模块一
数论专题
专题1
数的认识
类型一 大数的读写与改写
1.
5790. 5 万 1 亿
2.
七亿零四百五十八万零九百零九 70458 7. 04580909 亿
3.
209069400 二亿零九百零六万九千四百 2. 090694 亿
20907 万 【解析】根据题意,最小的质数是2,奇数中最小
的合数是9,同时能被2 和3 整除的一位数是6,最大的一
位数是9,最小的合数是4,最小的自然数是0,这个数写
作: 209069400, 读作: 二亿零九百零六万九千四百,
209069400= 2. 090694 亿,209069400≈20907 万。
4.
C
【解析】3658430000 ≈37 亿, 359854000 ≈4 亿,
3553480000≈36 亿,365843000≈4 亿,故选C。
5.
2592 【解析】由题意得,万位上的数字是5,千位上只能是
1 或3,所以最大的数是53971,最小的数是51379,所以最
大数与最小数的差是53971-51379= 2592。
6.
C 【解析】88080 读作:八万八千零八十,88008 读作:八万
八千零八,80808 读作:八万零八百零八,80088 读作:八万
零八十八,故选C。
7.
8400301
【解析】因为这个七位数在800 万和900 万之
间,所以这个七位数的百万位上的数为8,十万位上是4,
百位上的数是8-5= 3,再根据其余四位是3 个0 和1 个1,
其中读数时读出了两个零,可得出这个数是8400301。
类型二 小数的认识
8.
980. 2
0. 25
0. 0426
【解析】98 元= 980 角,2 分= 0. 2
角,所以98 元2 分= 980. 2 角;25
dm
2 = 25÷100 = 0. 25
m
2;
426 平方米= 426÷10000= 0. 0426 公顷。
9.
2 24 4. 8
10.
9. 349 9. 250
11.
0. 795
0. 805
【解析】“ 五入” 得到的0. 80 最小是
0. 795,因此这个数必须大于或等于0. 795;“四舍”得到的
0. 80 最大是0. 804,因此这个数小于0. 805。
12.
12 25 24 100 0. 48(前两空答案不唯一)
13.
18 45 四五 20
14.
B 【解析】一个小数的小数点向右移动一位是原数的10
倍,向左移动一位是原数的1
10,所以2. 2÷(10- 1
10)= 2
9 。
15.
2019 【解析】由得数2220. 9 有1 位小数。可知小数点
加在四位数的个位数字前,即原数变为自身的0. 1 倍,原
数= 2220. 9÷(1+0. 1)= 2019。
16.
6. 4 【解析】由题得原数是现在的10 倍,移动前和移动
后两数之和相差15. 4 - 5. 59 = 9. 81, 故现在数为
9. 81÷(10-1)= 1. 09,原数为1. 09× 10 = 10. 9,另一个小
数为15. 4-10. 9= 4. 5,故原来两个小数的差为10. 9-4. 5
= 6. 4。
类型三 正负数
17.
D
18.
B
【解析】2. 7+ 0. 081 = 2. 781(g),2. 7- 0. 081 = 2. 619
(g),2. 793>2. 781>2. 711>2. 693>2. 655>2. 619,故选B。
19.
15 【解析】11-5-7+15= +14(层),1+14= 15(楼)。
20.
解:(1)由题意可得15+10-2+3+5-4=27(人)。
答:公共汽车从第3 站开出时车上有27 人。
(2)上车总人数:10+3+5+0+1= 19(人),
下车总人数:2+0+4+3+6= 15(人),
19>15,19-15= 4(人)。
答:第1 站到第5 站上车的总人数比下车的总人数多,多
4 人。
21.
- 1
4
5
4
22.
(1)30 (2)10
(3)解:①当点D 在点A 左侧时:AD 一定小于BD,故不满
足题意;
②当点D 在点A 和点B 之间时:AD+BD = AB,因为AD=
3BD,AB= 40,所以3BD+BD= 40,解得BD= 10;
③当点D 在点B 右侧时:AD-BD = AB,又因为AD = 3BD,
AB= 40,所以3BD-BD= 40,解得BD= 20。
答:AD= 3BD 时,BD 长为10 或20。
类型四 比较大小
23.
0. 834
24.
314%<3. 1
·
4
·
<π<22
7 <3. 14
·
【解析】3. 14
·
= 3. 1444…,3. 1
·
4
·
=
3. 141414…,π = 3. 1415…,314% = 3. 14,22
7 = 3. 1428…,
故314%<3. 1
·
4
·
<π<22
7 <3. 14
·
。
25.
12
13>60
67>15
17> 3
4 【解析】因为3
4 = 60
80,12
13 = 60
65,15
17 = 60
68,且
60
65>60
67>60
68>60
80,所以12
13>60
67>15
17> 3
4 。
26.
C 【解析】因为m 是真分数,所以m<1,所以m
2 = m×m<
m,2m= 2×m>m,故m
2<2m。
27.
B 【解析】A 项中因为b>c,所以b÷c>1, a
b÷c<a,根据题意
a>b>c>0,只能确定a> a
b÷c>0,不能确定a
b÷c>1;B 项中因
为a>b,b>b-c,a,b,c 都大于0,所以a>b-c,分子大于分
母,分数值大于1,故a
b-c>1,符合题意;C 项中因为b 和c
不能确定是否大于1,所以b×c 的值无法与b 或c 比较,
也就无法与a 比较,不能确定a
b×c<1。
28.
A 【解析】令甲× 2
7 = 乙× 6
5 = 1,则甲= 7
2 ,乙= 5
6 , 7
2 >
5
6 ,故甲>乙。
29.
> 【解析】1-997
998 = 1
998,1-886
887 = 1
887,因为1
998< 1
887,所以
997
998>886
887。
30.
c
a
【解析】1
a = 333
11 = 30 3
11, 1
b = 3333
111 = 30
3
111, 1
c =
33333
1111 = 30
3
1111,因为1
a > 1
b > 1
c ,所以a<b<c,即最大的
是c,最小的是a。
31.
C 【解析】因为2007
2009<2008
2010,2008
2010<2009
2011,2009
2011<2010
2012,所以
2007
2009× 2008
2010 < 2008
2010 × 2009
2011 < 2009
2011 × 2010
2012, 即2007×2008
2009×2010 <
2008×2009
2010×2011<2009×2010
2011×2012,即a<b<c。
32.
B 【解析】a = (45677+1) ×(62360- 1) = 45677× 62360-
45677+62360- 1;b = (45677 - 1) × (62360 + 1) = 45677 ×
62360+45677-62360-1,即a>b,故选B。
33.
2 【解析】把三个分数进行通分,32
56<7n
56< 48
56,分母相同,
则32<7n<48,所以n 可取5,6,故有2 个。
34.
8
【解析】将三个分数的分子化为相同的数, 34
119< 34
2A <
34
102,分子相同,则102<2A<119,可得51<A<59. 5,则A 可
能表示52,53,54,55,56,57,58,59, 共8 个不同的自
然数。
35.
77 【解析】7
□< 4
5 ,通分得到35
□×5<4×□
□×5,解得□≥9,○
11
< 7
□,通分得到○×□
11×□<
77
11×□,○×□<77,乘积最大为76,
要使和最大,应两数相差最多,76= 1×76,当○= 1,□= 76
时,两数之和最大,最大为1+76= 77。
36.
2 【解析】因为1
2 < a
b < 2
3 ,所以6
12< a
b < 6
9 ,在6
12和6
9 之
间分母最小的分数是6
10,即3
5 ,所以b-a= 5-3= 2。
类型五 估值
37.
B
38.
C 【解析】将这张纸对折1 次,其厚度是原来的2 倍,即
2
1 倍;对折2 次,其厚度是原来的4 倍,即2
2 倍;对折3
次,其厚度是原来的8 倍,即2
3 倍;对折n 次,厚度是2
n
倍。2
32 = 4294967296,设一张纸的厚度大约是0. 1 毫米,
4294967296×0. 1 = 429496729. 6 毫米≈429 千米,这个厚
度超过珠穆朗玛峰高度(8. 84443 千米),故选C。
39.
D 【解析】一个数(大于0)乘以一个比1 小的数,积一定
比原数小,故选D。
40.
26. 92 【解析】由题知该数四舍五入之后精确到百分位
应该是在26. 85~26. 94 之间,因为13×26. 85= 349. 05,13
×26. 94= 350. 22,所以这13 个自然数的和是350,350÷13
≈26. 923,则精确到百分位是26. 92。
41.
6. 375 或6. 4375
【解析】因为A
2 + B
4 + C
16 = 8A+4B+C
16
≈
6. 4,那么这个数的小数部分可能是5÷16 = 0. 3125,6÷16
= 0. 375,7÷16= 0. 4375,8÷16= 0. 5,小数部分四舍五入可
以得到0. 4 的只有0. 375,0. 4375,所以这个算式的准确
值是6. 375 或6. 4375。
42.
