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专题5 万有引力定律
一、重力加速度：某星球表面处(即距球心R): mg＝
二、距离该星球表面 h 处(即距球心 R＋h 处)：mg′＝G(R 为地球半径，g′为离地面h 高度处的重
力加速度)
三、黄金代换：GM＝gR2(R 为地球半径)
[例题1] 2022 年11 月29 日“神舟十五号”飞船顺利发射，六名中国宇航员完成首次太空
交接班。已知核心舱绕地球运行近似为匀速圆周运动，离地面距离为400km，做圆周运动的周
期为90min，向心加速度大小为a1，地球赤道上物体随地球自转的向心加速度大小为a2，已知
地球半径为6400km，地球表面的重力加速度为g，下列关系正确的是（ ）
A．a1= 16
17 g
B．a2＝g
C．a1＝272a2
D．a1=( 17
16 )
2a2
[例题2] 某星球的质量是地球的p 倍，半径是地球的q 倍。一运动员在地球上能够跳起的
最大高度为h，假定运动员在地球上和该星球上起跳的最大初速度相同，则运动员在该星球上
能够跳起的最大高度为（ ）
A．q
p h
B．p
q h
C．q
2
p h
D．p
2
q h
[例题3] 已知在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星A，对地球赤道
覆盖的最大张角α＝60°，赤道上有一个卫星监测站B（图中未画出）。设地球半径为R，自转
周期为T，地球表面重力加速度为g，那么监测站B 能连续监测到卫星A 的最长时间为
（ ）
1
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A．2π
3 √
2 R
g
B．4 π
3 √
2 R
g
C．
4 πT√
2 R
g
3(T - 4 π√
2 R
g )
D．
2πT√
2 R
g
3(T -2π√
2 R
g )
[例题4] （多选）2022 年11 月30 日，我国六名航天员在空间站首次“太空会师”，向世
界展示了中国航天工程的卓越能力。载人空间站绕地运动可视为匀速圆周运动，已知空间站距
地面高度为h，运行周期为T，地球半径为R。忽略地球自转，则（ ）
A．空间站的线速度大小为2π( R+h)
T
B．地球的质量可表示为4 π
2( R+h)
3
T
2
C．地球表面重力加速度为4 π
2( R+h)
3
T
2 R
2
D．空间站的向心加速度大小为4 π
2( R+h)
2
T
2 R
[例题5] （多选）人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称“太
空电梯”。宇航员乘坐该电梯可直达太空站，如图（a）所示。在图（b）中，曲线A 为地球引
力对宇航员产生的加速度大小a 与宇航员距地心的距离r 的关系；直线B 为宇航员相对地面静
止时的向心加速度大小a 与r 的关系。a0、r0、R 均为已知量，R 为地球半径，万有引力常量为
2
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G。则下列说法正确的是（ ）
A．电梯停在r0处时，宇航员与电梯舱间的弹力不为零
B．从地面发射卫星的最小发射速度为√a0 R
C．随着r 增大，宇航员与电梯舱间的弹力增大
D．地球同步卫星的周期为√
4 π
2r0
3
a0 R
2
四、同步卫星：T＝24 小时，h＝5.6R＝36 000 km，v＝3.1 km/s
五、人造卫星：G＝m＝mω2r＝ma＝mr
六、对于空中做圆周运动的卫星，可以根据“越远越慢”判断其角速度、线速度、向心加速度、周期
的大小关系。但是应注意所受的万有引力无法确定，因为还与卫星质量 m 有关。
七、①第一宇宙速度v1＝ ＝＝7.9 km/s.，最小发射速度，也是最大环绕速度。（月球探测器发射
速度在 v1 和 v2 之间）
②第二宇宙速度v2=11.2km/s ，超过此值将脱离地球引力。（火星探测器发射速度在 v2 和 v3 之
间）
③第三宇宙速度v3=16.7km/s ，超过此值将会逃逸出太阳系
[例题6] “天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P 点沿地火转移轨道到Q 点，再依
次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（ ）
A．发射速度介于7.9km/s 与11.2km/s 之间
B．从P 点转移到Q 点的时间小于6 个月
C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
3
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D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
[例题7] 2022 年3 月，中国空间站“天宫课堂”再次开讲，授课期间利用了我国的中继卫
星系统进行信号传输，天地通信始终高效稳定。已知空间站在距离地面400 公里左右的轨道上
