模块五
找规律
专题28
数字、式、表找规律
类型一 数列规律
1.
109
126 【解析】观察数列可知,分母是2 的分数有1 个,分母
是4 的分数有2 个,分母是6 的分数有3 个,根据1+2+3+
…+62= 1953,1+2+3+…+63= 2016,即数列中第2008 项的
分母是2×63= 126,2008-1953= 55,所以该项的分子为55×
2-1= 109,所以数列中第2008 项是109
126。
2.
(n+2)
2
(n+2)
2-4
【解析】观察所给数据9
5 ,16
12,25
21,36
32,…,得知
分子是(n+2)
2, 分母比分子小4, 则第n 个数据
是(n+2)
2
(n+2)
2-4
。
3.
111 【解析】分母为1 到10 的分数的总个数是1+3+5+7+
9+11+13+15+17+19= 100(个),分母为11 的分数,按顺序
11
11是第11 个,从左数第100+11= 111(个)分数是11
11。
4.
6068 【解析】因为2,5,8,11,14,…,是等差数列,首项为
2,公差为3,所以第2023 个数是2+(2023-1)×3= 6068。
5.
8. 5 【解析】设从1 层到2 层用时为x 秒,则从2 层到3 层
用时(x+2)秒,从3 层到4 层用时(x+2+2)秒,从4 层到5
层用时(x+2+2+2)秒,从5 层到6 层用时(x+2+2+2+2)
秒,由题意得x+x+2+x+2+2+x+2+2+2+x+2+2+2+2 = 90,
解得x = 14,从17 层到18 层用时14+(18- 1- 1) × 2 = 46
(秒),到18 层需要(14+46)×(18-1)÷2 = 510(秒),510 秒
= 8. 5 分钟。
6.
89 【解析】登上第1 级,1 种;登上第2 级,2 种;登上第3
级,1+2= 3(种);登上第4 级,2+3= 5(种);登上第5 级,3+
5= 8(种);登上第6 级,5+8= 13(种);登上第7 级,8+13 =
21(种);登上第8 级,13+21 = 34(种);登上第9 级,21+34
= 55(种);登上第10 级,34+55= 89(种)。
7.
377 【解析】规律为:从三月份开始,每月存放的钱数是前
两个月钱数的总和,所以6 月份存钱:8+13 = 21(元),7 月
份存钱:21+13= 34(元),8 月份存钱:34+21= 55(元),9 月
份存钱:55+34= 89(元),10 月份存钱:89+55 = 144(元),
11 月份存钱:144+89 = 233(元),12 月份存钱:233+144 =
377(元)。
8.
334 【解析】这串数是按照“奇奇偶”的顺序循环重复排列
的,即每过3 个数循环一次,500÷3 = 166(次) ……2(个),
那么到第500 个数一共循环了166 次,还余下2 个数,所以
共有奇数166×2+2= 334(个)。
9.
8 【解析】由题知,这列数中有1 个1,2 个2,3 个3,4 个
4,…,所以这列数中的数n 有n 个,则第1 个数是1,第2、3
个数是2,第4-6 个数是3,第7-10 个数是4,第11-15 个
数是5,第16-21 个数是6,第22-28 个数是7,第29-36 个
数是8,…,所以第35 个数是8。
10.
(-1)
n(n+1)
2a
2n 【解析】因为-4a
2 =(-1)×(1+1)
2a
2×1,
9a
4 =(-1)
2×(2+1)
2a
2×2,-16a
6 = (-1)
3 ×(3+1)
2a
2×3,…,
由此规律可得第n 个单项式是(-1)
n(n+1)
2a
2n。
11.
2012
2011 【解析】根据题意可得规律:2,(2- 1
2 ) = 3
2 ,(2-
2
3 )= 4
3 ,(2- 3
4 )= 5
4 ,(2- 4
5 )= 6
5 ,…,由此可得第n 个
数是n+1
n ,所以第2011 个数是2012
2011。
12.
30
901 【解析】观察发现,输入数字1、2、3、…n 时,输出的
结果为分数,且分子为1、2、3、…、n,分母为2= 1×1+1、5 =
2×2+1、10 = 3×3+1、…、n×n+1。所以输入的数据是30
时,输出数据为
30
30×30+1 = 30
901。
13.
