模块八
分数、百分数的应用
专题45
分数、百分数的意义及性质
类型一 分数单位
1.
A
2.
1
12 5 19 【解析】5
12的分数单位是1
12,它含有5 个这样
的分数单位,最小的质数是2,2×12-5= 19,再加上19 个这
样的分数单位就是最小的质数。
3.
15
16 【解析】这个分数是(1+ 7
8 )÷2= 15
16。
4.
1
4 + 1
12
类型二 分数意义
5.
1
8
3
8 25
6.
甲 【解析】甲彩带露出的部分占总长度的2
5 ,相当于把甲
彩带平均分成了5 份,露出的部分占2 份;乙彩带露出的
部分占总长度的3
7 ,相当于把乙彩带平均分成了7 份,露
出的部分占3 份。分别将两根彩带补全,画图如解图,甲
彩带更长。
第6 题解图
7.
B 【解析】红气球的个数是60× 3
5 = 36(个),黄气球的个
数是60÷ 3
5 = 100(个),所以黄气球多。
8.
6
11
类型三 带单位的分数与不带单位的分数
9.
B 【解析】倒出了10× 1
10 = 1(千克),1 千克> 1
10千克,所以
桶里的油与原来相比减少了。
10.
A 【解析】这条绳子变短说明剪去的1
4 比接上的1
4 米
长,即这条绳子的长度大于1 米。
11.
B 【解析】设这两根绳子的长度都为x 米,则第一根所剩
部分:x- 1
3 x- 1
3 = 2
3 x- 1
3 ;第二根所剩部分:x- 1
3 -(x-
1
3 )× 1
3 = 2
3 x- 2
9 ,因为2
3 x- 1
3 < 2
3 x- 2
9 ,所以第二根绳
子所剩部分长。
类型四 分数的基本性质
12.
B 【解析】设原分数是b
a ,则新分数是b+c
a+c, b+c
a+c - b
a =
a(b+c)-b(a+c)
a(a+c)
= c(a-b)
a(a+c),因为a>b,所以c(a-b)
a(a+c) > 0,即
新分数大于原分数。
13.
5 【解析】3×4
5×4 = 12
20,12-5
20-5 = 7
15,因此这个数是5。
14.
7
10 【解析】2 4
5 = 14
5 ,14÷2
5×2 = 7
10。
15.
44
2025 【解析】设原分数为a
b ,由a+1
b = 1
45得b= 45(a+1),
由a
b-1 = 1
46得b= 46a+1。联立得45(a+1)= 46a+1,解得
a= 44,b= 2025,原分数是44
2025。
16.
8
47 【解析】新分数的分子与分母的和:55+5+5 = 65,新
分数的分子与分母的总份数:1+4 = 5(份),新分数的分
子:65× 1
5 = 13,新分数的分母:65× 4
5 = 52,原分数的分
子:13-5= 8,原分数的分母:52-5 = 47,所以原来的分数
是8
47。
17.
9
4 【解析】由题可得a+c
3 +b+c
4 +c+c
6 = 6,则( a
3 + b
4 + c
6 )+
3
4 c= 6,因为c
6 是最简真分数,所以c= 1 或c = 5。当c = 1
时, 3
4 c= 3
4 ,则a
3 + b
4 + c
6 = 6- 3
4 = 21
4 ,因为a
3 , b
4 , c
6 都
是最简真分数,所以a
3 <1, b
4 <1, c
6 <1,则a
3 + b
4 + c
6 <3,
所以a
3 + b
4 + c
6 = 21
4 不符合题意;当c = 5 时, a
3 + b
4 + c
6 =
6- 3
4 ×5= 9
4 ,符合题意。
18.
203 【解析】根据题意,设这三个最简分数分别是3a
5b、
2a
9b、4a
15b,其中a、b 互质。3a
5b + 2a
9b + 4a
15b = 49a
45b = 7×7×a
5×3×3×b =
28
45,所以a= 4,b= 7,所以三个分数的分母相加是7×(5+9
+15)= 203。
19.