46 【解析】原式=(4. 6-0. 1)+(4. 6+0. 05)+(4. 6+0. 065)+
…+(4. 6+0. 0666666665) = 4. 6× 10+ 0. 015+ 0. 0665+…+
0. 0666666665<46+0. 015+0. 07×7<47,所以原式和的整
数部分是46。
43.
3 【解析】A= 1+( 1
2 + 1
3 + 1
6 )+( 1
4 + 1
5 + 1
7 + 1
8 ) +( 1
9 +
1
10+ 1
11+…+ 1
16)= 2+( 1
4 + 1
5 + 1
7 + 1
8 )+( 1
9 + 1
10+ 1
11+…+
1
16),又因为4× 1
8 < 1
4 + 1
5 + 1
7 + 1
8 <4× 1
4 ,8× 1
16< 1
9 + 1
10+
1
11+…+ 1
16<8× 1
8 ,所以1
2 < 1
4 + 1
5 + 1
7 + 1
8 <1, 1
2 < 1
9 + 1
10
+ 1
11+…+ 1
16<1,即2+ 1
2 + 1
2 <A<2+1+1,3<A<4,综上所
述,分数A 的整数部分是3。
44.
73
【解析】设A =
1
1980+
1
1981+…+
1
2006,那么27
2006<A<
27
1980,1980
27 < 1
A <2006
27 ,73 1
3 < 1
A <74 8
27,即73 1
3 <S<74 8
27,
此时S 取73 或74。要确定S 的值,先看一个例子:
1
1981+ 1
1982+
1
1983,
1
1981+
1
1983 = 1981+1983
1981×1983 > 1982+1982
1982×1982 =
1
1982×2,所以1
1981+ 1
1982+ 1
1983>
1
1982×3;而1980~ 2006 一
共27 个数字,中间数为1993,由此规律可得,A>
1
1993 ×
27, 1
A < 1993
27 , 即S < 73 22
27, 结合上面可得: 73 1
3 < S <
73 22
27,所以A 的整数部分为73。
1
45.
1 【解析】由题可知1< 1
1 + 1
1×2+
1
1×2×3+
1
1×2×3×4+…+
1
1×2×3×…×10< 1 + 1
1×2 + 1
2×3 + 1
3×4 + … +
1
9×10, 因为1 +
1
1×2+ 1
2×3+ 1
3×4+…+
1
9×10 = 1+1- 1
2 + 1
2 - 1
3 + 1
3 - 1
4 +…+
1
9 - 1
10 = 2- 1
10<2,所以原式的整数部分为1。
专题2
奇数与偶数
质数
与合数
分解质因数
类型一 奇数与偶数
1.
B 【解析】三个奇数分别是n,n+2,n+4,n+(n+2)+(n+4)=
3n+6=3(n+2)。
2.
C 【解析】由题意得, n
2 是四位正整数,所以n 是偶数,n
最小是2000,又因为2n 也是四位正整数,所以n 最大是
4998,所以n 的取值范围是2000≤n≤4998,且n 是偶数,
这样的n 有(4998-2000)÷2+1= 1500(个)。
3.
8 【解析】设最小的偶数为x,则这五个连续偶数是x,x+
2,x+4,x+6,x+8,根据题意列式:2x=x+8,解得x= 8。
4.
60% 【解析】在1 ~ 8 中,偶数有4 个,奇数有4 个。从
1~8 中任选两个数(可以重复)相乘,积是奇数的有4×4 =
16(个),积是偶数的有8× 8- 4× 4 = 48(个)。由奇数+偶
数=奇数得,四位数的前两位数的乘积和后两位数的乘积
分别为奇数、偶数或偶数、奇数时,这个四位数是A 类数,
则A 类数有16×48×2 = 1536(个);由偶数+偶数= 偶数和
奇数+奇数=偶数得,四位数的乘积的前两位数的乘积和
后两位数的乘积分别为偶数、偶数或奇数、奇数时,原四位
数均为B 类数,则B 类数有48× 48+ 16× 16 = 2560( 个),
1536÷2560×100% = 60%。
5.
10 【解析】3333333333
2 =(1111111111×3)
2 = 1111111111
2
× 3
2 = 1111111111 × 1111111111 × 9 = 1111111111 ×
9999999999 =
1111111111 × ( 10000000000 - 1 ) =
11111111110000000000
-
1111111111
=
11111111108888888889,结果中共有10 个数位上的数字为
奇数。
6.
解:经过1 次操作变为1 的数有1 个,即为2;经过2 次操作
变为1 的数有1 个,即4、1(舍去);经过3 次操作变为1 的
数有2 个,即3、8;……;经过6 次操作变为1 的数有8 个,
即11、24、10、28、13、64、31、30;经过1、2、3、4、5、6…次操作
变为1 的数的个数依次为:1、1、2、3、5、8…,这即为斐波那
契数列,即从第三项开始,每一项都等于前两项之和,则第
7 次后是5+8= 13(个),第8 次后是8+13= 21(个),第9 次
后是13+21= 34(个)。
答:经过9 次操作变为1 的数有34 个。
7.
B 【解析】2m 是偶数,n 是偶数,2m+n 是偶数,A 选项不
正确;3m 是奇数,n 是偶数,3m+n 是奇数,B 选项正确;4m
是偶数,n 是偶数,4m+n 是偶数,C 选项不正确;m+n 是奇
数,4(m+n)是偶数,D 选项不正确。
8.
奇 【解析】这个算式中共有奇数和偶数各2010÷2 = 1005
(个),所有偶数的和为偶数,1005 个奇数的和为奇数,最
后偶数+奇数=奇数。
9.
奇 【解析】因为奇数×奇数= 奇数,偶数×偶数= 偶数,所
以算式中有1009 个积是奇数,1008 个积是偶数,又因为
1008 个偶数相加的和是偶数,1009 个奇数相加的和是奇
数,奇数+偶数=奇数,所以结果是奇数。
10.
40 【解析】奇数有1,3,5,7,9 共5 个,偶数有2,4,6,8 共
4 个,要使和为奇数,则这三个数都为奇数或者两个偶数、
一个奇数,如果这三个数都是奇数,则有10 种情况,如果
两个偶数和一个奇数,一共有30 种情况,所以一共有10+
30= 40(种)不同的选法。
11.
302 【解析】将第一个乘号改为加号,得到a1 +a2·…·
a2015
,将第二个乘号改为加号,得到a1·a2+a3·…·a2015
,
依次可以得到2014 个算式和,由题意,其中301 个为偶
数。若a1,a2,…,a2015 都是奇数,则所得的2014 个和数
都是偶数;若a1,a2,…,a2015 中只有一个是偶数,则所得
的2014 个和数都是奇数,因此a1,a2,…,a2015 中至少有2
个偶数。设a1,a2,…,a2015 中,从前往后,第一个偶数为
am,最后一个偶数为an,am ~ an 中任何一个乘号改为加
号,得到的和数为偶数;a1 ~ am 中任何一个乘号改为加
号,得到的和数为奇数;an ~ a2015 中任何一个乘号改为加
号,得到的和数为奇数。因为所得的2014 个和数中有
301 个是偶数,所以am ~ an 中有301 个乘号,am ~ an 共有
301+ 1 = 302 个数, 在a1, a2, …, a2015 中至多有302 个
偶数。
12.
C 【解析】设第三条边长为x,则9-2<x<9+2,即7<x<
11,又因为周长2+9+x= 11+x 为偶数,故x 是奇数,所以x
只能是9。
13.
B 【解析】从1 开始的若干个连续的奇数为等差数列,因
为擦去其中一个奇数后,剩下的所有奇数之和为1998,则
原等差数列的和为奇数,奇数列从1 加到2n- 1 的和为
(1+2n-1)×n÷2=n
2>1998,又因为44
2 = 1936<1998,45
2 =
2025>1998,所以被擦去的奇数为2025-1998= 27。
14.
4 【解析】2m 一定为偶数,所以3n 为奇数,即n 为奇数,
故n 只能取1,则m= 3,m+n= 4。
15.
2 【解析】据题意可知,答错的题目数量一定是偶数个,
若答错2 道题,答对18 道题会得18×2-2 = 34(分),未答
题目为25-2-18= 5(道),为奇数,符合题目描述。
类型二 质数与合数
16.
B
17.
C 【解析】3+9= 12,12 为合数,A 选项错误;5×6 = 30,30
为合数,B 选项错误;ab÷b = a,a 为质数,C 选项正确;20÷
2= 10,10 为合数,D 选项错误。
18.