2380 32800 【解析】a1 = 1,a2 =a1+3×2-2= 5,则a2-a1 =
3×2-2;a3 =a2 +3×3-2 = 12,则a3 -a2 = 3×3-2;…;以此类
推,an-an-1 = 3n-2。将所有等式相加可以得到(a2 -a1) +
(a3-a2)+…+(an-an-1)= (3×2-2) +(3×3-2) +…+(3n-
2),整理得到an - a1 = 3 × ( 2 + 3 + … + n) - 2 ( n - 1) =
(n-1)(3n+2)
2
,则an = (n-1)(3n+2)
2
+ 1, 整理得an =
3n
2-n
2
,a40 = 3×40
2-40
2
= 2380,前40 项之和a1+a2+a3+…+
a40 = 3×1
2-1
2
+3×2
2-2
2
+3×3
2-3
2
+…+3×40
2-40
2
= 32800。
14.
43 【解析】由题意得,假设第一个数是m(奇数),则第二
个数是(m+1)(偶数),第三个数是m+1
2 。若m+1
2 是偶数,
则第四个数是m+1
4
= 11,可得m = 43;若m+1
2 是奇数,则第
四个数是m+1
2 +1 = 11,可得m = 19,不符合m+1
2 是奇数舍
去,故m= 43,即第一个数是43。
类型二 数式规律
15.
7 42 【解析】观察算式可知,从左到右有3 个分数,前
两个分数的分母是连续的两个自然数,第三个分数的分
母为前两个分数的分母的积,所以1
6 = 1
7 + 1
42,故m = 7,
n= 42。
16.
11
2+60
2 = 61
2 【解析】第一个数:3= 2×1+1,5 = 2×2+1,7
= 2×3+1,9= 2×4+1,规律:第n 个数为2n+1,所以下一个
数为2×5+1= 11;第二个数:4 = 2×1
2 +2×1,12 = 2×2
2 +2×
2,24=2×3
2+2×3,40=2×4
2+2×4,规律:第n 个数为2×n
2+2×
n,所以下一个数为2×5
2+2×5 = 60;第三个数为第二个数
+1,所以第5 组式子为:11
2+60
2 = 61
2。
17.
126 【解析】C
5
9 = 9×8×7×6×5
1×2×3×4×5 = 126。
18.
109 【解析】根据分析可知:10+ b
a = 10
2 × b
a ,则a = 10
2 -
1,b= 10。a= 10
2-1= 100-1= 99,a+b= 99+10= 109。
19.
4
10-1
3
【解析】4
9+4
8+4
7+…+4
2+5 = 1+4+4
2+4
3+…+4
7+
4
8+4
9 =(4-1)×(1+4+4
2+…+4
8+4
9)
3
= 4
10-1
3
。
类型三 数表规律
20.
B 【解析】设星期三的日历号数为x,则星期一为(x-2),
星期二为(x-1),星期四为(x+1),星期五为(x+2),根据
题意可得x-2+x-1+x+x+1+x+2 = 70,解得x = 14,则星期
六的日历号数为14+3= 17。
21.
二 【解析】a+a+1+a+8+a+9= 82,解得a= 16,即星期二。
22.
二 【解析】一周有7 天,所以周期是7,2 月份有四个星
期二,五个星期三,那么月末的最后一天是星期三。3 月
有31 天,4 月有30 天,5 月1 日1 天,共31 + 30 + 1 =
62(天),因为62÷7= 8……6,所以从3 月1 到5 月1 日的
62 天,经历八个周,剩余的6 天从星期四开始到星期二结
束,因此5 月1 日是星期二。
23.
193 【解析】1+2+3+4+5+…+18+19 = (1+19) ×(19÷2)
= 190,190+3= 193,因此第20 行的第3 个数是193。
24.
