模块十二
行程问题
专题58
平均速度
追及问题
类型一 平均速度
1.
90 【解析】汽车返回的时间是2. 5-1 = 1. 5(时),汽车往
返的平均速度是180×2÷(2. 5+1. 5)= 90(千米/ 时)。
2.
24
7 【解析】设上山和下山的单程路程均为1 千米,则上山
用时:1÷3 = 1
3 (时),下山用时:1÷4 = 1
4 (时),上、下山的
平均速度:(1+1)÷( 1
3 + 1
4 )= 24
7 (千米/ 时)。
3.
72
【解析】设单程距离为S,则返回时间为2S
90 - S
120 = S
72,
返回的平均速度为S÷ S
72 = 72(米/ 分)。
4.
24
5 m/ s 【解析】平均速度= 总路程÷总时间,设总路程为
“1”,总时间为1
2 ÷4+ 1
2 ÷6 = 5
24(s),则平均速度为1÷ 5
24 =
24
5 (m/ s)。
5.
60
11 【解析】设甲步行共走x
km,共骑行y
km,则乙共骑行
x
km,步行y
km,由题意得x
3 + y
12 = x
12 + y
4 ,解得y = 1. 5x,
则甲的平均速度是(x+y)÷( x
3 + y
12)= 60
11(km/ h)。
6.
解:30×1. 5 = 45(千米),42× 1 = 42( 千米),45× 2 = 90( 千
米),45÷45= 1(时),90÷30= 3(时),(45+42+90)×2÷(1. 5
+1+2+1+3+1)= 354÷9. 5≈37. 26(千米/ 时)。
答:汽车的平均速度约是37. 26 千米/ 时。
类型二 追及问题
7.
12 【解析】由题意可知狗跑48 米后两者之间的距离会缩
短30-6= 24(米),即狗每跑1 米两者之间距离会缩短24÷
48= 0. 5(米),所以狗还需要跑6÷0. 5 = 12(米) 才能追上
兔子。
8.
解:6 分钟= 1
10小时,10 分钟= 1
6 小时,12 分钟= 1
5 小时
甲、乙的路程之差:63× 1
6 -96× 1
10 = 9
10(千米)
行人的速度: 9
10÷( 1
6 - 1
10)= 27
2 (千米/ 时)
丙追上行人时的路程:27
2 ×( 1
5 - 1
6 )+63× 1
6 = 657
60 (千米)
丙的速度:657
60 ÷ 1
5 = 54. 75(千米/ 时)
答:丙每小时行54. 75 千米。
9.
45 【解析】小明每小时走(15×3-35×1) ÷(3-1) = 5(千
米),追及距离:35-5= 30(千米),开汽车追上小明需要30
÷(45-5)= 0. 75(时),0. 75 小时= 45 分钟。
10.
560 【解析】甲和乙的速度之比:5 ∶(2+5)= 5 ∶7,设甲
的速度是5x,乙的速度是7x,则:4×(7x+8)= (4+2) ×5x,
解得x= 16,则甲车行驶的距离= 16×5×7= 560(千米),所
以A 地与B 地的距离是560 千米。
11.
480 【解析】1 小时= 60 分钟,2 小时= 120 分钟,乙行
60 分钟路程= 丙行20+ 60 = 80( 分) 路程,即v乙∶v丙=
80 ∶60= 4 ∶3,则v乙= 4
3 v丙;甲行120 分钟路程= 丙行20
+30+120= 170(分)路程,即v甲∶v丙= 170 ∶120 = 17 ∶12,
则v甲= 17
12v丙。甲出发时乙已行30 分钟,即乙已行4
3 v丙×
30= 40v丙,甲追上乙的追及时间为40v丙÷( 17
12v丙- 4
3 v丙)=
480(分)。
12.
解:小刚与爸爸的速度比是(1200-800) ∶(1200+800)=
1 ∶5,爸爸行800 米,小刚跑的路程是800× 1
5 = 160(米),
小刚的速度是(800-160) ÷10 = 64(米/ 分),爸爸的速度
是64×5= 320(米/ 分)。
答:小刚每分钟行64 米,爸爸每分钟行320 米。
13.
解:原来小钱的速度∶现在小钱的速度= 1 ∶2,则原来用
的时间∶现在用的时间= 2 ∶1,7 时46 分-7 时40 分= 6
分钟,取马克笔路上用时:6÷2 = 3(分),小钱在路上的时
间是:8 时-7 时46 分= 14 分,拿好笔回学校的时间是:
14-6-3 = 5(分),第一次遇见小塘的地方到学校的时间
是:5-3 = 2( 分),从第一次遇见,小塘到学校的时间是
8 时-7 时46 分= 14(分),14÷2 = 7,5×7 = 35(分),8 时-
35 分= 7 时25 分,则小塘从家里出发的时间是7:25。
答:小塘是7:25 从家里出发的。
14.
解:设甲、乙的速度为1,丙的速度为3。先追乙再返回追
甲:(1×1)÷(3-1)×2+(1×3)÷(3-1)×2 = 4(时);先追甲
再返回追乙:(1× 2) ÷(3- 1) × 2+(1× 3) ÷(3- 1) × 2 =
5(时)。
4 小时<5 小时,所以先追乙再返回追甲,用的时间少。
答:先追乙再返回追甲,用的时间少。
专题59
相遇问题
类型一 一次相遇
1.
63
16 【解析】把从南海到北海的路程看作单位“1”,相遇时
间为1÷( 1
7 + 1
9 )= 63
16(日)。
2.
255 【解析】由题意得,两名信使从出发到返回一共经过
了14-8= 6(时),在这6 个小时里一共行驶了两个全程,则
两地相距6×(40+45)÷2= 255(km)。
3.
5 【解析】A、B 速度和为18÷2 = 9(千米/ 时),B 行驶的路
程为18- 2 = 16( 千米),用时2+ 2 = 4( 时),B 的速度为
16÷4= 4(千米/ 时),则A 的速度为9-4= 5(千米/ 时)。
4.
104 【解析】当甲、丙两车相遇后,丙车又经过15 分钟遇
到乙车,因此甲、丙两车相遇时,丙车到乙车的距离就是
乙、丙两车共同行15 分钟的路程和,即甲、丙两车相遇时,
甲车比乙车多行的距离是(0. 7+0. 6) ×15 = 19. 5(千米),
甲车每分钟比乙车多行1-0. 7 = 0. 3(千米),所以甲、丙两
车的相遇时间是19. 5÷0. 3 = 65(分),所以东、西两站相距
(1+0. 6)×65= 104(千米)。
5.
解:情况一:相遇之前相距200 千米时,两车共同行驶距
离:1500- 200 = 1300(千米),两车速度和:100+ 150 = 250
(千米/ 时),需要时间:1300÷250= 5. 2(时)。情况二:相遇
之后相距200 千米时,两车共同行驶距离:1500+200= 1700
(千米),两车速度和:100+150= 250(千米/ 时),所需时间:
1700÷250= 6. 8(时)。
答:相遇之前,5. 2 小时后两车相距200 千米,相遇之后,
6. 8 小时后两车相距200 千米。
6.
解:由题意得甲速度的2 倍与乙速度的3 倍相等,故设甲速
度为3,乙速度为2,同时出发,相遇时,假设经过时间t,则
有:S甲= 3t,S乙= 2t,所以S甲+S乙即为A,B 之间的路线总
长,由题图可知,线路总长为:(1+2+3+4+5+6+7) ×2+4 =
60,则S甲= 60×
S甲
S甲+S乙
= 60×
3t
3t+2t = 36,所以相遇点与A 点
的距离为36,由题图可知,相遇点的数对为(-3,-3)。
答:甲、乙两人相遇点的数对为(-3,-3)。
7.
解:甲、乙两车相遇时行驶的路程之比为80 ∶(180-80)=
4 ∶5,则原来速度比为4 ∶5,设甲车速度为x 千米/ 时,则
乙车速度为1. 25x 千米/ 时。中点相遇时,甲、乙行驶的路
程为180÷2= 90(千米),相遇时间是90
1. 25x时,30 分钟= 0. 5
小时,则0. 5x+(1+50%)x×(
90
1. 25x-0. 5)= 90,解得x = 72,
即甲车的速度是72 千米/ 时,乙车的速度是1. 25×72 = 90
(千米/ 时)。20 分钟= 1
3 小时,出发20 分钟,甲车行驶72
× 1
3 = 24(千米),乙车行驶90× 1
3 = 30(千米)。甲车速度
降低为原来的一半,即72÷2 = 36(千米/ 时),从甲车降低
速度后到两车相遇,相遇时间为(180-24-30)÷(36+90)=
1(时)。所以甲车共行驶了24+36×1= 60(千米)。也就是
相遇地点距离A 地60 千米。
答:相遇地点距离A 地60 千米。
8.
解:(1)甲、乙、丙分别从A、B、C 出发,在D 点相遇,甲车行
驶路程是乙和丙的一半,其不受限速影响,甲车的速度应
只有乙和丙的一半,所以被限速的只是乙和丙,OB 段限速
60 千米/ 时,OC 段限速80 千米/ 时,OD 段限速100 千米/ 时,
所以乙速大于丙速。当甲从D 到O 时,乙从D 到A,再从
A 到D,然后到DO 的中点,同第一次相比,甲走路程相同,
路段限速一样,所以这两次的时间一样,即乙从B 到O 再
到D,与乙从D 到A,再到D,再到DO 中点所行时间一样,
所以就有乙走1. 5 个AD 所用时间与乙走1 个OB 所行时
间一样,路程比= 1. 5 ∶1= 3 ∶2,则速度比为3 ∶2,乙在OB
上限速60 千米/ 时,则在OA 上速度为60÷2×3 = 90(千米/
时),即v乙= 90 千米/ 时,设BO = 1,则乙从B 到O,再到D
用时为1
60+ 1
90 = 1
36,假设v丙≥80,则丙从C 到O 再到D 最
少用时1
80+ 1
80 = 1
40< 1
36,则丙先到D 点,所以v丙<80 千米/
时,综上所述,乙车在OB 上限速。
答:乙车曾经按照路段限速行驶过。
(2)由(1)知v乙= 90 千米/ 时,v丙<80 千米/ 时,由于乙、丙
同时到D,则v丙>60 千米/ 时,即丙在CO 和OD 上都以匀速
行驶,v丙=2÷ 1
36 =72(千米/ 时),v甲=72÷2=36(千米/ 时)。
答:甲的最高速度每小时36 千米,乙的最高速度每小时90
千米,丙的最高速度每小时72 千米。
(3)乙从D 到A 再到D 再到DO 中点,用时2. 5÷ 90 = 1
36
(时),丙从D 到O,用时1÷72= 1
72(时),则丙在OB 上行驶
了1
36- 1
72 = 1
72(时), 1
72 × 60 = 5
6 ,36÷(1- 5
6 ) × 2 = 432(千
米)。
答:OA 段的距离是432 千米。
9.
54
48
【解析】设甲的速度为a 千米/ 时,乙的速度为b
千米/ 时,则1
6 = 1
a + 1
b ,因为1
6 = 1
7 + 1
42 = 1
8 + 1
24 = 1
18 + 1
9
= 1
15+ 1
10 = 1
12+ 1
12,又因为甲速不足乙速的3 倍,则甲的速
度最大为18 千米/ 时,此时乙的速度为9 千米/ 时。甲速
度最小为12 千米/ 时,此时乙速度为12 千米/ 时。因此A,
B 最远距离为2×(18+9)= 54(千米)。A,B 最近距离为2×
(12+12)= 48(千米)。
10.
