模块十三
思想策略
专题65
常用解题策略
类型一 假设法
1.
18 【解析】假设第一堆货物原有100 吨,第二堆货物原有
100-20= 80(吨)。第一堆货物运出10%后还剩100×(1-
10%)= 90 ( 吨),第二堆货物运出10% 后还剩80 × ( 1 -
10%)= 72(吨),两堆货物相差90-72= 18(吨)。
2.
65% 【解析】假设全班人数为50 人,这道题为10 分,则
50× 2
5 = 20(人),50× 3
5 = 30( 人),50× 10× 75% - 20× 10×
90% = 195(分),195÷(30×10)×100% = 65%。
3.
12 【解析】两块地总面积为28000÷1750 = 16(公顷),第
二块地每公顷收2500-1000 = 1500(千克),假设全是第一
块地,多收2500×16-28000 = 12000(千克),第二块地的面
积是12000÷(2500-1500)= 12(公顷)。
4.
二
【解析】先假设A 的说法正确,则今天是星期五,B、C
的说法错误,D 的说法正确,与题意不符,则A 说法错误;
假设B 的说法正确,则今天是星期一,A、C 的说法错误,D
的说法正确,与题意不符,则B 说法错误;假设C 的说法正
确,则今天既不是星期五,也不是星期一,D 的说法错误,
即今天是星期二,符合题意,所以今天是星期二。
5.
13 【解析】因为83+8×3= 107,所以在得到总积分107 时,
得8 分的局数必定小于3(否则83 可以通过107-3×8 得
到),即得8 分的局数为0、1 或2,从而107,107-1×8 = 99,
107-2×8= 91 这三个数中必有一个是a 的倍数。假设107
是a 的倍数,那么a= 1 或107,但a= 1 时,可以得到总积分
83;a= 107 时,无法得到总积分103,所以这种情况不可能
发生。假设99 是a 的倍数,那么a= 1,3,9,11,33,99,因为
83= 9×3+8×7= 11+8×9,所以a 不能是1,3,9,11;因为103
= 99+ 4 = 2× 33+ 37,所以a = 99 或33 时,无法得到总分
103,因此这种情况也不可能发生。假设91 是a 的倍数,那
么a= 1,7,13,91,因为83= 7×5+8×6,所以a≠7,a≠1,103
= 91+12,所以a≠91。因此a = 13,下面验证a = 13 是否符
合要求。由于103= 8×8+3×13,104 = 8×13,105 = 8×5+5×
13,106= 8×10+2×13,107 = 8×2+7×13,108 = 8×7+4×13,
109= 8×12+1×13,110= 8×4+6×13,所以a= 13 符合要求。
6.
解:假设20 分钟甲,乙两人都洗盘子,
则可洗(2+3)×20= 100(个),共少洗了134-100= 34(个),
甲如果洗1 分钟碗,数量就要多9-3= 6(个),
乙如果洗1 分钟碗,数量就要多7-2= 5(个),
因为6×4+5×2= 34,
所以洗碗的个数是4×9+2×7= 50(个),
洗盘子的个数是134-50= 84(个)。
答:洗了84 个盘子,50 个碗。
类型二 代换法
7.
A 【解析】9 碗= 8 杯,3 碗+4 杯= 3 碗+ 9
2 碗= 15
2 碗,15
2 ÷9
= 5
6 ,故选A。
8.
5 【解析】根据天平平衡可得:
+
=
+
,
+
=
,所以
+
=
+
+
,即
=
+
,所以
+
=
+
+
=
+
+
+
+
= 5 个
。
9.
130 【解析】因为买篮球3 个、排球2 个、足球1 个共花费
180 元,所以买篮球9 个、排球6 个、足球3 个共花费180×3
= 540(元),因为买篮球10 个、排球7 个、足球4 个共花费
670 元,所以买同样的篮球1 个、排球1 个、足球1 个共需
670-540= 130(元)。
10.
3 【解析】由题可得,H+E+10= 18,所以H+E = 8,又因为
G+H+E= 18,所以G= 10,又因为F+X+G= 18,所以F+X =
8,所以E= 10,因为5+A+B= 18,所以A+B = 13,因为A+B
+C= 18,所以C= 5,因为C+D+E= 18,所以D= 3,因为D+
E+F= 18,所以F= 5,因为F+X+G= 5+X+10= 18,所以X=
3。
11.
解:由题意知,4 个黑球的质量= 2 个白球的质量+20 克,4
个白球的质量= 2 个黑球的质量+50 克,则一个白球的质
量为20 克,一个黑球的质量为15 克。
答:白球每个重20 克,黑球每个重15 克。
类型三 枚举法
12.
6 【解析】10 以内的质数有2、3、5、7,最简真分数要求为
“子母互质,分子小于分母”,枚举出2
3 、2
5 、3
5 、2
7 、3
7 、
5
7 共6 个。
13.
