模块三
代数与方程
专题11
字母表示数与数量关系
类型一 用字母表示数及数量关系
1.
A
2.
B 【解析】A 选项用(2+a+8)表示,不符合题意;B 选项用
2×(4+a)= 2a+8 表示,符合题意;C 选项用(2+8) ×a = 10a
表示,不符合题意;D 选项平行四边形的高未知,所以2a+8
不能表示其面积,故选B。
3.
D 【解析】设a+1=b-2=c+3=d-4= 10,可得a = 9,b = 12,
c= 7,d= 14,所以d 最大。
4.
B 【解析】由题可得,丙的成绩是(a+9),丁的成绩是(a-
3),所以他们的平均成绩是(a+a+a+9+a-3)÷4=a+1. 5。
5.
D 【解析】设空白的小长方形的长和宽分别是m 和n(m>
n),则m+2n=a,m+3n=b,阴影部分的周长为2×3n+2×(a
-m)+2m+2×(a-3n)= 4a。
6.
100n+m 【解析】由题意可知,这个三位数百位上的数字
为n,十位上的数字为0,个位上的数字为m,即这个三位数
是100n+m。
7.
h= 3n+8 【解析】4 个杯子叠起来高20
cm,6 个杯子叠起
来高26
cm,叠起来两个杯子露出的高度是6
cm,叠起来一
个杯子露出的高度是3
cm,那么4 个杯子叠起来的高度是
一个杯子的高度加上3 个露出的高度,则一个杯子的高度
是20-3×3= 11(cm),则n 个杯子叠起来的高度是一个杯
子的高度加上(n-1)个杯子露出的高度,所以n 个杯子叠
起来的高度h 是11+3×(n-1)= (3n+8)cm。
类型二 代入求值
8.
5a+8b 51
【解析】根据题意,买a 千克西瓜和b 千克桃
子,一共要用5a+8b 元,当a= 4. 6,b= 3. 5 时,代入5a+8b=
5×4. 6+8×3. 5= 51(元)。
9.
40 【解析】把x= 38,y= 71. 8 代入y= 1. 6x+m,可得71. 8=
1. 6×38+m,解得m= 11。所以y = 1. 6x+11,当y = 75 时,75
= 1. 6x+11,解得x= 40。所以与一张高度75
cm 的桌子配
套的椅子高度为40
cm。
10.
6 【解析】原代数式可化简为3×(1-2x+3y)= 3×[1-(2x
-3y)],将2x-3y= -1 代入可得3×[1-(2x-3y)] = 3×(1+
1)= 6,即3-6x+9y 的值为6。
11.
2024 【解析】a
2+a-1= 0,所以a
2+a = 1,a
3+2a
2+2023 = a
(a
2+a)+a
2+2023=a+a
2+2023= 1+2023= 2024。
12.
13
2 【解析】因为a
b = 2
3 ,所以b
a = 3
2 ,2a+3b
a
= 2+ 3b
a ,将
b
a = 3
2 代入,得2+3b
a = 2+3× 3
2 = 13
2 。
13.
解:(1)m-n (2)(m+n)
2-4mn (m-n)
2
(3)(m+n)
2-4mn=(m-n)
2
(4)由(3)可知:(a-b)
2 =(a+b)
2-4ab
因为a+b= 6,ab= 4,代入得(a-b)
2 = 36-16= 20。
答:(a-b)
2 的值为20。
专题12
解方程
类型一 一般方程
1.
4(2x-3)-(5x-1) = 7
解:8x-12-5x+1= 7
8x-5x= 7-1+12
3x= 18
x= 6
2.
80%x- 2
3 x= 1-20%
解: 2
15x= 80%
x= 80%÷ 2
15
x= 6
3.
8
9 ×[x÷( 5
16-0. 25)]-5= 17
3
解: 8
9 ×[x÷( 5
16- 4
16)] = 32
3
16x= 32
3 ÷ 8
9
x= 3
4
4.
1
5 (3- 3
2 x)-3(2- 5
4 x) = 36
解: 3
5 - 3
10x-6+15
4 x= 36
12-6x-120+75x= 720
75x-6x= 720-12+120
69x= 828
x= 12
5.
