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专题33 a=gtanθ 模型
一、单选题
1．如图，一辆公共汽车在水平公路上做直线运动，小球A 用细线悬挂车顶上，车厢底板上放一箱苹果，
苹果箱和苹果的总质量为M，苹果箱和箱内的苹果始终相对于车厢底板静止，苹果箱与公共汽车车厢底板
间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，若观察到细线偏离竖直方向夹角大小为θ 并保持不变，则下列说法
中正确的是（ ）
A．汽车一定向右做匀减速直线运动
B．车厢底板对苹果箱的摩擦力水平向右
C．苹果箱中间一个质量为m 的苹果受到合力为
D．苹果箱中间一个质量为m 的苹果受到周围其他苹果对它的作用力大小为
2．如图所示，小车在水平地面上向右做匀速直线运动，车内A、B 两物体叠放在一起，因前方有障碍物，
为避免相撞，小车刹车制动，在小车整个运动的过程中，A、B 两物体始终保持相对静止且随小车一起运
动，则下列说法正确的是（ ）
A．在小车匀速运动过程中，A、B 两物体间存在摩擦力
B．在小车匀速运动过程中，B 物体相对小车有向右运动的趋势
C．在小车刹车制动过程中，A 相对B 一定有沿斜面向上运动的趋势
D．在小车刹车制动过程中，A、B 两物体间一定存在着沿斜面方向的摩擦力
3．野外高空作业时，使用无人机给工人运送零件。如图，某次运送过程中的一段时间内，无人机向左水
平飞行，零件用轻绳悬挂于无人机下方，并相对于无人机静止，轻绳与竖直方向成一定角度。忽略零件所
受空气阻力，则在该段时间内（ ）
A．无人机做匀速运动
B．零件所受合外力为零
C．零件的惯性逐渐变大
D．零件的重力势能保持不变
4．有一种游戏，游戏者手持乒乓球拍托球移动，距离大者获胜。若某人在游戏中沿水平面做匀加速直线
运动，球拍与球保持相对静止且球拍平面和水平面之间的夹角为
，如图所示。设球拍和球质量分别为
M、m，不计球拍和球之间的摩擦，不计空气阻力，则正确的是（ ）
A．运动员的加速度大小为
B．球受到合力大小为
C．球拍对球的作用力大小为
D．运动员对球拍的作用力大小为
5．如图所示，质量为M、中空部分为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑槽内有一质量为m
的小铁球。现用一个水平向右的推力F 推动凹槽，当小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽圆心和小铁球的
连线与竖直方向成α 角，重力加速度为g。下列说法正确的（ ）
A．小铁球受到的合外力方向水平向左
B．凹槽对小铁球的支持力N＝
C．系统的加速度为gsinα
D．推力F＝（m+M）g tanα
6．如图为测量加速度的简易装置图，内壁光滑的圆管竖直固定在底座上，管与底座的总质量为M，O 为
圆心，A、B 为圆管水平直径的两端点，管内有一质量为m、直径略小于圆管内径的小球，当测量装置水平
固定在小车上随车一起在水平面做匀加速直线运动时，小球最终稳定在圆管的D 点，已知OD 与竖直方向
的夹角为θ=37°（重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8），则下列说法正确的是（ ）
A．此时小车对装置的支持力大于
B．被测小车的加速度大小为
C．测量装置受到的水平合力大小为
，方向水平向右
D．测量装置水平固定在小车上，当小车加速度很大时，小球可能稳定在圆管的A 位置
7．钢架雪车是一项精彩刺激的冬奥会比赛项目，运动员起跑区推动雪车起跑后俯卧在雪车上，再经出发
区、滑行区和减速区的一系列直道、弯道后到达终点、用时少者获胜。图（a）是比赛中一运动员在滑行
区某弯道的图片，假设可视为质点的人和车的总质量m=90kg，其在弯道上P 处做水平面内圆周运动的模
型如图（b），车在P 处既无侧移也无切向加速度，速率v=30m/s，弯道表面与水平面成θ=53°，不计摩擦
力和空气阻力，重力加速度g=10m/s2，sin53°=0.8。则在P 处（ ）
A．车对弯道的压力大小为900N
B．人对车的压力大小为1500N