1000000 【解析】通过观察我们可以发现:第1 个图中数
字是1;第2 个图中,数字之和可以分成2 部分:(1+2) +
(2+3)= 3+5= 8,两部分的和相差2,所以第2 个图中数字
之和可以写成(1+2)+(2+3)= (1+2)+(1+2)+1+1 = (1+
2)×2+1×2 = 8;第3 个图中,数字之和可以分成三部分:
(1+2+3)+(2+3+4) +(3+4+5)= 6+9+12,三部分的和之
间依次相差3,所以第3 个图中的数字之和可以写成(1+
2+3)×3+(1+2)×3 = 27;第4 个图中,数字之和可以分成
四部分:(1+2+3+4)+(2+3+4+5)+(3+4+5+6)+(4+5+6
+7)= 10+14+18+22,四部分的和之间依次相差4,所以第
4 个图中的数字之和可以写成(1+2+3+4)×4+(1+2+3)×
4= 64,…,按此规律,第n 个图中的数字之和就是(1+2+3
+…+n)×n+(1+2+3+…+n-1) ×n,所以第100 个图中的
数字和是(1+2+3+…+100)×100+(1+2+3+…+99) ×100
= 1000000。
25.
a
4+4a
3b+6a
2b
2 +4ab
3 +b
4
【解析】“杨辉三角”的系数规
律:展开式中的系数按a 的次数从大到小排列之后,每行
中两边的系数都是1,中间的系数是由上一行在这个系数
上方相邻两个系数的和得到的。“ 杨辉三角” 的字母规
律:(a+b)
n 的展开式中的第一项中含a
n,第二项中含
a
n-1b,第三项中含a
n-2b
2,…,第n 项中含b
n。由图可知:
第5 行的数字应是1,4,6,4,1,所以(a+b)
4 = a
4 + 4a
3b+
6a
2b
2+4ab
3+b
4。
26.
解:(1) 下n 行从左向右第( n + 1) 个数( 即最右数) 为
(n+1)
2,故下5 行从左向右第6 个数为36,所以下5 行从
左向右第5 个数为37;
(2)上n 行从左向右第1 个数(即最左数)为n(n+1);故
上6 行最左边的数为42;
(3)上44 行从左向右第1 个数为44×45 = 1980,故2013
为上44 行从左向右数的第2013-1980+1= 34(个)。
27.
18 30 28 【解析】根据表一可得规律,第n 行和第n
列都是n 为首项,n 为公差的等差数列。表二截取的是其
中的一列,上下两个数字的差相等,所以a= 15+(15-12)=
18;表三截取的是两行两列的相邻的四个数字,右边一列
相邻两个数字的差应比左边一列相邻两数字的差大1,所
以b= 24+(25-20+1)= 30;表四截取的是三行两列中的6
个数字,18 和32 应该分别是两个相邻数字的倍数,因为
18= 3×6,32= 4×8,所以18 在第3 列第6 行,32 在第4 列
第8 行,则c= 32-4= 28。
28.
2 10 【解析】由表格可得规律:每列的第1 个数就是列
的平方:10 的平方是100,99 在100 下方第1 个,所以99
排在第2 行第10 列。
29.
78 【解析】A+B+C+D+E+F = 351-(11+12+13)= 315,其
中A,B,C 依次减小1,D,E,F 依次增加1,可得A+D = B+
E=C+F= 315÷3= 105,即第二、三排的相对的两个座位之
和均相等。可得m+(m+1) = 105,则m = 52。截止到52
号,正好是两排座位,则一共有52÷2×3= 78(个)座位。
30.
解:(1)平行四边形框内的九个数之和是23+25+27+39+
41+43+55+57+59 = 369,它们的平均数是369÷9 = 41,即
平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9 倍。
(2)有这种规律,理由如下:设中间的数为x,则其余八个
数为x-18,x-16,x-14,x-2,x+2,x+14,x+16,x+18,这九
个数的和是x-18+x-16+x-14+x-2+x+x+2+x+14+x+16+
x+18= 9x。
(3)不能等于1998,2005,能等于1017,理由如下:1998÷9
= 222,不是奇数,不合题意;2005÷9 = 222 7
9 ,不是奇数,
1
不合题意;1017÷9 = 113,是奇数,符合题意,这九个数中
最小的是113-18= 95。
专题29
尾数规律
周期规律
文字描述找规律
编码问题
类型一 尾数规律
1.
1 【解析】除去数列中的1,2 之外,从第三个数字开始,各
个数的个位数字8 个数字一个循环,即按4,5,0,1,2,3,6,
7 循环,(2006-2)÷8= 250……4,所以第2006 个数字的个
位数字是1。
2.