0 【解析】因为1+2+3+4+5 = 15,15 可以被3 整除,所以
54321 任意排列得到的数字都能被3 整除。故答案为
0 个。
19.
B 【解析】2+3= 5,所以mnp= 2×3×5= 30。
20.
A 【解析】十位数可以是3、7、9,个位数可以是1、3、7、9。
十位数为3,31 和37 是质数。十位数为7,71、73、79 都是
质数。十位数为9,97 是质数。有6 个绝对质数。
21.
1137838997 【解析】100 以内最大的10 个质数为53,59,
61,67,71,73,79,83,89,97,从小到大排列构成的多位数
是53596167717379838997,去掉其中十个数字,按顺序构
成的最小多位数是1137838997。
22.
5、7、11、23、47 【解析】50 以内的素数:2、3、5、7、11、13、
17、19、23、29、31、37、41、43、47,2×2+1 = 5,5 是“安全素
数”,2×3+1= 7,7 是“安全素数”,2×5+1 = 11,11 是“安全
素数”,2×11+1 = 23,23 是“安全素数”,2×23+1 = 47,47
是“安全素数”,则50 以内的所有“安全素数”有5、7、11、
23、47。
23.
5 【解析】质数A 需满足A+14,A+18,A+32,A+36 均为
质数。当A= 5 时,5+14= 19(质数),5+18= 23(质数),5+
32= 37(质数),5+36= 41(质数),均符合。
24.
168
【解析】因为100 以内的质数从大往小分别是:97、
89、83、79、73、71…,要使a+b 最大,并且满足等式a+b =
c+d,只有97+71 = 89+79 = 168 能够满足,所以a+b 的最
大值可能是168。
25.
1993 【解析】2016-2006 = 10,2006-1996 = 10,可见这3
个数是一个相邻数相差为10 的数列。由于这三个数减
去的是同一个数,因此得到的三个质数也是一个相邻数
相差为10 的数列,这样的质数只有3、13、23,2016-23 =
1993,2006- 13 = 1993,1996- 3 = 1993,所以这个四位数
是1993。
26.
C 【解析】因为连续的四个自然数之和必为偶数,排除
B、D 选项。22+23+24+25= 94,23+24+25+26 = 98,24+25
+26+27 = 102,因此排除A 选项,所以这四个数之和的最
小值为24+25+26+27= 102。
27.
9 【解析】因为q 为质数且q= mn,所以m,n 只能一个是
1,另一个是q,利用p=m+n= 1+q,p、q 均为质数,所以p =
3,q= 2,所以p
q = 3
2 = 9。
28.
1118 【解析】因为2a+3b=c,4a+c+1= 4b,所以b= 6a+1,
c= 20a+3,当a 为质数2 时,b= 13,c= 43,此时b、c 也为质
数,且2×13×43 = 1118< 10000,符合题意;当a 为质数3
时,b= 19,c= 63,此时c 并不为质数,不合题意;当a 为质
数5 时,b= 31,c= 103,此时b、c 也为质数,且5×31×103 =
15965>10000,不符合题意;当a 为大于5 的质数时,n =
abc>10000,不符合题意;故a= 2,b= 13,c= 43,n= 1118。
29.
解:不能表示为3 个不同合数之和的最大整数是17。
理由:最小的三个合数之和为4+6+8 = 18,则不能表示为
3 个不同合数之和的整数是17。大于17 的偶数可表示
为2n,2n = 4+6+2(n-5),即三个合数分别为4,6,2(n-
5);大于17 的奇数可表示为2n+1,2n+1= 4+9+2(n-6),
即三个合数分别为4,9,2(n-6)。综上所述,大于17 的
所有整数都可以表示为3 个不同合数的和。故不能表示
为3 个不同合数之和的最大整数为17。
30.
146 【解析】两个质数的和是75,75 是奇数,所以这两个
质数必一奇一偶,2 是唯一的偶质数,所以另一个质数是
75-2= 73,这两个质数的积是2×73= 146。
31.
4 【解析】质数中除2 以外都是奇数。所以这三个质数
中必有一个是2。另外两个质数的和为52-2 = 50。从最
小的质数开始列举,3+47 = 50,3 和47 都是质数;5+45 =
50,45 不是质数;7+43= 50,7 和43 都是质数;11+39= 50,
39 不是质数;13+37 = 50,13 和37 都是质数;17+33 = 50,
33 不是质数,19+31 = 50,19 和31 都是质数;23+27 = 50,
27 不是质数,29+21= 50,21 不是质数。所以满足条件的
三个质数组合有(2,3,47)、(2,7,43)、(2,13,37)、(2,
19,31),共4 组。
32.
202 【解析】由题得质数的平方是偶数,由此质数为2,奇
数为105-2
2 = 101,积是101×2= 202。
33.
7 【解析】偶数+奇数= 奇数,若质数a = 2,代入3a+7b =
41 中,则b = 5 为质数,符合要求;若质数b = 2,代入3a+
7b= 41 中,则a = 9 不为质数,不符合要求,故a+b = 2+
5= 7。
34.
13 【解析】质数p,p+3 也是质数,只有p = 2(唯一偶质
数),2
6-51= 64-51= 13。
35.
5940 【解析】a+b=奇数,a+b+c = 奇数,所以质数c 为偶
数,即为2,所以a+b = 109,因为a+b 的和一定,所以a、b
越接近时,积最大,即当a 为55,b 为54 时,a×b×c 最大值
为55×54×2= 5940。
36.
9 【解析】因为p 是质数,所以p
2 是合数,且p
2≥4,又因
为p
2+1 也是质数,其必然是奇质数,所以p
2 一定是偶数,
所以p 是偶质数,即p= 2,所以p
2÷1+p
2+1= 9。
37.
7 【解析】a+b+c= 180,a≤b≤c,且a,b,c 均为质数,则a、
b、c 不可能全为奇数,故a= 2,则b+c= 180-2= 178;178= 5+
173= 11+167= 29+149= 41+137= 47+131= 71+107= 89+89,
所以共有7 组,即c 的不同可能取值共有7 个。
2
38.
1990 或1984 【解析】因为5、7、129 都是奇数,所以m,n
中存在偶质数2。如果m = 2,则5×2+7n = 129,解得n =
17;如果n= 2,则5m+7×2 = 129,解得m = 23。故2009-m
-n= 1990 或1984。
39.
1996 【解析】由于题目要求的是偶数,因此能够整除四
个不同的质数的只能是奇数,因此可以排除这四个质数
中偶数的存在,最小的3 个质数是3,5,7,而四位数的千
位是1,3×5×7×23>2000,则最大的质数小于23,因此选
择在3,5,7,11,13,17,19,这几个质数当中,根据题目的
条件,进行计算:不妨先用3,5,7,19 试试,发现3 × 5 ×
7×19= 1995,而5×7×11×13>5000,因此质数中必然有3;
而比1995 大且小于2000 的奇数只有1997,1999,两者都
不能被3 整除,最大的奇数只能是1995,偶数就是1996,
所以满足这些条件的最大偶数为1996。
类型三 分解质因数
40.
777 【解析】555555= 3×5×7×11×13×37,最大的三位数
因数为3×7×37= 777。
41.
24 【解析】216= 2×2×2×3×3×3,由于相差1 的因数有8
和9,216÷8= 27(本),216÷9= 24(本),27-24 = 3(本),即
所买的纪念册的单价是9 元,共买了24 本。
42.
9 【解析】每堆苹果的数量都是5 的倍数,设每堆数量为
5k(k 为正整数),堆数为n(n>1),则n×5k = 2025,化简得
n×k= 405,即堆数n 必须是405 的正因数且n>1。对405
分解质因数得405= 3
4×5
1,其正因数个数为(4+1) ×(1+
1)= 10(个),这些因数包括1、3、5、9、15、27、45、81、135、
405。排除堆数为1 的情况后,剩余9 个有效因数,即有9
种不同分法。
43.
606 【解析】52605= 3×3×5×7×167 = 3×5×7×501 = 105×
501,105+501= 606,所以这两个三位数的和等于606。
44.
14 2 97
【解析】2716 = 2×2×7×97,
因为王某是中学
生,所以王某的年龄是2×7 = 14(岁),
则王某是第2 名,
成绩是97 分。
45.
460 【解析】2013= 3×11×61,要使长方形长+宽最小,则
2013= 33×61,即长方形长上有61 人,宽上有33 人,长+
宽共有61+33-1= 93(人),传递时间至少需要(93-1) ×5
= 460(秒)。
46.
6= 2×3;8= 2×2×2;9 = 3×3;13 = 13;21 = 3×7;26 = 2×13;
35= 5×7;44= 2×2×11;50= 2×5×5;55 = 5×11。因为11 只
出现了2 次,所以44 和55 肯定分在不同组,同理13 和26
分在不同组,同理可得44×13×21×50×6= 55×26×35×8×9。
47.
