模块十五
阅读理解与探究
专题68
阅读理解型
类型一 理解新定义型
1.
(1)3 1 【解析】因为4
3 = 4×4×4 = 64,所以log464 = 3;因
为2014
1 = 2014,所以log20142014= 1。
(2)81
【解析】因为log3M = 4,所以M = 3
4 = 3 × 3 × 3 ×
3= 81。
(3)2 【解析】因为logab = logcb
logca,所以
log236
log26 = log636,因为
6
2 = 6×6= 36,所以log636= 2,故
log236
log26 = 2。
(4)A 【解析】log38-2log36 = log32
3 -2log3(2×3)= 3log32-
2(log32+log33)= 3a-2(a+1)= a-2,故选A。
2.
解:(1)1100 1111【解析】由题意可得M2(9342) = 1100,
M2(59)+M2(9342)= 11+1100= 1111。
(2)①16+45= 61,M2(61)= 01,M2(16)+M2(45)= 10+01 =
11,所以M2(61)≠M2(16) +M2(45),所以16 与45 不“模
二相加不变”。
②30 【解析】M2(45)= 01,①模二结果是10 的两位数有
12,32,52,72,92;14,34,54,74,94;16,36,56,76,96;18,
38,58,78,98;10,30,50,70,90;共25 个,而10+01 = 11,所
以满足与45 互为“模二相加不变”的两位数的模二结果是
10 的两位数有12,32,52,14,34,54,10,30,50,共9 个;②
模二结果是11 的两位数有11,31,51,71,91;13,33,53,73,
93;15,35,55,75,95;17,37,57,77,97;19,39,59,79,99;共
25 个,而11+ 01 = 100,所以满足与45 互为“ 模二相加不
变”的两位数的模二结果是11 的两位数有55,75,95,57,
77,97,59,79,99,共9 个;③模二结果是01 的两位数有
21,23,25,27,29,41,43,45,47,49,61,63,65,67,69,81,
83,85,87,89,共20 个,而01+01 = 10,所以满足与45 互为
“模二相加不变” 的两位数的模二结果是01 的两位数有
25,27,29,45,47,49,共6 个;④模二结果是00 的两位数有
20,22,24,26,28,40,42,44,46,48,60,62,64,66,68,80,
82,84,86,88,共20 个,而00+01 = 01,所以满足与45 互为
“模二相加不变” 的两位数的模二结果是00 的两位数有
20,22,24,40,42,44, 共6 个, 所以总共有9 + 9 + 6 + 6 =
30(个)。
3.
解:(1)由题意,因为M=
1
2
1
0
0
0
3
0
-1
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
,
所以M
T =
1
0
3
2
0
0
1
0
-1
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
。
(2)A+B=
2+2
-2+0
-3+1
4+(-1)
é
ë
êê
ù
û
úú =
4
-2
-2
3
é
ë
êê
ù
û
úú ,
AB=
2×2+(-2)×1
2×0+(-2)×(-1)
(-3)×2+4×1
(-3)×0+4×(-1)
é
ë
êê
ù
û
úú =
2
2
-2
-4
é
ë
êê
ù
û
úú ;
( 3 ) 由题意得
1
1
-1
2
é
ë
êê
ù
û
úú
T
=
1
-1
1
2
é
ë
êê
ù
û
úú , 则
1
1
-1
2
é
ë
êê
ù
û
úú
T
x
2
y
0
é
ë
êê
ù
û
úú
=
1
-1
1
2
é
ë
êê
ù
û
úú
x
2
y
0
é
ë
êê
ù
û
úú
=
x-y
2
x+2y
2
é
ë
êê
ù
û
úú ,
由
x-y
2
x+2y
2
é
ë
êê
ù
û
úú =
1
2
7
2
é
ë
êê
ù
û
úú
得
x-y= 1
x+2y= 7
{
,解得
x= 3
y= 2
{
,即x= 3,y= 2。
4.
解:(1) 2
3 或7
3 【解析】设点M 表示的数为x(-1<x<4),
若MB= 2MA,4-x = 2( x+ 1),解得x = 2
3 ;若2MB = MA,
2(4-x)= x+1,解得x= 7
3 。
(2)设点P 表示的数为y,点P 在点A 的左侧(y<-3),则只
能是PB= 2PA,12-y= 2(-3-y),解得y= -18;点P 在点A、
B 的中间(-3<y<12),若PB= 2PA,则12-y= 2(y+3),解得
y= 2;若2PB=PA,则2(12-y)= y+3,解得y= 7。
答:点P 表示的数为-18 或2 或7。
5.