6 【解析】因为2
1 = 2,2
2 = 4,2
3 = 8,2
4 = 16,2
5 = 32,2020÷
4= 505,所以2
2020 的个位数字是6,因为3
1 = 3,3
2 = 9,3
3 = 27,
3
4 = 81,3
5 = 243,2021÷4 = 505……1,所以3
2021 的个位数字
是3,4
1 = 4,4
2 = 16,4
3 = 64,2022÷2= 1011,所以4
2022 的个位
是6,5
1 = 5,5
2 = 25,所以5
2023 的个位是5,6
1 = 6,6
2 = 36,所
以6
2024 的个位是6,6+3+6+5+6= 26。
3.
4 【解析】因为1 的任何次方都是1,所以1
8 的个位是1。
2
8 =(2×2×2×2) ×(2×2×2×2)= 16
2,个位是6,像这样每4
个数一组的分组,可以更快得到数字的8 次方的尾数,如
3
8 =(3×3×3×3) ×(3×3×3×3)= 81
2,个位是1。4
8 的个位
是6,5
8 的个位是5,6
8 的个位是6,7
8 的个位是1,8
8 的个
位是6,9
8 的个位是1,10
8 的个位是0,11
8 的个位是1。1+
6+1+6+5+6+1+6+1+0+1= 34,因此,1
8+2
8+3
8+4
8+5
8+6
8+
7
8+8
8+9
8+10
8+11
8 的个位数字是4。
4.
75 【解析】求一个数的末两位数字,即求这个数除以100 的
余数,而100= 2
2 ×25,由于2
2 +1 = 5,2
6 +1 = 65,所以(2
1 +1)×
(2
2+1)×(2
3+1)×…×(2
2011+1)能被25 整除,而2
n+1(n≥2)除
以4 的余数是1,因为2
1+1= 3,所以(2
1+1)×(2
2+1)×(2
3+
1)×…×(2
2011+1)除以4 的余数是3,末两位从00 到99 中
满足被25 整除、被4 除余3 的数是75,所以(2
1+1) ×(2
2 +
1)×(2
3+1)×…×(2
2011+1)的末两位数是75。
类型二 周期规律
5.
B 【解析】○代表插图,□代表文字,由题意知:排列顺序
为○○○□○○○□…每4 个图形为一组,即科技书是按
照3 页插图、1 页文字的周期规律交替排列,即每4 页就有
3 页插图、1 页文字,共159 页,159÷4= 39……3,共有39 组
○○○□,剩余○○○,所以共有插图39×3+3= 120(页)。
6.
124. 87
【解析】整数部分按4、5、6 循环,小数部分按
0. 03、0. 04 循环,即一个周期有6 个数,一个周期整数部分
和为4+5+6+4+5+6= 30,小数部分和为0. 03+0. 04+0. 03+
0. 04+0. 03+0. 04 = 0. 21,一个周期和为30+0. 21 = 30. 21,
25÷6= 4(个)……1(个),前25 项的和是4×30. 21+4. 03 =
124. 87。
7.
暗 亮 【解析】根据前16 秒灯光明暗变化的情况,发现
其规律:第1 秒亮,第2 秒暗,第3 秒暗,…,每6 秒一循环。
36÷6= 6,52÷6= 8……4,所以第36 秒是暗的,第52 秒是亮
的。
8.
C 【解析】因为两个菱形的边长都为1
cm,所以从A 开始
移动8
cm 后回到点A,2018÷8= 252……2,即移动2018
cm
为第253 个循环组的第2
cm,在点C 处。
9.
数字8 和数字6 【解析】第100 位上的数字是7,则第101
位上一定是6,因为无论怎样循环,数字6 是必然参与循环
的。从小数点后第1 个数字到第1 个循环节结束一共有
10 个数字,101-10= 91,后面91 个数字就是多个完整的周
期,因为91= 7×13,周期的数字个数不能超过10 个,所以
每个周期共有7 个数字,这两个循环点应该标在数字8 和
数字6 上。
10.
7 【解析】如图所示,0、9、10、19、20、29、30、39 为黑珠子,
蟋蟀跳过的珠子依次为7、14、21、28、35、42、49、…,把一
圈珠子看作一个周期。42-40 = 2,2 为红珠子。49-40 =
9,9 为黑珠子。所以,这只蟋蟀至少要跳7 次,才能又落
在黑珠子上。
第10 题解图
11.