240 120 【解析】将385 分解质因数可得385= 5×7×11,
在1~385 中,5 的倍数有77 个,7 的倍数有55 个,11 的倍
数有35 个,其中5×7= 35 的倍数有11 个,5×11 = 55 的倍
数有7 个,7×11 = 77 的倍数有5 个,385 的倍数有1 个。
由容斥原理可得,在1 ~ 385 中,能被5、7 或11 整除的数
有77+55+35-(11+7+5) +1 = 145(个),所以最简真分数
有385 - 145 = 240 ( 个)。因为当a
385 是最简真分数时,
385-a
385 也是最简真分数,且与a
385的和恰好为1,即最简真
分数都是385 成对出现的且每对分数之和都是1,240 个
最简真分数可以分成120 对,故和为120。
类型五 百分数的意义
20.
D 21.
120%
专题46
分数的实际应用题
类型一 量率对应
1.
B 【解析】把这瓶牛奶的重量看作单位“1”,如果喝掉1
3
后,还剩下这瓶牛奶的1- 1
3 = 2
3 ;如果喝掉一半后,还剩
下这瓶牛奶的1- 1
2 = 1
2 ,这瓶牛奶重(800- 700) ÷( 2
3 -
1
2 )= 600(克),瓶子重800-600× 2
3 = 400(克)。
2.
B
【解析】把长的一根蜡烛剩下的长度看着单位“1”,所
以较长的蜡烛燃烧后的长度是(8- 6) ÷ (1 - 3
5 ) = 5( 厘
米),则每段燃掉8-5= 3(厘米)。
3.
42 【解析】原来两个班总人数:30÷(1- 1
3 - 1
4 )= 72(人),
新一班与新二班共有学生72-30= 42(人)。
4.
300 【解析】30÷( 7
7+3- 3
3+2)= 300(页)。
5.
120 【解析】[36÷(1- 1
3 )+36]÷(1- 1
4 )= 120(立方米)。
6.
240 【解析】把一篓苹果看作单位“1”,丙分得其余苹果的
1
2 ,最后剩下的苹果正好等于一篓苹果的1
8 ,说明丙分得
的也正好等于一篓苹果的1
8 ,那么甲和乙分得的应该是一
篓苹果的1- 1
8 - 1
8 = 3
4 ,这篓苹果有(5+7)÷( 3
4 - 1
5 - 1
2 )
= 240(个)。
7.
解:甲盘放了总数的20%,乙盘放了总数的1
3 ,则丙盘放了
总数的(20%+ 1
3 ) × 3
4 = 2
5 ,则水果糖的总数为16÷(1-
20%- 1
3 - 2
5 )= 240(块)。
答:这些水果糖一共有240 块。
8.
解:根据题意可知,整批书共打了14+11 = 25(包),第一次
拿出的书相当于整批书的14
25还多35 本,而它又是整批书
的7
12,所以这批书有35÷( 7
12-14
25)= 1500(本)。
答:这批书共有1500 本。
9.
解:5÷(1- 1
7 )÷(1- 1
5 )÷(1- 1
3 )= 175
16 (斗)。
答:这个人原来背了175
16 斗米出关。
10.
解:小丁分得:12÷(1- 1
3 )= 18(万元)
小李分得:(18+12)÷(1- 1
3 )-18= 27(万元)
小王分得:(27+18+9)÷(1- 1
3 )-18-27= 36(万元)
答:小王分得36 万元,小李分得27 万元,小丁分得18
万元。
11.
解:将三种蔬菜的总质量看作单位“1”,则萝卜的质量占
三种蔬菜总质量的2
5 ,青菜和土豆的总质量占三种蔬菜
总质量的1- 2
5 = 3
5 ,将土豆的质量看作单位“1”,则土豆
质量占三种蔬菜总质量的3
5 ÷(1+1- 3
4 )= 12
25,三种蔬菜
总质量:360÷( 12
25- 2
5 )= 4500(千克),萝卜的质量是4500
× 2
5 = 1800(千克)。
答:食堂买来萝卜1800 千克。
类型二 转化单位“1”
12.
A 【解析】50×(1- 1
10)×(1+ 1
10)= 49. 5(千克),49. 5<50。
13.
1
9 【解析】设乙数为1,则甲数为1+ 1
8 = 9
8 ,乙数比甲数
小( 9
8 -1)÷ 9
8 = 1
9 。
14.
1
11
【解析】将原计划的时间和路程都看作单位“1”,则
原计划的速度是1÷ 1 = 1,选手跑完全程时间是1×(1-
1
12)= 11
12,速度是1÷ 11
12 = 12
11,速度比原计划快( 12
11 - 1) ÷
1= 1
11。
15.