800
3 【解析】甲的速度是丙的3 倍,是乙的1. 5 倍,所以,
把乙、丙出发时甲所在的位置看作E,则甲、乙相遇时,甲
走了E、B 两地路程的1. 5÷(1. 5+1)= 3
5 ,甲、丙相遇时,
1
甲走了E、B 两地路程的3÷(3+1)= 3
4 ,由题意知C、D 两
地相距25 千米,把E、B 之间的路程看作单位“1”,E、B 之
间的距离为25÷( 3
4 - 3
5 )= 500
3 (千米),A、B 两地的路程
为100+500
3 = 800
3 (千米)。
11.
解:设甲原来速度是x 米/ 分,乙原来速度是y 米/ 分,后来
甲速度为(x+12)米/ 分,相遇时甲用时t1 分钟,则(x+12)
×t1 = 18x,y(t1+2)= 18y,解得t1 = 16,x= 96;甲比乙晚3 分
钟出发时,乙的速度是(y-20)米/ 分,相遇时乙用时t2 分
钟,则x(t2-3)= 18x,(y-20)t2 = 18y,解得t2 = 21,y = 140,
两地之间相距18×(96+140)= 4248(米),4248 米= 4. 248
千米。
答:A、B 两地之间相距4. 248 千米。
12.
【思路分析】将此题看作相遇问题,A 走的+B 走的=全长-桥
长,根据他们行完全程的时间求出两人的速度比解答。
解:13 时30 分-10 时18 分= 3 小时12 分= 192 分钟,11
时40 分-9 时= 2 小时40 分= 160 分钟,设甲地到乙地的
距离为s,则vA ∶vB = s
192 ∶
s
160 = 5 ∶6,因为A 走完桥比B
走完桥多用1 分钟,所以A 走完桥要6 分钟,B 走完桥要
5 分钟,所以桥长= s
192×6= s
32,B 先走10 时18 分-9 时=
1 小时18 分= 78 分钟,设A 和B 一起走的时间为t,则
s
160(78+t)+ s
192t=s- s
32,解得t= 42,所以他们同时到达桥
的两端是10 时18 分+42 分= 11 时。
答:11 点他们同时到达桥的两端。
13.
【思路分析】首先分析各个线段之间的比例关系,找到两
段距离的路程之间的关系,作差即可。
解:依题意可知: AB
BD = 3
8 , CE
CA =
S△BCE
S△BAC
=
S△BCE
S△BCD
× BD
AB =
73000+694000
73000+163000× 8
3 = 26
3 ,所以小峰走CE 路段需要26 分
钟,如果小峰想在DE 路段的中点处和小叶会合,此时需
要比小叶提前26-8= 18(分)。
答:如果小峰想在DE 路段的中点处与小叶会合,需要比
小叶提前18 分钟出发。
14.
1680 【解析】80 ∶60= 4 ∶3,把全程看作4+3= 7(份),第
一次相遇时,甲走了全程的4
7 ,乙走了全程的3
7 ,60×7÷
( 4
7 - 3
7 × 3
4 )= 1680(米)。
15.
6 【解析】甲、乙的速度比= 1 ∶2,则路程比= 1 ∶2,第一
次相遇乙比甲多走2×100= 200(米),所以总路程为200÷
2-1
2+1 = 600(米),第一次相遇用时:600÷(50+100)= 4(分),甲
走200 米,乙走400 米。新相遇点仍距中点100 米,甲需
走400 米,400÷ 50 = 8( 分),乙需走200 米,时间:200 ÷
100= 2(分),乙休息时间:8-2= 6(分)。
16.
25 【解析】甲、乙相遇时间:30÷(4. 5+1. 5)= 5(时)。狗
跑的时间=相遇时间= 5 时,相遇时这只狗共跑了5×5= 25
(千米)。
17.
解:去学校时,兄妹两人的速度比为400 ∶300 = 4 ∶3,所
以路程比也为4 ∶3,当哥哥到学校时,妹妹离家距离为
1280÷4 × 3 = 960 ( 米), 妹妹距离学校1280 - 960 = 320
(米),哥哥返回时,兄妹两人的速度比为(4×1. 25) ∶3 =
5 ∶3,相遇时距离学校的距离320÷(5+3)×5= 200(米),
相遇时离家的距离1280-200= 1080(米)。
答:兄妹两人在离家1080 米的地方相遇。
类型二 二次相遇
18.
2100 【解析】甲、乙速度比为50 ∶70 = 5 ∶7,由此可知:
甲、乙相遇时:AE ∶BE= 5 ∶7,故设AE 的路程为5 份,BE
的路程为7 份,乙在休息的24 分钟内甲行走50× 24 =
1200(米),乙休息完继续走完5×2= 10(份)路程时,甲行
走10÷ 7× 5 = 50
7 (份),1200 米对应的路程为7× 2- 50
7 =
48
7 (份),故1 份路程为1200÷ 48
7 = 175(米),故A 和B 两
地相距(5+7)×175= 2100(米)。
19.
7. 2 【解析】设甲的速度为v甲,乙的速度为v乙,两车相向
而行,第一次3 小时后相遇,此时,甲走的路程为3v甲,乙
走的路程为3v乙,第一次相遇后,甲返回A 地,甲从“第一
次相遇点”返回A 地,路程与“从A 地到第一次相遇点”
相等,速度不变,故用时3 小时。此阶段乙继续向A 地行
驶,走的路程为3v乙。甲到达A 地后,立即向B 地行驶,
半小时即0. 5 小时后与乙相遇。此阶段甲走的路程为
0. 5v甲,乙走的路程为0. 5v乙。第二次相遇时,乙从“第一
次相遇点”到“第二次相遇点”的总路程与甲从“A 地”到
“第二次相遇点”的路程之和等于“甲从第一次相遇点到
A 地的路程”,即3v乙+0. 5v乙+0. 5v甲= 3v甲,即v甲= 1. 4v乙,
v甲∶v乙= 7 ∶5,乙从A 到B 共需的时间为3×(7+5) ÷5 =
7. 2(时)。
20.
解:设返回前张华和李冰速度比为5 ∶6,返回时张华的速
度:5×(1+ 1
5 )= 6,李冰的速度:6×(1+ 1
4 )= 15
2 。
设总长为“1”,则第一次相遇点距乙地6
5+6 = 6
11,当李冰行
完全程准备加速返回时,张华还差1-1× 5
6 = 1
6 ;当张华
准备加速返回时,李冰已经加速走了15
2 ×( 1
6 ÷5)= 1
4 ,两
人同时变速,在距B 地(1- 1
4 )÷(6+15
2 )×6= 1
3 相遇。
所以A、B 两地相距35÷( 6
11- 1
3 )= 165(千米)。
答:A、B 两地相距165 千米。
21.
解:经过3 小时在距离中点6 千米处第2 次相遇时,两人
行的路程之和等于A、B 两地之间的距离的3 倍,两人的
速度之差为6×2÷3= 4(千米/ 时)。
甲晚出发1 小时,相遇时甲行了2 5
9 小时,乙行了3 5
9 小
时,两人在P 点第2 次相遇。两人行的路程之和也等于
A、B 两地之间的距离的3 倍,则甲3-2 5
9 = 4
9 (时)行的
路程等于乙3 5
9 -3= 5
9 (时)行的路程,所以甲的速度与
乙的速度的比是5
9 ∶4
9 = 5 ∶4,所以甲的速度是4÷5-4
5
= 20(千米/ 时),乙的速度是4÷5-4
4 = 16(千米/ 时)。
第2 次相遇时行驶的路程为(20+16)×3 = 108(千米),A、
B 两地之间的距离为108÷3= 36(千米),P 点与中点之间
的距离为36÷2-(2 5
9 ×20-36)= 2 8
9 (千米)。
答:P 与中点之间的距离为2 8
9 千米。
22.
解:(1)由图象知,赛道的长度是50 m,当t = 6 s 时,乙到
达A2,所以乙的速度是50÷6= 25
3 (m/ s),当两人第一次相
遇:25
3 t+5t= 50,解得t= 15
4 。
答:赛道的长度是50 m,甲、乙两人第一次相遇的时间是
15
4 s。
(2)两人第二次相遇的时间:25
3 t+5t = 50×3,解得t = 45
4 ,
与A1A2 的距离:50×2-45
4 ×5= 175
4 (m)。
答:甲、乙两人第二次相遇的时间是45
4 s,距离边A1A2 有
175
4 m。
23.
解:(1)21÷(3+4)= 3(s)。
答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了3 s。
(2)从开始运动到第二次相遇,甲和乙共行了3 个全程,
则21×3÷(3+4)= 9(s)。
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了9 s。
(3)AC= 3×3= 9(cm),AD= 21×2-3×9 = 15(cm),CD = 15
-9= 6(cm)。
答:C、D 两点的距离为6 cm。
(4)甲、乙一共相遇了两次,因此甲、乙两点的距离刚好等
于7 cm 时有4 种情况,即第一次相遇前和相遇后,第二次
相遇前和相遇后。
第一次相遇前:(21-7)÷(3+4)= 2(s),
第一次相遇后:(21+7)÷(3+4)= 4(s),
第二次相遇前:(21×3-7)÷(3+4)= 8(s),
第二次相遇后:(21×3+7)÷(3+4)= 10(s)。
答:t 的值为2、4、8、10。
类型三 多次相遇
24.
4 【解析】每次相向而行的相遇时间间隔为100×2÷(5+
4)= 200
9 ( 秒),总时间100 秒内可相遇100 ÷ 200
9
= 4. 5
(次),次数为整数,所以取整数部分4 次,所以两人在起
跑后100 秒内相遇4 次。
25.
210 【解析】张明与王华的速度比是14 ∶35= 2 ∶5,那么
两人第一次相遇时,张明行全程的2
5+2 = 2
7 ,张明与王华第
一次相遇,两人共行1 个全程,以后每次两人都要共行两个
全程才能相遇,所以第四次相遇两人共行了1+2×3= 7(个)
全程,张明行了2
7 ×7= 2(个)全程;第五次相遇两人共行
了1+2×4= 9(个)全程,张明行了2
7 ×9 = 2 4
7 (个)全程,
A、B 两地之间的距离是120÷(2 4
7 -2)= 210(千米)。
26.
【思路分析】此题中的相遇包括追及,第一次相遇甲、乙共
走了2 个全程;第二次相遇为追及,乙比甲多走了2 个全
程;第三次相遇为迎面相遇,甲、乙共走了4 个全程;整个
过程中,甲共走了1 个全程,乙共走了5 个全程,行程图
如解图:
第26 题解图
解:从开始到结束,甲走了1 个全程,乙走了5 个全程,则
v甲∶v乙= 1 ∶5。第一次相遇时甲走了全程的1
1+5×2 = 1
3 ,
第二次相遇时甲走了全程的1
5-1×2= 1
2 ,第一次相遇点和
2
第二次相遇点之间相距全程的1
2 - 1
3 = 1
6 ,所以全程长:
72÷ 1
6 = 432(千米),第三次相遇时甲走了全程的1
1+5×4
= 2
3 ,第三次相遇点距离B 地:432×(1 - 2
3 ) = 144( 千
米)。
答:第三次相遇点与B 地的距离为144 千米。
27.
解:相遇第一次合跑一个全程,需要2400÷(240+300) =
40
9 (分),其中甲走了300× 40
9 = 4000
3
(米),以后每跑两个
全程相遇一次,需要时间2×40
9 = 80
9 (分),(35- 40
9 ) ÷ 80
9 =
3 7
16,即第一次相遇合跑一个全程之后又相遇了3 次,第
一次相遇,甲跑了4000
3 米,距离A 地4000
3
米;第二次相遇,
甲跑了4000
3
× (1 + 2) = 4000( 米),距离A 地2400 × 2 -
4000= 800(米);第三次相遇,甲跑了4000
3
×(1+ 2+ 2) =
20000
3
(米),距离A 地20000
3
-2400×2 = 5600
3
(米);第四次
相遇,甲跑了4000
3
×(1+2+2+2)= 28000
3
(米),距离A 地
2400×4-28000
3
= 800
3 (米);800
3 <800<4000
3
<5600
3
,所以甲、
乙在第四次相遇距A 地最近。
答:甲、乙在第四次相遇时,距离A 地最近。
28.