1
【解析】这一串数为1、3、8、22、60、164、448、1224、
3344、9136、24960、68192、…,从第一个数开始除以9,得
到余数分别是1、3、8、4、6、2、7、0、5、1、3、8…,余数重复出
现的一组有9 个,2026 ÷ 9 = 225( 组) ……1 ( 个),则第
2026 个数除以9 的余数是1。
12.
5 【解析】第一次输出的结果是: 1
5 ×3125 = 625,第二次
输出的结果是1
5 × 625 = 125,第三次输出的结果是1
5 ×
125= 25,第四次输出的结果是1
5 ×25 = 5,第五次输出的
结果是1
5 ×5= 1,第六次输出的结果是1+4 = 5,第七次输
出的结果是1
5 ×5 = 1,……,所以从第五次开始奇数次输
出为1,偶数次输出为5,所以第2024 次输出的结果是5。
类型三 文字描述找规律
13.
D 【解析】第一次取出1 个再放回5 个,盒中有(4+5)个
小球,第二次取出1 个再放回5 个,盒中有(4×2+5)个小
球,第三次取出1 个再放回5 个,盒中有(4× 3+ 5) 个小
球,所以第n 次取出1 个再放回5 个,盒中有(4n+5)个小
球,只有2021 满足。
14.
477 【解析】由题意得,所放小石子组成以1 为首项,2 为
公差,末项为35 的等差数列,设小明共放n 次,则35 = 1+
2(n-1),解得n= 18。小明所走路程是以1 为首项,3 为
公差的等差数列,项数为18,则小明共走了18×1+18×17
2
×3= 477(米)。
15.
1024 【解析】根据题意可知,第一次留下的同学的编号
为2、4、6、8、10、12、…、2006(均为2 的倍数),第二次留下
的同学的编号为4、8、12、…、2004(均为2
2 的倍数),第三
次留下的同学的编号为8、16、…、2000(均为2
3 的倍数),
…,按此规律,第n 次后留下的同学的编号为2
n 的倍数,
2
10 = 1024,2
11 = 2048,则最后留下的同学的编号为1024。
16.
(1)9 17 【解析】将一根绳子对折3 次,从中间剪断,绳
子变成2
3+1= 9(段);对折4 次,从中间剪断,绳子变成2
4+
1=17(段)。
(2)7 【解析】对折5 次,从中间剪断,绳子变成2
5 +1 =
33(段); 对折6 次, 从中间剪断, 绳子变成2
6 + 1 = 65
(段);对折7 次,从中间剪断,绳子变成2
7+1= 129(段)。
(3)2
n+1
【解析】由以上规律可知,将一根绳子对折n
次,从中间剪断,绳子变成(2
n+1)段。
17.
解:第1 站:装20 个、卸0 个,货车装载20 个
第2 站:装19 个、卸1 个,货车装载19+20-1 = 38(个),
38= 19×2
第3 站:装18 个、卸2 个、货车装载18+38-2 = 54(个),
54= 18×3
第4 站:装17 个、卸3 个、货车装载17+54-3 = 68(个),
68= 17×4
……
根据上面的规律,货车装载的最大值为:11×10 = 110(个)
或10×11= 110(个)
答:在整个行程中, 快递货车装载的货包数量最多是
110 个。
类型四 编码问题
18.
0605302
19.
7,8,2
20.
101 4 【解析】根据加密方法:将原有的每个1 都变成
10, 原有的每个0 变成01, 因为数字串A2 为
100101101001,所以数字串A1 为100110,则数字串A0 为
101;因为数字串A0 共有4 个数字,经过两次加密得到新
的数字串A2 有16 个数字,所以,数字串A0 中的每个数字
对应着数字串A2 中的4 个数字,4 个数字中至少有一对
相邻的数字相等,故数字串A2 中相邻两个数字相等的数
对至少有4 对。
专题30
图形找规律
类型一 生长型
1.
C 【解析】第1 个图形需要小木棒为3 根,第2 个图形需
要小木棒为(3+4)根,第3 个图形需要小木棒为(3+4×2)
根,…,第n 个图形需要小木棒为3+ 4(n- 1) 根,所以3+
4(n-1)= 103,解得n= 26。故选C。
2.
61 【解析】通过观察发现,分割n 次,分成正方形的个数
为3n+1。分割20 次,分成了3×20+1= 61(个)正方形。
3.
