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专题2 力的平衡问题
一、绳上的张力一定沿着绳指向绳收缩的方向，且同一条绳上拉力大小处处相等．
二、两个力的合力的大小范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
[例题1] 如图所示，穿过小动滑轮的轻绳两端分别固定在a、b 两点，质量为m 的小物块
通过轻绳拴接在小动滑轮的轴上。现给小物块施加一个水平向右的拉力F，系统静止时，滑轮
到固定点a、b 的两部分轻绳与水平方向的夹角分别为30°和60°，滑轮质量、大小忽略不计，
重力加速度为g。下列判断正确的是（ ）
A．小物块与滑轮间的轻绳与竖直方向夹角为37°
B．作用在小物块上的水平拉力大小为√2mg
C．跨过滑轮的轻绳中的张力大小为(√3-1)mg
D．跨过滑轮的轻绳中的张力大小为(√3+1)mg
【解答】解：CD．跨过滑轮的轻绳中的张力大小为T，把滑轮与物块看作整体，竖直方向有
Tsin30°+Tsin60°＝mg
解得：T =(√3-1)mg
故C 正确，D 错误；
B．水平方向有Tcos30°+Tcos60°＝F
解得：F＝mg
故B 错误；
A．小物块与滑轮间的轻绳中张力大小为
FT =√(mg)
2+ F
2=√(mg)
2+(mg)
2=√2mg
由数学知识可知小物块与滑轮间的轻绳与竖直方向夹角为45°，故A 错误。
故选：C。
[例题2] 如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O 点处，绳的一端固定
在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量分别为m1、m2，系统平衡
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时，O 点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α＝45°，β＝60°，则m1
m2
等于（ ）
A．√6+3√2
6
B．3+√3
2
C．2+√3
3
D．√6+√3
3
【解答】解：设墙对O 点的拉力为F，O 点处于平衡状态，受力分析如图：
根据平衡条件，竖直方向有m2gcosα+Fcosβ＝m1g
水平方向m2gsinα＝Fsinβ
解得
m1
m2
= √6+3√2
6
，故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
[例题3] 如图所示，在水平天花板的A 点处固定一根轻杆a，杆与天花板保持垂直。杆的
下端有一个轻滑轮O。一根细线上端固定在该天花板的B 点处，细线跨过滑轮O，下端系一个
重为G 的物体，BO 段细线与天花板的夹角为θ＝30°。系统保持静止，不计一切摩擦。下列说
法中正确的是（ ）
A．细线BO 对天花板的拉力大小是G
2
2
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B．a 杆对滑轮的作用力大小是G
2
C．a 杆对滑轮的作用力方向沿着OA 竖直向上
D．a 杆对滑轮的作用力大小是G
【解答】解：A、对物体受力分析，受到重力和拉力T，由平衡条件得，绳上拉力T＝G
同一根绳子拉力处处相等，故绳子对天花板的拉力也等于G，故A 错误；
BCD、对滑轮受力分析，滑轮受到绳子的压力（等于两边绳子拉力的合力），以及a 杆的弹力，
如图
根据平衡条件，因滑轮两边细绳的拉力夹角为120°，则结合几何关系，有a 杆对滑轮的作用力
大小为F＝T＝G
方向斜向右上，故BC 错误，D 正确。
故选：D。
三、静摩擦力会随外力而改变；滑动摩擦力 f=μFN，特别注意 FN 不一定等于 mg 或 mgcosθ。
在固定斜面上的一物块受到一外力F 的作用，F 平行于斜面向上。若要物块
在斜面上保持静止，F 的取值应有一定的范围，已知其最大值和最小值分别
为F1和F2（F2>0）。f=( F2-F1)/2.
[例题4] 如图所示，在一静止升降机内，物体A 在位置B 处，被一根伸长的弹簧拉住，现
让升降机加速上升，达到一定速度后保持匀速一段时间，最后减速上升直到停止，则在升降机
上升的过程中（ ）
3
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A．加速上升阶段物体A 所受的摩擦力一定增大
B．匀速上升阶段物体A 的所受的支持力一定增大
C．减速上升阶段物体A 所受的摩擦力一定减小
D．整个过过程中物体A 所受的摩擦力可能保持不变
【解答】解：匀速上升阶段，支持力大小等于重力（最大静摩擦力不变）；加速上升阶段，支
持力大于重力（最大静摩擦力变大）；减速上升阶段，支持力小于重力（最大静摩擦力变小），
前两阶段物体不会相对升降机滑动，最后一阶段物体可能相对升降机右滑，摩擦力变为滑动摩
擦力；也可能相对静止，静摩擦力等于最初的弹簧弹力。所以摩擦力大小先不变后减小，也可
能保持不变，故ABC 正确，D 错误。
故选：D。
[例题5] 如图所示为研究平衡摩擦力的一个实验。把一个木块A 放在倾角为θ＝45°的斜
面体B 上，斜面体固定在小车上。水平外力作用在小车上，使木块A 和斜面体B 一起水平向
左随小车以加速度a 匀加速运动。木块A 和斜面体B 在运动过程中始终相对静止。在某一次实
验中，调整小车的加速度大小为a＝g（g 为重力加速度），则关于斜面B 对物体A 的摩擦力方
向，下列说法正确的是（ ）
A．斜面B 对物体A 没有摩擦力