运行，其运动视为匀速圆周运动，中继卫星系统中某卫星是距离地面36000 公里左右的地球静
止轨道卫星（同步卫星），则该卫星（ ）
A．授课期间经过天津正上空
B．加速度大于空间站的加速度
C．运行周期大于空间站的运行周期
D．运行速度大于地球的第一宇宙速度
[例题8] 如图，已知现在地球的一颗同步通讯卫星信号最多覆盖地球赤道上的经度范围为
2α．假设地球的自转周期变大，周期变大后的一颗地球同步通讯卫星信号最多覆盖的赤道经度
范围为2β，则前后两次同步卫星的运行周期之比为（ ）
A．
√
co s
3 β
co s
3α
B．
√
sin
3 β
sin
3α
C．
√
co s
32α
co s
32 β
D．
√
sin
32α
sin
32 β
[例题9] 设地球的质量为M，平均半径为R，自转角速度为ω，引力常量为G，则有关同
步卫星的说法不正确的是（ ）
4
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A．同步卫星的轨道与地球的赤道在同一平面内
B．同步卫星的离地高度为h= 3√
GM
ω
2
C．同步卫星的离地高度为h= 3√
GM
ω
2 -R
D．同步卫星的角速度为ω，线速度大小为3√GMω
[例题10] 2022 年9 月1 日，神舟十四号航天员进行了第一次太空出舱活动，完成各项既定
任务，整个活动时间约六小时。设飞船绕地球做匀速圆周运动且离地面的高度为h，地球的半
径为R，地球表面的重力加速度为g。若航天员出舱时间为t，则t 时间内飞船绕地球转过的圈
数为（ ）
A．
Rt
2π( R+h)√
g
R+h
B．t
2π √
g
R+h
C．2π
t √
h
g
D．Rt
2π h√
g
R+h
八、行星密度：(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R，则天体密度
ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
[例题11] 在天文学领域有一名词叫洛希极限，它是一个距离，当质量分布均匀的两球形天
体M 和m（M＞m）的球心间的距离小于这个距离时，m 会解体分散。若M 的半径为R，M
和m 的平均密度分别为ρM和ρm，忽略天体可能的形变，理论上洛希极限d＝1.26R（ρM
ρm
）
❑
1
3
。已知太阳和地球的半径之比约为100，太阳和地球间的距离约为地球和月球间距离的400 倍，
粗略计算取月球的平均密度等于地球的平均密度，根据以上内容和日常的天文学知识，太阳和
地球的洛希距离与地球和月球的洛希距离的比值最接近于（ ）
A．200
B．160
C．120
D．80
[例题12] 黑洞是一种密度极大、体积极小的天体，引力大到光都无法逃脱其“魔掌”，所
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以黑洞无法直接被观测，但可以通过观测绕其运动的恒星，大致推测出黑洞的质量。观察发现，
某恒星绕银河系中心黑洞人马座A*的周期为n 年，此恒星到人马座A*的平均距离为mA.U.
（地球到太阳的平均距离为1A.U.），不考虑相对论效应，则人马座A*的质量与太阳质量的比
值为（ ）
A．m
3
n
2
B．m
2
n
3
C．n
3
m
2
D．n
2
m
3
[例题13] 天体物理学中，通常利用观测到的环绕星的运动学量来推知中心星的质量。一行
星绕恒星做圆周运动，由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则恒星
的质量为（ ）
A．v
3T
2πG
B．4 π
2v
3
GT
2
C．2π v
2T
G
D．v
3T
2
4 π
2G
[例题14] 宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，它的轨道距地心的距离等于地球半径的k 倍，
它的运动周期为T，引力常量为G，则地球的平均密度ρ 的表达式为（ ）
A．ρ= 3 π k
3
GT
2
B．ρ= 3 π k
3T
2
G
C．ρ= 3 π(k +1)
3
GT
2
D．ρ= 3 π(k +1)
3
GT
[例题15] 2022 年7 月18 日网易科技消息，阿联酋宣布将设立总额约30 亿迪拉姆（约合
8.2 亿美元）的专项基金，用于开发卫星并资助太空计划。计划将在三年内首次发射卫星并探
索金星。金星是太阳系的八大行星中的第二颗行星，在中国古代称为太白、长庚或大嚣。如果
金星的公转周期为T，自转周期为T′，半径为R，金星到太阳的距离为r，引力常量为G，则
（ ）
A．金星质量为4 π
2 R
3
GT
2
B．金星质量为4 π
2r
3
GT
2
C．太阳质量为4 π
2r
3
GT
2
D．太阳质量为4 π
2 R
3
GT
2
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九、卫星变轨时根据其“向心运动”还是“离心运动”来判断速度变化：
十、对于椭圆轨道，可以结合开普勒第三定律 a3/T2=k 求出周期.