1
11
【解析】水结成冰时,单位“1”为水;冰化成水时,单
位“1”为冰。1×(1+ 1
10)= 1× 11
10 = 11
10,( 11
10 -1) ÷ 11
10 = 1
10 ÷
1
11
10 = 1
11。
16.
15 【解析】24× 5
3+5 = 15(小时)。
17.
8 【解析】儿童饭的1
2 占全部饭的
1
2+3+4 = 1
9 ,儿童饭有
36× 1
9 ×2= 8(份)。
18.
解:台下的总人数不变,原来台下女生人数是台下总人数
的7
7+8 = 7
15,后来台下女生人数是男生人数的80% = 4
5 ,
即后来台下女生人数是台下总人数的4
4+5 = 4
9 ,前后台下
的女生相差1 人,台下的总人数:1÷( 7
15- 4
9 )= 45(人),
这个班共有学生:45+1= 46(人)
答:这个班共有学生46 人。
19.
解:将四人捐款的总数看作单位“1”,
甲捐款数占四人总捐款数的1
1+2,乙捐款数占四人总捐款
数的1
1+3,丙捐款数占四人总捐款数的1
1+4,
182÷(1- 1
1+2- 1
1+3- 1
1+4)= 840(元)
答:四人共捐款840 元。
20.
1
6 【解析】第二天蒸发了(1- 1
3 ) × 3
4 = 1
2 ,容器内剩下
的酒精占原来的(1- 1
3 - 1
2 )÷1= 1
6 。
21.
2 【解析】1000×(1- 1
2 ) ×(1- 1
3 ) ×(1- 1
4 ) ×…×(1-
1
499)×(1- 1
500)= 1000× 1
2 × 2
3 × 3
4 ×…×489
499×499
500 = 1000×
1
500 = 2。
22.
解:将油箱的容量看作单位“1”。
第一段用了全部油的2
5 ,剩下:1- 2
5 = 3
5
第二段用了全部油的: 3
5 × 1
4 = 3
20,还剩下: 3
5 ×(1- 1
4 )
= 9
20
第三段用了全部油的: 9
20 × 1
2 = 9
40,还剩下: 9
20 ×(1- 1
2 )
= 9
40
油箱的容量:46. 5÷(1- 9
40)= 60(升)
答:油箱的容量是60 升。
23.
解:(1)购进苹果:600× 2
5 = 240(千克)
答:水果超市购进苹果240 千克。
(2)购进香蕉:600×(1- 2
5 )×(1- 2
5 )= 216(千克)
苹果比香蕉多:240-216= 24(千克)
答:购进的苹果比香蕉多24 千克。
(3)购进桔子:600-240-216= 144(千克),桔子的进价:
3×(1+ 1
3 )= 4(元/ 千克),苹果的进价:4× 5
4 = 5(元/ 千
克),三种水果的总成本:240×5+144×4+216×3= 2424
(元),三种水果的总售价:2424 × (1 + 3
4 ) × ( 1 - 1
6 ) =
3535(元),共赚:3535-2424= 1111(元)。
答:该超市共赚1111 元。
24.
17 【解析】因为甲数× 3
4 = 乙数× 2
3 ,所以甲数= 乙数×
2
3 ÷ 3
4 =乙数× 8
9 ,甲数+乙数=乙数× 8
9 +乙数= 乙数×(1
+ 8
9 )= 乙数× 17
9 。因为甲、乙两数是自然数,所以甲、乙
两数之和也是自然数。要使甲、乙两数之和最小,乙数只
能是9,甲数是8,则甲、乙两数和的最小值是17。
25.
60 【解析】红气球数量是蓝气球数量的3
4 ÷ 1
2 = 3
2 ,蓝
气球有30÷( 3
2 -1)= 60(个)。
专题47
百分数的实际应用题
类型一 生活中的百分率
1.
D 【解析】(6×50%+4×25%)÷(6+4)×100% = 40%。
2.
95%
【解析】种子总数为40+ 60 = 100(粒),总发芽数:
(40-2)+57= 95(粒),发芽率: 95
100×100% = 95%。
3.
62% 【解析】当四个季度没有全勤的人互不相同时,全年
没有全勤的人最多,设全厂有100 人,100×(1-90%)+100×(1-
86%)+100×(1-92%)+100×(1-94%)= 38(人),所以全勤
的至少有100-38 = 62(人),全年全勤率至少为62÷ 100×
100% = 62%。
4.