C．人和车做圆周运动的半径为67.5m
D．人和车的加速度大小为7.5m/s2
8．如图，细线的一端系一质量为m 的小球，另一端固定在倾角为θ 的光滑斜面体顶端，细线与斜面平行。
在斜面体以加速度a 水平向右做匀加速直线运动的过程中，小球始终静止在斜面上，小球受到细线的拉力
T 和斜面的支持力FN分别为（重力加速度为g）（ ）
A．
B．
C．
D．
9．一敞口正方体水箱边长为
，水箱的右侧面上有一个小孔a（孔的大小忽略不计），a 到水箱底的距
离
，用塞子将a 堵住，往水箱中注水至水面到达c，c 到水箱底的距离
，如图所示。已
知重力加速度大小为
。现使水箱以
的加速度水平向右匀加速直线运动，同时打开小孔，则流
出水箱的水的体积最多为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
10．如图，质量为m2的物体2 放在正沿平直轨道向右行驶的车厢底板上，并用竖直细绳通过光滑定滑轮连
接质量为m1的物体1，与物体1 相连接的绳与竖直方向成θ 角，则（ ）
A．车厢的加速度为gsinθ
B．绳对物体1 的拉力为
C．物体2 所受底板的摩擦力为m2gtanθ
D．底板对物体2 的支持力为(m2－m1)g
11．如图所示为位于水平面上的小车，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为
，在斜杆的下端固
定有质量为m 的小球。重力加速度为g。现使小车以加速度大小为a 向右做匀减速直线运动，下列说法正
确的是（ ）
A．杆对小球的弹力一定竖直向上
B．杆对小球的弹力不沿杆向上
C．杆对小球的弹力大小为
D．杆对小球的弹力大小为mg
12．一重物固定在动滑轮上，绳子穿过动滑轮将重物悬挂在车厢中，车厢向左匀减速运动，下列情景可能
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．如图所示，车顶和水平地板成θ=53°角的小车在水平地面上运动时，质量为m=1kg 小球和光滑车顶保
持接触，轻绳处于伸直状态且和车顶平行，g=10 m/s2，以下说法正确的是（ ）
A．当小车以7.5 m/s2的加速度向右匀减速运动时，小球和竖直车厢壁间无弹力作用
B．当小车以7.5 m/s2的加速度向右匀加速运动时，小球和车顶间无弹力作用
C．当小车以10 m/s2的加速度向右匀加速运动时，车顶受到小球的压力为2 N
D．当小车以10 m/s2的加速度向右匀加速运动时，车顶受到小球的压力为4 N
14．如图是汽车运送圆柱形工件的示意图，图中P、Q、N 是固定在车体上的压力传感器，假设圆柱形工件
表面光滑，汽车静止不动时Q 传感器示数为零，P、N 传感器示数不为零。当汽车向左匀加速启动过程中，
P 传感器示数为零而Q、N 传感器示数不为零。已知sin15°=0.26，cos15°=0.97，tan15°=0.27，g=10m/s2，则
汽车向左匀加速启动的加速度可能为（ ）
A．4m/s2
B．3m/s2
C．2m/s2
D．1m/s2
15．如图所示，质量 m=3kg 的小球用细绳拴在倾角37°的光滑斜面上，此时，细绳平行于斜面。g 取
10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．当斜面以
m/s2 的加速度向右加速运动时，绳子拉力为 50N
B．当斜面以
m/s2的加速度向右加速运动时，斜面对小球的支持力为零
C．当斜面以 20m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为
N
D．当斜面以20m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为 40N
16．如图所示，水平桌面上放置一个倾角为45°的光滑楔形滑块A，一细线的一端固定于楔形滑块A 的顶端
O 处，细线另一端拴一质量为m= 0.2kg 的小球。若滑块与小球一起以加速度a 水平向左做匀加速运动（取
g= 10m/s2），则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，滑块对球的支持力为
B．当
