模块九
比与比例
专题49
比与比例
类型一 比的性质
1.
C
2.
20 ∶61 【解析】比值是0. 2= 1
5 ,说明后项是前项的5 倍。
这个比的前项是(81+39)÷(5+1)= 20,后项是81-20 = 61,
即原来的比是20 ∶61。
3.
3 ∶10 【解析】2
3 a= 1
5 b,a ∶b= 1
5 ∶2
3 = 3 ∶10。
4.
49 80 35 三五
5.
8 ∶12 ∶15 【解析】由题意可得A ∶B=2 ∶3,B ∶C=4 ∶5,由
此化为连比可得A ∶B ∶C= 8 ∶12 ∶15。
6.
30
【解析】设变化前甲数是3x,则乙数是5x,由题意得
(3x-6) ∶(5x+6)= 3 ∶7,解得x= 10,则3x= 30。
类型二 比例的性质
7.
B 【解析】因为4
a = 3
b ,所以3a = 4b,所以a = 4b
3 ,所以
4a+3b
a-b =
4×4b
3 +3b
4b
3 -b
=
25b
3
b
3
= 25。
8.
15 ∶8 【解析】x ∶y= 3
4 ∶2
5 = 15 ∶8。
9.
11 8
10.
20
3 【解析】设这个数最大为x,由题意得:3x = 4×5,解得
x= 20
3 。
11.
0. 2 【解析】因为两个外项互为倒数,所以两外项之积为
1,则两内项之积也为1,那么这个比例的另一个内项为1
÷5= 0. 2。
12.
1
160 【解析】用1
10和1
2 作为这个比例的两个外项,那么
这个数最小是1
10× 1
2 ÷8= 1
20× 1
8 = 1
160。
类型三 正、反比例
13.
A 【解析】已知4. 5
A+3 =
6
B+4,通过交叉相乘可得4. 5(B+4)
= 6(A+3),解得B= 4
3 A,A 和B 成正比例关系。
14.
D 【解析】路程=速度×时间,路程一定,行驶的速度与时
间成反比例;一个数与它的倒数的乘积一定,所以一个数
与它的倒数成反比例;两个数的和一定,一个加数与另一
个加数不成比例;三角形的面积= 1
2 ×底×高,三角形的底
一定,它的面积与高成正比例。
15.
12
16
3 【解析】A 与B 成正比例,则A ∶B= 10 ∶8= 5 ∶4=
15 ∶☆,则☆= 12;A 与B 成反比例,则10×8 = 15×☆,解
得☆= 16
3 。
专题50
比与比例的应用
类型一 比例尺
1.
C 【解析】8 厘米= 80 毫米,80 ∶5 = 16 ∶1,所以这张图纸
的比例尺为16 ∶1。
2.
1 ∶4000 632 【解析】40 m=4000 cm,改写为数值比例尺是
1 ∶4000;该高楼的实际高度是15. 8÷
1
4000 = 63200 ( cm),
63200 cm= 632 m。
3.
3
2 【解析】设宝鸡到北京的实际距离为x 千米,在甲图上
的距离为y 厘米,在乙图上的距离为z 厘米。10 千米=
1000000 厘米,y ∶x = 1 ∶1000000, x = 1000000y, z ∶x =
1 ∶1500000,x = 1500000z, 1000000y = 1500000z, y ∶z =
1500000 ∶1000000,y ∶z= 3 ∶2,y÷z= 3
2 。
4.
1500 【解析】设长方形的宽是x 厘米,则长是5
3 x 厘米,又
因长+宽= 32÷2 = 16(厘米),即x+ 5
3 x = 16,解得x = 6;长:
16- 6 = 10 ( 厘米); 实际的长:10 ÷ 1
500 = 5000 ( 厘米) =
50(米),实际的宽:6÷ 1
500 = 3000(厘米)= 30(米),这块地
的实际面积:50×30= 1500(平方米)。
5.
21 【解析】9÷
1
4000000 = 36000000( 厘米) = 360( 千米),
360÷24= 15(时),6+15= 21(时),所以货轮到达B 港的时
间是21 时。
类型二 比的应用
6.
C
7.
C 【解析】被减数与差的比是(5+2) ∶5= 7 ∶5。
8.
C
【解析】A 选项:空白部分与阴影部分的面积之比是
1 ∶3;B 选项:三角形的高相同,其面积之比等于底边之
比,所以空白部分与阴影部分的面积之比是1 ∶3;C 选项:
设整个长方形的长为a、宽为b,则空白三角形的底为3
4 a,
高为b,空白三角形的面积是3
4 a×b× 1
2 = 3
8 ab,阴影部分
的面积=ab- 3
8 ab= 5
8 ab,则空白部分与阴影部分的面积之
比是3
8 ab ∶5
8 ab= 3 ∶5;D 选项:(π×1
2) ∶(π×2
2-π×1
2)=
1 ∶3。
9.