78. 5 【解析】每个圆的直径为正方形边长的一半,正方形
的面积为10×10 = 100(平方厘米),那么四个圆的面积为
3. 14×(10÷2÷2)
2 × 4 = 78. 5( 平方厘米),利用率= 78. 5÷
100×100% = 78. 5%。
类型二 量率对应
5.
C
【解析】把这批零件的总数看作单位“1”,则零件总数
为(15-5)÷(60%+50%-1)= 100(个)。
6.
60 【解析】24÷( 2
3 - 2
3 ×40%)= 60(千克)
7.
8 【解析】使答题正确率达到85%,那么答错的题目占1-
85% = 15%,即一共答了6÷15% = 40(道) 题,至少还要连
续答对40-26-6= 8(道)题。
8.
560 【解析】甲书架剩余:600×(1- 1
3 )= 400(本),乙书架
剩余:(400 - 120) ÷ 2 = 140( 本),乙书架原有:140 ÷ ( 1 -
75%)= 560(本)。
9.
解:20 千克西瓜含水量98%,果肉占总质量的1- 98% =
2%,果肉质量为20×2% = 0. 4(千克)。
晾晒后,含水量变成了95%,这时果肉占全部水果质量的
1-95% = 5%,晾晒后水果总质量为0. 4÷5% = 8(千克)。
答:晾晒后西瓜的质量是8 千克。
10.
解:李阿姨每月的日常开支占工资的百分比:(1-30%) ×
(1+10%)= 77%,李阿姨每月存入的钱占工资的百分比:
1-77% = 23%,李阿姨比张阿姨每月少存:5880 ÷ 12 =
490(元),李阿姨的工资:490÷(30%-23%)= 7000(元)。
答:李阿姨的月工资是7000 元。
类型三 转化单位“1”
11.
20 【解析】将西瓜数量看作单位“1”,则桃子数量为1+
25% = 1. 25,西瓜的数量比桃子少(1. 25-1)÷1. 25×100%
= 20%。
12.
A 【解析】设原价是1,1×(1-20%)= 0. 8,(1-0. 8)÷0. 8×
100% = 25%。
13.
162 【解析】共需付20000×(1-10%) ×(1-10%) ×100 =
1620000(元)= 162(万元)。
14.
75 【解析】设原来的人数为1,产量为1,则现在的人数
为1- 1
5 = 4
5 ,产量为1+40% = 140%,所以现在的生产效
率为140%÷ 4
5 = 175%,175%-1= 75%。
15.
32 【解析】第一次喝完还剩1-20% = 80%的纯牛奶,加
水搅匀后喝去60%,杯中的纯牛奶是杯子容积的80%×(1-
60%)= 32%。
16.
解:因为第一包糖与第二包糖数量之比为2 ∶3,可设第一
包糖有20 块,则第二包糖有30 块,设巧克力糖在第二包
糖中所占的百分比为x,则巧克力糖在第一包糖中所占的
百分比为2x,20×2x+30x= 28%×(30+20),解得x = 20%,
巧克力糖在第一包中的占比:2×20% = 40%,水果糖在第
一包糖中占比为1-25%-40% = 35%,两包糖混合后水果
糖的占比为(20×35%+30×50%)÷(20+30)= 44%。
答:当两包糖合在一起时,水果糖占44%。
类型四 抓不变量解题
17.
94. 4%
【解析】将原来煤的重量看作单位“ 1”, ( 1 -
15%)÷(1-10%)= 94. 4%。
18.
9 【解析】将乙桶的油量看作单位“1”,原来甲桶的油是
两桶油总量的50%÷(1+50%)= 1
3 ,后来甲桶的油的量是
两桶油总量的80%÷(1+80%)= 4
9 ,两桶油总量:3÷( 4
9 -
1
3 )= 27(升),原来甲桶中有27× 1
3 = 9(升)。
19.
