模块十四
最优化问题
专题66
最值问题
类型一 几何中的最值问题
1.
11 【解析】平面内五条直线两两相交,最多有1+2+3+4 =
10(个)交点,最少有1 个交点,故x+y= 11。
2.
F 【解析】如解图所示,因为要求需要直管的根数最少,所
以尽可能将喷头都放置在同一条直线上,即圆的直径上,
然后让花坛周围上剩下的一个喷头和草地周围上剩下的
一个喷头与草地周围其中一个喷头在一条直线上,然后依
据题意把剩下的需要补充的直管连起来即可,所以至少需
要8 根直管。
第2 题解图
3.
80 【解析】设大圆的半径为r大,则r大= 80÷π÷2 = 40
π (厘
米),设两个小圆的半径分别为r1、r2,则两个小圆的周长和
为C和= 2πr1+2πr2 = 2π(r1+r2)(厘米),要使C和最大,需满
足r1+r2 最大。由于两个小圆是从大圆上剪下的,因此r1+r2
≤r大,当两个小圆的直径之和等于大圆直径,即r1+r2 =r大时,
周长和最大,所以C和最大=2π×r大=2π×40
π = 80(厘米)。
4.
50 【解析】这三种正方体木块的棱长之比为甲∶乙∶丙
= 1 ∶2 ∶3,设甲棱长为1,则乙棱长为2,丙棱长为3。因
为每种木块至少用一块,因此大正方体棱长不小于2+3 =
5,因此大正方体棱长最小为5,拼组后的正方体的体积最
小是5×5×5= 125,则丙只用1 块,乙最多用7 块,为使总数
最少,所以乙用7 块,甲用(125-3×3×3-2×2×2×7)÷1 = 42
(块),所以最少需要这三种木块一共42+1+7= 50(块)。
5.
39
【解析】如解图,以AC 所在直线展开侧面,将内侧上
翻,连接AB,则线段AB 的长度为蚂蚁爬行的最短路程。
过点B 作BE⊥直线AC 于点E,则BE=CD= 15 厘米,EC =
BD= 16 厘米,所以EA = 16+20 = 36(厘米),在直角三角形
ABE 中,AB
2 = AE
2 +BE
2 = 36
2 + 15
2 = 1521 = 39
2,所以AB =
39,所以蚂蚁爬行的最短路程是39 厘米。
第5 题解图
6.
解:如解图,作点D 关于直线AC 的对称点D′,连接DD′交
AC 于点H,过点D′作D′E⊥AD 于点E,则D′E 的长为PE+
PD 的最小值。因为四边形ABCD 是矩形,所以∠ADC =
90°,因为点D,点D′关于AC 对称,所以DD′⊥AC,DH = D′
H,因为AD = 4,∠DAC = 30°,所以DH = 4÷ 2 = 2,∠ADH =
90°-30° = 60°,所以DD′ = 2DH = 4,所以∠D′ = 90°-60° =
30°,所以DE= 4÷2 = 2,所以D′E =
D′D
2-DE
2 =
4
2-2
2
= 2 3。
答:PE+PD 的最小值为2 3。
第6 题解图
解题技巧
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那
么它所对的直角边等于斜边的一半。
类型二 代数中的最值问题
7.
B 【解析】要使播出天数最多,每天播出集数互不相等,则
每天播出的集数尽可能少,需从最小的不同正整数开始取
连续整数之和,1+2+3+4+5+6+7 = 28(集),剩余30-28 = 2
(集),调整为1+2+3+4+5+7+8= 30(集)或1+2+3+4+5+6
+9= 30(集),该剧最多可播出7 天。
8.
D 【解析】要使n 最小,即两人之间空2 个座位,则可取
1,4,7,10 号,共4 个座位,故选D。
9.
1248 【解析】要使积最小,则两个乘数的十位数字尽可能
小,且两个数的差尽可能大。26×48 = 1248,28×46 = 1288,
1248<1288,积最小是1248。
10.
462 【解析】三个数的积最大时,b = 24÷3 = 8,则a = 8-1
= 7,c= 8+1= 9,7×8×9= 504;三个数的积最小时,a= 1,b =
2,c= 24-1-2= 21,1×2×21= 42;a、b、c 三个数积的最大值
与最小值的差是504-42= 462。
11.