B．斜面B 对物体A 的摩擦力方向沿斜面向上
C．斜面B 对物体A 的摩擦力方向沿斜面向下
D．斜面B 对物体A 的摩擦力方向可能沿斜面向上、也可能沿斜面向下
【解答】解：如图所示，假设物体A 只受重力和支持力，由题意和牛顿第二定律有
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mgtanθ＝ma0
故a0＝gtanθ＝gtan45°＝g＝a
故假设正确，斜面B 对物体A 没有摩擦力。故A 正确；故BCD 错误。
故选：A。
[例题6] 如图1 所示，质量均为m、表面粗糙程度不同的三个物块a、b、c，放在三个完
全相同的斜面体上，斜面体质量为M、底部倾角为θ。物块a、b、c 以相同初速度下滑，斜面
体始终保持静止，其vt 图像如图2 所示。a、b、c 与斜面之间的动摩擦因数分别为μa、μb、
μc，斜面体对地面的压力分别为FNa、FNb、FNc，斜面体对地面的摩擦力分别为fa、fb、fc。下
列判断正确的是（ ）
A．μa＞μb＞μc
B．FNb＝（M+m）g，fb＝0
C．FNa＜（M+m）g，fa= m(v1- v0)
t
且方向水平向右
D．FNc＞（M+m）g，fc= m(v2- v0)
t
且方向水平向右
【解答】解：A．由题意知，物块a 做匀加速运动，由牛顿第二定律，对物块a 有mgsinθ＞
μamgcosθ，则有μa＜tanθ
物块b 做匀速运动，对物块b 有mgsinθ＝μbmgcosθ，则有μb＝tanθ
物块c 做匀减速运动，由牛顿第二定律，对物块c 有mgsinθ＜μcmgcosθ，则有μc＞tanθ
故有μa＜μb＜μc，故A 错误；
B．以物块b 和斜面体为整体进行分析，整体处于平衡状态，由牛顿第三定律知，地面对斜面体
的支持力大小为FNb，由竖直方向合力为零可得FNb＝（M+m）g
由水平方向合力为零可得斜面体与地面之间无摩擦力，即fb＝0，故B 正确；
CD．以物块和斜面体为整体进行分析。物块a 有沿斜面向下的加速度，将加速度分解，竖直方
向有向下的加速度分量，故物块a 处于失重状态，则有FNa＜（M+m）g
同理，物块c 有沿斜面向上的加速度，将加速度分解，竖直方向有向上的加速度分量，故物块c
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处于超重状态，则有FNc＞（M+m）g
对斜面体与物块a 整体，根据牛顿第二定律可得地面对斜面体的摩擦力大小为
f 'a=macosθ = m(v1- v0)cosθ
t
，方向水平向左
由牛顿第三定律可得，斜面体对地面的摩擦力为f a= m(v1- v0)cosθ
t
，方向水平向右
同理可得f c = m(v2- v0)cosθ
t
，方向水平向左
故CD 错误。
故选：B。
四、整体法与隔离法的灵活运用能够简化问题。水平方向分析N 物体
受力情况时可用隔离法，分析地面与斜面体之间的作用力时可以将M
和斜面体看作一个整体，绳上的拉力为外力。
[例题7] 如图甲所示，倾角为θ 的斜面体C 置于水平地面上，物块B 置于斜面上，通过细
绳跨过光滑的定滑轮与物块A 连接，连接B 的一段细绳与斜面平行，整个装置处于静止状态。
现在B 上再轻放一小物块D，整个系统仍处于静止状态，如图乙所示。则放上D 之后与没放D
时相比（ ）
A．B 受到C 的摩擦力方向可能会发生改变，地面对C 的摩擦力大小和方向都没改变
B．B 受到C 的摩擦力方向可能会发生改变，地面对C 的摩擦力大小一定变大
C．B 对C 的摩擦力大小一定发生改变，地面对C 的摩擦力大小和方向都没改变
D．B 对C 的摩擦力大小一定发生改变，地面对C 的摩擦力大小一定变大
【解答】解：CD．动滑轮为活结，结点两端拉力相等，故绳的拉力T＝mAg
对于图甲，分析B、C 间摩擦力时，隔离B，受力分析如图：
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由于不知道B 的重力在斜面上的分力和拉力T 的大小，因此不能判断静摩擦力的大小及方向；
对于图乙，应隔离以B 和D 为研究对象，同理，不确定质量关系，因此不能确定摩擦力的大小
与方向是否会发生变化，故C、D 错误；
AB．分析地面与C 之间的摩擦力时，应选择整体为研究对象，受力分析如图：
正交分解得水平方向上f1＝Tcosθ，与是否添加小物块无关，则地面对C 的摩擦力大小和方向都
没改变，故A 正确，B 错误。
故选：A。
[例题8] 如图所示，整个装置处于静止状态，球Q 光滑，若用外力使MN 保持竖直并且缓
慢地向右移动，在Q 落到地面以前发现P 始终保持静止，在此过程中下列说法正确的是
（ ）
A．MN 对Q 的弹力逐渐减小
B．地面对P 的摩擦力逐渐增大
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C．地面对P 的弹力变小
D．PQ 之间的弹力逐渐减小
【解答】解：AD、对圆柱体Q 受力分析，受到重力、杆MN 的支持力和半球P 对Q 的支持力，
如图
重力的大小和方向都不变，杆MN 的支持力方向不变、大小变，半球P 对Q 的支持力方向和大
小都变，然后根据平衡条件，得到
N1＝mgtanθ
N2= mg
cosθ
由于θ 不断增大，故N1不断增大，N2也不断增大；
故AD 错误；
BC、对PQ 整体受力分析，受到总重力、MN 杆的支持力N1，地面的支持力N3，地面的静摩擦
力f，如图
根据共点力平衡条件，有
f＝N1＝mgtanθ
N3＝（M+m）g
