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2024 年高考物理一轮大单元综合复习导学练
专题31 功、功率、机车启动问题
导练目标
导练内容
目标1
功的正负和恒力功大小计算
目标2
变力功的计算方法
目标3
功率的计算
目标4
机车启动问题
【知识导学与典例导练】
一、功的正负和恒力功大小计算
1．功的正负判断方法
(1)恒力功的判断：依据力与位移方向的夹角来判断。
(2)曲线运动中功的判断：依据F 与v 的方向夹角α 来判断，0°≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，
力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功。
(3)依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两
个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。
2．恒力功的计算方法
3．总功的计算方法
方法一：先求合力F 合，再用W 总＝F 合lcos α 求功，此法要求F 合为恒力。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W 总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”
“－”再求和。
【例1】如图所示，升降机内斜面的倾角 θ＝30°，质量为2 kg 的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在
升降机以 5 m/s2 的加速度从静止开始匀加速上升4 s 的过程中。g 取10 m/s2，则（ ）
A．斜面对物体的支持力做功900 J
B．斜面对物体的摩擦力做功－300 J
1
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C．物体克服重力做功－800 J
D．合外力对物体做功400 J
二、变力功的计算方法
1.利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样
就将变力做功转化为在无数多个位移上的恒力所做功的代数和。此法常用于求解大小不变、方向改变的变
力做功问题。
【例2】如图所示，用一个大小不变的力
拉着滑块（视为质点）使其沿半径为
的水平圆轨道匀速运动
半周，若力
的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成
夹角，则力
做的功为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.化变力为恒力求变力做功
有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用W＝Flcos α 求解。此法常用于轻绳通
过定滑轮拉物体做功的问题中。
【例3】如图所示，在距水平地面高为
处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P 点固定一定滑轮，滑
轮可绕水平轴无摩擦转动，在P 点的右边，杆上套有一质量
小球A，半径
的光滑半圆形细
轨道，竖直地固定在地面上，其圆心O 在P 点的正下方，在轨道上套有一质量也为
的小球B。用一
条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来，杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看
作质点，且不计滑轮大小的影响，g 取
。现给小球一个水平向右的恒力
，则下列说法正确
的是（ ）
A．把小球B 从地面拉到P 点正下方C 点过程中，力F 做的功为
2
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B．小球B 运动到C 处时的速度大小为
C．小球B 被拉到离地
时与小球A 速度大小相等
D．小球B 被拉到C 处时小球A 的速度为
3.利用平均力求变力做功
当物体受到的力方向不变，而大小随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝的恒力作用，
F1、F2分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W＝Flcos α 求此变力所做的功。
【例4】如图所示，一轻质立方体被从水表面缓慢压入水中，直至其上表面没入水中，已知立方体的棱长
为
，水的密度为
，重力加速度为
，不考虑水面高度的变化。该过程中，立方体克服水的浮力所做的
功为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.利用F-x 图像求变力做功
在F x 图像中，图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移内所做的功，且位于x 轴上