A 【解析】设甲工厂生产该新药物7a 万盒;乙工厂生产该
新药物6a 万盒。(7a-100) ∶(6a-100) = 5 ∶4,解得a =
50,所以甲工厂比乙工厂多卖出(7 × 50 - 100) - (6 × 50 -
100)= 50(万盒)药物。
10.
60 【解析】20÷( 4
4+1- 7
7+8)= 60(克)。
11.
32 【解析】设每分钟燃烧的长度为x,178 分钟燃烧的长
度为178x,长蜡烛长37a,短蜡烛长35a。则(37a-178x)
∶(35a-178x) = 11 ∶8,化简得a = 6x,短蜡烛还能燃烧
35a
x -178= 35×6x
x
-178= 32(分)。
12.
1
2 【解析】圆的半径的平方比就是圆的面积比,所以三
个半圆面积之比是(4÷2)
2 ∶(8÷2)
2 ∶(12÷2)
2 =1 ∶4 ∶9,所
以A= 1÷2 = 1
2 ,B = (4-1) ÷2÷3 = 1
2 ,C = (9-4) ÷2÷5 =
1
2 ,C ∶(A+B)= 1
2 ∶( 1
2 + 1
2 )= 1
2 。
13.
6 ∶1 【解析】由题意得四块布料的面积相等,设甲布料
长为3x,宽为2x,面积为6x
2,所以总面积是6x
2×4= 24x
2,
总面积=总长×总宽=总长×3x,所以总长= 24x
2 ÷3x = 8x,
丁长+甲宽=总长,所以丁长= 8x-2x = 6x,而丁的面积=
6x
2,丁宽=丁面积÷丁长= 6x
2 ÷6x = x,所以丁布料的长与
宽的比是6x ∶x= 6 ∶1。
14.
8 ∶15 【解析】设圆中阴影部分面积为a 份,则圆的面积
为a÷ 1
6 = 6a(份),正方形的面积为a÷ 1
9 = 9a(份),再设
三角形中阴影部分的面积为b 份,则三角形的面积为b÷
1
5 = 5b(份),正方形的面积为b÷ 1
4 = 4b(份),所以9a =
4b,即a ∶b=4 ∶9,所以圆的面积∶三角形的面积=6a ∶5b =
24 ∶45= 8 ∶15。
15.
960 【解析】原来袋子里红球与白球数量之比是19 ∶13=
57 ∶39,放入若干只红球后,红球与白球数量之比变为
5 ∶3,5 ∶3= 65 ∶39,再放入若干只白球后,红球与白球数
量之比变为13 ∶11,13 ∶11 = 65 ∶55,所以红球增加65-
57= 8(份),白球增加55-39 = 16(份),放入的红球比白
球少80 只,则每份是80÷(16-8)= 10(只),原先袋子里
共有球10×(57+39)= 960(只)。
16.
解:最后一次剪完后,甲乙长度比是3 ∶1,记为甲3 份,乙
1 份;第一次剪完后,第二次剪掉的长度和第一次相同,设
每次剪掉的长度为L,那么第一次剪完后的长度为甲:3+
L 份,乙:(1+L)份;已知第一次剪完后,甲乙的长度比是
2 ∶1,那么甲的长度是乙的2 倍,即3+L = 2×(1+L),解得
L= 1,所以每次剪掉的长度是1 份,第一次剪完后甲的长
度:3+1= 4(份),第一次剪完后乙的长度:1+1 = 2(份),
原来甲的长度: 4 + 1 = 5 ( 份), 原来乙的长度: 2 + 1 =
3(份),所以,原来两根绳子的长度比是5 ∶3。
答:原来两根绳子的长度比是5 ∶3。
17.
直角
30°
【解析】180° ×
1
1+2+3 = 30°, 180° ×
3
1+2+3
= 90°。
18.
12
8 【解析】分母相同,分子之比就是分数大小之比,3 3
8
×
4
2+3+4 = 12
8 。
19.
4 【解析】设AB = 2x,BC = 5x,CD = 3x,则AD = 2x+ 5x+
3x= 10x。因为M 为AD 的中点,所以AM = MD = 5x。BM=
AM-AB= 5x-2x = 3x,已知BM = 6,则3x = 6,x = 2。CM =
MD-CD= 5x-3x= 2x= 4。
20.