由于θ 不断增大，故f 不断增大，N3不变，故B 正确，C 错误；
故选：B。
[例题9] 如图所示，A、B 两物块叠放在一起，在竖直向上外力F 的作用下，恰能一起沿
粗糙的竖直墙面匀速向下运动，则物块A 的受力个数为（ ）
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A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【解答】解：对物体A、B 构成的整体受力分析，由平衡条件可知墙壁对A 没有弹力，因此墙
壁对A 也没有摩擦力；物体A 向下做匀速直线运动，物体A 受到重力、恒力F、B 对A 的弹力
和B 对A 的摩擦力共4 个力；故B 正确，ACD 错误。
故选：B。
[例题10] 如图，一质量m＝2kg 的小球通过轻绳连接在质量M＝10kg 的小车上，现给小球
施加一个水平方向的恒力F，使小球和小车一起在光滑水平地面上向右做匀加速运动，已知轻
绳和竖直方向的夹角为37°，则小车的加速度的大小为（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g 取
10m/s2）（ ）
A．1m/s2
B．1.5m/s2
C．2m/s2
D．2.5m/s2
【解答】解：对小球受力分析，受重力mg、绳子拉力T，根据牛顿第二定律有：
水平方向：F﹣Tsin37°＝ma
竖直方向：Tcos37°＝mg
对整体，水平方向：F＝（M+m）a
解得：a＝1.5m/s2
故B 正确，ACD 错误；
故选：B。
[例题11] 挂灯笼的习俗起源于西汉，过年期间，家家户户都挂起了各式各样的灯笼．如图
所示，由五根等长的轻质细绳悬挂起质量均为m 的灯笼A、B、C、D，中间细绳是水平的，
上面两细绳与水平方向夹角为θ1，中间两细绳与竖直方向夹角为θ2，AB 间和BC 间的绳中张
力分别是FAB和FBC，重力加速度为g。下列关系式正确的是（ ）
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A．θ1＝θ2
B．tanθ1
tanθ2
=2
C．FBC＝mgtanθ2
D．F AB= mg
sinθ2
【解答】解：设两侧绳子拉力为T，对A 上面的结点受力分析可知水平方向：Tcosθ1＝FABsinθ2
竖直方向：Tsinθ1＝FABcosθ2+mg
对四个灯笼的整体分析可知：2Tsinθ1＝4mg
解得tanθ1•tanθ2＝2；T = 2mg
sinθ1
；F AB= mg
cosθ2
；FBC＝mgtanθ2
故ABD 错误，C 正确。
故选：C。
五、两个分力 F1 和 F2 的合力为 F，若已知合力(或一个分力)的大小和方向，又知另一个分力
(或合力)的方向，则第三个力与已知方向不知大小的那个力垂直时有最小值．
[例题12] 将两个质量为m 和M 的小球a、b 用细线相连后，再用细线悬挂于O 点，如图所
示，用力F 拉小球b。使两个小球都处于静止状态，且细线Oa 与竖直方向的夹角θ＝30°，则
F 的最小值为（ ）
A．√3
3 （m+M）g
B．（m+M）g
C．√3
2 （m+M）g
D．1
2（m+M）g
【解答】解：将两小球视为整体受力分析，两小球受重力（m+M）g，Oa 绳的拉力T，b 端的拉
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力F。
其中重力为恒力，拉力T 为大小会变、方向不变的力，拉力F 为大小方向均会变的力。
整体受三个力处于平衡态，则三个力可构成首尾相连的闭合矢量三角形。如下图所示：
可知当F 与绳子拉力T 垂直时，F 有最小值Fmin
由几何关系得Fmin＝（m+M）gsin30°= (m+ M )g
2
，故ABC 错误；故D 正确。
故选：D。
[例题13] （多选）如图所示，两个足够长的光滑平板AP 与BP 用铰链连接，平板AP 与水
平面成53°角固定不动，平板BP 可绕P 点的水平轴在竖直面内自由转动，将一重为G 的均匀
圆柱体O 放在两板间。在使BP 板由水平位置缓慢转动到竖直位置的过程中，已知sin53°＝
0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（ ）
A．当BP 沿水平方向时，圆柱体受两个力的作用
B．当BP 沿竖直方向时，AP 板受到的压力最大为5G
3
C．当BP 板与AP 板垂直时，AP 板受到的压力最小为5G
3
D．当BP 板与AP 板垂直时，BP 板受到的压力最小为4G
5
【解答】解：A．由题意，当BP 沿水平方向时，对圆柱体受力分析，由平衡条件可知，圆柱体
受竖直向下的重力、BP 板竖直向上的支持力两个力的作用，故A 正确；
BCD．由题意，画出圆柱体的受力分析图，由平衡条件可知，AP 板与BP 板对圆柱体支持力的
合力，与圆柱体的重力等大方向，画出与圆柱体重力等大反向的力，由平行四边形法则画图，
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如下：
由上图可知，当BP 沿竖直方向时，AP 板对圆柱体的支持力最大，由几何关系有
F AP=
G
cos53° = 5G
3
当BP 板与AP 板垂直时，BP 板对圆柱体的支持力最小，由几何关系有FBP=Gsin53° = 4G
5
根据牛顿第三定律，当BP 沿竖直方向时，AP 板受到的压力最大为5G
3 ；当BP 板与AP 板垂直
时，BP 板受到的压力最小为4G
5 ，故C 错误，BD 正确。
故选：ABD。