解:(1) 4π
1+π 【解析】因为AB= 4,AZ= πBZ,所以AZ = π(4
-AZ),所以AZ= 4π
1+π。
(2)因为圆的半径为1
π ,所以圆的周长为:2π× 1
π = 2,所以
OD= 1+2= 3。如解图①:
假设OM>DM、ON<DN,则OM = π(3-OM),DN = π(3 -
DN),
所以OM= 3π
1+π,DN = 3π
1+π,所以ON = OD-DN = 3- 3π
1+π =
3
1+π,所以MN=OM-ON= 3π
1+π- 3
1+π = 3π-3
1+π ;
(3)当点D 为其余两点所构成线段的祖冲之点时,如解图
②:点P 表示的数为3t,点Q 表示的数为3+t,当PD>DQ
时,3-3t=π(3+t-3),所以t = 3
3+π;当DQ>PD 时,(3+t-3)=
π(3-3t),所以t= 3π
1+3π;当P 为其余两点所构成线段的祖
冲之点时,如解图③:当DP>PQ 时,3t-3 = π(3+t-3t),所
以t= 3+3π
3+2π;当PQ>DP 时,(3+t- 3t) = π(3t- 3),所以t =
3π+3
3π+2;综上所述,t= 3
3+π或3π
1+3π或3+3π
3+2π或3π+3
3π+2。
第5 题解图
6.
解:(1)40 【解析】由题意知,若射线OM 是射线OA 的伴
随线,则∠AOM= 1
2 ∠BOM,又因为∠AOM+∠BOM= 120°,
所以∠AOM= 40°。
(2)射线OD 与射线OA 重合时,t= 180
5 = 36(秒),
①存在. 当∠COD= 20°时,有两种情况:
若在相遇之前,则180-5t-3t= 20,解得t= 20。
若在相遇之后,则5t+3t-20= 180,解得t= 25。
所以当t= 20 秒或t= 25 秒时,∠COD= 20°;
②90
7 或360
19 或180
7 或30
【解析】相遇之前:Ⅰ:如解图①,
OC 是OA 的伴随线时, ∠AOC = 1
2 ∠COD, 即3t =
1
2 (180-5t-3t),解得t= 90
7 ;Ⅱ:如解图②,OC 是OD 的伴
随线时,∠COD= 1
2 ∠AOC,即180-5t-3t = 1
2 ×3t,所以t =
360
19 ;相遇之后: Ⅲ: 如解图③, OD 是OC 的伴随线时,
∠COD= 1
2 ∠AOD,即5t+ 3t- 180 = 1
2 (180- 5t),解得t =
180
7 ;Ⅳ: 如解图④, OD 是OA 的伴随线时, ∠AOD = 1
2
∠COD,即180-5t= 1
2 (3t+5t-180),解得t= 30。
综上所述,当t = 90
7 或360
19 或180
7 或30 时,射线OC、OD、OA
中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线。
第6 题解图
7.
解:(1)是
【解析】在情形二中,因为沿∠BAC 的平分线
AB1 折叠, 所以∠B = ∠AA1B1; 又因为将余下部分沿
∠B1A1C 的平分线A1B2 折叠,此时点B1 与点C 重合,所以
∠A1B1C=∠C;因为∠AA1B1 = ∠C+∠A1B1C(外角定理),
所以∠B= 2∠C,所以∠BAC 是△ABC 的好角。
(2)①∠B = 3∠C
【解析】在△ABC 中,沿∠BAC 的平分
线AB1 折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C 的平分
线A1B2 折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿∠B2A2C 的平
分线A2B3 折叠,点B2 与点C 重合,则∠BAC 是△ABC 的
好角。根据折叠的性质知,∠B = ∠AA1B1,∠C = ∠A2B2C,
∠A1B1C = ∠A1A2B2, 所以根据三角形的外角定理知,
∠A1A2B2 =∠C+∠A2B2C= 2∠C。
因为根据四边形的外角定理知,∠BAC + ∠B + ∠AA1B1 -
∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C = 180°,根据△ABC 的内角
和定理知,∠BAC+∠B+∠C= 180°,所以∠B= 3∠C。
②∠B=n∠C 【解析】由情形一知,当∠B=∠C 时,经过1
次折叠,∠BAC 是△ABC 的好角;由情形二知,当∠B = 2
∠C 时,经过2 次折叠,∠BAC 是△ABC 的好角;由(2) ①
知,当∠B= 3∠C 时,经过3 次折叠,∠BAC 是△ABC 的好
角;故若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角,则∠B 与
∠C 之间的等量关系为∠B=n∠C。
(3)由(2)知,∠B=n∠C,∠BAC 是△ABC 的好角,
因为最小角是10°是△ABC 的好角,根据好角定义,则可设
另外两角分别为10m°,10mn°(其中m、n 都是正整数),
由题意,得10m+10mn+10= 180,所以m(n+1)= 17。
因为m、n 都是正整数,所以m 与n+1 是17 的整数因子,
因此m= 1,n= 16,
所以10m° = 10°,10mn° = 160°,
所以该三角形的另外两个角的度数分别为10°、160°。
8.