方的“面积”为正功，位于x 轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如
三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
【例5】如图1 所示，质量为1kg 的物块静止在水平面上，物块与水平面间的动摩擦因数为0.5，重力加速
度取
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，给物块施加一个水平向右的拉力，拉力随物块运动的位移变
化规律如图2 所示，则（ ）
A．物块运动的最大速度为
B．物块运动的最大速度为
C．物块运动的最远距离为3.6 m
D．物块运动的最远距离为3.8 m
3
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5.利用动能定理求变力做功
利用公式W＝Flcos α 不容易直接求功时，尤其对于曲线运动或变力做功问题，可考虑由动能的变化
来间接求功，所以动能定理是求变力做功的首选。
【例6】如图所示，质量为m 的小球用细线牵引着在光滑的水平面上做匀速圆周运动，O 为一光滑的孔，
当拉力为F 时，转动半径为R；当拉力减小到
时，小球仍做匀速圆周运动，此时转动半径为
。在此
过程中，拉力对小球做的功为（ ）
A．0
B．
C．
D．
6. 若变力的功率恒定，可用用W=Pt 计算功。
【例7】如图所示为某汽车启动时发动机功率P 随时间t 变化的图像，图中P0为发动机的额定功率，若已
知汽车在t2时刻之前已达到最大速度vm，据此可知（ ）
A．t1～t2时间内汽车做匀速运动
B．0～t1时间内发动机做的功为P0t1
C．0～t2时间内发动机做的功为P0（t2－
）
D．汽车匀速运动时所受的阻力小于
三、功率的计算
1.平均功率的计算方法
4
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(1)利用P=W
t
。
(2)利用P=Fvcos α,其中v 为物体运动的平均速度,α 为F 与v 的夹角。
2.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P=Fvcos α,其中v 为t 时刻的瞬时速度,α 为F 与v 的夹角。
(2)利用公式P=FvF,其中vF为物体的速度v 在力F 方向上的分速度。
(3)利用公式P=Fvv,其中Fv为物体受到的外力F 在速度v 方向上的分力。
【例8】如图所示，A、B 是质量相等的两个小球，A 球从高度为h 的固定光滑斜面顶端静止下滑，B 球从
半径为h 的四分之一固定光滑圆弧顶端静止下滑，重力加速度为g,关于A、B 两小球的运动，下列说法正确
的是（ ）
A．两小球运动到各自底端时合外力做的功相同
B．两小球到达底端时速率相等
C．两小球运动到各自底端时重力的瞬时功率相等
D．B 球运动过程中重力的瞬时功率先增大后减小
四、机车启动问题
1．两种启动方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
Pt 图像
和
vt 图像
OA
段
过程
分析
v↑⇒F＝↓
⇒a＝↓
a＝不变⇒F 不变
⇒P＝Fv↑直到P 额＝Fv1
运动
性质
加速度减小的加速运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB
段
过程
分析
F＝F 阻⇒a＝0
⇒vm＝
v↑⇒F＝↓
⇒a＝↓
5
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运动
性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC 段
无
F＝F 阻⇒a＝0⇒
以vm＝做匀速运动
2．三个重要关系
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝。
(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v＝<vm＝。
(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F 阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车
以恒定功率启动过程的位移、速度或时间。
【例9】质量
的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，图甲表示汽车运动的速度与时间的关
系，图乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力恒定不变，在
末汽车的速度
恰好达到最大。则下列说法正确的是（ ）
A．汽车受到的阻力
B．汽车启动过程中最大牵引力为
C．汽车在做变加速运动过程中的位移大小为
D．
过程中汽车牵引力做的功为
3. 倾斜、竖直机车启动问题
上坡最大速度
下坡最大速度
竖直提升最大速*
k.Com]
【例10】如图甲所示，一个倾角为