解:最大和最小数的和为8×8-6×7 = 22,次大和次小数的
和为6×7-4×6= 18,剩余4 个数的总和为4×6= 24。
若余下四个数中最小数为3,则这八个数中的最小和次小
数分别为1、2,24= 3+4+5+12= 3+4+6+11= 3+4+7+10= 3
+4+8+9= 3+5+6+10= 3+5+7+9 = 3+6+7+8,中间四个数
共7 种可能;
若余下四个数中最小数为4,则这八个数中的最小和次小
数有3 种可能,24= 4+5+6+9= 4+5+7+8,中间四个数有2
种可能,八个数共2×3= 6(种)可能。
7+6= 13(种)。
答:参加聚会的8 个正整数有13 种可能的情况。
类型四 转化法
14.
258 【解析】36 块钢坯可加工36×6 = 216(个) 零件,36
块钢坯的加工余料又可以加工成36÷6= 6(块)钢坯,6 块
钢坯又可以加工6×6= 36(个)零件,6 块钢坯的加工余料
又可以加工成6÷6 = 1(块)钢坯,1 块钢坯又可以加工1×
6= 6(个)零件,共加工216+36+6= 258(个)零件。
15.
27 【解析】如解图所示,S阴影+S①= S①+S②,所以S阴影=
S②,因为②是一个梯形,所以阴影部分的面积为(10-2+
10)×3÷2= 27。
第15 题解图
16.
60
17 【解析】设正方形的边长为x cm。因为BC= 5 cm,AC
= 12 cm,且∠C= 90°,所以S△ABC = 1
2 ×BC×AC = 1
2 ×5×12
= 30(cm
2 )。又因为长方形的长= BC + AC = 5 + 12 = 17
(cm),宽是正方形的边长x cm,所以S长方形= 17x
cm
2,而
S长方形= 2S△ABC,即17x= 2×30,解得x= 60
17。
类型五 逆推法
17.
190 【解析】(42+18)÷(1- 1
3 )= 90(页),(90+15)÷(1-
1
4 )= 140(页),(140+12)÷(1- 1
5 )= 190(页)。
18.
928 【解析】第二次倒完还剩200+80 = 280(克),第一次
倒出又倒回后还有280÷(1- 4
9 )= 504(克),第一次倒出
后还剩504-40= 464(克),原来有464÷ 1
2 = 928(克)。
19.
40 【解析】设最后3 人都有a 块糖,依据题意得:
甲
乙
丙
①
3
4 a
5
4 a
a
②
3
2 a
1
2 a
a
③
3
2 a
a
1
2 a
结果
a
a
a
③a÷2= 1
2 a,
a+ 1
2 a = 3
2 a;②a÷2 = 1
2 a, 1
2 a+ 1
2 a = a;
①3
2 a÷2= 3
4 a, 1
2 a+ 3
4 a= 5
4 a。
丙:a= 32 块 乙: 5
4 a= 5
4 ×32= 40(块)
所以乙原来有40 块糖。
20.
4 【解析】根据倒推法知道第777 次操作后是7;那么第
776 次操作后就是(7+13) ÷2 = 10;第775 次操作后就是
10÷2= 5;…;找到的规律是遇见奇数就是加13 后除以2,
遇见偶数就是直接除以2,所以操作后得到这样一串数
为:7、10、5、9、11、12、6、3、8、4、2、1、7、10、…,观察发现12
个为一个周期,所以777÷12 = 64……9,所以第一次操作
后手里扑克牌的张数是8,所以一开始手里有4 张扑
克牌。
21.
【思路分析】由题意可知,兄弟三人三年前的年龄和是24
岁。根据他们最终所得的苹果个数,利用倒推的方法分
别求出兄弟三人一开始每人得到的苹果数,即三年前每
人的年龄,进而可求得他们现在各自的年龄。具体如下
表∶
老大
老二
老三
老大分配之后
24÷3= 8
24÷3= 8
24÷3= 8
老大分配之前
8÷ 1
2 = 16
8-4= 4
8-4= 4
老二分配之前
16-2= 14
4÷ 1
2 = 8
4-2= 2
老三分配之前
14-1= 13
8-1= 7
2÷ 1
2 = 4
解:根据题意,最后一次分配后三个人各有的苹果数是24
÷3= 8(个),老大把苹果分给老二、老三前,老大的苹果个
数是8×2= 16(个),分给老二、老三每人苹果的个数是8÷
2= 4(个),最后一次分配前老二、老三的苹果个数均是
8-4= 4(个);
老二把现有苹果数的一半平分给老大、老三前,应有苹果
的个数是4×2 = 8(个),分给老大、老三每人苹果的个数
是4÷2= 2(个),于是在老二把现有苹果数的一半平分给
老大和老三前,老大的苹果个数是16- 2 = 14(个),老三
的苹果的个数是4-2= 2(个),
所以一开始老三的苹果个数是2×2 = 4(个),分给老大、
老二每人苹果的个数是2÷2= 1(个),
则一开始老大的苹果个数是14-1= 13(个),老二的苹果
个数是8-1= 7(个)。
现在老大是13+3= 16(岁),老二是7+3= 10(岁),老三是
4+3= 7(岁)。
答:现在老大的年龄是16 岁,老二的年龄是10 岁,老三
的年龄是7 岁。
1
类型六 数形结合
22.