27 【解析】第①个图形中面积为1 的正方形有2 个,第②
个图形中面积为1 正方形有2+3= 5(个),第③个图形中面
积为1 的正方形有2+3+4= 9(个),…,第⑥个图形中面积
为1 的正方形有2+3+4+5+6+7= 27(个)。
4.
36 【解析】由题图可得三角形数构成的数列通项an =
n(n+1)
2
,同理可得正方形数构成的数列通项bn = n
2,则由
bn =n
2 可排除45,99,由n(n+1)
2
= 100,
即n(n+1) = 200,
无正整数解,n(n+1)
2
= 36,即n(n+1)= 72,因为8×9 = 72,
所以既是三角形数又是正方形数的是36。
5.
25
4 π 【解析】第1 步画的扇形半径是1 厘米,第2 步画的
扇形的半径是1 厘米,第3 步画的扇形的半径是1+ 1 = 2
(厘米),第4 步画的扇形的半径是1+2 = 3(厘米),第5 步
画的扇形的半径是2+3= 5(厘米),所以第5 步所画新扇形
面积为1
4 π×5
2 = 25
4 π(平方厘米)。
6.
81
256
【解析】第一次白三角形面积为整个的3
4 ,所以四次
涂色后白三角形面积是整个的3
4 × 3
4 × 3
4 × 3
4 = 81
256,因为
正三角形白纸片面积为1,所以经过四次涂色后,仍是白色
的面积为81
256×1= 81
256。
7.
271 【解析】n= 1 时,共有小立方体的个数为1,看不见的
小立方体的个数为0 个,看得见的小立方体的个数为1-0
= 1(个);n= 2 时,共有小立方体的个数为2×2×2 = 8(个),
看不见的小立方体的个数为(2- 1) ×(2- 1) ×(2- 1) = 1
(个),看得见的小立方体的个数为8-1 = 7(个);n = 3 时,
共有小立方体的个数为3×3×3= 27(个),看不见的小立方
体的个数为(3-1)×(3-1)×(3-1)= 8(个),看得见的小立
方体的个数为27-8= 19(个);…;n = 10 时,共有小立方体
的个数为10×10×10 = 1000(个),看不见的小立方体的个
数为(10-1)×(10-1) ×(10-1)= 729(个),看得见的小立
方体的个数为1000-729= 271(个)。
2
8.
298 【解析】第一个有1 个实心点,第二个有1+1×3+1 = 5
(个)实心点,第三个有1+1×3+1+2×3+1= 12(个)实心点,
第四个有1+ 1× 3+ 1+ 2× 3+ 1+ 3× 3+ 1 = 22( 个) 实心点,
……,第n 个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3(n-1) +1
=[3n(n-1)
2
+n](个)实心点,则a100-a99 = 298。
9.
123
182
【解析】由所给图形可知,第1 幅图形中“
” 的个数
为:3= 1×3;第2 幅图形中“ ”的个数为:8= 2×4;第3 幅图
形中“ ”的个数为:15= 3×5;第4 幅图形中“ ”的个数为:
24= 4×6;…,所以第n 幅图形中“ ”的个数为n(n+2)个。
所以1
a1
+ 1
a2
+ 1
a3
+…+ 1
a12
= 123
182。
10.
解:(1)n
2-(n-1)
2 =n+(n-1)(n 为正整数);
相邻两个自然数(0 除外) 的平方差等于这两个自然数
之和。
(2)2025
2-2024
2+2023
2-2022
2+…+3
2-2
2+1
2
= 2025+2024+2023+2022+…+3+2+1
=(2025+1)×2025÷2
= 2051325
类型二 线、图相交与分割型
11.
A 【解析】根据题意可知,在同一平面内,2 条直线相交
最多有1 个交点,3 条直线相交最多有1+2 = 3(个)交点,
4 条直线相交最多有1+2+3 = 6(个)交点,…,所以11 条
直线相交最多有1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10 = 55( 个)
交点。
12.
70 【解析】第一个正方形四个顶点数字的和为1+1+2+
3= 7;第二个正方形四个顶点数字的和为1+ 3
2 + 5
2 +2 =
7;第三个正方形四个顶点数字的和为5
4 +2+ 9
4 + 3
2 = 7;
…。所以前10 个正方形各顶点的数字和为7×10= 70。
13.
n(n-3)
2
【解析】在边数大于3 的n 边形中,以一个顶点
为例,除了它自身以及左右与它相邻的两个顶点外,这一
顶点与其他各顶点都可画出对角线,即过n 边形的一个
顶点可画出(n-3)条对角线,因为n 边形共有n 个顶点,
所以一共可画出n(n-3) 条对角线。由于每条对角线连
接两个顶点, 故均算了两次, 因此n 边形的对角线有
n(n-3)
2
条。
14.