[例题16] 航天飞机在完成对空间站的维修任务后，在A 点短时间开动小型发动机进行变轨，
从圆形轨道Ⅰ进入椭圆道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图所示。下列说法中正确的有（ ）
A．在轨道Ⅱ上经过A 的机械能大于经过B 的机械能
B．在A 点短时间开动发动机使航天飞机减速
C．在轨道Ⅱ上运动的周期等于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度
[例题17] 北京时间2022 年11 月29 日23：08，航天员费俊龙、邓清明、张陆搭乘“神舟
十五号”载人飞船前往中国“T”字基本构型空间站（如题图所示），于11 月30 日07：33 打
开舱门入驻。空间站内航天员一天可以观测到16 次日出，空间站绕地球运行的轨道近似为圆
轨道，下列说法正确的是（ ）
A．空间站定点于我国上空某高度处，相对地面静止
B．空间站内航天员不受地球引力作用而处于失重状态
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C．空间站与地球同步卫星的轨道半径之比约为1：16
D．“神舟十五号”载人飞船由低轨道加速，与高轨道的空间站完成对接后，飞船的动能比之前
处于低轨道时要小
[例题18] 2021 年2 月，天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨
道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火
星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是（ ）
A．图中两阴影部分的面积相等
B．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器机械能变小
C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器周期变大
D．探测器在P 点的加速度小于在N 点的加速度
[例题19] 我国一箭多星技术居世界前列，一箭多星是用一枚运载火箭同时或先后将数颗卫
星送入轨道的技术。某两颗卫星释放过程简化为如图所示，火箭运行至P 点时，同时将A、B
两颗卫星送入预定轨道。A 卫星进入轨道1 做圆周运动，B 卫星进入轨道2 沿椭圆轨道运动，
P 点为椭圆轨道的近地点，Q 点为远地点，B 卫星在Q 点喷气变轨到轨道3，之后绕地球做圆
周运动。下列说法正确的是（ ）
A．A 卫星在P 点的加速度大于B 卫星在P 点的加速度
B．A 卫星在轨道1 的速度小于B 卫星在轨道3 的速度
C．B 卫星从轨道2 上Q 点变轨进入轨道3 时需要喷气减速
D．B 卫星沿轨道2 从P 点运动到Q 点过程中引力做负功
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[例题20] 如图，卫星在P 点由椭圆轨道Ⅱ变轨到近椭圆形轨道Ⅰ（可认为半径等于火星半
径R）。已知椭圆轨道Ⅱ上的远火点Q 到火星表面高度为6R，火星表面重力加速度为g0，引
力常量为G，下列说法错误的是（ ）
A．火星的平均密度为3 g0
4 πGR
B．卫星在轨道Ⅱ上由Q 点运动到P 点所用时间为16 π√
R
g0
C．卫星在轨道Ⅱ上运动到Q 点时的速度小于
√
g0 R
7
D．卫星在轨道Ⅱ上经过P 点时的加速度等于在轨道Ⅰ上经过P 点时的加速度
十一、均匀球体内部的万有引力与物体到球心的距离成正比，此时万有引力做功可以用图象求解。
[例题21] 某人造地球卫星绕地球的公转轨道是个椭圆，公转周期为T0，质量为m，其近地
点A 到地球中心的距离为a，远地点C 到地球中心的距离为b。A、C 两点的曲率半径均为ka
（通过该点和曲线上紧邻该点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作该点的曲率圆，
其半径叫作该点的曲率半径），如图所示。若地球的质量为M，引力常量为G，忽略其他卫星
对它的影响，则以下说法正确的是（ ）
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A．卫星从B→A 所用的时间等于T 0
4
B．卫星从A→D→C 运行的过程中，万有引力对它做的功为1
2
GkMm（a
b
2 - 1
a）
C．卫星运行过程中机械能守恒，最大速率与最小速率之比为a
b
D．若要使卫星到近地圆形轨道上运行，可以在C 点进行适当制动
[例题22] （多选）火星和土星绕太阳运动的轨道均为椭圆。设火星的近日点到太阳的距离
为a，远日点到太阳的距离为b，火星绕太阳公转的周期为T1，质量为m1；土星的近日点到太
阳的距离为c，远日点到太阳的距离为d，土星绕太阳公转的周期为T2，质量为m2。太阳的质
量为M，万有引力常量为G。下列说法中正确的是（ ）
A．火星与太阳的连线在时间t 内扫过的面积等于土星与太阳的连线在时间t 内扫过的面积
B．T 1
T 2
=( a+b
c +d )
3
2
C．火星在近日点和远日点受到太阳对它的万有引力之比为a
2
b
2
D．土星从近日点运动到远日点的过程中，克服太阳引力做的功大于1
2
GMm2（1
c - 1
d
）
[例题23] （多选）某人造地球卫星绕地球的公转轨道是个椭圆，公转周期为T0，质量为
m，其近地点A 到地球中心的距离为a，远地点C 到地球中心的距离为b。A、C 两点的曲率半
径均为ka（通过该点和曲线上紧邻该点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作该
点的曲率圆，其半径叫作该点的曲率半径），如图所示。若地球的质量为M，引力常量为G，
忽略其他卫星对它的影响，则以下说法正确的是（ ）
