0 24 。 36∶ 4=9∶ 1。
答 : 这个容器的体积是 1695 . 6 立方厘米 。 29. 【解析】设小石头的体积为a 第二次溢出水的体积为 (2)3×(8÷2) 2 ×(15+3)-5×5×15=489( 立方厘米 )。 17. 【解析】放大后的面积 平方厘米
5 , 225 :(3×5)×(3×5)=225( )。
类型三 挖洞问题 答 这个模具需要用 立方厘米的陶土才能做成
a 则中石头的体积为 a a a 第三次溢出水的体积为 : 489 。 18. 解: 右 旋转后的图形如解图所示
2 , 2 + =3 , (1) 7; (2) ,13 4;
21. 【解析】挖掉一个小正方体 露出了藏起来的左 右两 a 则大石头的体积为 a a a a 所以 a a 所以 (3)3×8×(15+3)+3×(8÷2) 2 ×2+5×15×2×2=828( 平方厘 如解图所示 缩小后图形位置不唯一
A , 、 3 , 3 +3 - =5 , 5 ÷ =5, (3) ( )。
米
个面 所以表面积变大了 选 大石头的体积是小石头的 倍 )。
, , A。 5 。
22. 【解析】此题图的表面积为
答
:
这个模具的表面积是
828
平方厘米
。
120 4×4×6+1×1×6×4=120 30. 解: 3 分米 平方分米
平方厘米 (1)12× =9( ),9<11,330÷11=30( ), 专题 图形的操作与变换
( )。 4 40
23.
116
【解析】棱长为
4
厘米的正方体表面积
:4×4×6= 30×9÷(30×10-30)+9=10(
分米
)。 类型一 图形的平移、旋转、
平方厘米 棱长为 厘米的正方体侧面积 答 水面的高度变为 分米
96( ), 2 :2×2×4= : 10 。 缩放与对称(折叠)
平方厘米 棱长为 厘米的正方体侧面积 . 分米
16( ), 1 :1×1×4= (2)330×2÷(30×10)+9=11 2( )。
平方厘米 立方体的表面积 平方厘 答 水面的高度又变成了 . 分米 1. 2. 3.
4( ), :96+16+4=116( : 11 2 。 A B B
米 )。 所以最后得到的立方体的表面积是 116 平方厘米 。 (3)330×3÷(30×10)+9=12 . 3( 分米 ),12 . 3>12, 4. B 【解析】 A、D 选项对应的图形均有 1 条对称轴 ,B 选项 第 18 题解图
24. 解: 打孔后的表面积 原正方体的表面积 个小正 此时水会溢出 所以水面高度是 分米 对应的图形有 条对称轴 选项对应的图形没有对 19. 解: 如解图所示
(1) = -2 , 12 。 2 ,C (1) ;
方形的面积 孔中 个长方形的面积 即 答 水面的高度又变成了 分米 称轴 扫过的面积如解图所示
+ 4 , 4×4×6-1×1×2+ : 12 。 。 (2) 。
1×4×4=110(cm 2 )。 31. 1 . 6 或 1 【解析】情况一 : 若把长方体铁块的 15×10 作为 5. 3:40
答 : 打孔后的橡皮泥块的表面积是 110 cm 2 。 底面放入正方体容器 , 则水面上升的高度为 15×10×8÷ 6. B
打孔后的表面积 图 的表面积 个小正方形孔的 . 因为 . 所以水未浸 7. 【解析】由折叠的性及可知CE CF 所
(2) = ① -4 (30×30-15×10)=1 6(cm), 1 6+8<10, 8 = =10-6=4(cm),
面积 新打的孔中的八个小长方形的面积 即 没长方体铁块 容器内水面升高 . 情况二 若把长 以 CEF的面积是 2
+ , 110-4×1× , 1 6 cm; : △ 4×4÷2=8(cm )。
2 方体铁块的 作为底面放入正方体容器 则水面上 8. 【解析】图 空白部分的面积 阴影部分的面积 原