4x-3(20-x) = 5x
解:4x-60+3x= 5x
7x-60= 5x
2x= 60
x= 30
6.
0. 2x+ 4
5 = 8-1 3
5 x
解:0. 2x+0. 8= 8-1. 6x
1. 8x= 7. 2
x= 4
7.
5(4x-1. 8) = 2(6x-0. 5)
解:20x-9= 12x-1
20x-12x= 9-1
8x= 8
x= 1
8.
2
5 x+40+(x- 2
5 x-40)× 2
5 +56=x
解: 2
5 x+40+ 2
5 x- 4
25x-16+56=x
9
25x= 80
x= 2000
9
类型二 分数方程
9.
3
x + 1
3x = 5
6
解:9+1
3x = 5
6
15x= 60
x= 4
检验:当x= 4 时,3x≠0,所以x= 4 是原方程的解。
10.
x-1
3 = 1-3x+1
6
解:2(x-1) = 6-(3x+1)
2x-2= 6-3x-1
5x= 7
x= 1. 4
11.
3+x-1
2 =x-x+1
4
解:12+2(x-1)= 4x-(x+1)
12+2x-2= 4x-x-1
10+2x= 3x-1
x= 11
12.
3(2x-1)
2
= 2
3 x-(x-1)
解:3×3(2x-1) = 2×2x-6(x-1)
18x-9= 4x-6x+6
20x= 15
x= 3
4
13.
0. 3x
1. 2 =(x+ 1
4 )+0. 04x-0. 15
0. 2
解:0. 25x=(x+0. 25)+0. 2x-0. 75
0. 25x= 1. 2x-0. 5
0. 95x= 0. 5
x= 10
19
14.
300×8%
300+x = 120×12. 5%
120+x
解:(120+x)×(300×0. 08) = (300+x)×(120×0. 125)
(120+x)×24=(300+x)×15
2880+24x= 4500+15x
9x= 1620
x= 180
经检验:x= 180 是原方程的解。
类型三 比例方程
15.
7
3 ∶x= 1 5
9 ∶1
8
解:1 5
9 x= 7
3 × 1
8
14
9 x= 7
24
x= 3
16
16.
5 ∶(x-2)= 3
8 ∶60%
解: 3
8 (x-2)= 60%×5
3
8 x- 3
4 = 3
3
8 x= 15
4
x= 10
17.
(3x-0. 5) ∶(4x+3) = 4 ∶9
解:
9(3x-0. 5) = 4(4x+3)
27x-4. 5= 16x+12
11x= 16. 5
11x÷11= 16. 5÷11
x= 1. 5
18.
5
8 x ∶2
5 =( 15
16x+1) ∶8
9
解: 8
9 × 5
8 x= 2
5 ×( 15
16x+1)
5
9 x= 3
8 x+ 2
5
13
72x= 2
5
x= 144
65
类型四 倒推法解方程
19.
14+3 1
3 ×[(□+0. 5)÷ 1
3 +0. 4× 3
4 ] = 100
解:3 1
3 ×[(□+0. 5)÷ 1
3 +0. 4× 3
4 ] = 86
1
(□+0. 5)×3+ 3
10 = 86÷3 1
3
(□+0. 5)×3= 86× 3
10- 3
10
(□+0. 5)×3= 51
2
□+0. 5= 51
2 ÷3
□+0. 5= 8. 5
□= 8
20.
4+
1
3+
2
2+
3
1+ 4
x
= 4 21
73
解:
1
3+
2
2+
3
1+ 4
x
= 21
73
3+
2
2+
3
1+ 4
x
= 73
21
2
2+
3
1+ 4
x
= 10
21
2+
3
1+ 4
x
= 21
5
3
1+ 4
x
= 11
5
1+ 4
x = 15
11
4
x = 4
11
x= 11
21.
解:[( 1
3 + 1
15+ 1
35+ 1
63+ 1
99)×△+M]×11+ 8
3 × 3
4 =360
( 5
11△+M)×11+2= 360
5△+11M= 358
△= 71. 6-2. 2M
答:△的值为71. 6-2. 2M。
类型五 解方程组
22.