12
【解析】由A、B、C、D 四个点所构成的线段有:AB、
AC、AD、BC、BD 和CD 共6 条,由于点B 是线段AD 的中
点,可以设线段AB 和BD 的长是x,那么AD = 2x,因此在
乘积中一定有x
3。把10500 分解质因数:10500= 2
2×3×5
3
×7,所以AB = BD = 5,所以AD = 10,所以另外三条线段长
度为2、3、7,所以最长线段与最短线段的长度和为10+2=
12。
48.
24、28 【解析】依题意知,每射一箭的环数,只能是下列
11 个数中的一个:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。而甲、乙每
人5 箭总环数的积都是1764,这说明在甲、乙每人5 箭得
到的环数里没有0 和10,将1764 分解质因数:1764 = 2×2
×3×3×7×7,因此可推知每人有两箭中的环数都是7,另外
3 箭的环数可能是3、3、4 或2、3、6 或1、4、9 或1、6、6 或
2、2、9。因为甲的总环数比乙少了4 环,所以甲的环数分
别是7,7,3,3,4,和为24,乙的环数分别是7,7,1,4,9,总
环数为28。
49.
D 【解析】420 = 2× 2× 3× 5× 7,420 的约数有
1,
420;2,
210;3,140;4,105;5,84;6,70;7,60;10,42;12,35;14,30;
15,28;20,21。其中分子与分母互质,且分母大于分子的
真分数有: 1
420, 3
140, 4
105, 5
84, 7
60,12
35,15
28,20
21,共8 个数。
50.
1080 【解析】互质就是两个数最大公因数是1。2025 =
3×3×3×3×5×5,所以2025 的质因数是3 和5。和2025 互
质的数,就是不被3 整除,也不被5 整除的数。被3 整除
的数有2025÷3= 675(个),被5 整除的数有2025÷5 = 405
(个),被3 和5 同时整除(即被15 整除)的数有2025÷15
= 135(个),被3 或5 整除的数的总个数是675+405-135
= 945(个),1 到2025 一共2025 个数,所以与2025 互质
的数的个数是2025-945= 1080(个)。
51.
31
【解析】设这三个质数为A、B、C,则1
A + 1
B + 1
C =
BC+AC+AB
ABC
= 311
1001,1001= 7×11×13,7×11+11×13+7×13 =
311,这三个质数是7、11、13,和为31。
52.
6 【解析】2025= 3
4×5
2,其因数共有(4+1) ×(2+1)= 15
(个)。相邻的两个因数互质,因此只含有3 或5 的因子
不相邻,既有3 又有5 的因子的数不在圈内。只含因子3
的因数:3,9,27,81,只含因子5 的因数:5,25,3-1-9-5-
27-25 构成一个满足条件的圈,共6 个因数,此时这一圈
的因数最多,为6 个。
53.
14 【解析】对2025 分解质因数2025 = 3×3×3×3×5×5 =
3
4×5
2,所以a+b+c+d 的和是3+4+5+2= 14。
54.
548
【解析】恰好有8 个因数的自然数分解质因数后可
以表示为a
1×b
3 或a
1×b
1×c
1,又因为不大于100,则为2
1×
3
3 = 54,3
1×2
3 = 24,5
1×2
3 = 40,7
1×2
3 = 56,11
1×2
3 = 88,2
1×
3
1×5
1 = 30,2
1 ×3
1 ×7
1 = 42,2
1 ×3
1 ×11
1 = 66,2
1 × 3
1 × 13
1 =
78,2
1×5
1×7
1 = 70,和为54+24+40+56+88+30+42+66+78
+70= 548。
解题技巧
因数个数求法:分解质因数后,因数个数等于
所有质因数的次方数+1 的连乘积。
55.
900 【解析】根据因数个数定理,正整数N= a
m×b
n×c
r(其
中a、b、c 为质因数),N 的因数个数为p = (m+1) (n+1)
(r+1)= 9+18= 27。因为N 有偶数因数,故a 只能为2,设
所有正奇因数之积为M=b
n×c
r,则(n+1)(r+1)= 9,因此
m+1= 27÷9= 3,m= 2;要使正整数N 最小,则M = b
n×c
r 最
小,取b= 3,c= 5,M = 3
n ×5
r。因为n = 8,r = 0 时,M = 3
8 =
6561;n= 2,r= 2 时,M= 3
2×5
2 = 225,所以正整数N 最小为
2
2×3
2×5
2 = 900。
56.
145 【解析】100 的因数有1、2、4、5、10、20、25、50、100,所
以r(100)= 9,即r(n) +r(n+1)= 9,由于9 是奇数,因此
r(n)和r(n+1) 必须一个为奇数、一个为偶数,因为只有
完全平方数的因数个数为奇数,即n 和n+1 中一个为完
全平方数,另一个不是。当n 是平方数时,检查n 为1,4,
9,16,25,36,49,64,81;当n= 1 时,r(1)= 1,r(2)= 2,1+2
= 3,不符合题意;当n= 4 时,r(4)= 3,r(5)= 2,3+2= 5,不
符合题意;当n= 9 时,r(9)= 3,r(10)= 4,3+4 = 7,不符合
题意;当n= 16 时,r(16)= 5,r(17)= 2,5+2 = 7,不符合题
意;当n = 25 时,r(25) = 3,r(26) = 4,3+4 = 7,不符合题
意;当n= 36 时,r(36)= 9,r(37)= 2,9+2 = 11,不符合题
意;当n= 49 时,r(49)= 3,r(50)= 6,3+6 = 9,符合题意;
当n= 64 时,r(64)= 7,r(65)= 4,7+4 = 11,不符合题意;
当n= 81 时,r(81)= 5,r(82)= 4,5+4 = 9,符合题意;所以
此时满足条件的为49 和81。当n+1 是完全平方数时,检
查3,8,15,24,35,48,63,80,99;当n= 3 时,r(3)= 2,r(4)
= 3,2+3= 5,不符合题意;当n = 8 时,r(8)= 4,r(9)= 3,4
+3= 7,不符合题意;当n= 15 时,r(15)= 4,r(16)= 5,4+5
= 9,符合题意;当n= 24 时,r(24)= 8,r(25)= 3,8+3= 11,
不符合题意;当n = 35 时,r(35)= 4,r(36)= 9,4+9 = 13,
不符合题意;当n = 48 时,r(48) = 10,r(49) = 3,10+ 3 =
13,不符合题意;当n = 63 时,r(63)= 6,r(64)= 7,6+7 =
13,不符合题意;当n = 80 时,r(80)= 10,r(81)= 5,10+5
= 15,不符合题意;当n= 99 时,r(99)= 6,r(100)= 9,6+9
= 15,不符合题意。所以此时满足条件的为15。综上所
述,满足条件的n 为15,49,81。15+49+81 = 145,所以所
有取值的总和是145。
专题3
数的整除
余数问题
类型一 数的整除
1.
C 【解析】因为3+5+8+2 = 18,18 是3 的倍数,所以四张
数字卡片不管怎么摆一定都是3 的倍数。
2.
B 【解析】因为5 的倍数个位数字是0 或5,N 是比10 小
的自然数,所以个位是N 的数不一定是5 的倍数,所以A、
D 选项不一定是3 和5 倍数,B、C 选项一定是5 的倍数。
各个数位上数字的和是3 的倍数的数是3 的倍数,因为S
是0,所以B 选项各个数位数字和是3×N 一定是3 的倍
数;C 选项各个数位数字和是2×N 不一定是3 的倍数,所
以B 选项一定是3 和5 的倍数。
3.
9990 【解析】能够被2 和5 整除的数个位数字为0,能够
被3 整除的数各个数位上的数字之和可以被3 整除,所以
十位、百位和千位均为9 时最大,所以满足条件的最大四
位数为9990。
4.
18 【解析】0+1+4+7= 12,12÷3= 4。0,1,4,7 可以组成3×
3×2×1= 18(个)四位数。
5.
1 【解析】279-200= 79;79÷13= 6……1,所以□中填1。
6.
2022090 【解析】要能被5 整除且最小,则个位为0;要能
被3 整除,目前各位数字和是2+0+2+2= 6 为3 的倍数,则
十位与百位上的数字和也应为3 的倍数,又要使其最小,
故百位为0,十位上的数字为3 的倍数。又因为是7 的倍
数,则十位只能为9,则这个最小的七位数为2022090。
解题技巧
7 的倍数特征:截末三位数后所剩新数与末
三位数,大数减小数,所得数为7 的倍数(针对数位较多
的数)。
7.