解:(1)设2020 年晚熟李种植面积有x 亩,则早熟李种植
面积有3x 亩,
依题意得:40000
x
- 60000
3x
= 1000,解得:x = 20,经检验,x =
20 是原方程的解,且符合题意,即3x= 3×20= 60。
答:2020 年早熟李种植面积有60 亩,晚熟李种植面积有
20 亩。
(2) 2020 年早熟李平均每亩收益为60000 ÷ 60 = 1000
(元),
2020 年晚熟李平均每亩收益为40000÷20= 2000(元),
依题意得:1000(1+a%) ×60(1- 1
3 a%) +2000(1+25%) ×
20(1-50%)= 60000+40000,整理得:a
2 - 200a+ 7500 = 0,
解得a1 = 150(不合题意,舍去),a2 = 50。
答:a 的值为
50。
专题48
浓度问题
类型一 蒸发
1.
240 【解析】设原来的盐水是x 千克,x×0. 5% =(x-236)×
30%,解得x= 240。
2.
解:她的“盐结晶”实验会成功,理由如下:
盐的质量是240× 1
5+1 = 40(克),
盐水浓度是40÷120≈33. 3%,
33. 3%>26. 5%,即120 克食盐水的盐水浓度是33. 3%,大
于“盐结晶”要求的盐水浓度,实验会成功。
答:她的“盐结晶”实验会成功。
3.
解:设其中一份盐水为x 克,则另一份盐水为(200-x)克。
根据题意列方程为10%x+5
x+5
=(200-x)·10%
200-x-5
,
解得x= 175,经检验x= 175 是方程的解。
则另一份盐水有200-175= 25(克)。
答:较少的那一份盐水原来有25 克。
类型二 加浓
4.
20 【解析】含盐率变为20%,水的占比为1-20% = 80%,
2
加盐后盐水总质量为200÷80% = 250(克),原来盐水的质量
为30+200 = 230(克),需要加入的盐的质量为250-230 = 20
(克)。
5.
A 【解析】原来盐占盐水的
1
1+11 = 1
12,设原有盐水x 克,则
1
12x+15= 1
9 (x+15),解得x= 480°
6.
20 【解析】设原来有x 克15%的盐水,则(15%x+1)÷(x+
39+1)×100% = 10%,解得x= 60,设再加入y 克盐,则(60×
15%+1+y)÷(60+39+1+y)×100% = 25%,解得y = 20,即再
加入20 克盐,浓度变为25%。
7.
39. 33% 【解析】第一次加糖后浓度为30%:水占1-30%
= 70%,糖是水的30%
70% = 3
7 ,第二次加糖后浓度为35%:水
占1-35% = 65%,糖是水的35%
65% = 7
13,每次加的糖的量是7
13
- 3
7 = 10
91,第三次加的糖和前两次相同,因此糖有7
13 + 10
91 =
59
91,此时糖水浓度是59
91÷(1+59
91)≈39. 33%。
8.
33. 3% 【解析】把加完水和酒精后的酒精溶液分成5 份,
因为酒精含量是40%,所以其中有2 份纯酒精,3 份水(解
图①;加入纯酒精前酒精含量为25%,即纯酒精与水之比
是1 ∶3,因此应该是1 个△和3 个○(解图②);则加入的
一杯纯酒精相当于1 个△,一杯水相当于1 个○,原来容
器中有1 个△和2 个○(解图③)。即酒精含量为1÷(2+
1)×100%≈33. 3%。
第8 题解图
类型三 稀释
9.
C 【解析】25÷(25+100)= 20%,20%<25%,所以这时盐水
的含盐率小于25%。
10.
A 【解析】设有100 克含量为36%的酒精,第一次加了x
克的水后稀释成浓度为30%的酒精,所以可列方程(100+
x)×30% = 100×36%,解得x = 20,第二次加了y 克的水后
稀释成浓度为24% 的酒精,( 100 + 20 + y) × 24% = 100 ×
36%,解得y= 30,30÷20= 1. 5,所以第二次加水量是第一
次加水量的1. 5 倍。
11.
10 【解析】第一次加入一定量的水后,水占盐的:100-15
15
=
17
3 ;第二次又加入同样多的水,水占盐的:100-12
12
= 22
3 ;每
次加入的水占盐的:22
3 - 17
3 = 5
3 ;第三次再加入同样多的
水,水占盐的:22
3 + 5
3 = 27
3 ,此时盐水的含盐百分比:
3
27+3
×100% = 10%。
一题多解第一次加入一定量的水后,盐水含盐量的百
分比变为15%,第二次又加入同样多的水,盐水含盐量的
百分比变为12%,那么由含盐量不变,第二次又加入同样
多的水后,含盐量= 第一次加入一定量的水后的盐水×
12%+第二次所加入的水的重量×12% = 第一次加入一定
量的水后的盐水×15%,所以第一次加入一定量的水后的
盐水∶所加入一定量的水= 12% ∶15%-12% = 4 ∶1;所以
未加水时的盐水中,每次所加入一定量的水=(4-1) ∶1=
3 ∶1;所以第三次加入同样多的水,盐水含盐量的百分比
将变为
3+1
3+1+1+1×15% = 10%。
12.
