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压轴题09 磁场综合问题
一、考向分析
压轴题要领
一、磁场
1．力的角度——磁感应强度：把一段检验电流放在磁场中时，用它受到的最大安培力与其
电流强度和长度的乘积之比来描述该点的磁感应强度大小，即
。
2．“形”的角度——磁感线：磁感线的疏密反映磁场的强弱（磁感应强度的大小），切线
方向是磁场方向。
3．磁场的叠加：由于磁感应强度是矢量，故磁场叠加时合磁场的磁感应强度可以由平行四
边形定则计算。
二、安培定则和左手定则
使用手
使用范围
安培定则
右手
环形电流→磁场、直线电流→环形磁场
左手定则
左手
电（流）+磁→（安培）力
判断通电导线在磁场中的运动方向：
1．把弯曲导线分成很多直线电流元，先用左手定则判断各电流元受力方向，然后判断整段
导线所受合力的方向，从而确定导线的运动方向。
2．环形通电导线等效为小磁针，根据小磁针受到的磁力方向判断导线的受力和运动方向。
3．两平行直线电流间，同向电流互相吸引，反向电流相互排斥。
三、安培力
1．公式：FA=BILsin θ，安培力的大小取决于磁感应强度B、电流强度I、导体长度L 及直
导体与磁场方向间的夹角θ，该公式一般只适用于匀强电场。
2．涉及安培力的力学综合问题，一般采取以下步骤解题：
（1）选择适当的视角，将电流方向或磁场方向用“●”或“×”表示，使立体图转化为平面
图；
（2）进行受力分析，特别要根据磁场特定分析好安培力；
（3）根据平衡条件、牛顿第二定律或功能关系列方程解答。
这类题型要求考生会分项多条通电导线周围磁场的叠加。往往结合平衡条件、牛顿
运动定律和电磁感应问题综合考查。特别是安培力作用下的平衡或运动问题，并且
常结合电磁感应问题综合考查。要求考生会用左手定则判断洛伦兹力的方向，知道
安培力是洛伦兹力的宏观表现。要求能熟练运用洛伦兹力公式，常结合带电粒子在
磁场中的运动综合考查。多涉及有界磁场，还会考查电、磁复合场，对考生各种能
力要求较高。复习时要注意多研究一些以最新科技成果为背景的题目，注意将实际
问题模型化能力的培养。
1
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四、洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力
电场力
性质
磁场对在其中运动的电荷的作用
力
电场对放入其中电荷的作用力
产生条件
v≠0 且v 不与B 平行
电场中的电荷一定受到电场力作
用
大小
F=qvB（v⊥B）
F=qE
力方向与场方向的
关系
一定是F⊥B，F⊥v，与电荷电
性无关
正电荷受力与电场方向相同，负
电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功、负功，也可能不做
功
力为零时场的情况
F 为零，B 不一定为零
F 为零，E 一定为零
作用效果
只改变电荷运动的速度方向，不
改变速度大小
既可以改变电荷运动的速度大
小，也可以改变电荷运动的方向
1．洛伦兹力与安培力的联系及区别
（1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
（2）洛伦兹力对电荷不做功；安培力对通电导线可做正功，可做负功，也可不做功。
2．带电粒子在匀强磁场中的运动
（1）如何确定“圆心”
①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨
迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的
垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如
图（a）所示。
②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将
这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。
③若只已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的
点，如图（c）所示，此时要将其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角
（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。
2
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（2）如何确定“半径”
方法一：由物理方程求，半径r= mv
qB
；
方法二：由几何方程求，一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。
（3）如何确定“圆心角与时间”
①速度的偏向角φ=圆弧所对应的圆心角（回旋角）θ=2 倍的弦切角α，如图（d）所示。
②时间的计算方法。
方法一：由圆心角求，
方法二：由弧长求，t= Rθ
v
3．带电粒子在有界匀强磁场中运动时的常见情形
直线边界（粒子进出磁场具有对称性）
平行边界（粒子运动存在临界条件）
圆形边界（粒子沿径向射入，再沿径向
射出）
4．带电粒子在有界磁场中的常用几何关系
（1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。
（2）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2
倍。
5．求解带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法