解:(1)①正方 ②2 【解析】①由折线可以得出AB = BF,
AE=FE,则矩形ABFE 为正方形;②第一次操作应该剪去
一个边长为2 的正方形,所以就剩下一个长为2、宽为1 的
矩形,再进行第二次操作剪去一个边长为1 的正方形,则
余下的就是一个边长为1 的正方形。所以共操作2 次,这
个矩形是2 阶准正方形。
(2)如解图所示。(画出一种即可)
第8 题解图
1
类型二 理解解题方法型
9.
解:(1)运动员打靶的期望为E = 0. 1×10+0. 2×9+0. 4×8+
0. 3×7= 8. 1。
答:他打靶的期望为8. 1。
(2)A 中学入选人数为0 人的概率是2×4
5×6 = 8
30 = 4
15,
A 中学入选人数为1 人的概率是3×4+2×2
5×6
= 12+4
30 = 8
15,
A 中学入选人数为2 人的概率是3×2
5×6 = 6
30 = 1
5 ,
所以A 中学入选人数的期望为E = 4
15 × 0 + 8
15 × 1 + 1
5 ×
2= 14
15。
答:A 中学入选人数的期望是14
15。
10.
解:(1)5x+2[x] = 31,
5{x}+5[x]+2[x] = 31,
5{x}+7[x] = 31,
则[x] = 4,{x} = 1
5 ×(31-4×7)= 0. 6,
所以x={x}+[x] = 0. 6+4= 4. 6。
(2)7{x}+[x] = 20,
所以当[x] = 19 时,7{x} = 1,则x= 19 1
7 ;
当[x] = 18 时,7{x} = 2,则x= 18 2
7 ;
当[x] = 17 时,7{x} = 3,则x= 17 3
7 ;
当[x] = 16 时,7{x} = 4,则x= 16 4
7 ;
当[x] = 15 时,7{x} = 5,则x= 15 5
7 ;
当[x] = 14 时,7{x} = 6,则x= 14 6
7 。
所以满足7{x}+[x] = 20 的所有x 的和为:
19 1
7 +18 2
7 +17 3
7 +16 4
7 +15 5
7 +14 6
7 = 102。
11.
解:(1)将x = [x] +{x} 代入方程,则2{x} + 3[x] + 4x =
6{x}+7[x] = 2024;{x} = 2024-7[x]
6
,由0≤{x} <1,可得
不等式组0≤2024-7[x]
6
<1,即2018<7[x]≤2024,
[x]为整数,则[x] = 289,代入求得{x} = 1
6 ,
故x= 289+ 1
6 = 289 1
6 。
(2)根据题意,m=[m]+{m},令[m] =a,{m} =b,即m = a
+b,且b≠0,
经过n 次操作后,若n 为奇数,则可表示为m→(a-n)+(1
-b);若n 为偶数,则可表示为m→a-n+b;
因为经过2025 次操作后第一次变为小于0 的数, 则
(a-2025)+(1-b)<0,
a-2024+b≥0,
{
即
a-b<2024,
a+b≥2024,
{
因为小数部分b 的取值范围为0<b<1,则m = a+b 的取值
范围为2024<m<2025。
12.
解:(1)因为四边形ABCD 为正方形,AB = 4,DE = 2,CF =
3,所以AE= 4-2 = 2,DF = 4-3 = 1,BC = 4,在直角三角形
ABE 中:BE
2 = AB
2 +AE
2 = 4
2 +2
2 = 20,在直角三角形DEF
中:EF
2 =DE
2+DF
2 = 2
2+1
2 = 5,在直角三角形BCF 中:BF
2
=BC
2+CF
2 = 4
2+3
2 = 25,因为BF
2 =BE
2+EF
2,所以三角形
BEF 是直角三角形。
(2)在直角三角形ABC 中:AC
2 =AB
2+BC
2 = 3
2+4
2 = 25,AC
= 5,在三角形ACD 中:AD
2 = 13
2 = 169,CD
2 = 12
2 = 144,因
为AC
2+ CD
2 = AD
2, 所以三角形ACD 是直角三角形且
∠ACD= 90°,所以S△ABC = 1
2 ×3×4 = 6,S△ACD = 1
2 ×5×12 =
30,所以四边形ABCD 的面积为S△ABC+S△ACD = 6+30= 36。
答:四边形ABCD 的面积是36。
13.