408 【解析】已知其中一堆有9 颗棋子,9 是3 的倍数,所
以其他每堆棋子的数量除以3 的余数都相同。同理,9 除
以4 余1,所以其他每堆棋子的数量除以4 的余数也相
同。因为每堆棋子数量互不相同,且数量都不超过100
颗,所以满足条件的棋子数量为9、21、33、45、57、69、81、
93。棋子总数为9+21+33+45+57+69+81+93= 408(颗)。
12.
129 【解析】喝完161 瓶汽水,161÷5 = 32. 2,拿这些空瓶
可换32 瓶汽水,也相当于退回32 瓶汽水,实际上至少要
买汽水161-32= 129(瓶)。
13.
706 1 【解析】前9 页用9 个铅字,从第10 到99 页每页
用2 个铅字,99 页共用9+(100-10) ×2 = 189(个)。从第
100 页到999 页每页用3 个铅字,100 页共用(189+3)个
铅字。设一共有k(100<k≤999) 页,根据题意得:189+3
(k-99) <2011,即3k<2011+297-189 = 2119 = 3×706+1。
所以这本书最多有706 页,最少剩余1 个铅字。
14.
400 【解析】两人共同走8 天后,都只剩下16 天的食物,
此时乙分给甲8 天的食物后独自带着8 天的食物返回。
甲独自前进8 天后返回,甲有的食物:24-8+8 = 24(天),
甲再走:(24-8) ÷2 = 8(天),最远可以深入沙漠的距离:
25×(8+8)= 400(千米)。
15.
2021 【解析】考虑极端情况,最大:擦去1 和3 写2,擦去
2 和2 写2,擦去2 和4 写3,擦去3 和5 写4,…,擦去
2022 和2024 写2023,所以最大是2023。最小:擦去2024
和2022 写2023,擦去2023 和2023 写2023,擦去2023 和
2021 写2022,…,擦去3 和1 写2,所以最小是2。所以最大
值和最小值的差是2023-2= 2021。
16.
58 【解析】要使乘积之和最小,则相邻两个数的乘积尽
量小,故6 与1,2 相邻,5 与1,3 相邻,4 与2,3 相邻,如解
图所示。乘积之和为1×6+6×2+2×4+4×3+3×5+5×1 =
58。
第16 题解图
17.
102000 987654 【解析】数字最小首位是1,被2 整除第
二位最小是0,被3 整除数字和最小为3,满足条件的是
102,被4 整除尾数最小是20,即1020,被5 整除最小为
10200,被6 整除第六位最小为0, 故六位数最小为
102000。数字最大首位是9,第二位是最大偶数8,前三位
数字和是3 的倍数最大是987,判断第四位时,第三位和
第四位组成的数是4 的倍数最大为76,即9876,第五位尾
数最大是5,到六位时,9+8+7+6+5 = 35,再加上一个偶
数,构成3 的倍数即可满足是6 的倍数,4 满足条件,故六
位数最大是987654。
18.
15 【解析】a+2bc= 49
a ,a(a+2bc)= 49,因为49 = 1×49 = 7
×7,所以a= 7,a+2bc= 7,或a= 1,a+2bc= 49,或a = 49,a+
2bc= 1,因为a、b、c 均是非0 自然数且各不相同,所以a =
49,a+2bc= 1,与a= 7,a+2bc = 7 都不符合题意,所以a =
1,a+2bc= 1+2bc= 49,即bc= 24,24 = 1×24 = 2×12 = 3×8 =
4×6,要使a+b+c 的值最大,则需要b+c 最大,当两积一定
时,两数之差越大,两数之和就越大,且a = 1,所以b、c 不
为1,所以bc=24=2×12 时,b+c 的值最大,此时a+b+c=1+2+
12= 15.
19.