20201 【解析】因为1+3+5+7+5+3+1 = (1+2+3+2+1) +
(1+2+3+4+3+2+1)= 3
2+4
2,即从1 开始的连续n 个奇数
相加的和等于n
2,所以1+3+5+…+199+201+199+…+5+
3+1=(1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1)+(1+2+3+…
+100+101+100+…+3+2+1)= 100
2+101
2 = 20201。
23.
解:(1) 1
64
(2) 1
2 + 1
4 + 1
8 +…+ 1
2
6 = 1- 1
2
6 = 1- 1
64 = 63
64
(3)a. 如解图所示,
①的面积为1× 2
3 = 2
3 ,
②的面积为(1- 2
3 )× 2
3 = 2
9 ,
③的面积为(1- 2
3 - 2
9 )× 2
3 = 2
27,
④的面积为(1- 2
3 - 2
9 - 2
27)× 2
3 = 2
81,
⑤的面积为(1- 2
3 - 2
9 - 2
27- 2
81)× 2
3 = 2
243,
⑥的面积为(1- 2
3 - 2
9 - 2
27 - 2
81) × 1
3 = 1
243,所以2
3 + 2
9 +
2
27+ 2
81+ 2
243 = 1- 1
243 = 242
243。
第23 题解图
b. 令S= 1
5 + 1
5
2 + 1
5
3 +…+ 1
5
n ①,
则5S= 1+ 1
5 + 1
5
2 + 1
5
3 +…+ 1
5
n-1 ②,②-①得,(5- 1) S = 1
- 1
5
n ,
S=(1- 1
5
n )× 1
4 = 5
n-1
4×5
n。
类型七 分类讨论
24.
D 【解析】因为D 为BC 的中点,所以DC = DB = 3 cm,因
为AB= 7 cm,所以AC = 7-3-3 = 1(cm)。情况一:当点E
在点A 左侧时,DE = EA+AC+CD = 2+1+3 = 6(cm);情况
二:当点E 在点A 右侧时,DE = AC+CD-AE = 1+ 3- 2 =
2(cm)。因此DE 的长为2 cm 或6 cm。
25.
50. 24 【解析】①以3 厘米的边为轴旋转一周如解图①
所示,可以得到一个圆锥,体积为1
3 ×π×4
2×3 = 16π(立方
厘米);
图①
图②
图③
第25 题解图
②以4 厘米的边为轴旋转一周如解图②所示,可以得到
一个圆锥,体积为1
3 ×π×3
2×4= 12π(立方厘米);
③以5 厘米的边为轴旋转一周如解图③所示,可以得到
两个圆锥,
设斜边上的高为h 厘米,根据三角形的面积相等,得
3×4= 5×h,h= 12
5 ,
所以两个圆锥的体积为1
3 ×π×( 12
5 )
2 ×5 = 9. 6π(立方厘
米);
所以体积最大的是16π= 16×3. 14= 50. 24(立方厘米)。
26.
【思路分析】蚂蚁从A 走到B 一共有三种途径。①经过前
面和右面两个面;②经过前面和上面两个面;③经过左面
和上面两个面。
解:如解图为长方体各顶点标记上字母。
(1)蚂蚁如果经过前面和右面走到点B。
将长方形ACDE 以DC 为轴逆时针旋转90°得到解图①,
蚂蚁的路径AB 的长度为直角△ABH 的斜边,AH= 24+4 =
28(cm),BH= 6 cm,AB
2 =AH
2+BH
2 = 28
2+6
2 = 820;
(2)蚂蚁如果经过前面和上面走到点B。
第26 题解图
将长方形ACDE 以DE 为轴向上旋转90°得到解图②,蚂
蚁的路径AB 的长度为直角△ABC 的斜边,BC = 6+ 4 =
10(cm),AC= 24 cm,AB
2 =AC
2+BC
2 = 24
2+10
2 = 676;
(3)蚂蚁如果经过左面和上面走到点B。
第26 题解图③
将长方形AEFG 以EF 为轴顺时针旋转90°得到解图③,
蚂蚁的路径AB 的长度为直角△ABD 的斜边,AD= 6+24 =
30(cm),BD= 4 cm,AB
2 =AD
2+BD
2 = 30
2+4
2 = 916。
因为916>820>676,
所以AB 最短的情况下,AB
2 = 676= 26×26,即AB= 26 cm。
最短时间为26÷2= 13(分)。
答:这只蚂蚁完成该旅程最少需要13 分钟。
27.
解:如解图,可有如下三种情况:
①(40-5-5) ×(20-5-5) ×5 = 1500(立方厘米);②(40-
5)×(20-5-5)×5= 1750(立方厘米);③(40-5-5-5-5)×
20×5= 2000(立方厘米)。
2000>1750>1500。
第27 题解图
答:做出的铁皮盒容积最大是2000 立方厘米。
2