1+8×1×[(4-1)÷2]=118(cm )。 10×10 , 16 ② ∶ ∶
答 : 打孔后的橡皮泥块的表面积是 118 cm 2 。 升的高度为 10×10×8÷(30×30-10×10)=1(cm), 因为 1+ 三角形的面积 =(4-3) ∶ [3-(4-3)] ∶ 4=1 ∶ 2 ∶ 4, 原三
第
19
题解图
13根据勾三股四弦五可知 斜边AC是 格 也就是 厘米 24. 解:若要使图形的面积等于 就是涂 个方格 涂法如解 如解图 点P即为所求 32. 解: 画法不唯一 如解图 方法一 取各边中点顺次连
, 5 , 5 , 9, 9 , (2) , ; ( ) 。 :
图所示 答案不唯一 如解图 点Q即为所求 接 依据三角形中位线定理可得所画图形符合条件
线段BC所扫过的面积为 2 1 2 1 。 ( ) (3) , 。 , ;
3×5 × +4×3÷2-3×4 × -4×
4 4 方法二 将一边四等分 把等分点与这边相对的顶点连接 根
: , ,
. 平方厘米
3÷2=6 75( )。 据等底同高的三角形的面积相等可得所画图形符合条件
答 旋转过程中线段BC所扫过的面积是 . 平方厘米 ;
: 6 75 。 方法三 将一边二等分 分成两个三角形 再把两个三角
20. 解:作图如解图 答案不唯一 注意顶点必须在圆上 : , ,
。 ( , ) 形分别二等分即可
第 题解图 ;
24
方法四 将一边二等分 分成两个三角形 再把两个三角
25. 解:如解图所示 : , ,
。 形分别二等分 与方法三不相同 即可
( ) ;
方法五 将一边二等分 分成两个三角形 再把两个三角
: , ,
形分别二等分 与方法三 方法四不相同 即可
( 、 ) ;
第 题解图
27
方法六 先把一边的1 处与这边相对的顶点连接 再将所
28. 解:如解图所示 答案不唯一 : ,
。 ( ) 4
连线段三等分 连接等分点与相对的顶点即可
, 。
第 题解图
20
21. 解: 画出三角形A B C 如解图 所示
(1) 1 1 1 ① ;
画出两个面积不等的等腰三角形如解图 所示 画
(2) ② ,( 第 题解图 第 题解图
28 32
法不唯一 第 题解图
); 25 类型二 分割与拼接 33. 解:由图可得梯形的面积为 平方厘米
三角形ADE的面积 26. 解: 如解图 所示 CD不动 平移AB和EF 或者EF :(2+4)×4÷2=12( ),
三角形ACE的面积 : : 2 2 × × 3 3 - ÷ 1 2 × = 2 3 ÷2-1×2÷2-1×3÷2=2 . 5 不动 (1 平 ) 移AB和 ① CD , 画法不唯 , 一 任选 个即 , 可 29. 解:如解图所示 。 a的面积 :12× 1 =2( 平方厘米 ), b的面积 :12× 2 =
, ;( , 1 )
答 较小三角形ACE的面积是 . . 【解析】 . 1+2+3 1+2+3
: 2 5。 (2)3 5 3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2=9-1-1 5-3
平方厘米 c的面积 3 平方厘米
. 4( ), :12× =6( )。
=3 5。 1+2+3
如解图 所示 PE AB CD AB 答 三个三角形的面积分别为 平方厘米 平方厘米
(3) ② , ⊥ , ∥ ; : 2 、4 、
如解图 所示 ABC DEF 都是满足条件的三角 平方厘米
(4) ③ ,△ 、△ 第 题解图 6 。
形 画法不唯一 任选 个即可
29 画图如解图 画法不唯一
。 ( , 1 )
( )。
30. 如解图
(1) ;
如解图 A B C D是长方形的四个顶点 根据数对的
(2) : 、 、 、 ,
意义表示 A B C D
第 题解图 : (1,4), (8,4), (8,2), (1,2)。