8 【解析】多位数2009…2009
ü
þ
ý
ï
ï
n个2009
936 的奇数位的数字和与偶
数位的数字和之差是(3+9n) -(6+9+2n)= 7n-12,即7n-
12 是11 的倍数,且n 是整数,当7n-12= 44 时,n 的最小值
是8。
解题技巧
一个数能被11 整除,那么这个数的奇数位的
数字和与偶数位的数字和之差是11 的倍数。
8.
4 【解析】被11 整除的数,奇数位和与偶数位和的差能被
11 整除,从10 往后,偶数位上,数字1 到9 均出现10 次。
奇数位上,0 到9 出现9 次,因此奇数位和=(0+1+2+3+…
+9)×9+(1+3+5+7+9)= 45×9+25= 430,偶数位和=(1+2+
3+…+9)×10+(2+4+6+8)= 45×10+20 = 470,则他们的差
为偶-奇= 470-430 = 40,不能被11 整除,若调整奇数位的
最后一位(99 的个位9),减少4 的话,这个差将被11 整
除,则原数除以11 的余数是4。
9.
210769 840736 【解析】不同的字母表示不同的数字,要
使ABCDEF 的值最小,从最高位起每个数位上的数字应当
最小,根据能被2 整除的数的特征,A 最小为2,即A = 2,则
AB = 2B;根据能被3 整除的数的特征,B 最小为1,即B= 1,
则ABC= 21C;根据能被5 整除的数的特征,C 最小为0,即
C= 0,则ABCD= 210D;根据能被7 整除的数的特征,D 为
7,则ABCDE = 2107E;根据能被11 整除的数的特征,E 为
6,则ABCDEF = 21076F;根据能被13 整除的数的特征,F
为9,则ABCDEF= 210769。要使ABCDEF 的值最大,从最
3
高位起,每个数位上的数字应当最大,根据能被2 整除的
数的特征,A 最大为8,即A = 8,则AB = 8B;根据能被3 整
除的数的特征,B 最大为7,即B= 7,则ABC= 87C;因为C=
0,此时ABC= 870,则ABCD = 870D;根据能被7 整除的数
的特征,D 为1(为8 不合题意),则ABCDE = 8701E;根据
能被11 整除的数的特征,E 为0,与C = 0 矛盾,所以B = 7
不合题意;B 最大为4,即B = 4,又因为C = 0,此时ABC =
840;根据能被7 整除的数的特征,D 为7,则ABCD = 8407;
根据能被11 整除的数的特征,E 为3,则ABCDE = 84073,
又因为F = 6, 则ABCDEF = 840736, 且840736 能被13
整除。
10.
解:因为能被9 整除的四位数的各位数字之和能被9 整
除,1+7+3+□= 11+□,所以□内只能填7;因为能被11
整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的
数字和所得的差能被11 整除,所以(7+□) -(1+3)= 3+
□能被11 整除,所以□内只能填8;因为能被6 整除的自
然数是偶数,并且数字和能被3 整除,而1+7+3+□= 11+
□,所以□内只能填4;7+8+4= 19。
答:数学老师先后填入的3 个数字的和是19。
11.
B 【解析】A. 若乙队有42 人,(42-1) ×10+8 = 418(棵),
(418-12)÷13 结果除不尽,说明乙队42 人不对,不符合
题意;B. 若乙队有43 人,(43-1)×10+8= 428(棵),(428-
12)÷13= 32(人),符合题意;C. 若乙队有44 人,(44-1)×
10+8 = 438( 棵),(438- 12) ÷ 13 除不尽,不符合题意;
D. 若乙队有45 人,则(45- 1) × 10+ 8 = 448(棵),(448-
12)÷13 除不尽,不符合题意。
12.
20 【解析】由题得两人买的货物总重量能被3 整除,
(15+16+18+19+20+31) ÷3 = 39(千克)……2(千克),则
未卖出的货物重量除以3 余2,仅20 满足该要求。
13.
39 【解析】设这三个相同的数字为a,则三个相同数字
组成的三位数为(100a+10a+a),这三个数字的和为3a,
所以王老师今年的年龄是(100a+10a+a) ÷3a+2 = 111a÷
3a+2= 37+2= 39(岁)。
类型二 余数问题
14.
bc+b-1 【解析】在有余数的除法中,余数总比除数小,即
余数最大为(b-1),则被除数最大为(bc+b-1)。
15.
19 【解析】三三数之余一为除以3 余1,即4、7、10、13、
19、22、…;四四数之余三为除以4 余3,即7、11、15、19、
23、…;五五数之不足一为除以5 余4,即9、14、19、24、…,
所以最小的数是19,则苹果最少19 个。
16.
64 【解析】除数为43,余数b 最大为42;被除数为43a+b
= 43a+42= 43(a+1)-1,所以被除数为43 的倍数-1。因
为23×43= 989,24×43= 1032(四位数,不符合题意),所以
当被除数是988 时,a+b 的值最大,即a+1= 23,
a= 22,a+
b 的最大值是22+42= 64。
17.
59 【解析】一个数除以3 余2,即这个数加上1 后所得的
数除以3 没有余数;除以4 余3,即这个数加上1 后所得
的数除以4 没有余数;除以5 余4,即这个数加上1 后所
得的数除以5 没有余数。所以假设这个数除以3,4,5 都
没有余数,这个数最小就是3,4,5 的最小公倍数,3,4,5
的最小公倍数是3× 4× 5 = 60,所以这个数最小是60- 1
= 59。
18.
29
【解析】518- 7 = 511,666- 10 = 656,888- 511 = 377,
888-656= 232,这个数为377 与232 的公因数,且大于
10;因为377= 13×29,232= 8×29,所以这个自然数为29。
19.
16 【解析】109 和93 这两个数除以同一个两位数,得到
相同的余数,则它们的差是这个数的倍数,109-93 = 16,
16 的因数中是两位数的只有16。
20.
5 【解析】390-369= 21 = 3×7,425-369 = 56 = 7×8,425-
390= 35= 5×7,21、56、35 能同时被这个数整除,21、56、35
大于1 的公因数为7,2014÷7= 287……5。
21.
23 【解析】因为A 除甲数所得的余数是A 除乙数所得余
数的2 倍,所以乙数的2 倍除以A 所得的余数与甲数除
以A 所得余数相等。因此,A 是539×2-526= 552 的因数。
同理,A 也是539× 3- 705× 2= 207 的因数。因为552 和
207 的最大公因数是69,所以A 是69 的因数。因为甲数
除以A 所得余数至少是2,而69 = 1×69 = 3×23,经验证3
和69 不符合题意,所以A 只能是23。
22.
2668 【解析】两位自然数mn = 10m+n,nm = 10n+m(m,n
为1~9 的整数,且m>n),10m+n= 7a+1(a 为整数),10n+
m= 7b+1(b 为整数);两式相减得:9(m-n)= 7(a-b),因
为9 和7 互质,故m-n 必为7 的倍数,结合m>n 且m,n
为1-9 的整数,得m-n= 7,即m=n+7;验算得n = 2,m = 9
时,mn= 92,nm= 29 满足要求,92×29= 2668。
23.
2 【解析】因为3333÷7 = 476……1,那么3333
5555 除7 的
余数是1
5555,1
5555 = 1,那么3333
5555 除7 的余数是1。因为
5555÷7= 793……4,那么5555
3333 除7 的余数是4
3333,为
了便于计算4
3333 被7 除的余数,我们先找出4 的幂次除
以7 的余数规律:4
1÷7= 0……4,4
2 = 16,16÷7= 2……2,4
3
= 4
2×4= 16×4= 64,64÷7= 9……1,4
4 = 4
3×4 = 64×4 = 256,
256÷7= 36……4,4
5 = 4
4 ×4 = 256×4 = 1024,1024÷7 = 146
……2,…,可以发现4 的幂次除以7 的余数是以4、2、1 为
周期循环出现的。因为3333÷ 3 = 1111,没有余数,说明
4
3333 除以7 的余数刚好完成了1111 个完整的周期,所以
4
3333 除7 的余数是1,所以5555
3333 除7 的余数是1。根据
同余定理3333
5555+5555
3333 被7 除的余数为2。
24.
35 【解析】根据题意可得,2017-r,1029-r,725-r 均能被
d 整除,(2017-r)-(1029-r)= 988,(2017-r) -(725-r)=
1292,(1029-r)-(725-r)= 304,则988,1292,304 均能被
d 整除,988= 2×2×19×13,1292= 2×2×19×17,304= 2×2×2
×2×19,所以这三个数的最大公因数是2×2×19 = 76,所以
d 为76 的因数,即d 的值可能是76,38,19,4,2,1(被1 除
余数可看成0)。当d = 76 时,725÷ 76 = 9……41,即r =
41,此时d-r= 76-41= 35;当d= 38 时,725÷38= 19……3,
即r= 3,此时d-r = 38- 3 = 35;当d = 19 时,725÷ 19 = 38
……3,即r= 3,此时d-r = 19-3 = 16;当d = 4 时,725÷4 =
181……1,即r= 1,此时d-r= 4-1= 3;当d= 2 时,725÷2 =
362……1,即r= 1,此时d-r= 2-1= 1;当d= 1 时,725÷1 =
725,即r= 0,此时d-r= 1-0= 1。因为35>16>3>1,所以d-
r 的最大值是35。
25.