的斜面固定在地面上，一辆质量为m 的汽车由静止以额定功率P 驶上
斜面，汽车行驶的最大速度为v1；如图乙所示，若汽车从斜面顶端由静止以额定功率P 向下运动，汽车行
θ(
mgsinθ
P/v
f
θ(
mgsinθ
P/v
f
mg
P/v
6
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驶的最大速度为v2.已知汽车行驶过程中受到的阻力大小恒定不变，重力加速度为g，下列说法正确的是（
）
A．汽车均做匀加速直线运动
B．最大行驶速度v1大于v2
C．阻力大小为
D．额定功率大小为
4． 机车启动a-1/v 图像和F-1/v 图像问题
恒定功率启动a-1/v 图像
恒定加速度启动F-1/v 图像
由F－Ff＝ma，P＝Fv 可得：a＝·－，
①斜率k＝
②纵截距b=－
③横截距c==
F f
P
①AB 段牵引力不变，做匀加速直线运动；
②BC 图线的斜率k 表示功率P，知BC 段功率不变，牵引力
减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动；
③B 点横坐标对应匀加速运动的末速度为1/v1；
④C 点横坐标对应运动的最大速度1/v2，此时牵引力等于阻
力。
【例11】在2023 年上海车展中，比亚迪公司发布了百万级超跑“仰望U9”，新车将会搭载“易四方”四电
机技术，其百公里加速时间也将会进入2 秒级。如图是该车在某次加速测试中的部分
图像，汽车质量
为m，图上标注值均为已知量，汽车所受阻力恒定，则（ ）
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A．汽车的牵引力不变
B．汽车牵引力的功率逐渐增大
C．汽车所受阻力大小为
D．当汽车速度为
时，汽车的加速度为
【例12】在汽车性能测试中，一汽车以恒定加速度启动后，最终以额定功率在平直公路上行驶。汽车所受
牵引力与速度倒数的关系如图所示，已知汽车的质量为
，汽车运动过程中所受阻力恒定，下
列说法正确的是（ ）
A．汽车匀加速过程中能达到的最大速度为30m/s
B．汽车做匀加速直线运动的时间为4s
C．汽车做匀加速直线运动的加速度为
D．汽车的额定功率为
【综合提升专练】
1．如图所示，一辆装满石块的货车在平直道路上行驶。货箱中石块
的质量为
重力加速度为
，在货车
以加速度
加速运动位移
的过程中，下列说法正确的是（ ）
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A．周围与石块B 接触的物体对它的作用力的合力大小为
B．周围与石块B 接触的物体对它的作用力的合力大小为
C．周围与石块B 接触的物体对它的作用力的合力做功为
D．周围与石块B 接触的物体对它的作用力的合力做功为
2．如图所示，建筑工地常使用打桩机将圆柱体打入地下一定深度，设定某打桩机每次打击过程对圆柱体
做功相同，圆柱体所受泥土阻力f 与进入泥土深度h 成正比（即
，k 为常量），圆柱体自重及空气阻
力可忽略不计，打桩机第一次打击过程使圆柱体进入泥土深度为
，则打桩机第n 次打击过程使圆柱体进
入泥土深度为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图甲所示，一物块在光滑的水平面上以初速度v0=20m/s 匀速运动。某时起对物块加一水平力
F1=2N，经20s 后将力的大小变为F2，方向相反。物块沿直线运动的速度—时间的图像如图所示乙，则（
）
A．20 至40s 内力F2对物块做正功
B．在0 至20s 内力F1对物块做功是-400J
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C．在10 至20s 内力F1对物块做功的平均功率是40W
D．在20s 末时力F1对物块做功瞬时功率40W
4．如图，a、b、c 三个相同的小球，a 从光滑斜面顶端由静止开始自由下滑，同时b、c 从同一高度分别开
始自由下落和平抛，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．三个小球运动过程中重力做的功不相等
B．三个小球运动过程中重力做功的平均功率相等
C．a、b 落地时的速度相同
D．b、c 落地时重力的瞬时功率相等
5．如图甲所示，在一无限大光滑水平面上静止放置可视为质点、质量为m=2kg 的物体，以物体所在初始
位置为坐标原点建立一维坐标系，现给物体施加一沿x 轴正向的作用力F，其大小与坐标的关系如图乙所
示。则在x=4m 处，作用力F 的瞬时功率为（ ）
A．15W
B．20W
C．40W
D．无法计算
6．如图甲所示，一光滑轨道由AB、BC 和CD 段组成。AB 段倾角为
，BC 段水平。质量为m 的滑块在顶
端A 处由静止下滑，经C 点飞入空中，最终落在CD 段上的E 点。不计滑块经过B 点的机械能损失和空气
阻力，滑块加速度大小a 随时间t 变化的图像如图乙所示，图中物理量均为已知量，则可求得（ ）
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A．