21
22. 解:
(1)(3,1);
作出线段CD如解图 【作图提示】沿着直线MN作对 第 题解图
(2) ; 图 33
称,对应点连接后一定垂直对称轴,而且对应点到对称轴 ①
类型三 根据新定义按要求作图
的距离相等。
. 【解析】 34. 解:作图如解图所示
(3)4 5。 3×3-(1×1÷2+1×2÷2+2×2÷2+1×2÷ 第 题解图 :
. 30
2)=4 5。 周长约为 . 60
31. 解:本题需要尽可能 不合理 利用空间 使用尽可能少的 :2×3 14×3× ×3
“ ” , 360
四连方 占据空间 使余下的空白方格不能容下任何一
“ ” , . 1
=18 84× ×3
个 四连方 如解图所示 放入 个之后 再没有空间放 6 第 题解图
图 “ ”, , 3 , 34
② 任何一个 “ 四连方 ”, 而如果只放 2 个的话 , 还余下 25-2× =9 . 42( 厘米 )。
答 这个莱洛三角形的周长是 . 厘米
块 必然会存在连续的空间可以放下 四连方
: 9 42 。
4=17( ), “ ”。
第 题解图 所以最少放 个 四连方 就不能再放了 摆放方式不 35. 解: 画出裁剪线如解图
22 3 “ ” 。 ( (1)4, ①;
23. 【解析】如解图所示 一共有 种不同的补法 唯一 任选 个即可
4 , 4 。 , 1 )
图
③
第 题解图
26 第 题解图
35 ①
27. 解: 如解图 A B C 即为所求
第 题解图
23 (1) ,△ 1 1 1 ; 第 题解图 长方形ABCD的一边长是 另一边长为a的三元理
(2) 20,
31
14想长方形有以下四种 如解图 由折叠知 CBP C′BP 因为AD BC′ BC于点F 则QF QC PD 即 t t O到点B下行用时 秒 从点B到点O上行用时
, ②。 ,∠ =∠ , ∥ , , =2 cm, - =4(cm), 3 -(24- )= 12÷3=4( ),
所以 EPB C′BP 即 EPB EBP 所以BE PE 解得t 秒 所以从点A到点B用时 秒 从
∠ =∠ , ∠ =∠ , = , 4, =7 s。 12÷1=12( ), 6+4=10( ),
答 当t为 时 四边形PQCD是等腰梯形 点C到点O用时 秒 所以当 t 时 点M
因为S 1PE AB 而AB的长度不变 : 7 s , 。 4+12=16( ), 6< ≤10 ,
△ BEP= 2 · , , (3) 如解图 ③, AB 垂直于 BC , 且四边形 PQCD 是直角梯 表示 3 t -18, 点N表示 16- t , 所以L PM=|(3 t -18)-6|=|3 t -
所以当PE最长时 BEP的面积最大
,△ , 形 , 则PQ ∥ AB , 则点P走过的路程 = 点Q剩下的路程 。 所 24|, L PN=|16- t -6|=|10- t |, 根据题意得 |3 t -24|+|10- t |
又因为PE BE
= , 以AP BQ 即t t 解得t . 解得t . 或t 舍 当t 时 点M在BC段
= , =26-3, =6 5。 =8, =6 5 =11( ); >10 , ,
所以当BE最长时 BEP的面积最大
,△ , 答 当t为 . s时 四边形PQCD是直角梯形 点N在OP段 点M表示 t t 点N表示
: 6 5 , 。 , 12+2( -10)=2 -8, 12
而在 ABE中 只要当AE最长时 BE就最长
△ , , , t t 所以PM PN MN 即 t t
-( -4)=16- , + = =8, 2 -8-(16- )= 8,
所以当AE最长时 AP最长 AD
, = =8,
解得t 2 综上所述 t的值为 . 或 2
设PE BE x 则AE x =10 , , 6 5 10 。
= = , =8- , 3 3