600 【解析】设要倒入x 千克水,由题意,得300×10%
300+x
=
120×20%
120+x
,解得x= 600,经检验x= 600 是方程的解。所以
要倒入600 千克水。
13.
解:喝了1
3 后,含糖率没变,只需要把这5 g 糖配成含糖率
为20%的糖水即可,所以应加水5÷ 20% - 5 = 20( 克)。
答:应加水20 克。
类型四 配制
14.
590 【解析】(10+200×5%)÷2. 5%-200-10= 590(克)。
15.
6. 5% 【解析】假设A 蜂蜜水的质量为m1,B 蜂蜜水的质
量为m2,因为混合之后蜂蜜的质量不变,所以m1 × 8% +
m2×5% =(m1+m2)×6. 2%,整理可得
m1
m2
= 6. 2%-5%
8%-6. 2% = 2
3 ,
所以A 蜂蜜水和B 蜂蜜水的质量比是2 ∶3,2× 1
4 = 1
2 ,
3× 1
6 = 1
2 ,所以A 蜂蜜水和B 蜂蜜水是等质量混合,则混
合后的浓度为(8%+5%)÷2= 6. 5%。
16.
30
【解析】设C 种盐水有x 升, 10×10%+30%x
10+x
=
30×20%+30%x
30+x
,解得x= 30,经检验x= 30 是原方程的解。
17.
6 【解析】含盐70%的溶液与含盐58%的溶液配制成含
盐62%的溶液,所需体积的比是(62- 58) ∶(70- 62) =
1 ∶2,设第一次混合时含盐70% 的溶液取x 升,则含盐
58%的溶液应取2x 升,根据题意得(x+15) ∶(2x+15)=
(63. 25-58) ∶(70-63. 25),解得x = 6,所以第一次混合
时含盐70%的溶液取了6 升。
18.
解:若甲、乙混合后浓度为7%,则甲、乙的用量比为:(8%
-7%) ∶(7%-5%)= 1 ∶2。若甲、丙混合后浓度为7%,
则甲、丙的用量比为:(9%-7%) ∶(7%-5%)= 1 ∶1。甲
用最多时,丙全用,余下的用甲、乙进行补充,甲、丙混合过
程中甲和丙各用47 克,还需再配制7%的盐水100-47×
2= 6(克),此时用甲、乙配制还需甲6× 1
1+2 = 2(克),甲最
多用47+2= 49(克)。甲用最少时,乙全用,余下的用甲、
丙进行补充,乙有60 克,甲用掉30 克,还需再配制7%的
盐水100-60-30 = 10(克),此时用甲、丙配制还需甲10×
1
1+1 = 5(克)。甲最少用掉30+5 = 35(克)。所以甲种盐
水最多取49 克,最少取35 克。
答:甲种盐水最多取49 克,最少取35 克。
一题多解设甲、乙、丙盐水分别各取x 克、y 克、z 克,配
成浓度为7%的盐水100 克,
则
x+y+z= 100①
5%x+8%y+9%z= 7%×100②
{
,
其中0≤x≤60③,0≤y≤60④,0≤z≤47⑤,
由①②得y= 200-4x,z= 3x-100,
由④可知0≤200-4x≤60,解得35≤x≤50,
由⑤可知0≤3x-100≤47,解得33 1
3 ≤x≤49。
答:甲种盐水最多取49 克,最少取35 克。
19.