解:方程组可化为
2x+3y= 0 ①
6x-3y= 48 ②
{
①+②得:8x= 48,解得x= 6
将x= 6 代入①中得:2×6+3y= 0,
解得y= -4
所以原方程组的解为
x= 6
y= -4
{
23.
解:令
2x-7y= 2
①
3x-4
2
= 7x+6
3
②
ì
î
í
ïï
ïï
解②得:x= -24
5
将x= -24
5 代入方程①,得2×(-24
5 )-7y= 2,解得y= -58
35
所以原方程组的解为
x= -24
5
y= -58
35
ì
î
í
ïï
ïï
类型六 解方程与简便运算结合
24.
C 【解析】由题可得:x×( 1
3 + 1
15 + 1
35 +…+
1
2021×2023)=
1,x×( 1
1×3+ 1
3×5+ 1
5×7+…+
1
2021×2023)= 1,x× 1
2 ×(1- 1
3 +
1
3 - 1
5 + 1
5 - 1
7 +…+ 1
2021- 1
2023)= 1,即x
2 ×(1-
1
2023)= 1,
解得x= 2023
1011。
25.
x-4
2021+ x-3
2022+ x-2
2023- x-1
2024 = 2
解:( x-4
2021-1)+( x-3
2022-1)+( x-2
2023-1)+(1- x-1
2024) = 0
x-4-2021
2021
+x-3-2022
2022
+x-2-2023
2023
+2024-(x-1)
2024
= 0
x-2025
2021 +x-2025
2022 +x-2025
2023 +2025-x
2024 = 0
(x-2025)×(
1
2021+ 1
2022+ 1
2023- 1
2024) = 0
因为1
2021 +
1
2022 +
1
2023 -
1
2024≠0,要使等式成立,则x -
2025= 0,解得x= 2025,所以方程的解是x= 2025。
类型七 解不定方程
26.
16 【解析】根据方程2x+3y = 100,可以找到的正整数解
有:x= 2,y= 32;x = 5,y = 30;x = 8,y = 28;由此可以发现,x
的值是一个首项为2、公差为3 的等差数列,因为2x <
100,所以x<50,那么x 最大是47,2+3×(项数-1)= 47,项
数= 16,即方程2x+3y= 100 有16 组正整数解。
27.
3 【解析】x
7 + y
3 = 3x+7y
21
= 17
21,所以3x+7y = 17,x、y 是自
然数,7y 小于或等于17,所以y 最大是2。当y = 0 时,3x
= 17,x 不是自然数;当y = 1 时,3x = 17-7×1 = 10,x 不是
自然数;当y= 2 时,3x = 17-7×2,解得x = 1,x 是自然数。
综上可得,x+y= 1+2= 3。
专题13
新定义
类型一 直接根据新定义计算
1.
8 【解析】由题意得,7★9= 7+9
2 = 8。
2.
22 【解析】x⊗y=x×y-2= 4,解得xy= 6,则2x⊗2y= 2x×2y
-2= 4xy-2= 4×6-2= 22。
3.
17 【解析】2※4= 2×2+4,5※3 = 2×5+3,3※5 = 2×3+5,
9※5= 2×9+5,所以7※3= 2×7+3= 17。
4.
1
9900
【解析】由题意得, 98!
100! =
98×97×…×3×2×1
100×99×98×…×3×2×1
=
1
9900。
5.
12 【解析】首先需要根据给定的运算规则求出28
3 的
值,然后再计算2010
(28
3)的值。根据x
y = (x+
y)-(x-y),将x= 28,y= 3 代入可得:28
3 = (28+3)-(28
-3)= 31-25= 6;因为28
3 = 6,所以2010
(28
3)=
2010
6,再根据定义新运算可得:2010
6 = (2010+6) -
(2010-6)= 12。
6.
3948 【解析】(2△3)+(3△4)= (2+22+222)+(3+33+333
+3333)= 5+55+555+3333= 3948。
7.