48 【解析】菊花与月季花的盆数之比是3 ∶4,菊花与郁
金香的盆数之比是4 ∶5。菊花盆数∶月季花盆数∶郁金
香盆数= 12 ∶16 ∶15。又因为兰花与郁金香的盆数之比
是5 ∶6,所以有菊花盆数∶月季花盆数∶郁金香盆数∶
兰花盆数= 24 ∶32 ∶30 ∶25,月季花的盆数可看作32 份,
兰花盆数可看作25 份,那么月季花的盆数比兰花的盆数
多32-25= 7(份)。因为月季比兰花多50 多盆,所以月季
应比兰花多56 盆。1 份的盆数为56÷7 = 8(盆)。菊花比
郁金香少8×(30-24)= 48(盆)。
21.
解:设正方体的棱长为a,三个长方体的高分别为h1,h2,
h3,则h1+h2+h3 =a。由题意可得:
2(ah1+ah1 +aa) ∶2(ah2 +ah2 +aa) ∶2(ah3 +ah3 +aa) =
3 ∶4 ∶5,
则进行整合得出:
(ah1 + ah1 + aa) ∶( ah2 + ah2 + aa) ∶( ah3 + ah3 + aa) =
3 ∶4 ∶5,
化简得a(2h1+a) ∶a(2h2+a) ∶a(2h3+a)= 3 ∶4 ∶5,
即(2h1+a) ∶(2h2+a) ∶(2h3+a)= 3 ∶4 ∶5,
假设2h1+a = 3,则2h2 +a = 4,2h3 +a = 5,即h1 = 3-a
2 ,h2 =
4-a
2 ,h3 = 5-a
2 ,
因为h1+h2+h3 =a,所以3-a
2 +4-a
2 +5-a
2 =a,解得a= 2. 4,
则h1 = 0. 3,h2 = 0. 8,h3 = 1. 3,高的比为0. 3 ∶0. 8 ∶1. 3 =
3 ∶8 ∶13,因为底面积相等,所以高的比即体积的比,即
1
体积比为3 ∶8 ∶13。
答:三个长方体的体积比是3 ∶8 ∶13。
22.
解:甲种车的一半干(10+15)天,另一半干15 天,相当于
所有的甲种车干20 天,则甲、乙、丙三种车的工作时间比
为20 ∶25 ∶25= 4 ∶5 ∶5,三种卡车每辆的工作量之比为
10×3
15
∶7×4
14 ∶6×5
14 = 14 ∶14 ∶15,甲、乙、丙三种卡车完成
的工作量之比为(14×10×4) ∶(14×5×5) ∶(15×7×5)=
16 ∶10 ∶15,总工作量与甲种车完成的工作量之比是(16
+10+15) ∶16= 41 ∶16。
答:总工作量与甲种车完成的工作量之比是41 ∶16。
类型三 比例的应用
23.
4 【解析】根据题意可画出如解图所示的示意图,OD
OB =
CD
AB,即OD
6 = 2
3 ,则较小视力表的测试距离OD= 4 米。
第23 题解图
24.
3. 75 【解析】AB
AQ =BD
PQ,1. 2
9 = 0. 5
PQ ,PQ= 3. 75
m。
25.
32 【解析】设此时甲尺的刻度21 对准乙尺的刻度x,可
列方程36 ∶48= 21 ∶(x-4),解得x= 32,则此时甲尺的刻
度21 对准乙尺的刻度32。
26.
7. 8 【解析】根据已知条件可知,下半身长是165×0. 6 =
99(cm),设选的高跟鞋的高度是x cm,则根据黄金分割
比的定义得(99+x) ∶(165+x)= 0. 618,解得x≈7. 8。
27.
4 【解析】设应从挖土人员中抽调x 人到抬土队伍中,列
方程(10-x) ∶(14+x)= 1 ∶3,解得x= 4。
28.
15
【解析】设写作兴趣小组男生有x 人,则女生有2x
人;数学兴趣小组男生有4y 人,则女生有5y 人,则得(x+
4y) ∶(2x+5y)= 2 ∶3,即y = 0. 5x,所以x+2x+4y+5y = 3x
+9×0. 5x= 7. 5x,因为7. 5x 为总人数,则为正整数,所以
7. 5x 最小为15,所以参加兴趣小组的人数最少为15 人。
29.
解:设甲的半径为5a,则其周长为10πa;乙的半径为3a,
则其周长为6πa;丙的半径为7a,则其周长为14πa;当甲
转7 圈时,转过的距离为10πa×7 = 70πa,乙、丙也转相同
的距离,则丙转的圈数为70πa÷14πa = 5(圈),乙转的圈
数为70πa÷6πa= 35
3 (圈)。
答:乙轮转动35
3 圈,丙轮转动5 圈。
2