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A．卫星从B→A 所用的时间等于T 0
4
B．卫星从A→D→C 运行的过程中，万有引力对它做的功为1
2 GkMm( a
b
2 - 1
a )
C．卫星运行过程中机械能守恒，最大速率与最小速率之比为b
a
D．若要使卫星到近地圆形轨道上运行，可以在C 点进行适当制动
十二、卫星的追及相遇问题
[例题24] 2022 年12 月8 日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，
此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火
星与地球的公转轨道半径之比约为3：2，如图所示。根据以上信息可以得出（ ）
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27：8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9：4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023 年12 月8 日之前
[例题25] 如图所示，三颗卫星a、b、c 绕地球做匀速圆周运动，其中b、c 在地球的同步轨
道上，a 距离地球表面的高度为R，此时a、b 恰好相距最近。已知地球质量为M、半径为R、
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地球自转的角速度为ω．万有引力常量为G，则（ ）
A．卫星a 和b 下一次相距最近还需经过t=
2π
√
GM
8 R
3 -ω
B．卫星c 的机械能等于卫星b 的机械能
C．若要卫星c 与b 实现对接，可让卫星c 加速
D．发射卫星b 时速度要大于11.2 km/s
十三、双星问题
[例题26] 厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱，
发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，质量比约为2：1，同时绕它们连
线上某点O 做匀速圆周运动，研究成果于2022 年9 月22 日发表在《自然天文》期刊上。则此
中子星绕O 点运动的（ ）
A．线速度小于红矮星的线速度
B．角速度大于红矮星的角速度
C．轨道半径大于红矮星的轨道半径
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D．向心力大小约为红矮星的2 倍
[例题27] 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽
略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直
线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是
三颗星位于边长为R 的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，
周期为T 则T1：T2为（ ）
A．√
3
5
B．2√
3
5
C．3√
3
5
D．4√
3
5
[例题28] 宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提
供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两
星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是（ ）
A．这两颗恒星的质量必定相等
B．其中有一颗恒星的质量为4 π
2 R1
3
GT
2
C．这两颗恒星的质量之比为m1：m2＝R1：R2
D．这两颗恒星的质量之和为4 π
2( R1+ R2)
3
GT
2
[例题29] “双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，
而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点O 做匀速圆周运
动。如图所示，某一双星系统中A 星球的质量为m1，B 星球的质量为m2，它们球心之间的距
离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
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A．B 星球的轨道半径为
m2
m1+m2
L
B．A 星球运行的周期为2πL√
L
G(m1+m2)
C．A 星球和B 星球的线速度大小之比为m1：m2
D．若在O 点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零
[例题30] “黑洞”是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻“黑洞”的方案之一是观
测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX﹣3 双星系统，
它由可见星A 和不可见的暗星B 构成。不考虑其它天体的影响，A、B 围绕两者连线上的O 点
做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，若将可见星A 所受暗星B 的引力等效为位于O
点处质量为m'的星体对它的引力，设A 和B 的质量分别为m1、m2，则（ ）
A．m' =
m1
2
m1+m2
B．m' =
m2
2
m1+m2
C．m' =
m1
3
(m1+m2)
2
D．m' =
m2
3
(m1+m2)
2
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