625
【解析】7 - 6. 31 = 0. 69, 所以[ 6. 31 + 0. 01]、…、
[6. 31+0. 68]共68 个式子的得数均为6,[6. 31+0. 69]、…、
[6. 31+0. 99]共31 个式子的得数均为7,原式= 6×68+7×
31= 625。
8.
795 【解析】(199△π) +[199△(4-π)] = 624+[199△
0. 86] = 624+171= 795。
9.
25150 【解析】f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)+f(100)= (5×1
-1)+(5×2-1)+(5×3-1)+…+(5×99-1)+(5×100-1)= 5
×(1+2+3+…+100)-1×100= 25150。
10.
19999999 【解析】A∗B=AB+A+B = (A+1)(B+1) -1,则
1∗9= 2×10-1= 19,19∗9= 20×10-1= 199,199∗9 = 200×
10-1= 1999,…,按照这样的规律可以得到1∗9∗9∗9∗
9∗9∗9∗9= 19999999。
11.
0 【解析】图形
的值是1-2+3 = 2,图形
的值是4+6-5-7 = -2,所以
+
= 2+( -2)
= 0。
12.
55 【解析】根据给出的式子可总结出,A△B 等于从A 开
始的B 个连续整数的和。“[]”是一种向下取整运算,因
此[1. 01]△[10. 6] = 1△10,即从1 开始的连续10 个整
数的和,所以1△10= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10= 55。
13.
3. 7 【解析】1. 4∗3. 2 = 2× 1. 4
2
{
} + 3× 1. 4+3. 2
6
{
} = 2×
0. 7+3×46
60 = 1. 4+2. 3= 3. 7。
类型二 根据新定义求未知数
14.
6 【解析】x
3
x+1
4
= 4x-3(x+1)= 3,解得x= 6。
15.
2 【解析】3☉2= 3×(3-2)= 3,x⊗(3☉2)= x⊗3 = (x+3)
×3= 3x+9= 15,解得x= 2。
16.
1
2 【解析】先将等式化简,把∗8 看作一个整体,等式两
边同时乘∗8,得△=∗8
∗7-1= 7×8×9
6×7×8-1= 3
2 -1= 1
2 。
17.
249 【解析】由题可得,5#12 = (5+11)÷2 = 8,28#20 = (28
+20)÷2= 24,所以35#76=(35+75)÷2= 55,□#55 = 90,因
为55<90,所以□中填的数大于55,当□中填的数是奇数
时,□#55=(□+55)÷2 = 90,□= 125;当□中填的数是偶
数时,□#55=(□+56)÷2 = 90,□= 124,所以□中所填的
所有可能数的和是125+124= 249。
18.
6 【解析】由题可得,2∗x= 2
x+x
2 = 100,当x= 1 时,2
1+1
2
= 2+1= 3≠100;当x= 2 时,2
2+2
2 = 4+4= 8≠100;x= 3 时,
2
3+3
2 = 8+9= 17≠100;x = 4 时,2
4 +4
2 = 16+16 = 32≠100;
x= 5 时,2
5+5
2 = 32+25 = 57≠100;x = 6 时,2
6 +6
2 = 64+36
= 100,则x 的值为6。
类型三 先求未知数再计算
19.
6 【解析】由题可得4☆2= 3×4-2k= 8,解得k = 2,x☆5 =
3x-2×5= 3x-10,5☆x = 3×5-2x = 15-2x,(3x-10) -(15-
2x)= 5,解得x= 6。
20.
1
499000 【解析】由题可知得,1△1 = 1
1×1+
1
1×(A+1)= 4
3 ,
解得A= 2,所以998△999 =
1
998×999+
1
999×(2+998)=
1
998
× 1
999+ 1
999× 1
1000 = 1
998- 1
999+ 1
999- 1
1000 = 1
998- 1
1000 =
2
998000
=
1
499000。
21.