15
【解析】n = ( n + 1) - 1, n
2024 = [( n + 1) - 1]
2024 =
C
0
2024(n+1)
2024 (-1)
0 + C
1
2024 (n+1)
2023 (-1)
1 + … +
C
k
2024(n+1)
2024-k(-1)
k +…+C
2024
2024 (n+1)
0 (-1)
2024,除末项
外,各项均含( n + 1), 故n
2024 除以( n + 1) 的余数为
C
2024
2024(n+1)
0(-1)
2024 = 1。所以n
2024+2023 整除(n+1),根
据同余定理,2024 整除(n+1)。分解质因数2024 = 2
3 ×11
×23,正因数的个数为(3+1) ×(1+1) ×(1+1)= 16。因为
n 为正整数,则n+1≥2,排除1,所以剩余15 个正因数。
26.
6 【解析】97 除以8 的余数为1,234 除以8 的余数为2,
75 除以8 的余数为3,501 除以8 的余数为5,1×2×3×5 =
30,30 除以8 的余数是6,根据余数的乘法定理,算式的
余数等于6。
27.
1 【解析】自然数a、b、c 除以14 都余5,设a = 14x+5,b =
14y+5,c= 14z+5,即a+b+c = 14(x+y+z) +15,再除以14,
可得余数为1。
28.
43 【解析】因为三个余数的和是25,那么63+90+130-
25= 258 就是这个自然数的倍数,因为258 = 2×3×43,63÷
43= 1……20,90÷43= 2……4,130÷43= 3……1,1+4+20 =
25,所以43 满足题意。
29.
12 【解析】1 至40 中除以4 余数为1 的有:1、5、9、…、
37;除以4 余数为2 的有:2、6、10、…、38;除以4 余数为3
的有:3、7、11、…、39;被4 整除的有:4、8、12、…、40。根据
余数的可加性,余数是1 和余数是3 的数,余数加起来是
4,那么这两个数的和能被4 整除,所以余数是1 和余数
是3 的这些数里,最多取10 个数。能够被4 整除的数中
任意两个之和都能被4 整除,所以最多只能取1 个,余数
是2 的数中任意取两个数的和的余数是4,这两个数的和
能够被4 整除,所以余数是2 的数中最多可以取1 个,故
总共最多能取10+1+1= 12 个数。
30.
解:余数是1。原因:3
3、6
6、9
9 除以3,余数是0,
1
1 除以3 的余数是1,2
2 除以3 的余数是1,4
4 除以3 的
余数是1,5
5 除以3 的余数是2,7
7 除以3 的余数是1,8
8
除以3 的余数是1,(1+1+1+2+1+1)÷3= 7÷3= 2……1。
专题4
因数与倍数
类型一 直接求最大公因数与最小公倍数
1.
C 【解析】36= 2×2×3×3,45= 3×3×5,60= 2×2×3×5,2×2×
3×3×5= 180,所以自然数
36、45、60
的最小公倍数为
180。
2.
D
3.
3 45 【解析】20 以内既是奇数又是合数的数只有9 和
15,它们的最大公因数是3,最小公倍数是45。
4.
35ab 【解析】A 和B 的最小公倍数是a×b×5×7= 35ab。
5.
18 【解析】90 = 2×3×3×5,105 = 5×3×7,126 = 2×3×3×7,
甲、乙两数的最小公倍数是90,乙、丙两数的最小数是
105,甲、丙两数的最小公倍数是126,所以甲的因数中没有
5 和7,有因数2,3,3,所以甲数是2×3×3= 18。
类型二 最大公因数与最小公倍数
关系的应用
6.
b 【解析】由a 和b 都是非零自然数,它们之间的关系为a
÷0. 5=b. 则b÷a= 2,可知b 和a 是倍数关系,根据倍数关系
的最小公倍数是大数,因此a 和b 的最小公倍数是b。
7.
39 【解析】甲、乙两数的最小公倍数×最大公因数= 甲数×
乙数,则乙数= 78×13÷26= 39。
8.
18 42 【解析】由“甲、乙两数的比是3 ∶7”可知,去掉两数
的最大公因数后甲乙两数独有的质因数分别是3、7,根据
“两数的最小公倍数是最大公因数与独有质因数的积”可得
出甲乙两数的最小公倍数是它们的最大公因数的(7×3)倍,
又知“甲乙两数的最大公因数和最小公倍数的和是132”,则
132 是它们的最大公因数的(7×3+1)倍,则最大公因数是
132÷(7×3+1)= 6,甲数是6×3= 18,乙数是6×7= 42。
9.
56 【解析】96÷8 = 12,12 = 1×12 = 3×4 = 2×6,所以有三种
情况,①1×8= 8,12×8 = 96,不符合题意;②3×8 = 24,4×8 =
32,符合题意;③2×8= 16,6×8 = 48,不符合题意,所以这两
个数的和是24+32= 56。
10.
108 【解析】设a>b,有a=b+84,又设a、b 的最大公因数
为d,则最小公倍数可以用18d 来表示,设a = md,b = nd
(m>n 且m、n 互质),则(m-n) d = 84,且mn = 18,若m =
18,n= 1,则d 不是整数;若m= 9,n= 2,则d= 12,a、b 中较
大的数是a= 9×12= 108。
类型三 公因数的应用
11.
385 【解析】2. 31 米= 231 厘米,1. 47 米= 147 厘米,1. 05
米= 105 厘米,231,147,105 的最大公因数是21,且231÷
21= 11,147÷21= 7,105÷21 = 5,最多可锯得正方体木块:
11×7×5= 385(个)。
12.
14 【解析】60= 2×2×3×5,96 = 2×2×2×2×2×3,60 和96
的最大公因数是:2×2×3= 12。60÷12+1+96÷12+1-1 = 14
4
(盏),这条街道最少要安装14 盏路灯。
13.
26
14.
8 【解析】如果减少4 个苹果、5 个梨、7 个橘子则能恰好
分完,44-4= 40(个),61-5= 56(个),79-7 = 72(个),40 =
2×2×2×5,56= 2×2×2×7,72 = 2×2×2×3×3,最多有2×2×
2= 8(名)同学。
15.
5 平方厘米 【解析】上面两块面积和为12+36= 48(平方
厘米),下面两块面积和为24+48 = 72(平方厘米),48 与
72 的最大公因数为24,所以面积为12 平方厘米的长方
形宽为2 厘米,底边长为6 厘米;面积为36 平方厘米的长
方形宽为2 厘米,底边长为18 厘米;面积为24 平方厘米
的长方形宽为3 厘米,底边长为8 厘米;面积为48 平方厘
米的长方形宽为3 厘米,底边长为16 厘米。阴影部分底
边长为18-16= 2(厘米),2×2÷2+2×3÷2 = 5(平方厘米),
阴影部分的面积为5 平方厘米。
类型四 公倍数的应用
16.
A 【解析】每种数法都正好少1 个,也就是说如果再多一
个,每种数法都将正好不多不少。2、3、4、5、6 的最小公倍
数是60,所以这堆苹果至少有60-1= 59(个)。
17.
C 【解析】人数在90~110 之间,且减去3 后,既能被3 整
除,又能被5 整除,还能被7 整除,3×5×7+3 = 108,所以共
有108 人。
18.
75
【解析】50 和30 的最小公倍数是150,150÷ 30 = 5
(个),150÷50 = 3( 个),5+ 3- 1 = 7( 个),1099÷ 7 = 157,
157×150÷3. 14= 7500(厘米)= 75(米)。
19.
91 【解析】每步跳过2 个孔,连起点一步要跳过3 个孔,
故除掉B 孔外,圆圈上的孔数是3 的倍数,则圆圈上的孔
数是3 的倍数加上1;每步跳过4 个孔,连起点一步要跳
过5 个孔,故除掉B 孔外,圆圈上的孔数是5 的倍数,则
圆圈上的孔数是5 的倍数加上1;又每步跳过6 个孔时,
可回到A 孔,连起点一步要跳过7 个孔,则圆圈上的孔数
是7 的倍数。3 与5 互质,所以圆圈上的孔数是15 的倍
数加上1。因总数<100,只可能是16、31、46、61、76、91,其
中仅有91 是7 的倍数,即圆圈上共有91 个孔。
类型五 分数的公倍数和公因数
20.