解:(1)甲、乙两车分别从A、B 两地同时出发,以原速行驶
则在C 地相遇;甲在中途加速,而乙速不变,则速度和增
加,两车会提前相遇,此时相遇点为A、B 两地的中点,因
此C 地在中点左侧,v乙>v甲。C、D 两地距离占A、B 两地
距离的1
11,则11(v乙-v甲)t相遇时间=(v甲+v乙)t相遇时间,化简得
v乙= 6
5 v甲。设甲车提速走了t 分钟后两车在A、B 两地的
中点相遇,则:60v甲+1. 6v甲·t = (60+t) · 6
5 v甲,解得t=
30,甲走半程的路程:60v甲+1. 6v甲·30 = 108v甲,所以全程
为216v甲。甲以原速从A 地到B 地需要216v甲÷ v甲=
216(分)。
答:甲车以原速从A 地到B 地需要216 分钟。
(2)第n 次迎面相遇,路程和为(2n-1)S,则第六次路程
和为11S。速度和为v甲+ 6
5 v甲= 11
5 v甲。由( 1) 得S =
216v甲,相遇时间: 11S
11
5 v甲
= 5S
v甲
= 5×216= 1080(分)。
答:两车第6 次迎面相遇共需要1080 分钟。
类型四 相遇与追及结合
29.
3 【解析】假如小西的速度是2,妈妈的速度是1,S = (1+
2)×1= 3,t= 3÷(2-1)= 3(时)。
30.
1. 6 【解析】学生甲从队尾到排头的过程可以看作是甲
与排头同学的追及问题,两者的路程差为一个队伍长度;
甲从排头返回队尾的过程可以看作是甲与队尾同学的相
遇问题,两者的路程和为一个队伍长度;故两者追及和相
遇的速度之比为(5-3) ∶(5+3)= 1 ∶4,因为路程差与路
程和均为一个队伍长度,故两段路程需要的时间之比为
4 ∶1,追及所需时间为1× 4
4+1 = 0. 8(时),队伍长度为(5-
3)×0. 8= 1. 6(千米)。
解题技巧
本题可用列方程解决,设甲从队尾到排头的
时间为x 时,则从排头到队尾的时间为(1-x)时,根据路
程差等于路程和列出方程:(5-3) x = (5+3) (1-x),解得
x= 0. 8,故队伍长度为(5-3)×0. 8= 1. 6(千米)。
31.
解:画出行程图如解图:
第一次相遇:甲、乙各行了80 分钟,第一次超越:甲、乙各
行了80+20= 100(分),乙在第一次相遇到第一次超越的
20 分内行的路程,相当于甲80+100 = 180(分)行的路程,
则乙的速度:1. 5×(180÷20)= 13. 5(米/ 秒)。
答:乙骑摩托车的速度为每秒13. 5 米。
第31 题解图
32.
解:设甲、丙两站之间的距离是2x 米,根据两人第一次相
遇时和追上时,两人所走的时间相同,速度不变,则两次
所走路程的比相等,则x+100
x-100 = x-100+x+300
100+300
,解得x =
300,2x= 600。
答:甲、丙两站之间的距离是600 米。
33.
【思路分析】根据题意可求出甲、乙两车的速度和,进而得
到乙车的速度,根据变速后的条件,可求出C 地距A 地的
距离。根据甲、丙相遇到丙追上乙这段时间内乙、丙走的
路程比得到二人的速度比,然后求出丙的速度即可。
解:1 小时45 分钟= 1 3
4 小时,3 分钟= 1
20小时,甲、乙速
度和:105÷1 3
4 = 60(千米/ 时),乙速:60-40 = 20(千米/
时),C 地距A 地的距离:105÷(20+ 20+ 2) × 20 = 50( 千
米),甲、乙相遇点距A 地:40×1 3
4 = 70(千米),
甲、乙相遇后3 分钟乙走了20× 1
20 = 1(千米),甲走了
40× 1
20 = 2(千米),从甲、丙相遇到丙追上乙,S乙∶S丙=
(70-50-1) ∶(70-50+2)= 19 ∶22,丙的车速:20÷19×22
= 23 3
19(千米/ 时)。
答:丙的车速是23 3
19千米/ 时。
专题60
钟面行程
环形行程
类型一 钟面行程
1.
200. 96 75. 36
【解析】从1 时到2 时,分针扫过的面积
是3. 14×8
2 = 200. 96(平方厘米),一昼夜,时针针尖走过了
2×3. 14×6×2= 75. 36(厘米)。
2.
24π 【解析】分针针尖走过8π 厘米时的圆心角度数是
8π×180°÷ 6π = 240°,则分针扫过的面积是240
360 × π × 6
2 =
24π(平方厘米)。
3.
B 【解析】每个大格是360÷6 = 60°,由于每小时36 分钟,
那么18 分钟时,分针走了18÷36 = 1
2 (圈),分针指向数字
“3”。3 点18 分时,时针指向数字“3”和数字“4”对应的刻
度的中点,此时时针和分针所形成的锐角为60°× 1
2 = 30°。
4.
A 【解析】时针每分钟走0. 5°,分针每分钟走6°,时针和
分针的速度差是6°-0. 5° = 5. 5°,垂直是90°,则至少再经
过90°÷5. 5° = 16 4
11(分)两针正好垂直。
5.
D 【解析】3:00 时,时针和分(秒)针成90°,1 分钟的时间
内,3 根针中,出现一根针与另外两根针所成角相等的情况
有:(1)当秒针转到大约45°的位置时,秒针平分时针与分
针所夹的角,如解图①所示;(2)当秒针转到大约180°的位
置时,时针平分分针与秒针所夹的角,如解图②所示;(3)
当秒针转到大约225°的位置时,秒针平分时针与分针所夹
的较大角,如解图③所示;(4)当秒针转到大约270°的位置
时,分针平分时针与秒针所夹的角,如解图④所示。
第5 题解图
6.
A 【解析】不论指针如何变化,时针分针的速度比是固定
的。时针速度∶分针速度= 5 ∶60 = 1
12。所以分针和时针
重合一次隔的时间是:60÷(1- 1
12)= 720
11 (分),换算成小时
为:720
11 × 1
60 = 12
11 (时)。因为一共24 小时,所以24÷ 12
11 =
22(次)。
7.
270
11 【解析】分针每分钟走6°,时针每分钟走0. 5°。10:30
时,时针与分针夹角为90°+45° = 135°,分针与时针第一次
相遇用时135°÷(6°-0. 5°)= 270
11 (分)。
8.
13 【解析】9 时34 分20 秒,时针与分针的夹角为:30°×9+
0. 5°×34 1
3 -6°×34 1
3 ≈81°,81°÷6° = 13. 5,故时针与分
针所夹的角内有13 个小彩灯。
9.
20
【解析】7 点整时,分针落后时针210°,时针每分钟走
0. 5°,分钟每分钟走6°,分针落后时针100 度,分针走了
(210°-100°)÷(6°-0. 5°)= 20(分),此时是7 点20 分。
10.
420
13 【解析】设x 分后,时针和分针分别在数字“6”与中
心连线的两旁,并且时针和分针与这条连线的夹角相等,
时针每分钟走360°÷12÷60 = 0. 5°,分针每分钟走360°÷
60= 6°,则30-0. 5x= 6x-180,解得x= 420
13 。
11.
110 10
13 【解析】设从开始到结束,时针走了a 度,因为时
间超过一小时,所以分针走了360+(360-a)度,时针和分
针共走了a+360+(360-a)= 720(度),共经历了720÷(6+
0. 5)= 110 10
13(分)。
12.
32 8
11
【解析】开始解题时:分针落后时针60 × (180 ÷
360) = 30 ( 格), 而七点整时, 分针落后时针5 × 7 =
35(格),因此要成为一条直线,分针要比时针多走35-
30= 5(格),5÷(1- 1
12)= 5 5
11(分),即开始解题的时间是
7 点5 5
11分,小明解题结束的时刻,分针要比时针多走5×
7= 35(格),35÷(1- 1
12)= 38 2
11(分),即结束解题的时间
是7 点38 2
11分,小明用时:7 点38 2
11分-7 点5 5
11分= 32
8
11(分)。
13.
48 【解析】由于时针转30°,分针要转360°,列车由A 站
行驶到B 站所需时间少于一小时,所以时针的转角小于
3
30°,以O 表示钟面的圆心,分别以TA 和TB 表示列车经
过A 站和B 站时时针的位置,而MA 和MB 则是相应时刻
的分针的位置。分针每分钟转6°,所以在x 分钟中转了
6x 度;时针每分钟旋转0. 5°,所以在x 分钟中转了1
2 x
度。如果在x 分钟中分针越过了时针,则点TA、TB、MA、
MB 的相对位置如图①所示,此时有6x = x+x+ 1
2 x,此时x
无解。如果不是上述情形,则点TA、TB、MA 和MB 的分布
如图②所示,此时有360-6x=x+x- 1
2 x,故得x= 48。
第13 题解图
14.
25 25
143 【解析】分针每分钟走360÷60= 6(度),时针每分
钟走360÷60×5÷60= 0. 5(度),8 点整时针与分针之间的
度数是40×6= 240(度)。240÷(6-0. 5)= 240÷5. 5= 43 7
11
(分),故时针与分针第一次重合的时刻A 是8 时43 7
11
分。设时针与分针x 分钟后左右对称,则360-240-0. 5x
= 6x,解得x= 18 6
13,故时针与分针所指的方向第一次左
右对称的时刻B 是8 时18 6
13。A 时刻与B 时刻相差43
7
11-18 6
13 = 25 25
143(分)。
15.
(1)7 【解析】因为B 是AC 的中点,所以AB=BC= 2 cm,
AC= 4 cm,又因为CD ∶AB = 3 ∶2,所以CD = 3 cm,所以
AD=AC+CD= 7(cm)。
(2)①75
②135 或75
【解析】①因为分针的速度是
360÷60= 6(度/ 分),时针的速度是30÷60 = 0. 5(度/ 分),
30 分钟时针走的度数为0. 5×30 = 15(度),所以∠EON =
15+30×2= 75(度);②当OM 在∠EON 内部时,∠NOM =
∠EON- ∠EOM = 75 - 30 = 45(度), 所以∠BOM = 180 -
∠NOM= 135(度);当OM 在∠EON 外部时,∠BOM = 180
-(∠EON+∠EOM)= 75(度)。所以∠BOM 的度数是135
度或75 度。
16.
B
【解析】标准时间一小时60 分钟,坏表时间一小时
60+18(分钟)。则坏表走过的标准小时数是:3×60÷(60+
18)= 2 4
13(时)≈2(时)18(分),所以实际约是2:18。
17.
2 【解析】从第一天下午4 点到第二天早上8 点一共是
16 个小时,设这个闹钟16 小时快了x 分钟,根据题意得
24 ∶3= 16 ∶x,x= 2,应该拨慢2 分钟。
18.
72 【解析】1 时= 60 分钟,12 时= 720 分钟,快钟每天快
20 分钟,快钟再次显示标准时间需快720 分钟,720÷20 =
36(天);慢钟每天慢30 分钟,慢钟再次显示标准时间需
慢720 分钟,720÷30 = 24(天);36 和24 的最小公倍数是
72,所以经过72 天才能再次同时显示标准时间。
19.