解:设乙溶液的浓度为x%,则甲溶液的浓度为(x+6)%,
丙溶液的浓度为x
4 %,甲、乙、丙三种溶液的质量分别为
A,B,C,依题意有如下关系:
Bx+A(x+6)
A+B
=x+6-2. 4,化简得3. 6B = 2. 4A,即3B = 2A①,
Bx+C× x
4
B+C
= x - 2. 25, 化简得3Cx
4 - 2. 25C = 2. 25B ②;
A(x+6)+C× x
4
A+C
=x,化简得3Cx
4 = 6A③,将③代入①,得B =
Cx
12,再将B= Cx
12代入②,得x= 4,即乙溶液的浓度为4%,
则甲溶液的浓度为10%,丙溶液的浓度为1%。将x = 4
代入②,得C= 3B,所以A ∶B ∶C= 3 ∶2 ∶6。
答:甲、乙、丙三瓶溶液的质量比是3 ∶2 ∶6,它们的浓度
分别是10%,4%,1%。
20.
解:(1) 设A、B、C 三个容器内盐水的质量分别为100a
克、100b 克、100c 克,a、b、c 均为正整数,且满足a+b+c =
12。设A、B、C 三个容器内盐水的浓度分别为x%、
y%、z%。
A 和B 的盐水混合,得到浓度为3%的盐水,即100a×x%+
100b×y% = 3%×(100a+100b)①;
A 和C 的盐水混合,得到浓度为8. 3%的盐水,即100a×
x%+100c×z% = 8. 3%×(100a+100c)②;
B 和C 的盐水混合,得到浓度为8%的盐水,即100b×y%+
100c×z% = 8%×(100b+100c)③;
A、B、C 的盐水都混合,得到浓度为7. 5%的盐水,即100a×
x%+100b×y%+100c×z% = 7. 5%×1200④。
①+②+③得:2×(100a×x%+100b×y%+100c×z%)= 3%×
(100a+100b) +8. 3%×(100a+100c) +8%×(100b+100c)
⑤,而由④可得100a×x%+100b×y%+100c×z% = 90,代入
⑤,可得3%×(100a+100b) +8. 3% ×(100a+ 100c) + 8% ×
(100b+100c)= 180⑥,
又因为c= 12-a-b,代入⑥可得50a+53b= 156,
所以b= 2,因此a= 1,c= 9。
A:100a= 100×1= 100(克)
B:100b= 100×2= 200(克)
C:100c= 100×9= 900(克)
答:A 容器内盐水的质量为100 克,B 容器内盐水的质量
为200 克,C 容器内盐水的质量为900 克;
(2)A、B、C 的盐水都混合,得到的盐水中盐的质量为
7. 5%×1200= 90(克),B 和C 的盐水混合,得到的盐水中
盐的质量为8%×(200+900)= 88(克),所以A 的盐水中盐
的质量为90-88=2(克),A 的盐水浓度:2÷100×100% = 2%;
同理可得B 的盐水中盐的质量为90-8. 3%×(100+900)=
7(克),B 的盐水浓度:7÷200×100% = 3. 5%;C 的盐水中
盐的质量为90- 3% ×(100+ 200) = 81( 克),C 的盐水浓
度:81÷900×100% = 9%。
答:A 容器内盐水的浓度为2%,B 容器内盐水的浓度为
3. 5%,C 容器内盐水的浓度为9%。
类型五 溶液互换
21.
8% 【解析】先把盐水看成2 部分,即盐水= 盐+水,甲容
器里的盐可以算出:500× 20% = 100(克),水:500- 100 =
400(克);然后甲给乙一半,甲这时有50 克盐,200 克水,
乙这时有500+200 = 700(克)水,50 克盐. 将乙中一半的
盐水再倒入甲:这时甲有75 克盐,550 克水,盐水总质量
为75+550= 625(克),浓度为75÷625×100%=12%,这时乙
有25 克盐,350 克水,总质量为375 克,使甲、乙的盐水重量
相同,则甲需给乙盐水:(625-375)÷2= 250÷2= 125(克),甲
倒给乙的盐水中含盐:125×12% = 15(克),水:125-15 = 110
(克),此时乙中盐水的浓度25+15
375+125×100%=8%。
22.
【思路分析】由于交换前后两容器溶液的总重量均没有改
变,而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原来两容器中
溶液的浓度由不同变为相同,那么最终的浓度就是甲乙
完全混合后的浓度,相当于最终浓度是16%的硫酸溶液
3
和40%的硫酸溶液按照300 ∶200 = 3 ∶2 进行混合,即甲
中剩余的16%的溶液和乙取出的40%溶液之比等于甲取
出的16%溶液和乙剩余的40%溶液之比,且都等于3 ∶2。
解: 设从甲、乙两个容器各取出a 千克溶液, 则
(300-a) ∶a=a ∶(200-a)= 3 ∶2,解得a= 120。
答:从甲、乙两个容器各取120 千克硫酸溶液分别放入对
方容器中,才能使这两个容器中硫酸溶液的浓度一样。
23.