由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，
其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几
3
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何关系，分析临界条件（①带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为
零；②射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切），然后应用数
学知识和相应物理规律分析求解。
（1）两种思路
一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、
讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。
（2）两种方法
一是物理方法：
①利用临界条件求极值；
②利用问题的边界条件求极值；
③利用矢量图求极值。
二是数学方法：
①利用三角函数求极值；
②利用二次方程的判别式求极值；
③利用不等式的性质求极值；
④利用图象法等。
（3）从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、
“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示。审题时，一定要抓住这些特定的词
语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。
二、压轴题速练
1.如图所示，在磁感应强度大小为B0的匀强磁场中，两长直导线P 和Q 垂直于纸面固定放
置，二者之间的距离为l。在两导线中均通有方向垂直于纸面向里，大小相等的电流时，纸
面内与两导线距离为l 的a 点处的磁感应强度为零。若仅让P 中的电流反向，则a 点处磁感
应强度的大小为
A．2B0
B．
C．
D．B0
2．三根完全相同的长直导线互相平行，通以大小和方向都相同的电流。它们的截面处
于一个正方形abcd 的三个顶点a、b、c 处，如图所示。已知每根通电长直导线在其周围
产生的磁感应强度与该导线的距离成反比，通电导线b 在a 处产生的磁场磁感应强度大
小为B，则d 处的磁感应强度大小为
4
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A．2B B．
B C．3B D．
B
3．如图所示，A、B、C 是正三角形的三个顶点，O 是AB 的中点，两根互相平行的通
电长直导线垂直纸面固定在A、B 两处，导线中通入的电流大小相等、方向相反。已知
通电长直导线产生磁场的磁感应强度
，I 为通电长直导线的电流大小，r 为距通
电长直导线的垂直距离，k 为常量，O 点处的磁感应强度大小为B0，则C 点处的磁感应
强度大小为
A．
B．
C．
D．
4.下列关于小磁针在磁场中静止时的指向，正确的是( )
5．如图所示，均匀绕制的螺线管水平放置，在其正中心的上方附近用绝缘绳水平吊起
通电直导线A，A 与螺线管垂直，A 导线中的电流方向垂直纸面向里。开关S 闭合，A 受
到通电螺线管磁场的作用力方向是
A．水平向左 B．水平向右 C．竖直向上 D．竖直
向下
6．如图所示，ab、cd 是两根在同一竖直平面内的直导线，在两导线中央悬挂一个小磁
5
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针，静止时在同一竖直平面内。当两导线中通以大小相等的电流时，小磁针N 极向纸
面内转动，则两导线中的电流方向
A．一定都是向上 B．一定都是向下
C．ab 中电流向上，cd 中电流向下 D．ab 中电流向下，cd 中电流向上
7.如图所示，三根通电长直导线a、b、c 平行水平放置，其横截面恰好位于等边三角形的
三个顶点，导线a、b 固定在同一竖直面内，导线a 中的电流方向垂直纸面向里，导线b 中
的电流方向垂直纸面向外，已知导线a、b 中的电流在导线c 处产生的磁场的磁感应强度大
小均为
；导线c 中的电流方向垂直纸面向里，电流大小为I，长度为L，质量为m，在粗
糙水平面上处于静止状态，重力加速度为g，下列说法正确的是
A．导线c 所受安培力的大小为
B．导线c 受到的静摩擦力方向向右
C．导线c 对水平面的压力大小为
D．若仅将导线b 中的电流反向，则导线c 所受安培力的大小为
8.如图，长为2L 的直导线折成边长相等的直角形状，并置于与其所在平面相垂直的匀强磁
场中，磁感应强度为B，当在该导线中通以电流I 时，该直角形通电导线受到的安培力大
小为（ ）
A．0
B．BIL
C．
D．2BIL
9.如图，两根间距为d 的平行光滑金属导轨间接有电源E，导轨平面与水平面间的夹角
6
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θ=30°，金属杆ab 垂直导轨放置，导轨与金属杆接触良好，整个装置处于磁感应强度为
B 的匀强磁场中。当磁场方向垂直导轨平面向上时，金属杆ab 刚好处于静止状态。要
使金属杆能沿导轨向上运动，可以采取的措施是
A．增大磁感应强度B
B．调节滑动变阻器使电流增大
C．增大导轨平面与水平面间的夹角θ
D．将电源正负极对调使金属杆中的电流方向改变
10.质量为
、电量为q 的带电粒子以速率
U 额
R0 垂直磁感线射入磁感应强度为
的匀强磁场中，
在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，带电粒子在圆周轨道上运动相当于一个环形电流，则