第 35 题解图 ② 在 Rt△ ABE中 , AB =4, AB2 + AE2 = BE2 , 所以 4 2 +(8- x ) 2 = 图 ① 图 ② 8. 解: (1) 由图象可知 , 点 M 从点 C 到点 D 耗时 :36-20=
x2 解得x 所以PE
专题 图形运动问题 , =5, =5, 秒 即CD 此时S 1 CD AD 1 AD
16( ), =16, = × × = ×16× =96,
41 所以S 1PE AB 1 2 2
类型一 动点问题 △ BEP= · = ×5×4=10。 解得AD 所以AD CD
2 2 =12, =12, =16。
1. 解: 作图如解图所示 三角形ABC 和三角形ABC 是直 答 当AP 时 BEP的面积最大 最大值为 答 AD CD的长分别为
(1) , 1 2 : =8 ,△ , 10。 图 : 、 12、16。
角三角形 3. 解: 秒到 秒时 P点在DC上 PAB的面积是平行 ③ 由 可知AD CD 由题意得 当点Q运动到A停
。 (1)4 9 , ,△ (2) (1) + =28, ,
在三角形ABC 中 A ° ABC ° AB 四边形面积的一半 平行四边形的面积是 . 平方 第 题解图
(2) 2 ,∠ =45 ,∠ 2=90 , =4 cm, , 7 5×2=15( 5 止的时间为28秒 而点P运动到D的时间为12 秒 当
所以 BC AB 三角形 ABC 的面积为 1 厘米 AD 厘米 DC 厘米 平 6. 解: 当橡皮筋刚好触及钉子时 PQ为一条过对称中心 , =6 ,
2= =4 cm, 2 ×4×4= ), =1×4=4( ), =1×(9-4)= 5( ), (1) , 5 2
2 行四边形的周长是 厘米 O的线段 其中点P位于BC边上 点Q位于 AD边上 此 点P Q 都在 AD 边上 此时有以 PQ 为底边 CD 为高的
2 在三角形ABC 中 AC B ° 由解图可知 三 (4+5)×2=18( )。 , , , , , ,
角
8(
形
cm
A
)
B
;
C 的面积为三
1
角形
,∠
ABC
1
面
=
积
90
的
,
一半 即三角
,
形
答
:
这个平行四边形的面积是
15
平方厘米
,
周长是 时PQ将正方形ABCD分为两个完全一样的梯形
,
则PC
= CPQ AP t DQ t 而16 t
1 2 , △ , =2, =5 -16, ≤ <14。
ABC 1 的面积为 4 cm 2 。 18 厘 有 米 两 。 种情况 如解图 点P在DC上 S S AQ , 即 2+2-2 x = x , 解得x = 4 。 分以下三种情况讨论 5
(2) :① ①, , △ PBM∶ △ ABM= 3 :
PM AM DP AB 根据沙漏模型 PM AM DP AB 情况一 点P Q 都在 AD 边上 当点 P 在点 Q 上方时 则
∶ =3∶5, ∥ , , ∶ = ∶ = 答 当橡皮筋刚好触及钉子时 x的值为4 : , , ,
: , 。
3∶5, AB = DC =5 厘米 , 所以DP =3 厘米 , 此时点 P 运动了 3 PQ = AD - AP - QD =12-2 t -5 t +16=28-7 t ,
第 1 题解图 (4 P + M 3) A ÷ M 1=7( 秒 B ) P ;② A 如 D 解 根 图 据 ② 沙 , 点 漏模 P 型 在B P C M 上 A , M S △ P B BM P ∶ S A △ D ABM (2) 当x = 3 5时 , BP =2 x -2= 3 4 (cm), AQ = x = 3 5 (cm), y = S △ CPQ= 2 1 × PQ × CD = 2 1 ×(28-7 t )×16=8, 解得t = 2 7 7 ( 满足