17 日傍晚 【解析】3 分= 180 秒,(180-30) ÷(30-20)=
15(天),8 月2 日清晨过15 个全天和一个白天后是8 月
17 日傍晚。
20.
9 时45 分 【解析】根据题意可知,快钟和慢钟每小时相
差1+3= 4(分),当快钟显示10 时,慢钟显示9 时,两个钟
的时间相差1 小时,即60 分钟时,此时快钟比标准时间
快60÷4= 15(分),那么此时的标准时间为9 时45 分。
21.
解:标准表,分针每分钟转动360°÷60 = 6°,时针每分钟转
动360° ÷ 12 ÷ 60 = 0. 5°, 所以标准表每隔360° ÷ ( 6° -
0. 5°)= 720
11 ( 分) 重合一次,也就是说爷爷的老式钟在
61 4
11分钟内显示走了720
11 分钟,所以在24 小时(1440 分)
内,它显示走了24×60÷61 4
11×720
11 = 1536(分),
所以每天要快1536-1440= 96(分)。
答:这只老式钟每天快96 分钟。
类型二 环形行程
22.
AD 【解析】设乙第一次追上甲用了x 分钟,由题意得:
72x= 65x+70× 3,解得x = 30,甲从A 出发,30 分钟走了
30×65= 1950(米),1950 = 27×70+60,27 = 4×6+3,也就是
甲走了6 圈,再多走了三条边,再走了60 米被乙追上,此
时甲在AD 边上。
解题技巧
环形问题:见“ 高分必备解题技巧———八
技巧43”P7。
23.
24 【解析】根据题意,第一次相遇需要的时间是3、4 和6
的公倍数,3、4 和6 的最小公倍数是12,他们第二次相遇
要经过12×2= 24(分)。
24.
44 4
9 【解析】由题意可得,乙蚂蚁的速度是( 10
5 - 10
50) ÷
2= 9
10(厘米/ 秒),乙蚂蚁沿木框爬行一圈需10×4÷ 9
10 =
400
9 = 44 4
9 (秒)。
25.
2 【解析】假设每面旗子间的距离是1,即跑道长2024,
甲的速度∶乙的速度= 23 ∶13,设甲的速度是23x,乙的
速度是13x,甲要追上乙需要多跑n 圈,甲追上乙所花时
间为t,则(23x- 13x) t = 2024n,t = 1012n
5x
,甲走的路程=
23x×1012n
5x
= 23×1012n
5
,要恰好在旗子的位置追上,则走
的路程一定为整数,即n 为5 的倍数,所以n = 5,10,即甲
追上乙则需要比乙多跑5,10 圈时,正好在旗子位置追
上,所以正好在旗子位置追上乙2 次。
26.
解:艾迪追上薇儿需要比薇儿多跑360 米,则比薇儿多休
息3 次,在这3 次休息中薇儿多跑了5×10×3 = 150(米),
则艾迪要比薇儿多跑360+150 = 510(米),艾迪追上薇儿
共需要跑510 ÷ ( 8 - 5) = 170 ( 秒), 一共跑了170 × 8 =
1360(米),中间停了1360÷100 = 13(次) ……60(米),艾
迪追上薇儿需要170+13×10= 300(秒)。
答:艾迪追上薇儿需要的时间是300 秒。
27.
解:甲走完一条边需要240÷40= 6(分),即360 秒,甲走完
一条边并绕过一个顶点需要360+10 = 370(秒);乙走完
一条边需要240÷80 = 3(分),即180 秒,乙走完一条边并
绕过一个顶点需要180+10 = 190(秒);当甲、乙走完一条
边并绕过一个顶点,需要的时间如下表∶
D
E
F
A
B
C
D
E
甲
0
370
740
1110 1480
乙
0
190
380
570
760
950
1140 1330
根据上表可知,甲到达D 点并绕过D 点需要1110 秒,乙
到达D 点并绕过D 点需要1140 秒,甲到达E 点并绕过E
点需要1480 秒,乙到达E 点并绕过E 点需要1330 秒。
所以乙在DE 段追上甲,甲每秒走40÷60 = 2
3 (米),乙每
秒走80÷60= 4
3 (米),当甲绕过D 点,乙还有1140-1110
= 30(秒)绕过D 点开始追甲,即此时甲绕过D 点已经走
了30 秒,乙绕过D 点开始计时,还需要( 2
3 ×30) ÷( 4
3 -
2
3 )= 30(秒)追上甲,即乙在出发1140+30 = 1170(秒)后
追上甲。
答:乙在出发1170 秒后追上甲。
28.
解:10 秒= 1
6 分,甲从A 点至C 点加拐弯共用时100÷60+
1
6 = 11
6 ( 分), 此时乙加拐弯走了90 × ( 11
6 - 1
6 ) =
150(米),150 米<200 米,此时还没有追上甲,同理,甲从
C 点到达B 点,加拐弯用时11
6 分,此时间段内,乙加拐弯
走了150 米,则乙一共走了300 米,到达B 点,但未拐弯,
不算追上甲,所以乙再用1
6 分钟在B 点转弯,此时甲、乙
相距1
6 ×60= 10(米),再经过10÷(90-60)= 1
3 (分)乙追
上甲。乙出发后追上甲一共需要11
6 + 11
6 + 1
6 + 1
3 =
4 1
6 (分)。
答:乙出发4 1
6 分钟后就可以追上甲。
29.
B 【解析】300÷60 = 5(分),所以甲每次回到A 点需要的
时间是5 的倍数,300÷50 = 6(分),所以乙每次回到A 点
需要的时间是6 的倍数,所以5 和6 的最小公倍数为5×6
= 30(分)。
30.
D 【解析】设圆形跑道的长为1,第一次相遇到第二次相
遇两人合走一个全长,则两人速度和为1÷(4+8)= 1
12,两
人第一次相遇点到B 点的距离,小超用了6 分钟,小鹏用
了4 分钟,则t超∶t鹏= 6 ∶4= 3 ∶2,v超∶v鹏= 2 ∶3,则v鹏=
1
12× 3
2+3 = 1
20,小鹏环行一圈需要1÷ 1
20 = 20(分)。
31.
312 【解析】甲、乙行进时间相等,且甲的速度是乙的11
13,
所以甲走的路程∶乙走的路程= 11 ∶13,相遇时,乙比甲
多走了24×2 = 48(米),这时乙走了48÷(13- 11) × 13 =
312(米)。
32.
37 【解析】加速后两车的相遇时间为400÷(400÷5+10×
2)= 4(时),由于乙车比甲车快,甲车现在4 小时比原来
多走10×4 = 40(千米),这40 千米甲以原来的速度走5-
4= 1(时),还多出3 千米,甲车原来的速度为(40-3) ÷(5
-4)= 37(千米/ 时)。
33.
653 1
3 【解析】将全程分为60 份,标上刻度0 到59,把
开始时A 的位置标0,B 的位置标15,C 的位置为30,D 的
位置为45,则得30÷(1+29)= 1,60÷(1+29)= 2,依此类推
得下表(只考虑两个运动的小球相遇):
A 位置
B 位置
C 位置
D 位置
出发状态
0
15
30
45
第1 次相遇
1
1
15
45
第2 次相遇
45
3
3
15
第3 次相遇
15
45
5
5
4
续表
第4 次相遇
7
15
45
7
第5 次相遇
9
9
15
45
第6 次相遇
45
11
11
15
第7 次相遇
15
45
13
13
第8 次相遇
15
15
45
15
D 走了:30+10+2+22+30+2+2 = 98(个) 刻度,98×(400÷
60)= 653 1
3 (厘米)。
34.
解:由BE= 3
5 AE,得汽车与货车在AB 边上的速度之比是
5 ∶3,货车的速度最快是40× 3
5 = 24(千米/ 时),汽车正
常的速度为24×3 = 72(千米/ 时),假设等边三角形的边
为720 千米,则汽车行驶完AC 所用的时间为720÷ 60 =
12(时),24×12= 288(千米),720-288 = 432(千米),距离
D 点还需:432÷(24+72)= 4. 5(时),汽车在BC 段需要行
驶:4. 5×72= 324(千米),则货车在BC 段需要行驶:720-
324= 396(千米),BD ∶DC= 396 ∶324= 11 ∶9。
答:BD ∶DC 等于11 ∶9。
35.
解:(1)出发后的8 分钟内,若还未相遇,相距400 米需:
(1000×2-400)÷(200+200)= 1600÷400 = 4(分);若已相
遇,相遇后相距400 米需:(1000×2+400) ÷(200+200) =
6(分)。
答:第4 分钟或第6 分钟时两车沿跑道相距400 米。
(2)一号车第三次到达C 点行驶了10 个边长,需1000×
10÷200= 50(分),第一次相遇两车共行驶了2 个边长,第
二次相遇共行驶了6 个边长,第三次相遇共行驶了10 个
边长,……,后一次相遇比前一次相遇共多行驶了4 个边
长,即一个正方形周长。(1000×2)÷(200+200)= 5(分),
即第一次相遇是在第5 分钟,两车共行驶一个周长需要:
1000×4÷(200+200)= 10(分),每次相遇分别是在第5 分
钟,第15 分钟,第25 分钟,第35 分钟,第45 分钟,50 分
钟内共相遇了5 次。
答:一号车第三次到达C 点是第50 分钟,此时两车相遇
了5 次。
(3)第①种情况需要等待的时间为:(1000×2+300×2) ÷
200= 13(分);第②种情况需要等待的时间为:(1000×2-
300×2)÷200 = 7(分),13 分钟>7 分钟,所以第①种情况
等待时间更长。
答:第①种情况需要等待的时间更长。
36.
解:甲、乙的速度差:1080÷54= 20(米/ 分),设乙的速度是每
分钟x 米,则甲的速度是每分钟(x+20)米,即:(x+20-50+x
+30)×3= 1080,解得x= 180,x+20= 180+20= 200(米)。
答:甲每分钟行200 米,乙每分钟行180 米。
37.
解:乙、丙相遇时,路程和为全程的一半,则他们的速度和
是(300÷2)÷15= 10(米/ 秒)。甲、乙相遇时,路程和为整
个一圈,则他们的速度和是300÷(15+10)= 12(米/ 秒),
则甲、丙的速度差是12-10 = 2(米/ 秒),那么甲追上丙总
共需要150÷2= 75(秒),所以再经过75-15-10 = 50(秒)
甲第一次追上丙。
答:再经过50 秒甲第一次追上丙。
38.
解:因为1+ 1
5 = 6
5 ,1+ 1
4 = 5
4 ,所以甲前后两段的路程比
为1 ∶( 6
5 × 4
5 )= 25 ∶24,而圆形跑道总长是490 米,甲
从A 地走到相遇点共490×
25
25+24 = 250(米),相遇点到B
地490-250-50 = 190(米),相遇点到A 地的距离为490-
250= 240(米),即相遇后甲和乙的速度之比是24 ∶19,若
从相遇点起,甲开始追乙,则甲再次追上乙时,甲共走490×
24
24-19 = 2352(米),而相遇点距离A 地250 米,所以甲一
共走了2352+250= 2602(米)。
答:当甲再次追上乙时,甲一共走了2602 米。
39.
8 【解析】A 跑一圈的时间:0. 4÷5 = 2
25(时),B 跑一圈的
时间:0. 4÷8= 1
20(时),C 跑一圈的时间:0. 4÷7= 2
35(时),
2
25, 1
20和2
35的最小公倍数是2
5 ,则他们一共跑了2
5 ×(5+
8+7)= 8(千米)。
40.