[例题14] （多选）如图所示，半圆形框架竖直放置在粗糙的水平地面上，其外侧一光滑的
小球P 在水平外力F 的作用下处于静止状态，P 与圆心O 的连线与水平面的夹角为θ，将力F
在竖直面内沿顺时针方向缓慢地转过90°，期间框架与小球始终保持静止状态。在此过程中下
列说法正确的是（ ）
A．地面对框架的摩擦力始终为零
B．框架对小球的支持力先减小后增大
C．拉力F 的最小值为mgcosθ
D．框架对地面的压力一直减小
【解答】解：BC、以小球为研究对象，分析受力如图所示：
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根据几何关系可知，当F 顺时针转动至竖直向上之前，支持力逐渐减小，F 先减小后增大，当F
的方向沿圆的切线方向向上时F 最小，最小值为F＝mgcosθ，故B 错误，C 正确；
A、以框架与小球组成的整体为研究对象，整体受到重力、地面的支持力、地面的摩擦力以及力
F 的作用。地面的摩擦力与F 沿水平方向的分力相等，由图可知，F 在顺时针方向转动的过程中，
F 沿水平方向的分力逐渐减小，所以地面对框架的摩擦力始终在减小，故A 错误；
D、以框架与小球组成的整体为研究对象，地面的支持力等于整体重力减去F 沿竖直方向的分力，
由图可知，F 在顺时针方向转动的过程中，F 沿竖直方向的分力逐渐增大，所以地面对框架的支
持力始终在减小，根据作用力与反作用力可知，框架对地面的压力始终在减小，故D 正确。
故选：CD。
[例题15] 如图所示，足够长的斜面倾角为θ，一质量为m 的物块恰好能自行沿斜面匀速下
滑。物块在沿斜面匀速下滑过程中，在竖直平面内给物块一任意方向（α 角任意）的外力F，
斜面始终处于静止状态。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．物块沿斜面下滑过程中，地面给斜面的摩擦力为零
B．物块与斜面间的动摩擦因数μ＝2tanθ
C．若外力F 拉着物块沿斜面匀速上滑，则F 的最小值为mgcosθ
D．若外力F 拉着物块沿斜面匀速上滑，则F 的最小值为mgsinθ
【解答】解：B、未加F 时，物块匀速下滑，受力平衡，物块的受到重力、支持力和摩擦力的作
用，由平衡条件得：mgsinθ＝μmgcosθ，解得物块与斜面间的动摩擦因数μ＝tanθ，故B 错误；
A、物块匀速下滑过程中，整体水平方向受力平衡，则地面对斜面的摩擦力为零；
若对物块施加一个沿斜面方向的力，物块下滑过程中对斜面的作用力没有变，斜面受力情况不
变，则地面对斜面的摩擦力仍为零；
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若对物体施加一个垂直于斜面方向的力F1，物块下滑过程中，对斜面的压力增加F1、摩擦力增
加μF1，如图所示；
根据几何关系可知：tanθ= μ F1
F1
=μ，故此时物块对斜面的作用力方向仍向下，地面对斜面的摩
擦力为零；
在竖直平面内给物块一任意方向（α 角任意）的外力F，此力F 可以分解为垂直于斜面方向和沿
斜面方向，而施加沿斜面方向的力、垂直于斜面方向的力时，地面对斜面的摩擦力均为零，所
以无论对物块B 施加什么方向的力，在B 停止运动前，地面对斜面的摩擦力均为零，故A 正确；
CD、若外力F 拉着物块沿斜面匀速上滑，设力F 与斜面的夹角为α，根据平衡条件可得：
Fcosα＝mgsinθ+μ（mgcosθ﹣Fsinα）
解得：F= mgsinθ+ μmgcosθ
cosα + μsinα
= mgsinθ+ μmgcosθ
√μ
2+1sin(α + β)
所以F 的最小值为：Fmin= mgsinθ+ μmgcosθ
√μ
2+1
=（mgsinθ+μmgcosθ）cosα＝mgsin2θ，故CD 错
误。
故选：A。
六、晾衣服问题
设绳与竖直方向夹角为θ，两杆距离为d，绳长为L，则有sinθ=d/L。若只将端点上下移动，则θ
不变，绳的拉力不变；若端点（杆）左右移动，则θ 会相应变化。
[例题16] 如图，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N 上的a、b 两点，悬
挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，
下列说法正确的是（ ）
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A．绳的右端上移到b'，绳子拉力变小
B．将杆M 向左移一些，绳子拉力变小
C．换用稍长一些的轻质晾衣绳，绳子拉力变小
D．绳的两端高度差越小，绳子拉力变小
【解答】解：AD．设竖直杆M、N 间的距离为d，绳长为L，Oa 端绳长为La，Ob 端绳长为
Lb，故L＝La+Lb，衣架钩两侧绳子与竖直方向夹角分别为α、β，受力分析如图所示。
衣架钩两侧绳子上受力相等，故有
T1＝T2＝T
则由共点力的平衡知识可得
α＝β
2Tcosα＝G
又有d＝Lasinα+Lbsinβ＝Lasinα+Lbsinα＝Lsinα
则sinα= d
L
T=
G
2cosα
所以，如果d 与L 不变，则sinα 不变，α 不变，cosα 不变，绳子所受拉力不变。故AD 错误；
B．当杆M 向左移一些，两杆之间的距离d 变大，绳长L 不变，所以α 角变大，cosα 变小，绳
子拉力T 变大，故B 错误；
C．换用稍长一些的轻质晾衣绳，则绳长L 变大，两杆之间的距离d 不变，所以α 角变小，cosα
变大，绳子拉力T 变小，故C 正确。