B．滑块在B 点的速度大小为
C．C、E 两点的高度差
D．滑块在E 点时，重力瞬时功率为
7．汽车生产时都要进行一系列测试，其中一项为加速性能的测试，测试方法为：将汽车停在 水平平直试
验路段起点，实验开始时，司机立即将油门踩到底（保持汽车以额定功率运 动），记录汽车速度从0 加速
到100km/h 所用时间，该时间是衡量汽车动力水平的一个重要参考指标。某国产汽车的额定功率为
100kW，在某次测试时，汽车从静止开始以额 定功率运动，假设运动过程中所受阻力恒定，汽车最终做匀
速直线运动。通过传感器测得汽车运动速度的倒数
与加速度a 的关系如图所示。下列说法正确的是（
）
A．汽车所受阻力大小为1000N
B．汽车运动的最大速度为50m/s
C．汽车的质量为4000kg
D．当汽车的速度为25m/s 时，其加速度为2m/s2
8．已知汽车在平直路面上由静止启动，阻力恒定，最终达到最大速度
后以额定功率匀速行驶，ab、cd
平行于v 轴，bc 反向延长线过原点O，汽车质量为M，已知M、
、
、
，下列说法不正确的是（
）
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A．汽车额定功率为
B．汽车从b 到c 过程作变加速运动
C．汽车匀加速运动持续的时间为
D．汽车从a 到b 过程克服阻力做功
9．某款质量
的汽车沿平直公路从静止开始做直线运动，其
图像如图所示。汽车在
时间
内做匀加速直线运动，
内汽车保持额定功率不变，
内汽车做匀速直线运动，最大速度
，汽车从
末开始关闭动力减速滑行，
时刻停止运动。已知，
，汽车的额定功率为
，整个过程中汽车受到的阻力大小不变。下列说法正确的是（ ）
A．
时刻的瞬时速度
B．汽车在
内通过的距离
C．
为
D．阻力大小为
10．如图所示，水平路面上有一辆质量为M 的汽车，车厢中有一个质量为m 的人正用恒力F 向前推车厢，
在车以加速度a 向前加速行驶距离L 的过程中，下列说法正确的是（ ）
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A．人对车的推力F 做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为（F＋ma）L
11．如图所示，三个斜面1、2、3 固定在水平面上，斜面1 与3 底边相同，斜面2 和3 高度相同，同一物
体与三个斜面的动摩擦因数相同，当该物体先后沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端时，对于整个下滑过
程，下列说法正确的是（ ）
A．三种情况下物体克服摩擦力所做的功
B．三种情况下合力对物体所做的功
C．三种情况下物体滑到底端时重力做功的瞬时功率
D．三种情况下物体损失的机械能
12．有长度均为
的
两段水平路面，
段光滑，
段粗糙。在
处静止的小物体质量为
（可
视为质点）在水平恒力
作用下，从
点开始运动，到
点恰好停下，
段动摩擦因数自左往右逐渐增
大，具体变化如图所示，重力加速度为
。下列判断正确的是（ ）
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A．水平恒力
的大小
B．水平恒力
在
两段路面上做功不相等
C．水平恒力
在
段的平均功率等于
段的平均功率
D．水平恒力
在
段中间时刻瞬时功率小于在
段中间时刻瞬时功率
13．图甲是全球最大回转自升塔式起重机，它的开发标志着中国桥梁及铁路施工装备进一步迈向世界前列。
该起重机某次从t＝0 时刻由静止开始竖直提升质量为m 的物体，其a－t 图像如图乙所示，
内起重机
的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度大小为g，则（ ）
A．该起重机的最大速度为
B．该起重机的额定功率为
C．在
时间内，起重机的位移为
D．在
和
时间内，牵引力做的功之比为
14．放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0~6s 内其速度与时间图像和该拉力的功率与时间图
像分别如图甲和乙所示，下列说法正确的是（ ）
14
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A．0~6s 内物体位移大小为36m
B．0~6s 内拉力做的功为70J
C．合力在0~6s 内做的功与0~2s 内做的功不相等
D．滑动摩擦力大小为
N
15．如图所示，穿在水平直杆上质量为m 的小球开始时静止。现对小球沿杆方向施加恒力F0，垂直于杆方
向施加竖直向上的力F，且F 的大小始终与小球的速度成正比，即F=kv（图中未标出）。已知小球与杆间
的动摩擦因数为μ，已知小球运动过程中未从杆上脱落，且F0>μmg。下列说法正确的是（ ）
A．小球的速度先增大，后减小，最后保持不变
B．小球做加速度先增大，后减小的加速运动，直到最后做匀速运动
C．小球的最小加速度为
D．恒力F0的最大功率为
15
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