解:由题意可知,黑蚁爬赤道的半圆需要5 秒钟,白蚁爬
南北极的半圆需要4 秒钟。黑、白两蚁同时从A 点出发,
要在B 点相遇,必须满足两个条件:①黑、白两蚁爬行时
间相同;②在此时间内两蚁爬行奇数个半圆。但黑蚁爬
行奇数个半圆要用5×奇数= 奇数秒,白蚁爬行奇数个半
圆要用4×奇数=偶数秒,因为奇数与偶数不可能相等,所
以黑、白两蚁永远不能在B 点相遇。
答:10 分钟内黑、白两蚁在B 点相遇0 次,因为黑、白两蚁
永远不能在B 点相遇。
41.
解:第一分钟走10 米,这样走AC 轨道,经过了3 次A 点,
距离A 点1 米,然后开通AB 轨道,会向A 点前进,就是说
要在1. 2 分钟才能第4 次经过A 点,再经过0. 8 分钟会第
5 次经过A 点并超过A 点0. 5 米,再开通AC 轨道,还需
0. 1 分钟就能走完AB 轨道,再从AC 轨道前进,所以一共
要走的距离为4×3+6×1. 5 = 21(米),设需要时间为x 分
钟,则可列方程10x = 21,解得x = 2. 1,2. 1 分钟= 126 秒。
答:需要时间为126 秒。
42.
解:第一次相遇的时间是400÷(6+4)= 40(秒),甲第一次
相遇跑的路程为40×6 = 240(厘米),乙第一次相遇跑的
路程为40×4= 160(厘米),第一次相遇后乙回到出发点A
需要的时间为(100+240-200) ÷4 = 35(秒),此时甲跑的
路程为6× 35 = 210( 厘米),甲所处的位置为A 点左边
210-160 = 50( 厘米) 处,再次相遇需要的时间为(400-
50)÷(6+4)= 35(秒),乙跑的路程为4×(40+35+35) =
440(厘米)。
答:机器人乙共跑了440 厘米。
专题61
流水行船
火车过桥
错车问题
类型一 流水行船
1.
A 【解析】假设船速为v船,水速为v水,5 分钟后,鸭子与船
的距离为(v船-v水)×5+5v水= 5v船。小船掉头后,鸭子和小
船相向而行,速度和为1
4 v船-v水+v船+v水= 5
4 v船,则相遇时
间为5v船÷ 5
4 v船= 4(分)。
2.
5 【解析】轮船顺水速度为247. 5÷4. 5 = 55(千米/ 时),逆
水速度为247. 5÷(4. 5+1)= 45(千米/ 时),水流速度为(55
-45)÷2= 5(千米/ 时)。
3.
135 【解析】画出线段图如解图。设当国国到达B 港口
时,箱子与庆庆在解图中点C 相遇,之前的这个时间段为
①时段;而之后庆庆从调头到回到B 港口的这个时间段为
②时段;最后庆庆从B 港口出发到再次与箱子相遇在点D
这个时间段为③时段。在①时段里,国国和箱子的速度差
为国国在静水中的速度,所以v国静×t1 =BC,而在②+③时段
里,国国和箱子的速度和也是国国在静水中的速度,于是
也就可以得到v国静×(t2 +t3) = BC,故t1 = t2 +t3,且C 为AD
的中点。与上同理得到t2 = t3,即t1 = 2t2 = 2t3。由于t1 =
2t3,故国国在①时段走的距离是③时段里的两倍,即D 是
BC 的中点,也是AB 的三等分点,所以AB 是AD 的1. 5 倍,
即A、B 两个港口相距1. 5×90= 135(千米)。
第3 题解图
4.
2 【解析】设船速为a,水速为b,两船的相遇地点距A 地
a+b
a+b+a-b =a+b
2a ,静水中的速度变为原来的1. 5 倍后,两船
的相遇地点距A 地
1. 5a+b
1. 5a+b+1. 5a-b = 1. 5a+b
3a
,因为两船相
遇地点与平时相比变化了1 千米,所以a+b
2a -1. 5a+b
3a
= 1,整
理得b
a = 6,水速变为平时的2 倍,两船的相遇地点距A 地
1. 5a+2b
1. 5a+2b+1. 5a-2b = 1. 5a+2b
3a
,所以12 月6 日两船的相遇
地点与12 月2 日相比变化了1. 5a+2b
3a
-1. 5a+b
3a
= b
3a = 1
3 ×
b
a = 2(千米)。
5.
解:(1)设小船在静水中的速度为a,水流速度为b,
依题得6(a+b)= 8(a-b),解得a = 7b,所以小船按水流速
度从A 港漂流到B 港所需时间为6(a+b)
b
= 6(7b+b)
b
= 48b
b
= 48(时)。
答:小船按水流速度从A 港漂流到B 港需要48 小时。
(2)由(1)知小船在静水中的速度为a,水流速度为b,a =
7b。设小船行驶x 小时后救生圈掉入水中,小船找到救生
圈时小船与救生圈相遇,它们行驶的路程如解图所示:
第5 题解图
依题意得(6-x+1)b+(a-b)×1 = (6-x)(a+b),将a = 7b 代
入并解得x= 5,所以救生圈是在上午11 点掉入水中的。
答:救生圈是在上午11 点掉入水中的。
6.
解:令第一次相遇时,观景船的船速= 水流速度= v 千米/
时,货轮的静水速度= v1 千米/ 时,货轮的速度= (v1 -v) 千
米/ 时,设两地之间的路程为s 千米,则第一次相遇用时:
s
v1-v+v= s
v1
(时);第二次相遇时,观景船的船速= 2v(千米/
时), 货轮的船速= ( 3
2 v1 - 2v) 千米/ 时, 相遇用时:
s
3
2 v1-2v+2v
= 2s
3v1
(时)。两次相遇用时之比为1 ∶2
3 ,观景
船第一次漂流的速度与第二次漂流的速度的比是1 ∶2,相
遇时,两次漂流距离比为(1× 1) ∶( 2
3 × 2) = 1 ∶
4
3 ,即
(s-64) ∶(s-53 1
3 ) = 1 ∶
4
3 ,解得s = 96,96- 64 = 32( 千
米),64 ∶32 = 2 ∶1,货轮原先的静水速度:96 ÷ 8 × 3
2 =
18(千米/ 时)。
答:A、B 两地之间的路程是96 千米,货轮原先的静水速度
5
是18 千米/ 时。
类型二 火车过桥
7.
200 【解析】火车行1 个车身长度所用的时间是(120-80)
÷2= 20(秒),火车的速度是1000÷(120-20)= 10(米/ 秒),
车身长度:10×20= 200(米)。
解法提示
“过桥”(车头到桥→车尾离桥):总路程= 桥
长+1 个车身长。
8.
19. 68 【解析】480 米= 0. 48 千米,2 分钟= 1
30小时,3 分钟
= 1
20小时,13 分钟= 13
60小时,根据火车通过隧道走的路程
为车长+隧道长,可知第一条隧道长144× 1
30 -0. 48 = 4. 32
(千米),第二条隧道长144× 1
20-0. 48 = 6. 72(千米),第一
条隧道长+两条隧道间距+第二条隧道长为144× 13
60 -0. 48
= 30. 72(千米),则两条隧道相距30. 72 - 4. 32 - 6. 72 =
19. 68(千米)。
9.
56
【解析】各年级学生间空隙个数:100÷2-1 = 49(个),
年级间的间隔数:3-1= 2(个),队伍总长:49×1+49×2+49×
3+2×5= 304(米),桥长:90×4-304= 56(米)。
类型三 错车问题
10.
286 【解析】行人的速度为3. 6 千米/ 时= 1 米/ 秒,骑车
人的速度为10. 8 千米/ 时= 3 米/ 秒。火车的车身长度既
等于火车与行人的路程差,也等于火车与骑车人的路程
差。如果设火车的速度为x 米/ 秒,那么火车的车身长度
可表示为(x-1)×22=(x-3)×26,解得x= 14,所以火车的
车身总长为(14-1)×22= 286(米)。
11.
14 时40 分
【解析】工人速度是每小时30- 0. 11
15
3600
= 3. 6
(千米),学生速度是每小时0. 11
12
3600
-30 = 3(千米),14 时16
分到两人相遇需要时间(30-3. 6) ×
6
60
3. 6+3 = 0. 4(小时)=
24(分钟),14 时16 分+24 分= 14 时40 分。
12.
上午10 点50 秒 【解析】根据题意可知,汽车的速度是
36 千米/ 时= 10 米/ 秒, 则行人的速度是12 ÷ 1 - 10 =
2(米/ 秒),汽车到达乙站,休息10 分钟后,行人又走了2
×(2000÷10+60×10)= 1600(米),汽车追上行人共需时间
2000÷10+ 60 × 10 + (2000 + 1600) ÷ (10 - 2) = 200 + 600 +
450= 1250(秒)= 20 分50 秒,9 点40 分+20 分50 秒= 10
点50 秒。
13.
12 【解析】由于两车为相向而行,所以坐在车上的人看
到车通过的速度为两车的速度和,坐在慢车上的人见快
车通过自己窗口时,路程为200 米,用了8 秒,所以两列
火车的速度和是200÷8= 25(米/ 秒),坐在快车上的人见
慢车通过时, 路程为300 米, 所用时间是300 ÷ 25 = 12
(秒)。
14.
解:快车车长:(33-21)×20= 240(米)
慢车车长:(33-21)×25= 300(米)
错车时间:(240+300)÷(33+21)= 10(秒)
答:快车长240 米,慢车长300 米,如果两车相对行驶,两
车从车头重叠起到车尾相离需要经过10 秒。
15.
解:列车速度:(250-210)÷(25-23)= 20(米/ 秒),
列车的长:20×25-250= 250(米),
两车从相遇到离开需要的时间:(250+320) ÷(20-17) =
190(秒)。
答:列车与货车从相遇到离开需要190 秒。
专题62
变速行程
走走停停
类型一 变速行程
1.
75 【解析】假设甲地到乙地的路程为300 千米,那么按时
的往返一次需时间300÷60×2 = 10(时),现在从甲到乙花
费了300÷50= 6(时),即从乙地返回到甲地只能用10-6 =
4(时)。如果他想按时返回甲地,应以300÷4 = 75 千米/ 时
的速度往回开。
2.
D 【解析】自行车A 从甲地出发驶向乙地,同时自行车B
从甲、乙两地中点驶向乙地,B 车比A 车早到12 分钟,A 车
路程∶B 车路程= 2 ∶1,设A 车速度∶B 车速度= a ∶b,则
A 车到达乙地时间∶B 车到达乙地时间= 2
a ∶1
b = 2b ∶a,
时间差为12 分钟。当A 车速度提高1
5 ,A 车速度为(1+
1
5 )a= 6
5 a,当B 车速度降低1
4 ,B 车速度为(1- 1
4 ) b =
3
4 b,此时A 车速度∶B 车速度= 6
5 a ∶3
4 b = 8a ∶5b,因为
A 车路程∶B 车路程= 2 ∶1,时间相等,所以8a ∶5b = 2 ∶
1,8a= 10b,a ∶b = 5 ∶4,则之前A 车与B 车没有变速前时
间比为2b ∶a = 8 ∶5,时间差为12 分钟,所以A 车原定到
达乙地需12÷(8-5)×8= 32(分)。
3.
解:甲原来速度是9
9+7×96= 54(千米/ 时),返回时甲的速度
是54×(1+20%)= 64. 8(千米/ 时),乙原来速度是7
9+7×96
= 42(千米/ 时)。设乙到达C 地所用的时间为t 时,则甲从
A 地到B 地所用的时间也为t 时,根据题意可列方程54t =
64. 8×(t-40
60),解得t= 4,B、C 之间的距离是96×4= 384(千
米)。
答:B、C 之间的距离是384 千米。
4.