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故选：C。
[例题17] 工地上甲、乙两人用如图所示的方法将带挂钩的重物抬起。不可伸长的轻绳两端
分别固定于刚性直杆上的A、B 两点，轻绳长度大于A、B 两点间的距离。现将挂钩挂在轻绳
上，乙站直后将杆的一端搭在肩上并保持不动，甲蹲下后将杆的另一端搭在肩上，此时物体刚
要离开地面，然后甲缓慢站起至站直。已知甲的身高比乙高，不计挂钩与绳之间的摩擦。在甲
缓慢站起至站直的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．轻绳的张力大小一直不变
B．轻绳的张力先变大后变小
C．轻绳的张力先变小后变大
D．轻绳对挂钩的作用力先变大后变小
【解答】解：ABC、如图
不计挂钩与绳之间的摩擦，则挂钩可视为“活结”。挂钩两侧绳上的拉力大小相等。甲缓慢站
起至站直的过程，可视为动态平衡。
设挂钩两侧轻绳的夹角为θ，设轻绳上的拉力为F，则由共点力的平衡可得
2Fcosθ
2 =mg，则F =
mg
2cos θ
2
当甲缓慢站起至低于乙的过程中，AB 之间的垂直距离变大，故轻绳间的夹角θ 先变大，cosθ
2先
变小，轻绳的张力先变大；
当杆水平时轻绳间夹角最大，轻绳的张力最大；
当甲的高度超过乙的高度时，AB 之间的垂直距离开始变小，故轻绳间的夹角θ 变小，cosθ
2变大，
轻绳的张力变小；
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故轻绳的张力先变大后变小，故B 正确；故AC 错误；
D、轻绳对挂钩的作用力，大小等于挂钩对轻绳的作用力，等于重物的重力，大小不变，故D 错
误。
故选：B。
[例题18] 如图所示，晾晒衣服的绳子两端分别固定在两根竖直杆上的A、B 两点，绳子的
质量及绳与衣架挂钩间摩擦均忽略不计，现衣服处于静止状态。如果保持绳子A 端、B 端在杆
上的位置不变，将右侧杆缓慢平移到图中虚线位置的过程中，则（ ）
A．绳子的弹力变大
B．绳子的弹力不变
C．绳子对挂钩弹力不变
D．绳子对挂钩弹力变大
【解答】解：对挂钩进行受力分析如图所示；
设绳长为L，两杆之间的距离为d，绳子与竖直方向的夹角为θ，根据图中几何关系可得：sinθ
= d
L
同一条绳子拉力相等，竖直方向根据平衡条件可得：2Fcosθ＝mg
解得：F=
mg
2cosθ 。
保持绳子A 端、B 端在杆上的位置不变，将杆移动到虚线位置时，两杆之间的距离d 减小、则θ
减小、cosθ 增大、绳子张力变小，绳子对挂钩的弹力始终等于衣服的重力，所以绳子对挂钩弹
力不变，故ABD 错误，C 正确。
故选：C。
[例题19] 如图所示，圆心为O，水平直径为AB 的圆环位于竖直面内，一轻绳两端分别固
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定在圆环的M、N 两点，轻质滑轮连接一重物，放置在轻绳上，MN 连线过圆心O 且与AB 间
的夹角为θ，不计滑轮与轻绳之间的摩擦。圆环顺时针缓慢转过角度2θ 的过程，轻绳的张力
（ ）
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先增大再减小
D．先减小再增大
【解答】解：M、N 连线与水平直径的夹角θ 越大，M、N 之间的水平距离越小，轻绳与竖直方
向的夹角α 越小，根据共点力的平衡，有
2Tcosα＝mg
知轻绳的张力T 越小，故圆环从图示位置顺时针缓慢转2θ 的过程，轻绳的张力先增大再减小，
故C 正确，ABD 错误。
故选：C。
七、动态平衡问题
解析法
一般把力进行正交分解，两个方向上列平衡方
程，写出所要分析的力与变化角度的关系式，
然后进行数学分析
[例题20] 如图所示，质量为km（k 大小未知）的物体A 和质量为m 的物体B 用跨过光滑
定滑轮的细线连接，物体A 放置在粗糙的水平面上，细线OB 段沿竖直方向，细线OA 段与水
平方向的夹角为θ＝30°．现用水平外力F 将物体B 缓慢拉至细线与竖直方向的夹角θ＝30°，
该过程物体A 始终静止不动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体A 与水平面间的动摩擦因
数0＜μ＜1。则k 的取值可能是（ ）
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A．√3
B．1
C．2√3
3
D．√3
3
【解答】解：开始时F＝0，B 物体才能平衡，则绳子上的拉力为等于F1＝mg，对A 受力分析并
将绳子的拉力沿水平和竖直方向分解，如下图所示：
竖直方向：FN1＝kmg﹣F1sinθ
绳子的水平分力要小于等于最大静摩擦力，得：F1cosθ≤μFN1
联立并代入θ 值解得：k≥cos30°
μ
+sin30°＞√3
2 + 1
2
水平外力F 将物体B 缓慢拉至细线与竖直方向的夹角θ＝30°时，绳上的拉力F2达到最大，B 受
重力、水平拉力F 以及绳上的拉力F2，如下图所示：
根据三力平衡可知：F2=
mg
cos30°
再对A 受力分析并将绳子的拉力沿水平和竖直方向分解，竖直方向：FN2＝kmg﹣F2sinθ
绳子的水平分力要小于等于最大静摩擦力，得：F2cosθ≤μFN2
联立并代入F2，θ 值解得：k≥1
μ + tan30°＞√3
3 +1
综合以上分析k＞√3
3 +1，才能保证全过程物体A 始终静止不动，故A 正确，BCD 错误。
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故选：A。