解:(1)169 【解析】由题意:S1,S2 的面积分别等于直角
三角形两直角边的平方,S3 的面积等于直角三角形斜边
的平方,根据勾股定理可得:S3 =S1+S2 = 144+25= 169。
(2)假设直角三角形AB、BC、AC 的长分别为a、b、c。则甲
的面积: 1
2 ×π×( a
2 )
2 = π
8 a
2,乙的面积: 1
2 ×π×( b
2 )
2 =
π
8 b
2,丙的面积: 1
2 ×π×( c
2 )
2 = π
8 c
2。根据勾股定理可
得:a
2+b
2 =c
2,所以π
8 a
2 + π
8 b
2 = π
8 (a
2 +b
2) = π
8 c
2,所以
甲、乙、丙三个半圆的面积关系为:S甲+S乙=S丙。
(3)由勾股定理得到:AB
2 = AC
2 +BC
2 = 4
2 + 3
2 = 25,AB =
5 cm。
如解图:设四边形ACPN 的面积为S1,三角形BTC 的面积
为S2,四边形CTMP 的面积为S3。因为S正方形ABMN = 5
2 =
25,S正方形ACDE+S正方形BGFC = 4
2+3
2 = 25,
第13 题解图
所以S1+S2+S阴影= S1 +S2 +S3 +S△ABC,S阴影= S3 +S△ABC,因为
三角形BPM 和三角形ABT 都是直角三角形,并且∠TAB
=∠PBM,AB = MB,所以S△ABT = S△PMB,即S△ABC +S2 = S2 +
S3,所以S△ABC = S3, 所以S阴影= 2S△ABC = 2 × 3 × 4 ÷ 2 =
12(cm
2)。
答:阴影部分的面积为12 平方厘米。
14.
解:(1)当x= 1 时,(F·G)= f(g(1))= f(2)= 2,
当x= 2 时,(F·G)= f(g(2))= f(1)= 3,
当x= 3 时,(F·G)= f(g(3))= f(3)= 4,
当x= 4 时,(F·G)= f(g(4))= f(4)= 1。
(2)若第一行中取1,其第二行对应数字为9,则第一行中
下个数字需取9,9 在第二行对应数字为8,则第一行中下
个数字需取8,8 在第二行对应数字为5,则第一行下个数
字需取5,5 在第二行对应数字为1,即形成闭环。
取下一组数:若第一行取2,其第二行对应数字为7,则第一
行中下个数字需取7,7 在第二行对应数字为4,则第一行中
下个数字需取4,4 在第二行对应数字为2,即形成闭环。
第一行剩3,6 且形成闭环。
故G=(1985)(274)(36)。(答案不唯一)
15.
解:(1)如解图①,方法:作点B 关于直线l 的对称点B′,
连接AB′交l 于点P,连接BP,则AP+BP=AB′,由“两点之
间,线段最短”可知,点P 即为所求的点。
(2)如解图②,连接BM,因为AB = AC = 6,且AD⊥BC,则
BM=MC,EM+MC=EM+MB,当点B、M、E 在一条直线上,
且BE⊥AC 时,EM+MC 取最小值,EM+MC 的最小值就是
线段BE 的长度。
因为三角形ABC 的面积是15,所以BE= 15×2÷6= 5。
答:EM+MC 的最小值是5。
第15 题解图
专题69
探究型
类型一 问题探究型
1.
(1)14. 4 平方厘米 【解析】根据题意,等腰直角△ABC 边
BC 上的高等于1
2 BC,即3 厘米。直角三角形DEF 的面积
等于1
2 ×DE×DF= 1
2 ×EF×EF 边上的高,EF 边上的高为6
×8÷10= 4. 8,则梯形BEFC 的高为4. 8-3 = 1. 8(厘米),梯
形BEFC 的面积为(6+10)×1. 8÷2= 14. 4(平方厘米)。
(2)39 平方厘米
【解析】△EMF 的底边长(EF) 不变,要
使面积最大,则EF 边上的高最大,当△ABC 旋转至点A 正
上方,且BC 与EF 平行时面积最大,所以易得△EMF 面积
的最大值为10×(3+4. 8)÷2= 39(平方厘米)。
2.