(1)7 10
(2)b= 3a+1 【解析】观察题图,如果剪切次数用a 表示,
分成的段数用b 表示时,a 和b 的关系是:b = 3×(a+1)-2
= 3a+1。
(3)61 【解析】将a = 20 代入b = 3a+1,得b = 3a+1 = 3×
20+1= 61。
15.
解:(1)4 6 8
(2)1 个内点时,有4 个三角形;2 个内点时,有4+ 2 = 6
(个)三角形;3 个内点时,有4+2×2 = 8(个)三角形;4 个
内点时,有4+3×2= 10(个)三角形;…;n 个内点时,有4+
2(n-1)= (2n+2)个三角形。当n = 100 时,2n+2 = 2×100
+2= 202(个)。
答:正方形内有100 个内点,能画出202 个不重叠的三
角形。
16.
解:由图形可以看出,第n 个图形中,长方形的长被分成
了n 份,长方形的宽也被分成了n 份,所以每个图形中有
n×n 个小长方形,每个长方形又分成了2 个直角三角形,
所以第n 个图形中有2n
2 个直角三角形,则当n = 100 时,
长方形ABCD 应分为直角三角形数量是2×100
2 = 20000
(个);图形中最外边的边有4n 条,如果每个三角形边数
和再加上4n 就将图形中边数加了两遍,所以图形中边数
为(2n
2×3+4n
2
)条,即(3n
2+2n)条,当n= 100 时,3n
2+2n =
3×100
2+2×100= 30200(条)。
答:当n= 100 时,长方形ABCD 应分为20000 个直角三角
形,总计数出30200 条边。
类型三 蛇型
17.
D 【解析】观察图形可知,开始是1,拐弯处的数依次为
1+1= 2,2+1= 3,3+2 = 5,5+2 = 7,7+3 = 10,10+3 = 13,每
次增加的数是从1 开始的自然数,并且重复2 次,按照此
规律可以推算出第15 次拐弯处的数是65。
18.
Ⓓ 【解析】由图可知,每4 个数为一个循环组依次循环,
因为2023 是第2024 个数,2024÷4 = 506,所以2023 应位
于第506 循环组的第4 个数,在Ⓓ位置上。
19.
211 2025079
【解析】由题意可知,第n 次转弯的数为
1+(1+2+3+…+n) = n(n+1)
2
+1,故第20 次转弯的数为
20×(20+1)
2
+ 1 = 211, 第
2012
次转弯的数为
2012×(2012+1)
2
+1= 2025079。
20.
解:(1)粒子所在位置与运动的时间的情况如下:
位置(1,1):运动了2= 1×2 秒,方向向左;
位置(2,2):运动了6= 2×3 秒,方向向下;
位置(3,3):运动了12= 3×4 秒,方向向左;
位置(4,4):运动了20= 4×5 秒,方向向下;
到(n,n)处,粒子运动了n(n+1)秒钟,当n 为奇数时方向
向左,当n 为偶数时方向向下。
到(100,100)处,粒子运动了100×101 = 10100(秒),方向
向下,
答:10100 秒钟后粒子到(100,100)。
(2)到(44,44)处,粒子运动了44×45 = 1980(秒),方向向
下,故到2006 秒,须由(44,44)再向下运动2006-1980 =
26(秒),到达(44,18)。
答:2006 秒后粒子到达的位置是(44,18)。
(3)观察图形可知:
①a 为奇数时,粒子先到A(a,b);
②a 为偶数时,粒子先到B(b,a)。
类型四 变换型
21.
64 【解析】观察前三幅图,发现后一幅图都是由前一幅
图逆时针旋转90°得到的,则第四幅图涂黑的数字有1,
5,7,12,18,21,即涂黑方格中所填数字之和是1+5+7+
12+18+21= 64。
22.
11 【解析】由题图可知a3 = 12 = 3×4,a4 = 20 = 4×5,a5 =
30= 5×6,…,an =n(n+1),n(n+1)= 132,解得n= 11。
3