[例题21] 如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。铺设瓦片时，屋顶结构可简
化为图乙所示，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能静止在檩条上。
已知檩条间距离为d，以下说法正确的是（ ）
A．减小檩条间的距离d 时，瓦片可能会下滑
B．减小檩条的倾斜角度θ 时，瓦片与檩条间的弹力变小
C．增大檩条间的距离d 时，瓦片与檩条间的摩擦力变大
D．增大檩条间的距离d 时，瓦片与檩条间的弹力变小
【解答】解：A．在垂直檩条方向的剖面上，瓦片受力示意图如下
两根檩条给瓦片的支持力与垂直檩条方向的夹角为α，则有
2Fcosα＝mgcosθ
减小檩条间的距离d 时，夹角α 减小，两檩条给瓦片的支持力F 变小，故瓦片与檩条间的弹力变
小，最大静摩擦力变小，则檩条可能下滑，故A 正确；
CD．同理，增大檩条间的距离d 时，夹角α 增大，两檩条给瓦片的支持力F 变大，故瓦片与檩
条间的弹力变大，最大静摩擦力变大；瓦片处于静止状态，由平衡条件可知，瓦片与檩条间的
摩擦力等于mgsinθ，且保持不变，故CD 错误；
B．根据2Fcosα＝mgcosθ，减小檩条的倾斜角度θ 时，则mgcosθ 增大，瓦片与檩条间的弹力变
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大，故B 错误。
故选：A。
[例题22] 如图所示，半圆形凹槽的半径为R，固定在水平面上。一只小蚂蚁A 由凹槽的底
部向上爬，蚂蚁所能上升到相对圆槽底面的最大高度为h（h＜R），认为最大静摩擦力等于滑
动摩擦力，则蚂蚁与槽面间的动摩擦因数是（ ）
A．μ= √2 Rh-h
2
R -h
B．μ= √2 Rh+h
2
R -h
C．μ= √2 R h-h
2
R+h
D．μ= √2 R h+h
2
R+h
【解答】解：在最高点对小蚂蚁受力分析，蚂蚁受重力、支持力和最大静摩擦力作用，如图
根据受力平衡，沿切线方向有f＝mgsinθ＝μFN，沿半径方向有：N＝mgcosθ
根据牛顿第三定律支持力与压力等大FN＝N
而根据几何关系，则有cosθ = R -h
R
解得蚂蚁与槽面间的动摩擦因数是μ=tanθ = √2 Rh-h
2
R -h
，故BCD 错误，A 正确。
故选：A。
图解法
如果其中一个力的大小、方向均不变，另一个力 的
方向不变，求解第三个力的变化时可用图解法
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[例题23] 筷子是中华饮食文化的标志之一。如图所示，用筷子夹质量为m 的小球处于静止，
筷子均在竖直平面内，且筷子与竖直方向的夹角均为θ。忽略小球与筷子之间的摩擦，重力加
速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．筷子对小球的合力大于重力
B．筷子的弹力大小均为N =
mg
2cosθ
C．保持左侧筷子固定不动，右侧筷子缓慢变为竖直，左、右筷子的弹力均逐渐变大
D．保持左侧筷子固定不动，右侧筷子缓慢变为竖直，左、右筷子的弹力均逐渐变小
【解答】解：A、用筷子夹着小球在竖直平面内处于静止状态，根据平衡条件可知，筷子对小球
的合力与小球的重力等大反向，故A 错误；
B、对小球受力分析，如图：
由几何关系可知，筷子对小球的弹力大小为N = mg
2sinθ
故B 错误；
CD、保持左侧筷子固定不动，右侧筷子缓慢变为竖直，在右边筷子转到竖直方向的过程中，左
边筷子对小球弹力N1的方向始终垂直于筷子，方向不变，而小球自身的重力是一个恒力，由此
可以做出在动态平衡过程中力的矢量三角形如下图所示
当两根筷子与竖直方向夹角都为θ 时，三力构成的矢量三角为等腰三角形，在右边的筷子转到
竖直方向时，三个力的矢量构成一个直角三角形，易得，在右边筷子转到竖直的过程中，两筷
子对小球的弹力都在增大，故C 正确，D 错误。
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故选：C。
[例题24] 如图所示，用OA、OB 两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间。开始时OB 绳处于水
平状态。现保持O 点位置不变，只通过改变OB 绳长使绳右端由B 点缓慢上移至B'点，此时
OB′与OA 之间的夹角θ＜90°。设此过程中OA、OB 绳的拉力分别为FOA、FOB，下列说法正
确的是（ ）
A．FOB先增大后减小
B．FOB先减小后增大
C．FOA先增大后减小
D．FOA先减小后增大
【解答】解：以结点O 为研究对象，分析受力：重力G、绳OA 的拉力FOA 和绳BO 的拉力
FOB，如图所示
根据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反，
作出轻绳OB 在两个位置时力的合成图如图，由图看出，FOA逐渐减小，FOB先减小后增大，当θ
＝90°时，FOB最小。
故ACD 错误，B 正确。
故选：B。
[例题25] 如图，将橡皮筋的结点拉至O 点并保持不动。水平移动滑轮C，并保持OB 与竖
直方向夹角α 保持不变。要使OD 绳下悬挂物质量最小，则OC 与竖直方向的夹角β 与α 之间
满足（ ）
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A．α＝β
B．α+β＝90°