时，滑块对球的支持力为
C．当
时，地面对A 的支持力一定大于两个物体的重力之和
D．当
时，滑块对球的支持力为
三、解答题
17．如图所示，两条轻绳将一质量为m 的小球悬挂在小车的车厢内，其中轻绳OA 沿水平方向，轻绳OB
与竖直方向的夹角θ=30°。
（1）若小车在水平路面上向左做匀速直线运动，求两轻绳拉力的大小；
（2）若轻绳OA 上的拉力恰好为0，求此时小车的加速度大小；
（3）若小车在水平路面上以加速度
向右做匀加速直线运动，求两轻绳拉力的大小。
18．如图所示，一块质量m＝2kg 的木块放置在质量M＝6kg、倾角θ＝37°的粗糙斜面体上，木块与斜面体
间的动摩擦因数μ＝0.8，二者静止在光滑水平面上。现对斜面体施加一个水平向左的作用力F，若要保证
木块和斜面体不发生相对滑动，求F 的大小范围。（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10m/s2）
19．如图所示，一辆货车运载着圆柱形光滑的空油桶在水平路面上行驶，在车厢底部第一层油桶平整排列，
相互紧贴并牢牢固定，上层只有一只桶C，自由的摆放在桶A、B 之间，没有绳索固定，已知每只油桶的
质量为18kg，取重力加速度为g 取10m/s2。
(1)当汽车匀速行驶时，A、B 桶对空油桶C 的弹力FA1、FB1各多大；
(2)当汽车以2m/s2的加速度向前加速行驶时，A、B 桶对空油桶C 的弹力FA2、FB2各多大；
(3)当汽车遇到紧急情况需要刹车时，为了避免空油桶C 从A、B 桶之间滚出，汽车刹车时的加速度不能超
过多大？
20．如图所示，在一次汽车性能测试中，汽车车厢上用两细绳AC、BC 系住一质量为m=5kg 的小球，两绳
与竖直方向的夹角分别为
和
，取重力加速度大小g=10 m/s2试求：
（1）汽车静止时两细绳AC、BC 的拉力T1、T2的大小。
（2）当AC 绳和BC 绳的拉力分别为0 时，汽车的加速度。
（3）汽车分别以a=10m/s2向前加速与减速时，两细绳AC、BC 的拉力的大小。
《专题33 a=gtanθ 模型》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
D
D
C
C
B
C
BC
题号
11
12
13
14
15
16
答案
BC
BD
BC
AB
AB
AD
1．D
【详解】A．对小球受力分析
可知合力与加速度方向水平向左，所以汽车运动的加速度方向水平向左，如果向右运动，
则做匀减速直线运动，如果向左运动，则做加速直线运动，A 错误；
B．设小球的加速度为a，受力分析如图所示，对小球由牛顿第二定律得
解得
则汽车的加速度和苹果箱的加速度都为
，苹果箱和箱内的苹果始终相对于车厢底
板静止，则车厢底板对苹果箱的摩擦力为静摩擦力，不是滑动摩擦力，所以不一定为
，
以这箱苹果为研究对象，根据牛顿第二定律有
，水平向左
B 错误；
CD．以苹果箱中间一个质量为m 的苹果为研究对象，合外力为ma，设周围其它苹果对它
的作用力大小为F，方向与竖直方向的夹角为α，在水平方向根据牛顿第二定律有
在竖直方向上
加速度
三式联立解得
则α=θ，C 错误、D 正确。
故选D。
2．A
【详解】A．在小车匀速运动过程中，由平衡可知，A 物体有沿斜面向上的静摩擦力，故
A 正确；
B．在小车匀速运动过程中，对AB 的整体受合力为零，则B 物体相对小车没有运动的趋势，
故B 错误；
CD．在小车刹车制动过程中，加速度向左，则当A 与B 没有运动趋势时，此时AB 的摩擦
力为零，则此时存在一个临界加速度值
当a>a0时A 相对B 有向上的运动趋势，此时B 对A 的静摩擦力沿斜面向下；当a<a0时A
相对B 有向下的运动趋势，此时B 对A 的静摩擦力沿斜面向上，故CD 错误。
故选A。
3．D
【详解】D．无人机沿水平方向飞行，零件相对于无人机静止，也沿水平方向飞行做直线
运动，故零件的高度不变，可知零件的重力势能保持不变，D 正确；
AB．对零件受力分析，受重力和绳子的拉力，由于零件沿水平方向做直线运动，可知合外
力沿水平方向，提供水平方向的加速度。零件水平向左做匀加速直线运动，AB 错误；
C．惯性的大小只与质量有关，零件的质量不变，故零件的惯性不变，C 错误。