解:(1)剪拼后如解图①②所示。
(2)梯形ABCD 剪拼后为平行四边形,如解图①所示,所以
梯形ABCD 的面积是AB×EF= 5×4= 20,
答:梯形ABCD 的面积是20。
(3)如解图③,分别取AB 和BC 的中点F、G,过这两点画
线段PQ,分别交AE,CD 于点P、Q,则PQ∥ED,过点B 作
AE 的平行线交PQ 于点M,然后将△FAP 绕点F 逆时针旋转
180°到△FBM 的位置,将△GCQ 绕点G 逆时针旋转180°到
△GBM 的位置,拼成的四边形PQDE 就是平行四边形。
第2 题解图
解题技巧
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中
位线。三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等
于第三边的一半。
3.
解:(1)PC 【解析】根据垂线段定理可知,PC 最短。
(2)30°
【解析】因为△ADC 是由△ABC 翻折而来的,所
以∠CAB=∠2,因为∠B = 108°,所以∠1 = 180°-108°-42°
= 30°。
(3)因为△AEB 是由△ADB 翻折而来,△ACF 是由△ACD
翻折而来, 所以AE = AD = AF, ∠DAB = ∠EAB, ∠DAC =
∠FAC,因为∠DAB + ∠DAC = 45°,所以∠EAB +
∠FAC =
45°,所以∠EAF= 90°,因为AE=AF=AD,∠EAF= 90°,所以
△EAF 是等腰直角三角形,要使△EAF 的面积最小,则AE =
AF=AD 最小,因为D 是边BC 上的一点,所以当AD⊥BC
时,
AD 最小,因为
BC = 8,S△ABC = 1
2 ×BC×AD = 4AD = 12,所以
AD= 3=AE=AF,S△AEFmin = 1
2 ×AE×AF= 1
2 ×3×3= 9
2 。
答:三角形AEF 面积的最小值为9
2 。
4.
解:(1)40° 60° 【解析】因为AB∥DC,所以∠ABC+∠C=
180°,所以∠ABC = 180° - ∠C = 80°, 由折叠得, ∠CBE =
∠C′BE= 20°,所以∠1 = ∠ABC-∠CBE-∠C′BE = 40°;因
为∠CBE + ∠CEB + ∠C = 180°, 所以∠CEB = 60°, 所以
∠CEB=∠C′ EB = 60°, 所以∠2 = 180° - ∠CEB - ∠C′ EB
= 60°。
(2)因为四边形ABCD 为长方形,所以∠B = 90°,BC∥AD,
由折叠得,∠DGH = ∠D′GH,∠B = ∠FB′G = 90°,∠EFB =
2
∠EFB′,所以∠EFB = ∠EFB′ = 62°,所以∠CFB′ = 180° -
∠EFB-∠EFB′= 56°,如解图,过点B′作B′K∥AD,交AB 于
点K,因为BC∥AD,所以B′K∥BC,所以∠CFB′ = ∠KB′F,
∠DGB′=∠GB′K,
第4 题解图
所以∠GB′ F = ∠GB′ K + ∠FB′ K =
∠DGB′+∠CFB′= 90°,
所以∠DGB′ = 90° - ∠CFB′ = 90° -
56° = 34°,
因为∠DGH = ∠D′GH,所以∠DGH =
1
2 ∠DGB′= 17°。
5.