答 中三角形ABC的面积为 2 或 2 = ∶ =3∶5, ∥ , , ∶ = ∶ = 条件
2. 解 : : (1) 如解图 当点A与点E 8 重 c 合 m 时 4 cm 。 3∶5, AD =4 厘米 , 则BP =3×4÷5=2 . 4( 厘米 ), CP =4-2 . 4 S 五边形AQOPB=[(1+ 4 )×1÷2]+[(1+ 5 )×1÷2]= 5 (cm 2 )。 );
(1) ①, , 3 3 2 情况二 点P Q都在AD边上 当点P在点Q下方时 PQ
. 厘米 此时点P运动了 . . 秒 : , , , =
=1 6( ), (9+1 6)÷1=10 6( )。
答 当x 5时 y的值为5 DQ AD AP t t t
: = , 。 -( - )=5 -16-(12-2)=7 -28,
3 2
POQ为直角时 x 的值为 【解析】点 P 运动到 S 1 PQ CD 1 t 解得t 29 满足
(3)∠ , 2。 △ CPQ= × × = ×(7 -28)×16=8, = (
2 2 7
点C 点Q运动到点D 两点运动的时间相同 POQ也就
, , ,∠ 条件
);
是 COD为直角 此时点 P 运动了 点 Q 运
图 ① 图 ② 动 ∠ 了 因此x , 的值为 2+2=4(cm), 情况三 : 当点P 在 CD 边上 , 点 Q 运动到点 A 时 , S △ CPQ=
第 题解图 2 cm, 2。
2 ① 第
3
题解图
7. 解: 个
1
×(28-2
t
)×12=8,
解得t
=
40
(
满足条件
)。
因为四边形ABC′D′为矩形 , 所以 ∠ ABC′ =90 ° , 答 点P的运动时间是 秒或 . 秒 (1)32-3×2×2=20( ) 2 3
由折叠可知 ,∠ EBP =∠ C′BP , 4. 解 : :点P Q只能在直线 7 AB上相 10 遇 6 则 。 点P旋转到直线AB 答 : 当t =3 时 , M和N两点在数轴上相距 20 个单位长度 。 综上所述 t 27或29或40
因为 ∠ EBP +∠ C′BP =∠ ABC′ =90 ° , 所以 ∠ EBP =45 ° 。 上的时间 , 为 ° ° 或 , ° ° °/ (2) 由题可知第 4 秒时 , N点到B点 , 开始上行 , 且速度为 , = 7 7 3 。
答 当 CBP为 °时 点E与点A重合 60 ÷30 /s=2(s) (60 +180 )÷30 s= 单位/秒 此时M点坐标为 还未到
: ∠ 45 , 。
设点Q运动的速度为y 则有 y
1 , -4, 0。 答
:
当
△
CPQ的面积为
8
时
,
t的值为27或29或40
。
当AP 时 BEP的面积最大 最大值为 8(s), cm/s, 2 =20-(2×2), 当M到O时 还需要 秒 此时N的位置为 7 7 3
(2) =8 ,△ , 10, , 4÷2=2( ), 12-2×
如解图 ②: 解
答
得
点
y
Q
=8
运
; 或
动的
8 y
速
=2
度
0,
为
解得 y =2
或
. 5。
.
1=10, 这时M下行 , N继续上行 , 相遇前速度不会再变化 , 类型二 动图问题
: 8 cm/s 2 5 cm/s。 . 秒 t . . 秒 9. 【解析】 度 圈
5. 解: 如解图 四边形PQCD是平行四边形 所以PD
10÷(1+3)=2 5( ), =4+2+2 5=8 5( )。 3 60×6+120×6=1 080( ),1080÷360=3( )。
(1) ①, , = 答 当M N两点相遇时 运动时间t的值为 . 秒
: 、 , 8 5 。 10. 【解析】直角三角形面积为 1 当圆半径
QC 即 t t 解得t 27 ×9×12=54,
答
,
当t
2
为
4- = 3
时
,
四边形
=6
P
。
QCD是平行四边形 (3)6
.