乙 【解析】假设路程为s,两人原本的速度都是v,t1 为甲
前一半路程所需时间,t2 为后一半路程所需时间,t甲为甲
所需总时间,t甲=t1+t2 = 1
2 s÷v+ 1
2 s÷( 5
4 v),t甲= 9s
10v;t乙为
乙全程总时间,则
t乙
2 ×v+
t乙
2 × 5
4 v=s,可得t乙= 8s
9v,因为9s
10v>
8s
9v,所以乙先到。
5.
15 【解析】30 分钟= 0. 5 小时,后来的速度与原来的速度
之比是4 ∶5,所以时间比是5 ∶4。把原来行驶剩余路程
需要的时间看作单位“1”,则实际行驶剩余路程的时间为
5
4 ,即实际行驶30 分钟是原计划行驶的5-4
4 = 1
4 ,原计划
行驶后来路程需要的时间为0. 5÷ 1
4 = 2(时),原计划行驶
的速度为90÷(8-2)= 15(千米/ 时)。
6.
解:车速提高20%,则用时是原来的
1
(1+20%)= 5
6 ,比原定
时间提前1 小时到达,则原来全程用时1 ÷ (1 - 5
6 ) = 6
(时),提速25%,则用时是原来的
1
(1+25%) = 4
5 ,提前40
分钟到达,则剩下路程原来用时40
60÷(1- 4
5 )= 10
3 (时),所
以剩下路程占甲、乙两地全程的10
3 ÷6= 5
9 ,所以甲、乙两地
相距120÷(1- 5
9 )= 270(千米)。
答:甲、乙两地相距270 千米。
7.
解:设A 车原来需x 分钟,则B 车需(x+9)分钟,(x-10) ×
5
3 =(x+9-10)× 4
3 ,解得x = 46,C 车原定行驶完全程所需
时间:(46-10)× 5
3 × 2
3 +10= 50(分)。
答:C 车原定行驶完全程需要50 分钟。
8.
解:变速前,v甲∶v乙= 3 ∶2,设跑道全长为5 份,变速后甲
速为3×(1+ 1
3 )= 4,乙速为2×(1+ 1
5 )= 12
5 ,乙回到起点
时,甲走第二圈的时间为3÷2-2÷3 = 5
6 ,此时甲走第二圈
的路程为4× 5
6 = 10
3 (份),两人第二次相遇时间为(5- 10
3 )
÷(4+12
5 )= 25
96,则乙走了12
5 ×25
96 = 5
8 (份),跑道1 份长度为
190÷(3- 5
8 )= 80(米),跑道全长为80×5= 400(米)。
答:这条椭圆形跑道全长400 米。
9.
解:(1)现在地下行驶时间为5÷ 1
8 ×1 = 40(分),地上行驶
时间为5÷ 1
5 × 1 = 25( 分),单程运行时间为40+ 25 = 65
(分)。
答:三号线单程运行65 分钟。
(2)设原来地上的平均速度为x 千米/ 时,则现在地下的平
均速度为(x+4. 5)千米/ 时,
x×(1- 1
5 )×25
60+(x+4. 5)×40
60 = 39,解得x= 36,
所以地上部分长36×(1- 1
5 )×25
60 = 12(千米)。
答:三号线地上部分长12 千米。
10.
解:第一次相遇时,甲车行4 千米,则乙车行10-4 = 6(千
米),相同时间内,甲、乙两车的路程比为4 ∶6 = 2 ∶3,则
速度之比为2 ∶3;加速后,速度之比为[2×(1+10%)] ∶
[3×(1+10%)] = 2 ∶3,故每次相遇,甲、乙两车所行路程
比不变,每次两车相遇时甲车行4 千米,故第三次相遇
时,甲车行4×3= 12(千米),离出发点的距离为12-10 =
2(千米)。
答:第三次相遇时甲车离出发点2 千米。
11.
解:设AC 为x 千米,则AM = BM = (x+26)千米,DB 长(22
+x)千米,将甲原速看成“1”,则走CD 速度为3
4 ,走DB
的速度为15
16,乙走BD 的速度为5
6 ,走DC 的速度为25
24,走
CA 的速度为25
32,所以可列方程为x÷1+30÷ 3
4 +(x+22) ÷
15
16 =(x+22)÷ 5
6 +30÷25
24+x÷25
32,解得x= 20。则A 与B 之
间的距离为(20+26)×2= 92(千米)。
答:A 与B 之间的距离为92 千米。
12.
【思路分析】根据题意可知,哥哥和弟弟早晨6 点动身,同
时到达城里,因此他们进城所用时间相同。哥哥步行时
间+哥哥骑马时间= 弟弟步行时间+弟弟骑马时间,由此
可列出方程,求得结果。
解:设哥哥步行了x 千米,则弟弟步行了(51-x) 千米,所
以x
5 +51-x
12
= 51-x
4
+ x
12,解得x = 30,所以哥哥用了30
5 +
51-30
12
= 6+ 7
4 = 7 3
4 (时),7 3
4 时= 7 时45 分,6 时再过
7 时45 分是13 时45 分。
答:13 时45 分能同时到达城里。
6
13.
解:甲走完全程用时:42195÷145 = 291(分)。机器人前进
5 分钟,再后退5 分钟,以10 分钟为一个运动周期,机器
人共走291÷10 = 29(个)……1(分),机器人一个周期前
进5×(b-c) 米,一共走29× 5(b-c) +b = 42195,即146b-
145c= 42195①,因为42195= 145×291,所以b 一定是145
的倍数,且b<400,所以b = 290,代入算式①中,得c = 1。
设乙在第x 分钟时提速,则可列方程ax+2a×(291-x) =
42195,整理可得a×(582-x)= 42195,因为42195 = 3×5×
29×97,且120<x<291,则291<582-x<462,所以582-x = 3
×5×29= 435,解得x = 147,a = 97。根据机器人和乙的运
动规律,在乙提速前,机器人每个周期的平均速度比乙的
速度快,所以两者距离最大应该产生在乙提速前的某个
时刻,这个时刻机器人是前进的状态,乙在第147 分钟提
速,所以最大距离产生在第145 分钟,此时机器人走了
145÷10= 14(个)……5(分),机器人的路程为14×(290×5
-1×5) +290×5 = 21680(米),此时乙的路程为145×97 =
14065(米),两者相距21680-14065= 7615(米)。
答:乙和机器人距离最远是7615 米。
14.
解:B 第一次追上A 用时60÷4×3÷(2-1)= 45(秒),之后
每60÷(2- 1) = 60( 秒) 追上一次,即45 秒,105 秒,165
秒,225 秒…追上;C 第一次追上A 用时60÷4×2÷(3-1)=
15(秒),之后每60÷(3-1)= 30(秒)追上一次,即15 秒,
45 秒,75 秒,105 秒…追上;D 第一次追上A 用时60÷4×1
÷(4-1)= 5(秒),之后每60÷(4-1)= 20(秒)追上一次,
即5 秒,25 秒,45 秒,65 秒…追上,由此可见在45 秒时4
个球会第一次同时碰到一起。
答:在45 秒时4 个球会第一次同时碰到一起。
类型二 走走停停
15.
46 【解析】根据“甲每分钟走70 米,但是走3 分钟就要
休息1 分钟”可知,每1+3= 4(分)中前3 分钟走后1 分钟
休息,这样可求出在30 分钟中他休息了30÷ 4 = 7(次)
……2(分),7 次共休息了7 分钟,走了30-7= 23(分),共
走了70×23= 1610(米),那么在这30 分钟里乙走了2990
-1610 = 1380( 米),所以乙的速度为1380÷ 30 = 46( 米/
分)。
16.
148 【解析】65 分钟时,两人共走4+6×55
60 = 9. 5(千米);
130 分钟时,两人共走9. 5×2= 19(千米)。此时两人相距
22-19= 3(千米),至相遇两人都不再休息,还需3÷(4+6)
×60 = 18(分),两人从出发到第一次相遇用了130+18 =
148(分)。
易错警示小亮以6 千米/ 时的速度每走50 分钟后休息
10 分钟,当每走65 分钟时,注意此时小亮只走了55 分
钟,走的距离是6×55
60千米。
17.
12 【解析】车速提高了1
4 后的速度与原来速度的比为
5 ∶4,将同样一段路程看作单位“1”,则计划用时与实际
用时之比为5 ∶4,因此修车地点之后路程的原计划用时
为(10-2)÷5-4
5 = 40(分),且原计划的总用时为60 分钟,
所以修车地点为全程的1- 40
60 = 1
3 处,则骑车人原来每小
时行驶2÷( 1
2 - 1
3 )÷(9-8)= 12(千米)。
18.
【思路分析】甲、乙行走速度相同,行走路程相同,先根据
甲到达B 地的用时求出甲休息的次数,再求出乙休息的
次数,即可求出乙最后一次休息时已经走过的路程。再
根据两人最后一次休息地点的距离计算出甲最后一次休
息时已走过的路程。
解:50 分钟内甲休息的次数:50 ÷ ( 6 + 2) = 6( 次) ……
2(分),甲休息的时长:6×2= 12(分),甲行走的时间:50-
12= 38(分);乙休息的时间:12+ 12 = 24(分),休息的次
数:24÷3= 8(次)。乙最后一次休息时已行走的路程:210
×8= 1680(米),甲最后一次休息时已走的路程:1680+80
= 1760(米)。两人速度相同,所以v甲= v乙= 1760÷(38-
2)= 440
9 (米/ 分)。
答:两人的速度均为每分钟440
9 米。
19.
解:由已知得A 的平均速度为5
4 米/ 秒,将A 前进1 秒停
止3 秒,看作每秒前进5
4 米,设所求时间为x 秒,则3x =
5
4 (x+10),解得x= 50
7 ,则3x= 150
7 ,而20<150
7 <25,所以B
是在行至距起点25 米时追上A,所以B 的行进时间为
25÷3= 25
3 (秒)。
答:当点B 出发25
3 秒后便可以追上点A。
20.
解:大轿车行完全程比小轿车多用的时间:17- 5+ 4 = 16
(分),大轿车行完全程需要的时间是:16÷(1- 80%) =
80(分),小轿车行完全程需要80×80% = 64(分),所以大
轿车出发后80÷ 2 = 40(分) 到达中点,出发后40+ 5 = 45
(分)离开。小轿车在大轿车出发17 分钟后才出发,当其
行至中点时,大轿车已经走了17+64÷2 = 49(分),所以小
轿车是在后面一半路上追上大轿车的。所以小轿车追上
大轿车是在小轿车到达乙地之前4÷(1-80%) ×80% = 16
(分),所以小轿车追上大轿车是在大轿车出发后17+64-
16= 65(分),所以小轿车追上大轿车的时间为10 时+65
分钟= 11 时05 分。
答:小轿车是在上午11 时05 分追上大轿车的。
专题63
比例行程
上下坡问题
类型一 比例行程
1.
9 ∶8 【解析】小刚的路程∶小强的路程= (1+ 1
4 ) ∶1 =
5 ∶4,小刚的速度∶小强的速度= (1+ 1
9 ) ∶1 = 10 ∶9,小
刚的时间∶小强的时间= 5
10 ∶4
9 = 9 ∶8。
2.
300
17 【解析】甲、乙两人的速度比为100 ∶(100 - 15) =
20 ∶17,设甲起跑线应比原来起跑线向后移x 米,则100+x
100
= 20
17,解得x = 300
17 。即甲起跑线应比原来起跑线向后移
300
17 米。
3.