10 【解析】由1∗2= 5,得1∗2 = m×1+n×2 = m+2n,即m
+2n= 5,因为m、n 均为自然数,那么m = 1,n = 2 或者m =
3,n= 1 或者m= 5,n= 0。①当m = 1,n = 2 时,(2∗3)△4
=(1×2+2×3)△4 = 8△4 = k×8×4 = 32k,32k = 64,k = 2;②
当m= 3,n= 1 时,(2∗3)△4=(3×2+1×3)△4 = 9△4 = k×
9×4= 36k,36k= 64,没有自然数解,所以这种情况不成立;
当m= 5,n= 0 时,(2∗3)△4 = (5×2+0×3)△4 = 10△4 =
40k,40k= 64,k 无自然数解,这种情况不成立,所以m= 1,
n= 2,k= 2,那么x∗y=x+2y,x△y= 2xy,所以(1△2)∗3 =
(2×1×2)∗3= 4∗3= 4+2×3= 10。
类型四 定义新数
22.
11
21 28 【解析】21 的正因数有1、3、7、21,21 的真因数有
1、3、7,则21 的“ 完美指标” 是(1+ 3+ 7) ÷ 21 = 11
21;比20
大,比30 小的自然数有21、22、23、24、25、26、27、28、29,22
2
的“完美指标”是(1+2+11) ÷22 = 14
22 = 7
11;23 的“完美指
标”是1÷23= 1
23;24 的“完美指标” 是(1+2+3+4+6+8+
12)÷24= 36
24 = 3
2 ;25 的“完美指标”是(1+5) ÷25 = 6
25;26
的“完美指标”是(1+2+13) ÷26 = 16
26 = 8
13;27 的“完美指
标”是(1+3+9)÷27= 13
27;28 的“完美指标”是(1+2+4+7+
14)÷28 = 1;29 的“完美指标” 是1
29,所以最“完美” 的数
是28。
23.
136 【解析】根据规律可知,“智慧数” 从小到大可按每
三个数分为一组,从第2 组开始每组的第一个数都是4
的倍数,归纳可得第n 组的第一个数为4n(n≥2),100÷3
= 33……1,所以第100 个“智慧数”是第34 组中的第1 个
数,即4×34= 136。
24.
4 或6 2226 【解析】已知四位数m = abcd,对调千位与
十位数字得m′=cbad,则F(m)= m′-m
90
= 11(c-a)。因为
F(m)能被8 整除,且11 与8 互质,所以c-a 能被8 整除,
2≤a≤b≤c≤9,所以a=b=c(因c-a= 8 时c 超范围)。m
是“行知数”,则2(a+b)= c+d,由a=c 得d = a+2b。①a =
b=c= 2 此时b+c= 4;②a=b= c = 3 此时b+c = 6;③a = b = c
= 4 此时d=a+2b = 12(不符合题意,舍去),所以b+c = 4
或6。要使m 最小,取a = b = c = 2,则d = 2+2×2 = 6,此时
满足条件的“行知数”m= 2226。
专题14
列方程解应用题
类型一 一元一次方程解决问题
1.
D 【解析】设苹果和橘子各x 个,可列方程: 1
2 x+ 1
3 x-1 =
2
5 ×2x,解得x= 30,所以小亮买的苹果个数为30。
2.
B 【解析】设原来西院养鸡x 只,列方程为(1- 1
4 - 1
3 )x+
40= 1
2 (40+x),解得x = 240,原来东、西两院一共养鸡240
+40= 280(只)。
3.
23 【解析】设中途下车x 人,根据题意,得2x+(50-x) ×3
= 127,解得x= 23。
4.
16 【解析】设容器A 的高度为x 厘米,则容器B 中的水深
是( 3
4 x-3)厘米,根据题意可列方程π×6
2×x = π×8
2×( 3
4 x
-3),解得x= 16,所以容器的高是16 厘米。
5.
11. 2 【解析】设第二宇宙速度是x 千米/ 秒,可列方程1
4 x
+0. 5=[(1- 1
4 )x-0. 5] × 33
79,解得x = 11. 2,第二宇宙速度
是11. 2 千米/ 秒。
6.
204 【解析】设计划购进饼干x 千克,则计划购进巧克力
(444-x)千克;则实际购进饼干量为(x+20) 千克,实际购
进巧克力量为(444-x)×(1-5%)千克,根据题意,得x+20
+(444-x) ×(1-5%) = 444+ 7,解得x = 184,184+ 20 = 204
(千克)。
7.