故选D。
4．D
【详解】AB．球和运动员具有相同的加速度，对小球分析如图所示
则小球所受的合力为mgtanθ，根据牛顿第二定律得
AB 错误；
C．根据平行四边形定则知，球拍对球的作用力
C 错误；
D．对球拍和球整体分析，整体的合力为（M+m）a，根据平行四边形定则知，运动员对球
拍的作用力为
D 正确。
故选D。
5．D
【详解】A．在水平向右的推力F 作用下，当小铁球与光滑凹槽相对静止时，小铁球与光
滑凹槽的加速度方向水平向右，根据牛顿第二定律知小铁球受到的合外力方向水平向右，
故A 错误；
B．对小球进行受力分析，如图所示：
则凹槽对小铁球的支持力
故B 错误；
C．对小球进行受力分析得
mgtanα=ma
解得
a=gtanα
所以系统的加速度为
a=gtanα
故C 错误；
D．对整体进行受力分析，根据牛顿第二定律得
F=（m+M）a=（m+M）gtanα
故D 正确。
故选D。
6．C
【详解】A．以装置为研究对象，分析受力如图
可得此时小车对装置的支持力
故A 错误；
B．以小球为研究对象分析受力，如图
根据牛顿第二定律可得
解得被测小车的加速度大小
故B 错误；
C．以装置为研究对象，根据牛顿第二定律可得测量装置受到的水平合力大小为
方向水平向右，故C 正确；
D．以小球为研究对象分析受力，竖直方向的合力为0，所以测量装置水平固定在小车上，
不管小车加速度有多大，小球都不可能稳定在圆管的A 位置，故D 错误。
故选C。
【点睛】关键是研究对象的选取，根据牛顿第二定律解得被测小车的加速度大小和测量装
置受到的水平合力大小。
7．C
【详解】A．对人和车受力分析，如图所示
根据几何关系有
根据牛顿第三定律可得，车对弯道的压力大小为1500N，故A 错误；
B．由于不知道人的质量，所以无法确定人对车的压力，故B 错误；
CD．根据牛顿第二定律可得
解得
，
故C 正确，D 错误。
故选C。
8．B
【详解】当加速度a 较小时，小球与斜面一起运动，此时小球受重力．绳子拉力和斜面的
支持力，绳子平行于斜面；小球的受力如图
由牛顿第二定律在水平方向上得
①
竖直方向上由平衡得
②
①②联立得
，
故选B。
9．C
【详解】设当水箱加速向右运动时，左侧水位相对于水箱底部的最大高度为
，作出重力
加速度和水平相对向左的加速度的矢量图如下图所示
设水箱的边长为，根据几何关系可得
，
解得
则可得稳定后水箱内水的体积为
原来水箱中水的体积为
因此可知流出水箱的水的体积为
故选C。
10．BC
【详解】AB．以物体1 为研究对象，重力m1g 和拉力T，根据牛顿第二定律得
m1gtanθ=m1a
得
a=gtanθ
则车厢的加速度也为gtanθ。
对1 的拉力为
故A 错误，B 正确。
CD．对物体2 研究，分析受力如图2，根据牛顿第二定律得：
f=m2a=m2gtanθ．
故C 正确，D 错误。
故选BC。
11．BC
【详解】
ABD．小车以加速度大小为a 向右做匀减速直线运动，则小球的加速度向左，合外力水平
向左，对小球受力分析如图所示。
可知杆对球的弹力斜向左上方，不沿杆向上，由三角形中斜边大于直角边可知F＞mg，选
项AD 错误，B 正确；
C．杆对小球的弹力大小为
选项C 正确。
故选BC。
12．BD
【详解】依题意，车厢向左匀减速运动，可知重物受合外力水平向右，滑轮两边绳子的拉
力相等，令左侧绳子与竖直的夹角为
，右侧绳子与竖直的夹角为
，则合力为
可知图A 中
，水平方向物块受合外力向左；图B 中
水平方向物块受合外力向右；
图C 中
物块受合力为零；图D 中物块水平方向受合力向右。
故选BD。
13．BC
【详解】A．当小车以7.5 m/s2的加速度向右匀减速运动时，加速度向左，需要水平向左的
合外力，所以小球和竖直车厢壁间一定有弹力作用，故A 错误；
B．设小球与光滑车顶没有弹力时，小车的加速度为a，对小球受力分析如图所示
由牛顿第二定律得
mgtan37°=ma
解得
a=gtan37°=7.5m/s2
故B 正确；
CD．当小车以10 m/s2的加速度向右匀加速运动时，对小球受力分析如图所示
由牛顿第二定律得
联立解得
N=2N
故D 错误，C 正确。
故选BC。
14．AB