9 ∶11 【解析】时间相等,速度之比等于路程之比。设全
程为9 份, 前一半时间行了5 份, 一半路程是9 ÷ 2 =
4. 5(份),(5-4. 5)÷5= 1
10,设一半的时间为“1”,前一半路
程与后一半路程时间之比是(1- 1
10) ∶(1+ 1
10)= 9 ∶11。
4.
解:若甲、乙两地的距离是2+3= 5(份),则未行驶的距离是
2÷5= 2
5 ,210÷(20%+ 2
5 )= 350(千米)。
答:甲、乙两地的距离是350 千米。
5.
解:减速前后的速度之比为5 ∶4,则时间之比为4 ∶5,原速
走一条边的时间:10÷(5-4)×4 = 40(分),原速走一条边的
长度减去720
m 的路程所需时间:7÷(5-4) ×4 = 28(分)。
故原速走720
m 所用时间:40-28 = 12(分),原速:720÷12
= 60(米/ 分),农场周长:60×40×4= 9600(米)。
答:该农场的周长为9600 米。
6.
2. 5 【解析】甲、乙两车从A、B 两地同时开出,相向而行,
6 小时后在途相遇,则两车速度和是1÷6 = 1
6 ,甲车的速度
是1
6 × 2
2+3 = 1
15,乙车的速度是1
6 × 3
2+3 = 1
10,甲车走全程的
一半需要1
2 ÷ 1
15 = 7. 5(时),乙车走全程的一半需要1
2 ÷ 1
10
= 5(时),甲车要比乙车提前7. 5-5= 2. 5(时)出发。
7.
450 【解析】相遇后,甲、乙的速度比是[5×(1-20%)] ∶
[4×(1+20%)] = 5 ∶6,A、B 两地相距10÷(1- 4
5+4- 4
5+4×
6
5 )= 450(千米)。
8.
解:设相遇前客车速度为5x 千米/ 时, 则货车速度为
4x 千米/ 时,5x ∶(4x+27)= 4 ∶5,解得x= 12。
5×12×10= 600(千米)
答:甲、乙两地相距600 千米。
9.
解:甲、乙所行路程之和:2×(2+5) -0. 5 = 13. 5(千米),又
因为甲的速度是乙的1. 5 倍,则在相同时间内,甲所行路
程为乙的1. 5 倍,则甲行路程:13. 5÷(1. 5+1) ×1. 5 = 8. 1
(千米),故甲离C 地的距离:5×2-8. 1= 1. 9(千米)。
答:这时甲距C 地1. 9 千米。
10.
解:设正方形的边长为4,乙的速度为1,则甲的速度为3,
第1 次相遇时,乙行了(4×2) ÷(3+1) ×1 = 2,后面每次相
遇乙行4×4÷(1+3)×1= 4,则第600 次相遇乙行599×4+2
= 2398,2398÷(4×4)= 149(个)……14,即乙行了149 个
正方形周长后回到出发点C,再行了14,所以甲、乙第600
次相遇在BC 边上。
答:它们第600 次相遇在BC 边上。
11.
解:两车行的路程一定,速度与时间成反比,t客∶t货= 5 ∶6,
货车用的时间为0. 5÷(1- 5
6 ) = 3( 时),货车的速度为
120÷3= 40(千米/ 时)。
答:货车的速度是每小时40 千米。
12.
解:客车的速度∶轿车的速度= 4 ∶5,则客车的时间∶轿
车的时间= 5 ∶4,客车行驶全程的时间比轿车多20+5-
5= 20(分),则客车从A 地驶往B 地的行驶时间为20÷
(5-4)×5= 100(分),轿车从A 地驶往B 地的时间为20÷
(5-4)×4= 80(分)。客车行驶至中点时,用时100÷2 = 50
(分),出发50+5 = 55(分) 后离开中点;轿车行驶至中点
时,客车已出发20+80÷2 = 60(分)。因此,轿车是在后半
段路程中追上客车的,则后半程追上客车的时间为(60-
55)× 1
100÷( 1
80- 1
100)= 20(分),9 时+20 分+40 分+20 分
= 10 时20 分。
答:轿车是在上午10 时20 分追上客车的。
13.
解:弟弟在前一半路程每小时行4 千米,后一半路程每小
时行6 千米,则弟弟在前一半路程和后一半路程所用时
间的比是6 ∶4 = 3 ∶2,设哥哥从甲地到乙地需要x 小时,
则1
3 x(4+5+6)= (x+20
60)× 3
3+2×4+(x+20
60)× 2
3+2×6,解得
x= 8,即哥哥从甲地到乙地需要8 小时,甲、乙两地相距
1
3 ×8×(4+5+6)= 40(千米)。
答:甲、乙两地相距40 千米。
类型二 上下坡问题
14.
C 【解析】设A 到B 下坡的路程为x 千米,则上坡的路程
7
为(24-x)千米,可列等式:x÷ 4+(24-x) ÷ 3 = 7 1
6 ,解得
x= 10,则上坡路程为24-x= 24-10 = 14 千米,故可得返回
时下坡路程为14,上坡路程为10 千米,返回时用的时间
为14÷4+10÷3= 6 5
6 (时),所以应当选C。
15.
15 【解析】由题图可知,平路路程为1 千米,小高在平路
上的速度为1÷3 = 1
3 (千米/ 分);上坡的路程为2- 1 = 1
(千米),小高的上坡速度为1÷(8-3)= 1
5 (千米/ 分);下
坡的路程为4-2 = 2(千米),小高的下坡速度为2÷(12-
8)= 1
2 (千米/ 分);从单位返回家时,原来的上坡变为下
坡,原来的下坡变为上坡,故需要的时间为2÷ 1
5 +1÷ 1
2 +
1÷ 1
3 = 15(分)。
16.
35 【解析】设数法,设AB 的长为1 千米,则BC 的长为2
千米,CD 的长为1 千米,设平路的速度为3 千米/ 时,则
上坡路的速度为2 千米/ 时,下坡路的速度为4 千米/ 时。
小明上学所花的时间为1÷3+2÷2+1÷4 = 1 7
12(时),放学
回家所用的时间为1÷2+2÷4+1÷3 = 1 1
3 (时),时间的比
为1 7
12 ∶1 1
3 = 19 ∶16,则n = 19,m = 16,m+n = 16+ 19
= 35°
17.
解:如果乙不休息,那么甲下山再上山所用时间和乙上山
再下山所用的时间相同,因此,甲回到山顶30 分钟后乙到山
脚。当两人第二次相遇时,甲还有360÷20= 18(分)到达山
顶,因此,乙还有18+30= 48(分)到达山脚。于是乙还需
要走30×48= 1440(米)。山道长:1440+360= 1800(米)。
答:山道长1800 米。
18.
解:据题意可知,从甲地去往乙地,上山路占全程的4
5 ×
2
3+2 = 8
25,下山路占全程的4
5 × 3
3+2 = 12
25,由此可设全程为
25 份,平路为5 份,则上山为8 份,下山为12 份,可设平
路速度为5,则上山速度为5×(1-20%)= 4,下山速度为5
×(1+20%)= 6,则从甲地到乙地,时间为5÷5+8÷4+12÷6
= 5(份)= 2 小时,1 份时间= 0. 4 小时,从乙到甲,时间为
5÷5+8÷6+12÷4= 16
3 (份),16
3 ×0. 4= 32
15(时)。
答:这辆汽车从乙地回到甲地需要32
15小时。
19.
解:(1)设AB 长3x 千米,则BC 长4x 千米,AC 长5x 千
米,根据题意可得:6×(2-3x÷4)+4×(2-5x÷5)= 4x,解得x =
1. 6,CD 的距离:4×(2-5x÷5)= 4×(2-1. 6)= 1. 6(千米)。
答:CD 的距离是1. 6 千米。
(2)乐乐走到C 点时,悠悠是在下坡。
理由:乐乐走到C 点时,悠悠已行:1. 6×5÷5 = 1. 6(时),
AB 的距离是1. 6×3= 4. 8(千米),悠悠走完AB 需要:4. 8
÷4= 1. 2(时),因为1. 6>1. 2,所以当乐乐走到C 点时,悠
悠是在下坡。BE 的长度:(1. 6- 1. 2) × 6 = 2. 4( 千米)。
AB ∶BE= 4. 8 ∶2. 4= 2 ∶1。
答:当乐乐走到C 点时,悠悠是在下坡,此时AB 和BE 距
离的比是2 ∶1。
20.
解:将第一赛程的出发速度看作6,则上坡速度为6×(1-
25%)= 9
2 ,下坡速度为9
2 ×(1+25%)= 45
8 ,第二赛程的出
发速度为5,则下坡速度为5×(1+25%)= 25
4 ,上坡速度为
25
4 ×(1-25%)= 75
16,由题得中点左右的路程分别为22+4
= 26(千米),剩余路程左右相等,除去左右剩余相等路
程,则第一赛程,上坡26+4 = 30(千米),下坡22 千米,第
二赛程,平路22 千米,下坡4+26= 30(千米),第一赛程比
第二赛程多用:30÷ 9
2 +22÷45
8 -22÷5-30÷25
4 = 62
45(小时),
将左右剩余的路程分别看作“1”,则第一赛程每千米用
时:1÷6+1÷ 45
8 = 31
90,第二赛程每千米用时:1÷5+1÷ 75
16 =
31
75,每千米相差:31
75- 31
90 = 31
450,因为两个赛程中所用的时
间相同,所以前后各剩下:62
45÷ 31
450 = 20(千米),每个赛程
长(20+26)×2= 92(千米)。
答:每个赛程的距离是92 千米。
21.
解:设甲、乙、丙的上坡速度分别为6x、5x、4x,则下坡速度
分别为9x、7. 5x、6x。甲第一次到达山顶,乙还未到达;
甲第二次到达山顶,用时360×2
6x
+ 360
9x = 160
x 。乙第一次回
到山脚,用时360
5x + 360
7. 5x = 120
x 。160
x -120
x = 40
x <360
5x ,甲第二
次到达山顶时, 乙还正在第二次上山的路上, 与题意
不符;
甲第三次到达山顶,用时360×3
6x
+360×2
9x
= 260
x 。乙第二次
到达山顶,用时360×2
5x
+ 360
7. 5x = 192
x 。260
x -192
x = 68
x > 360
7. 5x,
甲第三次到达山顶时,乙正在上山的路上,不符合题意;
甲第四次到达山顶,用时360×4
6x
+360×3
9x
= 360
x 。乙第三次
到达山脚,用时360×3
5x
+360×3
7. 5x = 360
x ,说明甲第四次到达山
顶时,乙正好到达山脚,不符合题意;甲第五次到达山顶,
用时360×5
6x
+360×4
9x
= 460
x ,乙第四次到达山顶,用时360×4
5x
+360×3
7. 5x = 432
x ,460
x -432
x = 28
x <360
5x ,甲第五次到达山顶时,
乙正在下山的路上,符合题意;乙完成3 个往返加到山顶
后剩余时间:460
x - 3× 120
x - 360
5x = 28
x ,即乙下山的时间为
28
x ,乙下山的路程:7. 5x× 28
x = 210(米),乙距离山脚:360
-210= 150(米),符合题意;讨论丙的运动情况:丙运动时
间为460
x 。丙完成3 个往返后剩余时间:460
x - 3×(360
4x +
360
6x )= 10
x ,丙上山路程:4x× 10
x = 40(米),丙离山顶:360-
40= 320(米)。
答:此时丙离山顶的距离为320 米。
专题64
龟兔赛跑
猎狗追兔
间隔发车
接送问题
类型一 龟兔赛跑
1.
20400 【解析】设兔子总共跑了x 个10 分钟,则兔子的休
息次数为(x-1) 次,兔子从A 地到B 地的总时间为10x+
90(x-1)= (100x-90)分钟。40×(100x-90)= 340×10x,解
得x= 6,A、B 两地相距340×10×6= 20400(m)。
2.