810 【解析】设第一小队共种植向日葵x 棵,根据题意得
10+ 1
10 ( x- 10) = 20+ 1
10 [ x- 20- 10- 1
10 ( x- 10)],解得x
= 810。
8.
解:设车有x 辆,若每3 人乘一辆车,则人数为3(x-2);若
每2 人坐一辆车,则人数为2x+9。根据人数相等,可得方
程3(x-2)= 2x+9,解得x = 15,人数为2×15+9 = 39(人)。
答:有39 人,15 辆车。
9.
解:如解图,设最小的正方形C 的边长为x,则正方形H 的
边长为4+7-x= 11-x,正方形G 的边长为7+x,正方形E 的
边长为7+x+7= 14+x,正方形I 的边长为7+x+x = 7+2x,正
方形D 的边长为14+x+(7-4)= 17+x,正方形F 的边长为
11-x+4= 15-x,正方形D 的边长+正方形F 的边长= 正方
形E 的边长+正方形G 的边长+正方形I 的边长,即17+x+
15-x= 14+x+7+x+7+2x,解得x = 1,所以正方形H 的边长
为10,正方形G 的边长为8,正方形E 的边长为15,正方形I
的边长为9,正方形D 的边长为18,正方形F 的边长为14,
所以长方形(纸盒底)的一边长=正方形D 的边长+正方形
F 的边长= 18+14= 32,长方形(纸盒底)的另一边长= 正方
形D 的边长+正方形E 的边长= 18+ 15 = 33,所以长方形
(纸盒底)的面积= 32×33= 1056。
答:长方形(纸盒底)的面积是1056。
第9 题解图
10.
解:由题意得,没有擦到的部分面积是60×30÷2 = 900(平
方厘米),设黑板擦的宽是x 厘米,没有擦到的长方形长
是60-10×2= 40(厘米),宽是(30-2x)厘米,则40×(30-
2x)= 900,解得x= 15
4 。
答:这个黑板擦的宽是15
4 厘米。
11.
解:设李老师的糖盒中原有x 块糖,则可列方程:
1+ 1
7 (x-1)= 2+ 1
7 [x-3- 1
7 (x-1)],解得x= 36。
答:李老师的糖盒中原有36 块糖。
类型二 方程组解决问题
12.
4 5 【解析】设A 型积木的高为x
cm,B 型积木的高为y
cm,由题意,得
2x+3y= 23
3x+2y= 22
{
,解得
x= 4
y= 5
{
,所以A 型和B 型
积木的高度分别为4
cm 和5
cm。
13.
5 【解析】设长方形纸片的长和宽分别是x 和y,课本的
长为z,看图列出方程组
x+z-y= 20①
y+z-x= 10②
{
,由①-②得x-y =
5,即长方形纸片的长与宽的差为5。
14.
16 【解析】设一个爱心气球价格为x 元,一个笑脸气球
价格为y 元,根据题意可得
3x+y= 18①
x+3y= 14②,
{
①+②,得4x+4y
= 32,则2x+2y= 16,所以第三束气球的价格为16 元。
15.
11 【解析】设有x 天早晨下雨,这一段时间有y 天,根据
题意, 得
y-x= 7
y-(9-x)= 6
{
, 解得
y= 11
x= 4
{
, 则这一段时间有
11 天。
16.
600
【解析】设原计划有x 人参加,每人出y 元,根据题
意得(x-6)(y+5)= xy,(x-5)(y+4)= xy,5x-6y = 30,4x-
5y= 20,解得x= 30,y= 20,租车费用是30×20= 600(元)。
17.
解:我们将永远说真话的人称为老实人,把总说假话的人
称为骗子。每个老实人都只会对一个问题答“是”,而每
个骗子则都对两个问题答“ 是”。将老实人的数目设为
x,将骗子的数目设为y,
则有
x+2y= 60+40+30
x+y= 100
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,解得
x= 70
y= 30
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。
答:他们中有30 个人说的是假话。
18.