C．α＝2β
D．2α＝β
【解答】解：对O 点受力分析，画出力的矢量三角形如图所示
可知，当FB和FC垂直时，即α+β＝90°时，OC 绳上拉力最小，即OD 绳下悬挂物质量最小。
故ACD 错误，B 正确；
故选：B。
相似三角形法
如果其中的一个力大小、方向均不变，另外两个
力的方向都发生变化，可用力三角形与几何三角
形相似的方法求解
[例题26] 如图所示，光滑半圆环竖直固定放置，最高点B 处有一光滑小滑轮，质量为m
的小球A 穿在环上。现用细绳一端拴在A 上，另一端跨过滑轮用力F 拉动，使A 由图示位置
缓慢向上移动，圆环对A 的弹力为FN，则（ ）
A．力F 逐渐变大
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B．弹力FN逐渐变小
C．弹力FN大小不变
D．弹力FN的方向先背离圆心O 后指向圆心O
【解答】解：对球A 受力分析，根据平衡条件可知，mg 与FN的合力与T 等大反向共线，作出
mg 与FN的合力，如图所示
由三角形相似得：mg
BO = F N
OA = T
AB
同一根绳上拉力相等，即T 与F 大小相等，由几何关系得：BO＝OA＝R
则FN＝mg
即FN的方向始终背离圆心且大小不变；
A 缓慢向上移动时，AB 减小，则F 变小，故C 正确，ABD 错误。
故选：C。
[例题27] 如图所示，带电金属小球A 用绝缘细线悬挂于O 点，O 点正下方带电小球B 固
定在绝缘支座上，两小球可视为质点，平衡时其间距离为L。现将与小球A 完全相同的三个不
带电的金属小球依次并充分与A 接触后移开，则再次平衡后A、B 间距离为（ ）
A．1
8L
B．1
4 L
C．1
2L
D．L
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【解答】解：对小球A 受力分析，小球A 受到重力mg，拉力T 和库仑力F，如图：
设OB 间距离为h，A 的电荷量为q，B 的电荷量为Q，由库仑定律得：F＝kQq
L
2
由三角形相似得：F
L = mg
h
将与小球A 完全相同的三个不带电的金属小球依次并充分与A 接触后移开，小球A 此时的电荷
量为q′= q
8
由库仑定律得：F′=
kQ q
8
L'
2
由三角形相似得：F '
L' = mg
h
联立解得：L′= 1
2L
故C 正确，ABD 错误。
故选：C。
[例题28] 如图所示，光滑的半圆环沿竖直方向固定，M 点为半圆环的最高点，N 点为半圆
环上与半圆环的圆心等高的点，直径MH 沿竖直方向，光滑的定滑轮固定在M 处，另一小圆
环穿过半圆环用质量不计的轻绳拴接并跨过定滑轮。开始小圆环处在半圆环的最低点H 点，
第一次拉小圆环使其缓慢地运动到N 点，第二次以恒定的速率将小圆环拉到N 点。滑轮大小
可以忽略，则下列说法正确的是（ ）
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A．第一次轻绳的拉力逐渐减小
B．第一次半圆环受到的压力逐渐增大
C．小圆环第一次在N 点与第二次在N 点时，第二次轻绳的拉力大一些
D．小圆环第一次在N 点与第二次在N 点时，半圆环受到的压力大小一定相同
【解答】解：AB、在小圆环缓慢向上移动的过程中，小圆环处于三力平衡状态，对其受力分析
如图所示：
由三个力所在的三角形与△OMP 相似得：mg
MO = F N
OP = T
MP
由题中几何关系知，MP 变小，MO＝OP 且恒定不变，则
T 变小，FN＝mg，故A 正确，B 错误；
C、小圆环第一次在N 点时与第二次在N 点时，轻绳的拉力T 在竖直方向的分力均等于重力
mg，故小圆环第一次在N 点时轻绳的拉力等于第二次在N 点时轻绳的拉力，故C 错误；
D、小圆环第一次在N 点时处于平衡状态，加速度为零，半圆环的弹力FN等于轻绳在水平方向
的分力；小圆环第次二在N 点时处于非平衡状态，加速度不为零，半圆环的弹力FN等于轻绳在
水平方向的分力减去向心力，故两次半圆环的弹力不相等，半圆环受到的压力也不相等，故D
错误。
故选：A。
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拉密定理
或辅助圆
如果有两个力的方向都发生变化，但是有确定的
夹角，可以用拉密定理（正弦定理）列比例式进
行求解。右图满足：
[例题29] 《大国工匠》节目中讲述了王进利用“秋千法”在1000kV 的高压线上带电作业
的过程，如图所示，绝缘轻绳OD 一端固定在高压线杆塔上的O 点，另一端固定在兜篮D 上，
另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上C 点的定滑轮，一端连接兜篮，另一端由工人控制，身穿屏蔽
服的王进坐在兜篮里，缓慢地从C 点运动到处于O 点正下方E 点的电缆处，绳OD 一直处于伸
直状态。兜篮、王进及携带的设备总质量为m，可看作质点，不计一切阻力，重力加速度大小
为g。从C 点运动到E 点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．绳OD 的拉力一直变小
B．绳CD 的拉力一直变大
C．绳OD、CD 拉力的合力大于mg
D．绳CD 与竖直方向的夹角为30°时，绳CD 的拉力为√3
3 mg
【解答】解：AB．对兜篮、王进及携带的设备整体受力分析如图所示
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绳OD 的拉力为F1，与竖直方向的夹角为θ，绳CD 的拉力为F2，与竖直方向的夹角为α，根据