解:不妨令a≤b≤c≤d,若a≥6,则1
a + 1
b + 1
c + 1
d ≤4
6 <
7
10,不符合,故a<6。先了解一个结果:
若正整数a+b 为定值时,当a 与b 越接近,则1
a + 1
b 之值
越小。例如:
若a+b= 10,则1
1 + 1
9 > 1
2 + 1
8 > 1
3 + 1
7 > 1
4 + 1
6 > 1
5 + 1
5 ;
若a= 5,则1
b + 1
c + 1
d = 7
10- 1
5 = 5
10 = 1
2 ,因此5≤b≤c≤d;
若b= 5,c= 5,d= 10,则a+b+c+d= 25;
若b=c=d= 6,则a+b+c+d= 23。
当a+b+c+d<23 时, 1
a + 1
b + 1
c + 1
d 的最小值等于1
5 + 1
5 +
1
6 + 1
6 = 22
30> 7
10。
当1
5 + 1
6 + 1
6 + 1
6 = 7
10时,a+b+c+d 的最小值为23。
专题67
合理安排
类型一 统筹问题
1.
B 【解析】从甲地到乙地的专线,一辆车包括休息时间共
需要55+15= 70(分),要保证70 分钟内间隔7 分钟发一辆
车,共需要70÷7= 10(辆),同理,返回也如此,则至少需要
10×2= 20(辆)。
2.
8 【解析】洗茶杯、拿茶叶共需2+1 = 3(分),烧水的过程
需要6 分钟,因此可在等待烧水的过程中完成洗茶杯与拿
茶叶这两项任务,最少要1+6+1 = 8(分) 可以使客人尽快
喝茶。
3.
3 【解析】先煎三张的正面,煎熟后拿出其中的1 张,放入
另一张,煎两张的反面和这一张的正面,煎熟后就有2 张
煎好了,拿出这2 张,放入先拿出的那一张和剩下的那一
张一起煎反面,这样用时最少,即①正正正,②反反正,③
反反,共3 分钟。
4.
20 【解析】按小徐→小周→小李→小卫的打水顺序所花
的总时间最短,打水总时间(包括等候时间)是1+(1+2) +
(1+2+3)+(1+2+3+4)= 20(分)。
5.
24 【解析】第一次赶3 分钟和4 分钟的牛过河,骑3 分钟
的牛回,用4+3= 7(分钟);第二次赶6 分钟和9 分钟的牛
过河,骑4 分钟的牛回,用9+4 = 13(分钟);第三次赶3 分
钟和4 分钟的牛过河,不再返回,用4 分钟,所以要把4 头
牛带到对岸,最少要花7+13+4= 24(分钟)。
1
类型二 找次品
6.
2 【解析】把8 个外形一样的零件,分成3 份(3,3,2),第
一次:从中取2 份3 个小球的,分别放在天平两端,若天平
平衡,则次品在未取的2 个球中,若天平不平衡,则次品在
天平较高端的3 个中;第二次:①将未取的2 个小球分别
放在天平两端,较高端的为次品;②将上一次结果中较高
端的3 个小球,任取2 个放在天平两端,若天平平衡,则剩
下未取的那个为次品,若天平不平衡,较高端的为次品,所
以至少称2 次保证可以找出次品。
7.
解:(1)2 次,称法如下:把9 个球分成3 份,每份3 个球,任
取2 份放在天平两端,若天平平衡则次品不在天平上;若
天平不平衡,则次品在下沉的盘子中;把找出的有次品的
这三个球中的任意两个放在天平上,若天平平衡,则没放
的一个就是次品球;若天平不平衡,则下沉的就是次品球。
(2)至少要称3 次才能保证找到这个次品球,称的方法如
下:先把9 个乒乓球分成3 份(3,3,3),把任意两组放在天
平上称。第一种情况:若天平平衡,则次品在没称的一组,
把没称的一组分成3 份(1,1,1),将任意两个放在天平上
称,若平衡,则次品就是没称的那个;若不平衡,则需与没
称的乒乓球进行比较,需再称一次,因此一共需3 次;第二
种情况:若天平不平衡,则需要将其中一组和第三组比较,
要多称一次,同时也就知道次品是偏轻还是偏重了;再把
含次品的三个乒乓球分成3 份(1,1,1),将任意两个放在
天平上称,若天平平衡,则次品就是没称的那个,若天平不
平衡,则已知的偏轻或偏重的那个就是次品,因此一共也
需3 次。
答:在不知道次品球比正品球重还是轻时,至少需要称三
次,一定可以找出次品。
类型三 生产生活中的方案与最值
8.