解:设第一次交换后,阿凡提有x 枚金币,(1- 1
2 )x+450×
1
5 = 150,解得x= 120,
设阿凡提和巴依老爷原来各有金币a 枚、b 枚,
则有
1
2 a+(1- 1
5 )b= 450
(1- 1
2 )a+ 1
5 b= 120
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,解得
a= 20
b= 550
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,
阿凡提的金币比原来增加了150-20= 130(枚)。
答:阿凡提的金币比原来增加了,增加了130 枚。
19.
解:设3 ~ 7 分的人数为x,得的总分为y,则可列方程组
y+8×3+9×4+10×1= 6(x+3+4+1)
y+5×1+4×2= 3(x+7+5+4)
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,解得
x= 19
y= 92
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,
所以该班学生有7+5+4+19+3+4+1= 43(人)。
答:该班学生有43 人。
类型三 不定方程解决问题
20.
31 【解析】设甲队赛前积分为x 分,乙队赛前积分为y
分,每场比赛加分或减分为n 分,则x+n = 4(y-n)①,x-n
= 3(y+n)②,①-②得y = 9n,把y = 9n 代入①得x = 31n,
因为甲、乙两队赛前的积分都不到35 分,所以n = 1,所以
甲队赛前积分为31 分。
21.
1950 【解析】设李大爷出生在19ab 年,由题意得:2010-
19ab = 4×(1+9+a+b),整理得:70-5b= 14a,可知a 是0~9
中5 的倍数(但不是0),所以a= 5,b= 0,所以李大爷出生
在1950 年。
22.
27 【解析】设早晨见面叫了x 天,晚上见面叫了y 天,根
据题意,得(2+1)x+(2+3)y = 61,即3x+5y = 61,因为x、y
都是整数且小于等于15,y= 5,则x= 12,波斯猫叫了12×1
+5×3= 27(声);y = 8,则x = 7,波斯猫叫了7×1+8×3 = 31
(声);y= 11,则x= 2,波斯猫叫了2×1+11×3 = 35(声),所
以波斯猫至少叫了27 声。
23.
8 【解析】0. 60 元= 60 分,设1 分,2 分,5 分的硬币各有
x 枚,y 枚,z 枚,
x+y+z= 25①
x+2y+5z= 60②
{
,②-①得y+4z = 35,要使
5 分的硬币最多,则z 最大,y 最小,因为35 是奇数,所以y
必须也是奇数,当y= 1 时,z 的值不是整数,当y= 3 时,z=
8,所以5 分硬币最多有8 枚。
24.
解:设6 人抱一堆有x 堆,4 人抱一堆有y 堆,由题意得6x
+4y= 38,化简得3x+2y = 19,由于x 和y 是自然数,2y 为
偶数,3x 为奇数,才能使和为奇数,所以x 一定为奇数,故
x 可取值1、3、5,当x= 1 时,y= 8;当x= 3 时,y = 5;当x = 5
时,y= 2。
答:可能的方案有:①6 人的1 堆,4 人的8 堆;②6 人的3
堆,4 人的5 堆;③6 人的5 堆,4 人的2 堆。
25.
解:设获得一、二、三等奖的选手分别有x,y,z 名,根据题
意,得
600x+300y+200z= 4200
900x+400y+100z= 4200
ì
î
í
ïï
ïï
, 解得12x + 5y = 42, y =
42-12x
5
,由于x,y,z 为正整数,则当x = 1 时,y = 6;当x= 2
时,y= 18
5 ,不是正整数,不符合题意;当x = 3 时,y= 6
5 ,不
是正整数,不符合题意;当x≥4 时,y<0,不符合题意,所
以x= 1,y= 6,从而得出z= 9。
答:获得一等奖的选手有1 名,二等奖的选手有6 名,三
等奖的选手有9 名。
26.
解:设林场工人的人数是x 人,学生的人数是y 人,根据题
意,得(8-2)×15x+(8-2)×11y+(1- 1
5 )x×2×15+(1- 1
5 )
y×2×11= 3382,化简得114x+ 418
5 y = 3382,由于x、y 都是
整数且都是5 的倍数,所以y= 20,x= 15。
答:林场工人的人数是15 人,学生的人数是20 人。
3