5
或
10
2 【解析】因为
“
折线数轴
”
定点P与O
、
B
等于三角形内切圆半径时 圆只能
2
固定在内切圆位置 直
: 6 s , 。 3 , ,
如解图 过点D作DE垂直BC于点E 则EC
(2) ②, , =26- 两点相距的长度相等 所以点P表示0+12 因为从点 角三角形内切圆半径为9+12-15 所以无法接触
第 题解图 四边形PQCD是等腰梯形 过点P作PF垂直 , =6。 =3,3=3,
2 ② 24=2(cm), , 2 2
15区域面积 = 三角形面积 - 内切圆面积 =54-3×3 2 =27。 第一种情况 : 正方形即将完全进入三角形时 , 两个图形重 当点P运动 7 秒时 , 因为S △ COP= S △ COB=6×6÷2=18( 平方
11. 解:如解图 由分析可得 第 段是弧AA 它的长度是 叠的面积是 平方厘米 厘米 米
, : 1 1, (2× 62 ,8-2=6( ), ),
正方形一共走了 厘米 走了 所以不重合部分的面积为S S S
1 :10+6+8= 24( ), 24÷2= 1- △ COB+ △ COP=9π-18+18=
π×4× )cm;
秒 平方米
4
12( ); 9π( )。
第 2 段是弧A 1 A 2, 它的长度是 (2×π×5× 1 )cm; 第二种情况 : 正方形开始离开三角形时 , 两个图形重叠部 答 : S 1 与 S 2 不重合部分的面积是 (9π-12) 平方米或
4 分的面积是 平方厘米 正方形一共走了 平方米
62 , :10+(26-6)= 9π 。
第 段是弧A E 它的长度是 1 厘米 走了 秒
3 2 , (2×π×3× )cm; 30( ), 30÷2=15( )。
4
答 第 秒和第 秒时 三角形和正方形重叠部分的面
: 12 15 ,
A点走过的路程长为 1 1
:2×π×4× +2×π×5× +2×π×3× 积是 平方厘米
4 4 62 。
1
=6π=18(cm)。
4
图
①
第 题解图
11
答 点A走过的路程的长为
: 18 cm。
12. 解:根据解图可以得到硬币刚好转动了三周 所以硬币回
,
到原来的位置后与A点重合的点仍然是 A点 而硬币圆
,
图
心的运动轨迹是三个半径为 厘米的半圆 故硬币圆心 ②
2 ,
第 题解图
运动轨迹的周长为1 厘米
×2π×2×3=6π( )。 13
2
14. 解: 点B与点O的距离为 1 4 米
(1) 8÷(1+ )=8÷ =6( ),
3 3
S 90 平方米
1= ×π×6×6=9π( )。
360
答 S 的值为 平方米
: 1 9π 。
如解图
(2) :
第 题解图
12
答 与原A点重合的点是A点 硬币圆心运动轨迹的周长
: ,
是 厘米
6π 。 图 图
① ②
13. 解: 如解图 正方形 秒钟移动的距离
(1) ①, 6 2×6=
第 题解图
厘米 正方形与三角形EFG重叠的一条边长为
14
12( ), 12-
由题意可知BP PO 当点P在点O左侧时 如解
厘米 ∶ =2 ∶ 1, ,
10=2( ),
图
由于三角形FEG是等腰直角三角形 所以 EFG °
, ∠ =45 , ①,
所以 重叠的小三角形也是一个等腰直角三角形 因为BO 米 所以BP 米 A B 两点间的距离为
=6 , =4 , 、 8-
, ,
米
即它的高也是 厘米 所以重叠部分的面积
2 , :2×2÷2= 6=2( ),
平方厘米
点P运动了AP 米 运动时长为 秒
=2+4=6( ), 6÷2=3( );
2( )。
答 第 秒时 三角形与正方形重叠部分的面积是 平方 当点P运动到点O右侧时 如解图 BP PO
: 6 , 2 , ②, ∶ =2 ∶ 1,
厘米 即BO PO 米 点P运动了AP 米 运动
。 = =6 , =2+6+6=14( ),
正方形的面积为 平方厘米 时长为 秒
(2) 8×8= 64( ),64-62= 14÷2=7( )。
平方厘米 所以当正方形漏出部分的面积是 平方厘 答 当点P运动 秒或 秒时 点P到点B的距离与点P
2( ), 2 : 3 7 ,
米时满足条件 因为 所以正方形漏出部分三 到点O的距离的比为
, 2×2÷2=2, 2 ∶ 1。
角形的边长是 厘米 当点P运动 秒时 S 平方米 不重合
2 。 (3) 3 , 2=4×6÷2=12( ),
如解图 正方形运动过程中存在如下两种情况 部分的面积为S S 平方米
②, , 1- 2=(9π-12) ;
16