解:(1)图①的表面积:2×(16×6+16×4+6×4)= 368(平方
厘米),图②的表面积:2×(32×6+32×2+6×2)= 536(平方
厘米),图③的表面积:2×(16×12+16×2+12×2)= 496(平
方厘米),368<496<536。
答:图①的表面积最小。
(2)7 544 【解析】7 种搭法如解图,解图①:2×(16×4×6
+16×4×2+2×6)= 1048(平方厘米),解图②:2×(16×24+2×
24+16×2)= 928(平方厘米),解图③:2×(16×12+16×4+12
×4)= 608(平方厘米),解图④:2×(16× 6+ 16× 8+ 6× 8) =
544(平方厘米),解图⑤:2×(32×6+32×4+4×6)= 688(平
方厘米),解图⑥:2×(32×12+32×2+12×2)= 944(平方厘
米),解图⑦:2×(6×16+8×16+6×8)= 544(平方厘米),544
<608<688<928<944<1048,则搭成的大长方体的表面积最
小为544 平方厘米。
(3)共有6(a≠3b 且b≠3c)或7(a = 3b 或b = 3c)或8(a =
3b 且b= 3c)种不同的方式。
①若a= 3b 或b= 3c,如解图①~ ⑦共7 种;②若a = 3b 且b
= 3c,如解图①~ ⑧共8 种。
解图①:2×(4ab+bc+4ac)= 8ab+2bc+8ac;解图②:2×(ac+
4ab+4bc)= 8ab+8bc+2ac;解图③:2×(2ab+4bc+2ac)= 4ab
+8bc+4ac;解图④:2×(4ac+ab+4bc) = 2ab+8bc+8ac;解图
⑤:2×(2ab+4ac+2bc)= 4ab+4bc+8ac;解图⑥:2×(4ab+2bc
+2ac)= 8ab+4bc+4ac;解图⑦:2×(3ac+4bc+ac+ab)= 2ab+
8bc+8ac;解图⑧:2×(4ab+ac+ac+bc)= 8ab+2bc+4ac,故表
面积最小为(2ab+8bc+8ac)平方厘米。
答:共有6(a≠3b 且b≠3c)或7(a = 3b 或b = 3c)或8(a =
3b 且b= 3c)种不同的方式,搭成的大长方体的表面积最小
为(2ab+8bc+8ac)平方厘米。
第5 题解图
6.
解:(1)
多面体
顶点数(V)
面数(F)
棱数(E)
四面体
4
4
6
五面体
5
5
8
六面体
8
6
12
(2)2 【解析】因为4+4-6 = 2,5+5-8 = 2,8+6-12 = 2,所
以顶点数(V)、面数(F)、棱数(E) 之间存在的关系式是:
V+F-E= 2。
(3)能。理由:设正五边形有x 块,则正六边形有(32-x)
块,则F= 32,E= 5x+6(32-x)
2
= - 1
2 x+96,
V=E÷3×2= - 1
3 x+64,根据欧拉公式V+F-E = 2 得:- 1
3 x+
64+32-(- 1
2 x+96)= 2,解得:x= 12,32-x= 20,
所以,正五边形有12 块,正六边形有20 块。
7.
解:【问题探究】探究一:①7
②f = m+n-1
【解析】探究
一:当m、n 互质时,根据表格可得:当m = 2,n = 1 时, f = 2+
1-1= 2;当m= 3,n= 1 时, f= 3+1-1 = 3;当m = 3,n = 2 时,
f= 3+2-1= 4;…;当m= 5,n= 3 时, f= 5+3-1 = 7;该矩形一
条对角线所穿过的小正方形的个数f 与m,n 之间的关系
式是f=m+n-1,故答案为:①7 ②f=m+n-1。
探究二:12 9 f=k(a+b-1)
【解析】当m、n 不互质时,
根据图②表格可得:当a= 2,b= 1,k = 2,m = ka = 4,n = kb = 2
时, f= 2×(2+1-1)= 4;当a = 3,b = 1,k = 2,m = ka = 6,n = kb
= 2 时, f= 2×(3+1-1)= 6;当a = 3,b = 2,k = 2,m = ka = 6,n
=kb= 4 时, f= 2×(3+2-1)= 8;当a = 5,b = 2,k = 2,m = ka =
10,n=kb= 4 时,f= 2×(5+2-1)= 12;当a= 2,b= 1,k= 3 时,
m=ka= 6,n=kb= 3 时,f= 3×(2+1-1)= 6;当a= 3,b = 1,k =
3,m=ka= 9,n=kb= 3 时, f = 3×(3+1-1)= 9;当m,n 不互
质时,该长方形一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与
a,b,k 之间的关系式是f=k(a+b-1),故答案为:12,9, f = k
(a+b-1)。
【模型应用】1050 【解析】630 与490 不互质,ka = 630 = 9×
70,kb= 490= 7×70,a= 9,b= 7,k= 70,该长方形的一条对角
线所穿过的小正方形个数是f = 70×(9+7-1)= 1050,故答
案为:1050。
【模型拓展】6 【解析】如解图,连接长方体上下两个底面
的对角线,得到矩形ACBD,AE = 4,CE = 4,∠AEC = 90°,所
以AC=
AE
2+CE
2 = 4 2,每个小正方体的对角线长为2,
AC 的长是4 个小正方体的对角线,BC = 3,且4 与3 互质,
经过顶点A,B 的直线穿过的小正方体的个数是4+3-1 = 6
个,故答案为:6。
第7 题解图
8.