A
【解析】因为178 ÷ 3 = 59 ( 元) ……1 ( 元),128÷ 2 =
64(元),三人间的每人费用最少,所以应尽量多安排三人间,
然后是二人间,同时要让房间都住满人。40÷3= 13(间)……
1(人)。方案一:三人间13 间,单人间1 间,费用为178×13+
98= 2412(元);方案二:三人间12 间,二人间2 间,费用为
178×12+128×2= 2392(元),2412>2392,故选A。
9.
甲 【解析】甲店:60÷(10+2)= 5(组),需花(60-5×2)×25
= 1250(元);乙店:需花60×25×85% = 1275(元);丙店:60
×25÷100= 15,需花60×25-15×16= 1260(元)。1250<1260
<1275,所以应到甲商店购买。
10.
解:可明显得出,这所初中建在A 社区的总距离比建在B
社区远,建在D、E 社区的总距离均比建在C 社区远。若
这所初中建在B 社区,各社区(除B 社区)学生到学校的
距离分别为45×6 = 270(千米),35×(5+4)= 315(千米),
15×(3+ 5) = 120(千米),20× 5 = 100(千米)。总距离为
270+315+ 120+ 100 = 805(千米);若这所初中建在C 社
区,各社区(除C 社区)学生到学校的距离分别为45×(6+
5)= 495(千米),30×5= 150(千米),35×4= 140(千米),15
×3= 45( 千米)。总距离为495+ 150+ 140+ 45 = 830( 千
米)。因为830>805,所以这所初中应该建在B 社区。
答:这所初中应建在B 社区。
11.
解:(1) 观察可知,每个拼板的价格分别为6 元,3 元,
6 元,要总费用尽可能的低, 则要尽可能用价格低的
,要拼成需要的图形, 则最好的情况是用6 个
,1 个
,1 个
。如解图①所示,此时
费用为3×6+6+6= 30(元)。
答:总的费用最便宜时是30 元。
(2) 观察可知, 要总费用最贵, 尽可能用费用最贵的
或
,一共可以用7 个,再加1 个
。
如解图②所示,此时的总费用为6×7+3= 45(元)。
答:总的费用最贵时是45 元。
第11 题解图
12.
解:(1)设这项工程的,总量为单位“1”,甲、乙两工程队
合作需要时间为1÷( 1
4 + 1
6 )= 2. 4(月),所耗资金为2. 4
×(9+5)= 33. 6(万元)。
答:甲、乙两工程队合作需2. 4 个月完成, 耗资33. 6
万元。
(2)乙工程队耗资较少,为了节省资金,应尽量请乙工程
队来做,乙工程队5 个月能完成全部工程的1
6 ×5 = 5
6 ,剩
下的1- 5
6 = 1
6 由甲工程队做,需要1
6 ÷ 1
4 = 2
3 (月),所以
先让甲、乙工程队合作2
3 个月后,再让乙工程队独作5-
2
3 = 4 1
3 (月)。
答:先让甲、乙工程队合做2
3 个月后,再让乙工程队独做
4 1
3 个月,既保证按时完成任务,又最大限度节省资金。
13.
解:方案三获利最多,理由如下:
方案一:16×15= 240(吨),240>140,所以可以在15 天内
加工完,总利润为4500×140= 630000(元);
方案二:因为每天精加工6 吨,15×6 = 90(吨),140-90 =
50(吨),即15 天可以精加工90 吨,其余50 吨直接销售,
总利润为90×7500+50×1000= 725000(元);
方案三:设15 天中粗加工蔬菜x 天,则精加工蔬菜(15-
x)天,因此16x+6(15-x)= 140,解得x= 5,即粗加工5 天,
共加工蔬菜16×5= 80(吨),精加工10 天,共加工蔬菜6×
10= 60(吨),总利润为60×7500+80×4500 = 810000(元),
因为630000<725000<810000,所以方案三获利最多。
2