5
36 【解析】4 1
6 = 25
6 、3 3
4 = 15
4 、2 2
9 = 20
9 ,25,15,20 的最
大公因数是5;6,4,9 的最小公倍数是36,所以它们的最
大公因数是5
36。
21.
56
3 【解析】小红每次跳1
2 = 15
30 米,小明每次跳2
3 = 20
30
米,标识牌的间隔距离是14
15 = 28
30 米,分子15,28 的最小公
倍数是420,所以当小红跳到420
30 米时第一次恰好跳到标识牌
上,此时两人各跳了28 次,此时小明跳了28× 2
3 = 56
3 (米)。
22.
70950 【解析】分子和分母只有公因数1 的分数为最简
分数,不为最简分数即分子和分母有共同的因数( 除1
外),有公因数就有最大公因数,不妨设最大公因数为a,
则a=(3n+2,5n+1)= (3n+2,2n-1)= (n+3,2n-1)= (n+
3,n-4)= (7,n-4),即a= 7,所以分子和分母的最大公因
数为7。因为原分数不为最简分数,则n-4 = 7k(k = 0,1,
2,3,…),又因为n 为三位数,即100≤n≤999,所以100≤
7k+4≤999,即14≤k≤142,142-14+1 = 129,所以所有三
位数n 之和为7×(14+15+16+…+142) +4×129 = 70950,
所以使3n+2
5n+1 不为最简分数的所有三位数n 之和等
于70950。
类型六 公倍数与容斥原理结合
23.
59 【解析】因为100÷3= 33(盏)……1(盏),所以第一次
拉了33 盏;100÷5= 20(盏),所以第二次拉了20 盏;3×5
= 15(盏),100÷15 = 6(盏)……10(盏),两次都拉的有6
盏,33+ 20- 6 = 47(盏),被拉过的有47 盏;100- 47 = 53
(盏),没有被拉过的有53 盏;最后亮着的灯一共有53+6
= 59(盏)。
24.
39 【解析】第一次转向,4 的倍数有60÷4= 15(人),此时
背向老师的有15 人;第二次转向,5 的倍数有60÷5 = 12
(人),其中与4 的倍数相同的有20,40,60 这3 个人,在
第一次转向时转为背向老师,现在他们3 人转变为面向
老师;则叫5 的倍数向后转时只有12-3= 9(人)转为背向
老师,3 人转为面向老师;则此时背向老师的有15+9-3 =
21(人);第三次转向,6 的倍数有60÷ 6 = 10(人),其中
12,24,36,48 这4 人第一次转向时转为背向老师,此时转
为面向老师,30 在第二次转向时转为背向老师,现在转为
面向老师,60 经过第二次转向时为面向老师,在第三次转
向时为背向老师,则此时转为背向老师的有5 人,此时背
向老师的有21+5-5= 21(人),现在面向老师的学生有60
-21= 39(人)。
25.
28 【解析】10,12,15 的最小公倍数是60,设木棍长60 厘
米,60÷10= 6(厘米),60÷12 = 5(厘米),60÷15 = 4(厘米);
10 等份的为第一种刻度线,共10-1 = 9(条);12 等份的为
第二种刻度线,共12-1= 11(条);15 等份的为第三种刻度
线,共15-1= 14(条);第一种与第二种刻度线重合的条数:
6 和5 的最小公倍数是30,60÷30-1 = 1(条);第一种与第
三种刻度线重合的条数:6 和4 的最小公倍数是12,60÷
12-1= 4(条);第二种与第三种刻度线重合的条数:5 和4 的
最小公倍数是20,60÷20-1= 2(条);因为6,5,4 的最小公倍
数是60,所以没有三种刻度线重合的,因此,共有刻度线9+
11+14-1-4-2=27(条);木棍总共被锯成27+1=28(段)。
专题5
数字问题
类型一 位值原理
1.
A 【解析】设原数右端的五位数是x,则10x+1=(100000+
x)×3,解得x= 42857,所以原来的六位数是142857。
2.
C 【解析】假设这个三位数是abc(其中a,c≠0),百位与
个位交换后是cba,100a+ 10b+c-(100c+ 10b+a) = 99( a-
c),是4 的倍数,因为a≠c,所以a、c 一共有(9、1),(9、5),
(8、4),(7、3),(6、2),(5、1)共6 组,b 的取值范围是0~9,
所以每组分别有10 个这样的数,所以这样的三位数有10×
6= 60(个)。
3.
10 【解析】设原来两位数个位上的数是x,那么十位上的
数是2
3 x,则(10x+ 2
3 x)-( 2
3 x×10+x)= 18,解得x= 6,十位
数上的数是2
3 ×6= 4,则原来这个两位数个位和十位上数
字的和是10。
4.
931 【解析】设这三个数分别为a、b、c(a,b,c 均不为0),
那么(100a + 10b + c) + (100a + 10c+ b) + (100b + 10a + c) +
(100b+10c+a) +(100c+10a+b) +(100c+10b+a)= 2886,即
222(a+b+c)= 2886,解得a+b+c = 13,因为9+3+1 = 13,所
以最大的三位数是931。
5.
339、689 【解析】设这个三位数的百位数为a,去掉它的首
位数字后剩下的两位数为x,则100a+x = 7x+ 66,即6x =
100a-66,等式右边应是6 的倍数,且x<100,所以a = 3 或
6,那么x = 39 或89, 所以符合条件的所有三位数是
339、689。
6.
解:设原五位数回文数为abcba(1≤a≤9,0≤b、c≤9),则
原数数值10001a+1010b+100c 是7 的倍数;十位与个位互
换后的新数为abcab,数值为10010a+1001b+100c,是11 的
倍数;
十位与百位互换后的新数为abbca,数值为10001a+1100b+
10c,是13 的倍数。由于奇数位数字之和与偶数位数字之
和的差是11 的倍数(含0),所以(b+c+a)-(a+b)= c 是11
的倍数,所以c= 0;
代入可得10001a+1010b 是7 的倍数,因为10001÷7 = 1428
……5,1010÷7= 144……2,所以5a+2b 是7 的倍数。
同理可得a+2b 是13 的倍数。1≤a+2b≤27,所以a+2b =
13 或a+2b= 26。
代入数字验证可以使a+2b 是13 的倍数,且5a+2b 是7 的
倍数的数,可得若a+2b= 13,则a= 9,b= 2;若a+2b = 26,则
没有符合要求的a 和b 的值。所以原五位数为92029。
答:原五位数为92029。
7.
解:设这个四位数为abcd,其中a≤2,否则原数的4. 5 倍变
成五位数。
这个四位数的数值N = 1000a+100b+10c+d(1≤a≤2,0≤
b、c、d≤9 且d≠0),其反序数的数值M = 1000d+100c+10b
+a。因为M= 4. 5N,则1000d+100c+10b+a = 4. 5×(1000a+
100b+10c+d),化简得181d-818a= 80b-10c,因为等式右边
是10 的倍数,所以181d-818a 也是10 的倍数,则a= 1,d=
8 或a= 2,d= 6。
若a= 1,d= 8,则630= 80b-10c,有两组解:①b= 8,c= 1;②b
= 9,c= 9,满足要求的四位数为1818 和1998;若a = 2,d =
6,则-550= 80b-10c,无有效解。1818+1998= 3816。
答:所有满足要求的四位数的和是3816。
类型二 错中求解
8.
9617 【解析】错误的被减数是9527+2487 = 12014,正确的
被减数应是12104,正确的得数是12104-2487= 9617。
9.
90 【解析】漏掉了个位上的0 的加数是:(182-101) ÷(10
-1)= 81÷9= 9,其中一个正确的加数是:9×10 = 90,另一个
加数是:182-90= 92,因为90<92,所以较小数为90。
10.
14. 71 【解析】14. 7×7= 102. 9,14. 8×7= 103. 6,所以7 个
自然数它们的和只能是103,正确的得数应是103÷ 7≈
14. 71。
11.
96. 95 【解析】设购买这件商品后应找回的钱数是a 元,
则由于打错小数点之后实际找回是10a 元, 10a - a =
27. 45,解得a = 3. 05,这件商品的原价是100 - 3. 05 =
96. 95(元)。
12.
134 【解析】正确结果与错误结果相差68×( ☆+ 2) -
(68×☆+2)= 68×☆+136-68×☆-2= 134。
13.
8
【解析】20 - a × 3
5 - [( 20 - a) × 3
5 ] = 20 - 3
5 a - 12 +
3
5 a= 8。
14.
12 【解析】1. a
·
b
·
×66-1. ab×66= 0. 5,即0. 00a
·
b
·
= 0. 5÷66
= 0. 007
·
5
·
,所以a= 7,b= 5,则a+b= 7+5= 12。
类型三 数码与页码
15.