几何关系可得：
θ+α+α＝90°
根据正弦定理可得
F1
sinα = F2
sinθ =
mg
sin( π
2 +α )
α 增大，θ 减小，则拉力F1增大，拉力F2减小，故AB 错误；
C．王进处于平衡状态，因此可分析出此时的两绳拉力的合力等于mg，故C 错误；
D．当α＝30°时，θ＝30°，则根据平衡状态可得：
2F2cos30°＝mg
解得：F2= √3
3 mg，故D 正确。
故选：D。
[例题30] 如图所示，质量为M 的物体用轻绳悬挂于O 点，开始时轻绳OA 水平，OA、OB
两绳之间的夹角α＝150°，现将两绳同时顺时针缓慢转过90°，且保持O 点及夹角α 不变，物
体始终保持静止状态。在旋转过程中，设绳OA 的拉力为F1，绳OB 的拉力为F2，则下列说法
正确的是（ ）
A．F1逐渐增大，最终等于Mg
B．F1先减小后增大
C．F2逐渐减小，最终等于零
D．F2先增大后减小
【解答】解：AB．由题意知，结点O 受三个力作用处于动态平衡状态，初始时FOA和FOB夹角
α＝150°，且始终不变。作出O 点所受三个力的矢量三角形的外接圆，如图所示
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则重力为不变的弦、圆周角始终为30°，F1矢量箭头将在圆周上移动。由上图可知，OA 绳顺时
针转过90°过程中，F1先增大后减小，最终等于Mg，故AB 错误；
CD．初始时刻，FOA水平，FOB恰好为其外接圆的直径，OB 绳顺时针转过90°过程中，F2逐渐减
小，当绳OB 处于竖直位置时，F2＝0，故C 正确，D 错误。
故选：C。
[例题31] 如图为一个简易模型，截面为一内壁光滑的顶角为40°的等腰三角形框架，内部
有一个小球，质量为m，其半径略小于内接圆半径，三角形各边有压力传感器，分别感受小球
对三边压力的大小。此时AC 边恰好处于水平状态，现使框架以C 为轴在竖直面内顺时针缓慢
转动，直到AC 边竖直，则在转动过程中（ ）
A．AB 边对球的弹力一直增大
B．AC 边对球的弹力一直增大
C．BC 边对球的弹力一直增大
D．AC 边对球的弹力先变小后变大
【解答】解：在转动过程中，刚开始转动角度较小时，受力分析如图1，末状态受力分析如图2
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AC 边弹力FAC垂直于边AC，BC 边弹力FBC垂直于边BC，由几何关系可知：
∠1＝180°﹣∠C＝140°
在转动过程中，∠1 不变，∠2 由锐角变为钝角，∠3 由钝角变为直角，由正弦定理可得：
mg
sin ∠1 =
F AC
sin ∠2 =
F BC
sin ∠3
故AB 边始终没有弹力，根据数学知识可知，FBC一直增大，FAC先变大后变小，故ABD 错误，
C 正确；
故选：C。
[例题32] 在光滑竖直板上用网兜把足球挂在A 点，足球与板的接触点为B。绳与板的夹角
为α，网兜的质量不计。现保持α 不变，以板的底边为轴向右缓慢转至板水平，下列说法正确
的是（ ）
A．绳对足球的拉力先减小后增大
B．绳对足球的拉力一直增大
C．板对足球的支持力先增大后减小
D．板对足球的支持力一直减小
【解答】解：对球受力分析，球受到重力，拉力和支持力，如图所示，因为绳与板的夹角α 保
持不变，三力首尾相接可得：FT与FN的夹角θ＝90°﹣α 不变，即它们的矢量图被限制在一个外
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接圆上移动。可见绳对足球的拉力一直减小，板对足球的支持力先增大后减小。故C 正确，
ABD 错误。
故选：C。
[例题33] 如图，在水平桌面上叠放着两个物块M 和m，轻绳绕过光滑的定滑轮O'，一端
与m 相连，另一端悬挂重物A．用外力F 缓慢拉结点O，F 方向与OO'夹角为α＝120°且保持
不变，使OO'从竖直拉至水平，两物块始终保持静止，下列说法正确的是（ ）
A．绳子OO'的拉力先减小后增大
B．m 对M 的摩擦力一直在增大
C．地面对桌子的摩擦力先增大后减小
D．桌面对M 的摩擦力可能一直在减小
【解答】解：A、对结点O 受力分析，如图1 所示
图1
根据正弦定理可得：
F
sinγ = T
sinβ = mg
sinα
使OO'从竖直缓慢拉至水平过程，β 的变化范围先小于90°，后逐渐增大到大于90°，sinβ 先增大
后减小；γ 的变化范围是先等于180°，后逐渐减小到等于90°，sinγ 逐渐增大；所以F 一直增大，
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T 先增大后减小，故A 错误；
B、对m 受力分析可知
f1＝T，
T 先增大后减小，则M 对m 摩擦力先增大后减小，根据牛顿第三定律可知，m 对M 的摩擦力先
增大后减小，故B 错误；
C、用外力F 缓慢拉结点O，F 方向与OO'夹角为α＝120°且保持不变，使OO'从竖直拉至水平过
程中，结点O 处于动态平衡，三个力变化如图2 所示
图2
对桌子、物块和重物整体分析可知，整体始终保持静止状态，则地面对桌子的摩擦力等于F 沿
水平方向的分力，由图2 可知F 沿水平方向分力先增大后减小，故C 正确；
D、对M 和m 整体受力分析可知，桌面对M 的摩擦力
f3＝T
T 先增大后减小，则桌面对M 的摩擦力先增大后减小，故D 错误；
故选：C。
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