【详解】当汽车向左匀加速启动过程中，P 传感器示数为零而Q、N 传感器示数不为零，
受力分析如图所示
联立以上两式解得
故选AB。
15．AB
【详解】AB．小球刚好离开斜面时的临界条件是斜面对小球的弹力恰好为零。设斜面对小
球的弹力恰好为零时，绳子的拉力为F，斜面的加速度为a0。
以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有
代入数据解得
故当斜面以
的加速度向右加速运动时，斜面对小球的支持力恰好为零，绳子拉
力为 50N，选项AB 正确；
CD．由于
，可见小球离开了斜面，此时小球的受力情况如图所示：
绳子的拉力F2和重力的合力水平向右，则绳子拉力大小为
选项CD 错误。
故选AB。
16．AD
【分析】设加速度为a0时小球对滑块的压力等于零，对小球受力分析，受重力、拉力，根
据牛顿第二定律，在水平方向有
F 合=Tcos45° =ma0
竖直方向有
Tsin45° =mg
解得
a0=g
【详解】A．则当a= 5m/s2时，小球未离开滑块，水平方向有
Tcos45° - Ncos45° =ma
竖直方向有
Tsin45° + Nsin45° =mg
解得
N=
N，T=
N
A 正确；
BD．由以上分析知，当a= 15m/s2时，小球已经离开滑块，只受重力和绳的拉力，滑块对
球的支持力为零，B 错误、D 正确；
C．当a= 5m/s2时，小球未离开滑块，则将小球和滑块组成的整体在竖直方向受力平衡，
即地面对A 的支持力一定等于两个物体的重力之和，C 错误。
故选AD。
17．（1）
，
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）若小车在水平路面上向左做匀速直线运动，对小球进行受力分析，如图所示
根据平衡条件有
，
解得
，
（2）若轻绳OA 上的拉力恰好为0，表明小车加速度方向水平向右，对小球进行分析，如
图所示
根据牛顿第二定律有
解得
（3）若小车在水平路面上以加速度
向右做匀加速直线运动，由于
可知，此时小球稳定时的位置将处于O 点的左上方，轻绳OA 处于松弛状态，则有
对小球分析，如图所示
则有
解得
18．0≤F≤310N
【详解】若要保证木块和斜面体不发生相对滑动，则两物体以相同的加速度向左做匀加速
直线运动
由于μ＞tanθ，故当F＝0 时，木块静止在斜面上，即F 的最小值为0；
根据题意可知，当木块相对斜面恰不向上滑动时，F 有最大值Fm，设此时两物体运动的加
速度为a，两物体之间的摩擦力大小为f，斜面体对木块的支持力为N。
对整体和木块分别进行受力分析，如图甲、乙
对整体受力分析
Fm＝（m＋M）a
对木块受力分析
f＝μN
水平方向
fcosθ＋Nsinθ＝ma
竖直方向
Ncosθ＝mg＋fsinθ
联立以上各式，代入数据解得
Fm＝310N
故F 的大小范围为0≤F≤310N.
19．(1)60
N，60
N；(2)67.9N，139.9N；(3)
m/s2
【详解】(1)当汽车匀速行驶时，空油桶C 匀速运动，合外力为零，A 对C 的支持力FA1和B
对C 的支持力FB1等大，设为F，夹角为60°，如图
对C，由平衡条件有
解得
(2)当汽车以2m/s2的加速度向前加速行驶时，对C，根据牛顿第二定律得：竖直方向有
水平方向有
代入数据解得
FA2＝67.9N，FB2＝139.9N
(3)为保持A、B、C 相对静止，当B、C 间作用力为0 时，汽车刹车时的加速度有最大值。
对C 有
mgtan30°＝ma
得
a＝gtan30°＝
m/s2
20．（1）T1=40N，T2=30N；（2）见解析；（3）见解析
【详解】(1)静止时，由力的平衡知
解得
，
(2)当AC 绳的拉力为0 时，加速度向前，设加速度大小为a1，有
解得
方向向前，当BC 绳的拉力为0 时，加速度向后，设加速度大小为a2，有
方向向后
(3)汽车以10m/s2向前加速时
小球没有向后飞起来，设AC 绳和BC 绳的拉力大小分别为T3、T4，建立如图所示的坐标系，
有
方向
方向
解得
，
汽车以10m/s2向前减速时
小球向前飞起来，BC 绳的拉力大小为
设BC 绳的拉力大小分别为T5，设AC 与竖直方向的夹角为θ，有
解得
，