21 【解析】1~100 中,个位数上1 共出现了10 次(1,11,21,
…,91),1 ~ 100 中,十位上1 共出现了10 次(10,11,…,
19),1~100 中,百位上1 共出现了1 次,即100,所以数字
1 在页码中一共出现10+10+1= 21(次)。
16.
2700 【解析】四位数是1000 ~ 9999,共有9
000 个数,个
位是0 的数字有9×10×10×1= 900(个);十位是0 的数字
有9×10×10×1= 900(个);百位是0 的数字有9×10×10×
1= 900(个);千位没有是0 的,所以数字“0”共出现900+
5
900+900= 2700(次)。
17.
100
【解析】4979× 2 = 9958,因为99× 100< 9958< 100×
101,所以原来有100 页。
18.
6 【解析】设这本书共有n 页,则n×(n+1) ÷2<2022,n×
(n+1)< 4044,由于63 × 64 = 4032,64 × 65 = 4160,4032 <
4044<4160,假设n= 63,2022-63×64÷2= 6<63 满足;假设
n= 62,2022 - 62 × 63 ÷ 2 = 69 > 62 不满足。所以n = 63,
2022-63×64÷2= 6,所以被加了两次的页码是6。
19.
解:994= 7×142,15×7 = 105,7×2 = 14。7 的倍数中,一位数
有1 个,是7,占的位数是1 位;两位数有13 个,取值范围
是14~98,占的位数是26 位;三位数有142- 1- 13 = 128
(个),取值范围是105~994,占的位数是128×3= 384(位)。
所以这个数总的位数是1+26+384 = 411(位)。160÷3 =
53……1,142-53= 89,89×7 = 623,所以623 中的3 是被截
去的第160 个数字,则2 为剩下部分的最末一位数字。
答:这个数是411 位数,剩下部分的最末一位数字是2。
类型四 幻方与幻圆
20.
填数如解图。(答案不唯一)
第20 题解图
21.
19 【解析】圆圈中的数用字母A、B、C、D 表示,如解图,D
= 2×15-13= 17,2B=A+13,且2C= 17+B= 15+A,所以17+
B= 15+ 2B- 13,解得B = 15,所以C = 16。a = 16× 2- 13
= 19。
第21 题解图
22.
6 【解析】根据分析,1+2+3+6+7+8+9 = 36,填入的x 是
其它六个数和的因数,故x 一定是36 的因数,36 的因数
有1、2、3、6、9。若x= 9,则不能使每个数的周围数字之和
是该格子中所填数字的整数倍;若x = 6,如下图所示满足
题意,故标有字母x 的格子所填的数字最大是6。
第22 题解图
23.
B 【解析】共有12 个数,每一条边上4 个数的和都相等,
共有六条边,所以每个数都加了两遍,这12 个数共加了
两遍后和为12,所以每条边的和为12÷6= 2,所以-5、-1、
5 这一条边上最后一个圆圈数字应填3;-2、-1、1 这一条
边上第二个圆圈数字应填4。这时数字就剩下-4、-3、0、
6,如解图,c+d= 2-(1+5)= -4,则取-4、-3、0、6 中的-4、
0;b+d= 2-(-2+2)= 2,则取-4、-3、0、6 中的-4、6,所以d
= -4,c= 0,a= 2-(2+0+3)= -3。
第23 题解图
24.
19 【解析】假设最右上角的圆中是a,则15+13+a = a+
12+最右边的数,得到最右边的数是16,根据最左边的两
边共有一个数及和相等,得到18 左上方的数是14+15-
18= 11,然后根据各边数的和相等且为28+a,将每个圆中
的数都用a 表示出来,如解图所示。因为这些数是1 到
19 之间的数,可以得出a 小于11,大于6。因为8 已经有
了,若为9,9-4= 5,5 已经有了;若为7,12-7 = 5,亦不可,
故a 只能是10,所以每一横或斜方向的数之和为38。因
此x= 38-16-3= 19。
第24 题解图
25.
4 【解析】由题图得
A+B+C+D+E= 5×7= 35,
A+B+C= 3×3= 9,
C+D+E= 3×10= 30,
ì
î
í
ïï
ïï
所以C=(A+B+C)+(C+D+E) -(A+B+C+D+E)= 9+30-
35= 4。
26.
8 【解析】空格中标上字母如解图,由20×16×A = A×4×B
可得B= 80,由20×C×80= 4×C×D 可得D= 400,由20×400
×X= 80×E×X 可得E= 100,由20×16×A = 20×400×X 可得
A= 25X,由16×C×100= 20×400×X 可得C= 5X,所以A×C×
X= 20×C×80,即125X
3 = 8000X,解得X= 8。
第26 题解图
27.
-2019 【解析】由题意得,2+3-2025 = -2020,故左上角
方格中数字为-2020,所以x = -2020+3-2 = -2019,故答
案为-2019。
28.
21 【解析】由题图①可得一个幻方的幻和等于中心数的
3 倍,即a3+a5+a7 = 3a5,6a3 = 3a5,可得a3 +a7 = 2a5,2a3 =
a5,结合a3+a7 = 28,可得a3 = 7,故a7 = 28-7= 21。
类型五 数字谜
29.
填数如解图。
【解析】①因为积的个位是6,则原式为
□9×□4;②假设乘数□9 中十位上的数是2,29×4 = 116,
1 重复了,不符合原题要求;假设乘数□9 中十位上的数
为3,39×4= 156 符合要求;再研究第二个因数□4 十位上
的数,现在还剩下2,7,8,9 四个数字没有用,假设□4 中
十位上的数是7,39× 74 = 2886,与原题不符,8 和9 比7
大,同样不能用,只能是2,39×24 = 936 符合要求。竖式
如解图,同理可假设乘数□9 中十位上的数为5、7、8,再
研究第二个因数□4 十位上的数,皆不符,所以只有上述
一种可能。
第29 题解图
30.
59527 494
【解析】竖式中有一步为□□8,是□9□的
倍数,□□□□-□□8 是一个两位数,则□□8 为9□8,9
□8 的个位为8,则除数为□98、□91、□92、□96、□93 或
□94,符合条件的算式可能是998×1 = 998,494×2 = 988,
191×8= 1528 和192×4 = 768,196× 3 = 588,193× 6 = 1158
不符合要求,即除数为998 或494。结果的个位为0,则十
分位上的数字×除数的结果的末尾是0,且结果为四位
数。将除数是998 时代入竖式时不符合要求;当除数为
494 时符合要求,被除数是59527。
31.
每个符号对应的数字和竖式如解图。 【解析】除数与商
的第一位数字乘积○×□= △○,可以看出○与□的乘积
个位数字为○,且由第一步运算的余数可以看出,□一定
是小于○的。所以,满足这样条件的○与□的数字组合
只有(5,3)和(8,6)。而(5,3)的数字组合并不满足第一
步运算的余数要求,则○只能为8,□只能为6,那么△
为4。
第31 题解图
32.
421 【解析】根据题意可知,A+B+C = 7 且A、B、C 都不是
0,字母A、B、C 代表三个不同的数字,A>B>C,因为1+2+4
= 7,那么A= 4,B= 2,C= 1,所以三位数ABC 是421。
33.
25 【解析】42380÷5= 8476,8+4+7+6= 25。
类型六 进制问题
34.
45 【解析】(101101) 2 = 1×2
5+0×2
4 +1×2
3 +1×2
2 +0×2
1 +
1×2
0 = 32+0+8+4+0+1= 45。
35.
34 【解析】二进制的“001”
,转换为十进制为1×2
0 +0×
2
1+0×2
2 = 1;二进制的“110”,转换为十进制为0×2
0 +1×
2
1+ 1×2
2 = 6;所以二进制“100010”,转换为十进制为0×
2
0+1×2
1+0×2
2+0×2
3+0×2
4+1×2
5 = 34。
类型七 方阵
36.
256 【解析】每边的人数为60÷4+1 = 16(人),方阵一共
有16×16= 256(人)。
37.
183 【解析】六年级学生站成一个实心方阵时,还多14
人,如果站成一个每边多1 人的实心方阵,则还缺少13
人。即站在顶点的那个人是两边共用的,所以扩大后的方
阵一边有:
(13+14+1)÷2 = 14(人),原来的人数= 14×14-
13= 183(人)。
38.
36 24 【解析】最外层棋子数:(14-1) ×4 = 52(个),第
二层棋子数:(14-2-1)×4= 44(个),最内层棋子数:(14-
2×2- 1) × 4 = 36( 个);新的方阵最外层棋子数:( 14 +
2-1)×4= 60( 个),第二层棋子数:(14 + 2 - 2 - 1) × 4 =
52(个),最内层棋子数:(14+2-2×2-1) ×4 = 44(个),新
的方阵比原方阵多用围棋子(60+52+44)-(52+44+36)=
24(个)。
6