解:乌龟跑完全程所用时间为7000÷30= 233 1
3 (分),兔子
跑完全程实际所用时间为7000÷330+215= 236 7
33(分),因
为233 1
3 <236 7
33,所以乌龟先到达终点。当乌龟到达终
点时,乌龟比兔子早到了236 7
33-233 1
3 = 2 29
33(分),所以
先到的比后到的快了330×2 29
33 = 950(米)。
答:乌龟先到达终点,先到的比后到的快950 米。
3.
解:乌龟用的时间:5. 4÷ 4 = 1. 35( 时),1. 35 小时= 81 分
钟;兔子每分钟跑25÷60 = 5
12(千米),兔子跑完全程(不包
括玩的时间),需要:5. 4÷ 5
12 = 12. 96(分);1+ 2+ 3+ 4 = 10
(分),12. 96-10= 2. 96(分),所以12. 96 分钟分成五段跑
完,中间兔子玩了4 次,每次15 分,共玩了15×4= 60(分),
兔子跑完全程共需要12. 96+60 = 72. 96(分),所以兔子先
到,81-72. 96= 8. 04(分)。
答:先到达终点的比后到达终点的快8. 04 分。
4.
解:(1)由图象可得,700÷1= 700(米),1500÷30= 50(米)。
答:兔子在起初每分钟跑700 米,乌龟每分钟爬50 米。
(2)700÷50= 14(分)。
答:乌龟用了14 分钟追上了正在睡觉的兔子。
(3)48 千米/ 时= 800(米/ 分),(1500-700)÷800= 1(分),
30-1-1+0. 5= 28. 5(分)。
答:兔子中间停下睡觉用了28. 5 分钟。
5.
解:由题可得乌龟跑完全程共用时间为2008 ÷ 600 = 251
75
(分)= 200. 8(秒),根据题意得兔子第2 分钟跑了1024×
1
2 = 512(米),第3 分钟跑了512× 1
2 = 256(米),依次下去
第4 分钟跑128 米,第5 分钟跑64 米,第6 分钟跑32 米,
由于1024+512+256+128+64 = 1984(米),1024+512+256+
128+64+32= 2016(米),且2008-1984 = 24(米),24÷32 =
0. 75(分),故兔子在跑了5 分钟后,再继续跑0. 75 分钟即
可跑完全程,所以,兔子跑完全程共用时5+0. 75= 5. 75(分
钟)= 345(秒),综上可知,乌龟先到达终点,乌龟比兔子早
到达终点345-200. 8= 144. 2(秒)。
答:先到达终点的比后到达终点的快144. 2 秒。
类型二 猎狗追兔
6.
B 【解析】假设野兔跑3 步,猎狗跑2 步的时间为1 秒,假
设野兔每步的距离是4 米,7 步的距离就是7×4 = 28(米),
那猎狗每步的距离是28÷4 = 7(米),那么野兔每秒跑过的
距离是4× 3 = 12(米),猎狗每秒跑过的距离是7× 2 = 14
(米),猎狗追上野兔的时间是80×4÷(14-12)= 160(秒),
160 秒猎狗跑过的步数为160×2 = 320(步),故猎狗至少要
跑320 步才能追上野兔。
7.
180 【解析】设狼步长6 米,狗步长7 米(满足狼7 步= 狗
6 步)。狼速度为11×6= 66(米/ 时间单位);狗速度为9×7
= 63(米/ 时间单位),总距离为430×6 = 2580(米),相遇时
间为2580÷(66+63)= 20(时间单位),狗跑的步数为9×20
= 180(步)。
8.
解:设小强跑4 步的时间和哥哥跑3 步的时间都为1 个单
位时间,哥哥跑5 步的距离和小强跑7 步的距离都为1 个
单位距离。哥哥1 步的距离= 小强7
5 步的距离,哥哥1 个
单位时间跑3 步,所以哥哥1 个单位时间跑的距离= 小强
跑3× 7
5 = 21
5 (步)的距离。哥哥与弟弟的速度差为21
5 -4 =
1
5 ,弟弟先跑10 步,哥哥跑10÷ 1
5 = 50 个单位时间才能追
上小强,即哥哥跑了50×3= 150(步)。
答:哥哥跑150 步才能追上小强。
8
类型三 间隔发车
9.
(1)6 【解析】根据题意,由于发车间隔时间为12 分钟,现
在两辆车迎面而行,相当于变为原来的速度的两倍,则所
需要的时间为一半,即他每隔12÷2 = 6(分)会看见一辆电
车迎面开来。
(2)10 15
【解析】小明走路速度为每小时5 千米,所以
迎面过来的车相对速度就变成了每小时25 + 5 = 30( 千
米),间隔时间为25
60×12÷30
60 = 10(分);从背面开来的电车,
相对速度就变成了每小时25-5 = 20(千米),间隔时间为
25
60×12÷20
60 = 15(分)。
10.
8 【解析】设每两辆公共汽车的间隔为1,则根据题意可
得:公共汽车与步行人的速度之差为:1÷10 = 1
10,公共汽
车与骑车人的速度差为1÷20 = 1
20,因为小明骑车速度是
小英步行速度的3 倍,所以小英的速度为( 1
10 - 1
20) ÷2 =
1
40,则公共汽车的速度是1
40+ 1
10 = 1
8 ,则相邻两车间隔1÷
1
8 = 8(分)。
11.
11 【解析】10 分15 秒= 10. 25 分,假设甲、乙在同一起点
遇到一辆公交车时开始步行,10 分钟后甲、乙之间的距离
为(82-60)×10 = 220(米),此时甲遇到迎面开来的公交
车,这辆公交车还要经过15 秒才与乙相遇,此时公交车
的速度为220÷(10. 25-10) -60 = 820(米/ 分),甲在遇到
第一辆公交车后,经过10 分钟遇到第二辆,此时两辆公
交车相隔(82+820) ×10 = 9020(米),所以公交总站每隔
9020÷820= 11(分)开出一辆车。
12.
解:如解图所示,每一只猴子从A 地到B 地需要12 分钟,
以横轴代表时间,0 时刻从A 地出发第12 分钟到达B 地,
第3 分钟从A 地离开的猴子第15 分钟到达B 地……假
设兔子从第12 分钟离开B 地去A 地,此时刚好满足“恰
好有一只猴子到达B 地”,它在路上遇到5 只猴子也就是
说有5 个交点,到达A 地时有一只猴子刚出发,这样可以
画出一条直线,刚好18 分钟时兔子到达A 地。也就是说
兔子走一程需要6 分钟,兔子的速度为3 千米/ 时,说明
A,B 两地的距离是6 ÷ 60 × 3000 = 300 ( 米)。300 米=
0. 3 千米。
答:A、B 两地相距0. 3 千米。
第12 题解图
13.
解:如解图,乘客从A 站走到C 点所用的时间是3÷ 5 =
0. 6(时)。第2 辆汽车在乘客出发30 分钟后才出发,行
到C 点所用时间为0. 6-30÷60= 0. 1(时),汽车每小时行
3÷0. 1= 30(千米)。乘客从C 点走到D 点所用的时间是
5÷5= 1(时),第2 辆汽车从C 点行到B 站再返回到D 点
共用了1 小时,包括休息30÷60 = 0. 5(时),实际行了1-
0. 5= 0. 5(时),所行路程为30×0. 5 = 15(千米)。从D 点
到B 站的路程是(15-5) ÷2 = 5(千米),A、B 两站的距离
是3+5+5= 13(千米)。
答:A、B 两站的距离是13 千米。
第13 题解图
14.
解:设V甲是V乙的k 倍,乙车每小时行L。乙车追上甲车
处记为C 地,甲车与丙车相遇处记为D 地。8 ~ 9 时,S甲1
=k·L,所以追及时S乙= k·L
1-k ,甲第一次掉头与丙相遇
时,S甲2 =k·L
1-k ,甲与丁同时到达B 时,追及路程为L,所以
S甲3 =k·L
1+k 。甲、丙相遇时,乙、丁之间距离为2L。因为AB
= 2L+40+10 = 2L+50,BD = S甲3 = L+40,所以AC = S乙= L+
40,CD=(L+40) +(L+40) -(2L+ 50) = 30
km。所以k =
30
L-30 = L+40
2L+40,解得L= 80,所以AB= 2×80+50= 210
km。
答:A、B 两地距离210
km。
第14 题解图
15.
解:(1)如解图,从A 站发车的司机看到的车辆包括两类:
一类是他自己发车以前,已经从B 站出发但还没到达A
站的所有车辆,也就是发车前80 分钟内B 站所发的所有
车辆。另一类是他发车以后到他抵达B 站这段时间内从
B 站发出的所有车辆,即发车后105 分钟内从B 站开出
的所有车辆。这就是说在A 站车辆出发前80 分钟到出
发后105 分钟之间这185 分钟时间区间内,B 站发出的所
有车辆该司机都能看到。实际上这185 分钟中,只有发
车前60 分、发车前30 分、发车当时、发车后30 分、发车后
60 分、发车后90 分,有车辆从B 站开出,所以8:30 从A
站发车的司机能看到8:00 到10:00 从B 站发出的5 辆
车,而9:00 从A 站发车的司机能看到8:00 到10:30 从B
站发出的6 辆车。
答:8:30、9:00 从A 站发车的司机分别能看到5、6 辆从B
站开来的汽车。
(2)11 点以后不再有车辆从B 站发出,11 点发车的司机
不可能看到他发车后105 分钟内从B 站开出的车,所以
他只能看到3 辆车。
第15 题解图
类型四 接送问题
16.
25 【解析】设小明步行的路程为s,则车的速度2s
10 = s
5 ,
根据题意:小明步行时间=
s
车的速度+20= s
s
5
+20=25(分)。
17.
1 ∶7 【解析】假设全程为单位“1”,设乙队学生步行路
程为x(甲队步行路程也应为x), x
4 = 1-x
40 +1-2x
50 ,解得x=
1
7 ,即甲队学生步行路程与全程的比是1 ∶7。
18.
解:摩托车和步行速度比是11 ∶1,如解图,
第18 题解图
(11+1)÷2= 6(份),每份是49÷(6+1)= 7(千米)。
答:乙在离B 地7 千米处下车步行。
易错点拨乙下车步行距离B 地的距离与丙上车时离A
地的距离相等,时间一定,路程与速度成正比例。甲从出
发到接到丙时,甲和丙行的距离之和正好是甲带乙行路
程的2 倍。
19.
解: 设步行者步行的路程为x 千米, 由题意得, x
5 =
60+60-x
60
+1,解得x= 180
13 ,所以x
5 = 36
13(时)。
答:步行者在出发后经过36
13 小时与回头接他们的汽车
相遇。
20.
解:甲先骑摩托车带乙前行,到达某处后,放下乙,返回接
丙,然后带丙前行,与乙同时到达B 地,设甲骑摩托车带
乙行了x 小时,则甲乙行程为36x 千米,丙行程为4x 千
米,甲、乙和丙相距:36x-4x = 32x(千米),那么甲和丙相
遇,需要:32x÷(36+4)= 4
5 x(时),此时,乙和丙各自步行
了:4× 4
5 x= 16
5 x(千米),甲、丙与乙的距离还是32x,三人
同时到达,即甲丙正好追上乙, 需要32x ÷ ( 36 - 4) = x
(时),乙或丙的行程,就等于全程,以乙为例,列方程如
下:36x+16
5 x+4x= 36,解得x= 5
6 ,所以最短用时:x+ 4
5 x+x
= 7
3 (时)。
答:三人同时到达的最短时间为7
3 小时。
9