解:设乙瓶中酒x 斤,则水(2-x)斤,由“从乙瓶取1 斤注
入丙瓶”,即取1
2 倒入丙瓶,则乙瓶中酒剩下1
2 x 斤,酒水
共1 斤,丙瓶中现在有1
2 x 斤酒,丙瓶中共重3 斤;又从甲
瓶取1 斤注入乙瓶,现在乙瓶中有(1+ 1
2 x)斤酒,共2 斤;
最后从丙瓶取1 斤注入甲瓶,即取了1
3 倒入甲中,剩下
1
2 x× 2
3 = 1
3 x(斤)的酒,由题可列方程:
1+ 1
2 x= 4× 1
3 x,解得x= 1. 2,
1+ 1
2 ×1. 2= 1. 6(斤),所以乙瓶内混合液中米酒和水的
比是1. 6 ∶(2-1. 6)= 4 ∶1。
答:现在乙瓶内混合液中米酒和水的比是4 ∶1。
类型六 重复操作
24.
125 【解析】第一次从乙中倒给甲一半,其中含有纯酒精
400×50%× 1
2 = 100(升);第二次,混合后从甲中倒一半给
乙,其中倒出纯酒精100× 1
2 = 50(升),此时甲中还剩纯
酒精100- 50 = 50(升);第三次未倒前乙中含有纯酒精
100+50= 150(升),混合后倒一半给甲,其中倒出纯酒精
150× 1
2 = 75 ( 升),此时甲中含有50 + 75 = 125 ( 升) 纯
酒精。
25.
75%
【解析】设整瓶水为1,第一次倒出后剩余水量是
1
2 ,第二次倒出后剩余水量是1
2 - 1
2 × 1
3 = 1
3 ,第三次倒
出后剩余水量是1
3 - 1
3 × 1
4 = 1
4 ,所以酒精占1- 1
4 = 3
4 =
0. 75= 75%,即这时的酒精占全部溶液的75%。
26.
解:第一次喝完后杯中还有40×(1- 3
5 )= 16(克)橘子粉,
加入20 克后有16+20= 36(克);第二次喝完后杯中还有
36×(1 - 3
5 ) = 72
5 ( 克),再加入20 克后有72
5 + 20 = 172
5
(克);第三次喝完杯中还有172
5 ×(1- 3
5 )= 13 19
25(克)。
答:此时杯中所剩橘子水中含橘子粉13 19
25克。
27.
解:第1 次倒后,乙杯中溶液的浓度是25% × 50% ÷(1+
25%)= 10%,
第2 次倒后,甲杯中溶液的浓度是(50%+25%×10%)÷(1
+25%)= 42%,
第3 次倒后,乙杯中溶液的浓度是(25%×42%+10%)÷(1
+25%)= 16. 4%。
答:此时乙杯中盐溶液浓度是16. 4%。
类型七 倒推还原
28.
解:乙容器倒入盐水到丙容器,此时丙容器中盐的质量为
(80+20)×3% = 3(克),
这3 克盐来自乙容器倒出的20 克盐水,乙容器中溶液的
浓度为3÷ 20× 100% = 15%,乙容器中盐的质量为(80+
20)×15% = 15(克),这15 克盐来自甲容器倒出的20 克
盐水,所以甲容器中盐水的浓度为15÷20×100% = 75%。
答:甲容器中盐水的浓度为75%。
29.
解:丙试管中盐的质量为(30+10)×0. 5% = 0. 2(克),则倒
入丙试管的10 克盐水浓度为0. 2÷10×100% = 2%,即乙试
管中盐水浓度为2%,则乙试管中盐的质量为(20+10)×2% =
0. 6(克),从甲试管中倒入乙试管10 克盐水浓度为0. 6÷
10×100% = 6%,即甲试管中盐水浓度为6%,甲试管中盐
的质量为(10+10)×6% = 1. 2(克),最早倒入甲试管的盐
水浓度为1. 2÷10×100% = 12%。
答:最早倒入甲试管中的盐水质量分数是12%。
4