解:(1)S阴影= 1
2 S四边形ABCD
S阴影= 1
2 S四边形ABCD
【解析】如解
图①,连接BD,因为E 为AD 的中点,所以S△ABE =S△DBE,因
为F 为BC 的中点, 所以S△DBF = S△DCF, 所以S阴影=
1
2 S四边形ABCD。因为E、F 分别为平行四边形的边AD、BC 的
中点,所以S阴影= 1
2 S四边形ABCD。
第8 题解图
(2)S阴影= 1
2 S四边形ABCD 【解析】如解图②,连接DB,S△BDE =
1
2 S△ABD,S△BDF = 1
2 S△BDC,S阴影= S△BDE + S△BDF = 1
2 S△ABD +
1
2 S△BDC = 1
2 S四边形ABCD。
(3)如解图③,连接AC,BD。因为G 是四边形ABCD 的边
AB 的中点,所以S△AGC = S△BGC。因为H 是四边形ABCD 的
边CD 的中点,所以S△AHC = S△AHD = 1
2 S△ACD,所以S四边形AGCH =
1
2 S四边形ABCD, 同理可得S四边形BFDE =
1
2 S四边形ABCD, 所以
S四边形AGCH =S四边形BFDE,即S四边形AGCH =S△ABE +S△DFC,所以S阴影=
S1+S2+S3+S4 = 2。
答:S阴影的值为2。
9.
解:(1)2 【解析】BD=DE=EC,S△ABD =S△ADE =S△AEC = S△ABC
÷3= 6÷3= 2。
(2)如解图①,连接CD,因为BD = AB,所以S△CBD = S△ABC,
S△ACD = 2S△ABC = 2×2= 4,因为CE = 2AC,所以S△CDE = S△ACD ×
2= 4×2= 8,所以S△ADE =S△ACD+S△CDE = 4+8= 12。
答:三角形ADE 的面积为12。
(3) 如解图②,连接AC,EC,HC,因为BE = 2
3 AB, 所以
S△CBE = 2
3 S△ABC,因为BF= 1
3 BC,所以S△EBF = 1
3 ×S△CBE = 1
3
× 2
3 × S△ABC = 2
9 S△ABC, 所以DH = 1
3 AD, 所以S△CDH =
1
3 S△ACD,所以DG = 2
3 CD,所以S△HDG = 2
3 S△CDH = 2
3 × 1
3 ×
S△ACD = 2
9 S△ACD,
所以S△EBF+S△HDG = 2
9 (S△ABC+S△ACD)= 2
9 ×18= 4,
同理,S△AEH+S△CFG = 2
9 ×18=4,所以S四边形EFGH = 18-4×2= 10。
答:四边形EFGH 的面积为10。
第9 题解图
10.
解:(1) 1
2 【解析】因为BD = 1
3 BC,所以BD = 1
2 DC,由
于三角形ABD 和三角形ACD 同高,所以S△ABD = 1
2 S△ACD。
(2)因为OB=OD,所以S△BOC = S△COD,即S3 = S2 = 4,又因
为OC= 2OE,所以S△BOE = 1
2 S△BOC,即S1 = 1
2 S2 = 2。设三
角形AOE 的面积为x,三角形AOD 的面积为y,因为OB=
OD,所以S△AOB = S△AOD,所以S△AOE +S△BOE = S△AOB = S△AOD,
即x+ 2 = y,又因为OC = 2OE,所以S△AOC = 2S△AOE,所以
2S△AOE = S△AOD + S△COD,即2x = y + 4,联立
x+2=y
2x=y+4
{
,解得
x= 6
y= 8
{
,所以S4 =S△AOE+S△AOD = 6+8= 14。
答:S4 的值是14。
(3)10000 元的绿化费用不够用,理由如下:如解图,连接
PC、PG、PD,因为D、E 为AC 的三等分点,所以S△BCE = 1
3
S△ABC = 1
3 ×6000= 2000(平方米),设S△PCF =x,S△PCE =y,因
为F、G 是BC 的三等分点,所以S△PBG =S△PGF =S△PCF = x,所
以S△BCE = S△PBG +S△PGF +S△PCF +S△PCE = 3x+y = 2000①,同
理:S△ACF =S△PAD+S△PDE+S△PCE+S△PCF =x+3y= 2000②,由①
+②得,4x+4y= 4000,即x+y = 1000,所以四边形PECF 的
3
面积是1000( 平方米),需要的费用1000 × 13 = 13000 >
10000,所以10000 的绿化费用不够。
第10 题解图
类型二 探究迁移型
11.
解:(1)在直角边长分别为a、b 斜边为c 的直角三角形中
有:a
2+b
2 =c
2 【解析】由题,三个直角三角形的面积分别
为: 1
2 ab、1
2 ab 和1
2 c
2,直角梯形的面积为: 1
2 (a+b)(a+
b)。由图形可知: 1
2 (a+b)(a+b)= 1
2 ab+ 1
2 ab+ 1
2 c
2,整
理得:a
2+b
2 =c
2。
(2)1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n+(n-1)+(n-2)+…+3+
2+1 【解析】n 行n 列的棋子排成一个正方体棋子个数
为n×n=n
2,按解图①的斜线的棋子数相加得1+2+3+4+
…+(n-2)+(n-1) +n+(n-1) +(n-2) +…+3+2+1,所以
n
2 = 1+2+3+4+…+(n-2)+(n-1) +n+(n-1) +(n-2) +…
+3+2+1。
(3)①6 3 【解析】如解图②,当n = 4,m = 2 时,y = 6,如
解图③,当n= 5,m= 3 时,y= 9。
②n+2(m-1) 【解析】n 边形内部有1 个点时,其内部共
有n 条线段,共分成n 个三角形,每增加一个点,都必须
在某个小三角形内,从而增加3 条线段,所以n 边形内部
有m 个点时,其内部共有n+3(m-1)条线段,由(3y-n) ÷
2=n+3(m-1),化简得:y=n+2(m-1)。
第11 题解图
12.
【思路分析】(1) 根据题设中给的三角形的三边关系,利
用不等关系来求解。(2)线段DA,DB,DC 将三角形ABC
分成三个小三角形,写出这三个小三角形的三边关系,将
三个不等式相加可得结论。(3)根据题设的结论,求出一
条边长的取值范围,再结合三角形的边长为整数厘米,分
类讨论即可。需要考虑是否满足三角形的三边关系。
(1)B 【解析】由题意可知,AB-AC<BC<AB+AC,即3-2<
BC<3+2,所以1<BC<5,故符合此范围的取值为4 千米。
(2)证明:如题图③,根据三角形三边关系“两边之和大
于第三边”可知,在三角形ABD 中,DA+DB>AB;在三角形
BCD 中,BD+DC>BC;在三角形ACD 中,DC+DA>AC,将以
上三个不等式相加可得,2(DA+DB+DC) >AB+BC+AC,故
DA+DB+DC> 1
2 (AB+BC+AC)。
(3)解:由题意可得c 的取值范围为20
3 <c<20
2 ,即6 2
3 <c<
10,又因为c 为整数,故c 可取的值为7,8,9,可组成三角
形的边长为:①当c = 7 时,三角形三边长可以为(6,7,
7),(7,4,9),(7,5,8);②当c = 8 时,三角形三边长可以
为(4,8,8),(5,7,8),(6,6,8),(8,3,9);③当c= 9 时,三
角形三边长可以为(2,9,9),(3,8,9),(4,7,9),(5,6,
9)。其中(6,7,7),(7,4,9),(7,5,8),(4,8,8),(8,3,
9),(2,9,9)不满足c 最大,所以一共有5 种不同的剪法。
13.
解:(1)m 【解析】因为CD=BC,所以三角形ABC 和三角
形ACD 的面积相等(等底同高),故有S1 =m。
(2)2m 【解析】如解图①,连接AD,因为AE=CA,所以三
角形DEC 的面积S2 为三角形ACD 的面积S1 的2 倍,故
有S2 = 2m。
(3)6m 理由:结合(1)(2)得出阴影部分的面积为题图
②中三角形DEC 面积的3 倍,故S3 = 6m。
(4)7 【解析】三角形DEF 的面积= 阴影面积+三角形
ABC 面积=S3+S△ABC = 6m+m= 7m= 7S△ABC。
①由结论可知: 阴影部分的面积为: ( 7 × 7 - 1) × 15 =
720(平方米)。
答:两次扩展的区域(即阴影部分)的面积是720 平方米。
②如解图②,设EG、HF 交点为O,连接AO、BO、CO、DO,
因为E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中点,所以S△ODH
=S△OAH,S△OBE = S△OAE,S△OBF = S△OCF,S△DOG = S△COG,所以阴
影部分面积等于四边形ABCD 面积的一半,所以阴影部
分面积是1
2 a。
答:图中阴影部分的面积是1
2 a。
第13 题解图
4