下列说法中正确的是
A．环形电流的电流强度跟q 成正比
B．环形电流的电流强度跟
U 额
R0 成正比
C．环形电流的电流强度跟
成正比
D．环形电流的电流强度跟
成反比
11．一个带电粒子沿垂直于磁场方向射入匀强磁场中，由于沿途空气电离而使粒子的动
能逐渐减小，轨迹如图所示。假设粒子的电荷量不变，下列有关粒子的运动方向和所带
电性的判断正确的是
A．粒子由a 向b 运动，带正电
B．粒子由b 向a 运动，带负电
C．粒子由b 向a 运动，带正电
D．粒子由a 向b 运动，带负电
12．（多选）如图所示，两匀强磁场的方向相同，以虚线MN 为理想边界，磁感应强度
分别为B1、B2，今有一质量为m、电荷量为e 的电子从MN 上的P 点沿垂直于磁场方向
射入匀强磁场B1中，其运动轨迹为如图虚线所示的“心”形图线。则以下说法正确的
是
7
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A．电子的运行轨迹为PDMCNEP
B．电子运行一周回到P 用时为
C．B1=2B2
D．B1=4B2
13.在真空室中，有垂直于纸面向里的匀强磁场，三个质子1、2 和3 分别以大小相等、方向
如图所示的初速度v1、v2和v3经过平板MN 上的小孔O 射入匀强磁场，这三个质子打到平
板MN 上的位置到小孔O 的距离分别是s1、s2和s3，不计质子重力，则有
A．s1>s2>s3 B．s1<s2<s3
C．s1＝s3>s2
D．s1＝s3<s2
14.利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子。图中板MN 上方是磁感应强
度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d 和d 的缝，两缝
近端相距为L。一群质量为m、电荷量为q，具有不同速度的粒子从宽度为2d 的缝垂直
于板MN 进入磁场，对于能够从宽度为d 的缝射出的粒子，下列说法正确的是
A．粒子带正电
B．射出粒子的最大速度为
C．保持d 和L 不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
D．保持d 和B 不变，增大L，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
15.如图所示，MN 是磁感应强度为B 的匀强磁场的边界。一质量为m、电荷量为q 的粒
子在纸面内从O 点射入磁场。若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A 点。下列说法
正确的有
8
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A．若粒子落在A 点的左侧，其速度一定小于v0
B．若粒子落在A 点的右侧，其速度一定大于v0
C．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能小于v0–qBd/2m
D．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能大于v0+qBd/2m
16.如图所示，平行线PQ、MN 之间有方向垂直纸面向里的匀强磁场，电子从P 沿平行于
PQ 且垂直于磁场方向射入磁场，其中速率为v1的电子与MN 成60°角，速率为v2的电子与
MN 成45°角射出磁场，v1：v2等于（ ）
A．（2—
）：1 B．（
—1）：1 C．
：1
D．
：
17.如图所示，竖直平行线MN、PQ 间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场
（含边界PQ），磁感应强度为B，MN 上O 处的粒子源能沿不同方向释放比荷为q/m 的
带负电粒子，速度大小相等、方向均垂直磁场。粒子间的相互作用及重力不计。设粒子
速度方向与射线OM 夹角为θ，当粒子沿θ=60°射入时，恰好垂直PQ 射出。则
A．从PQ 边界射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
B．沿θ=120°射入的粒子，在磁场中运动的时间最长
C．粒子的速率为
D．PQ 边界上有粒子射出的长度为
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18.如图所示，以直角三角形AOC 为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，
∠A=60°， AO=L，在O 点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子.已知粒
子的比荷为q
m，发射速度大小都为v0=qBL
m 。设粒子发射方向与OC 边的夹角为θ，不计粒
子间相互作用及重力。对于粒子进入磁场后的运动，下列说法中正确的是
A．当θ=45°时，粒子将从AC 边射出
B．所有从OA 边射出的粒子在磁场中运动时间相等
C．随着θ 角的增大，粒子在磁场中运动的时间先变大后变小
D．在AC 边界上只有一半区域有粒子射出
19.（多选）如图所示，等腰直角三角形abc 区域内（包含边界）有垂直纸面向外的匀
强磁场，磁感应强度的大小为B，在bc 的中点O 处有一粒子源，可沿与ba 平行的方向
发射大量速率不同的同种粒子，这些粒子带负电，质量为m，电荷量为q，已知这些粒
子都能从ab 边离开abc 区域，ab=2l，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用。关于这
些粒子，下列说法正确的是
A．速度的最大值为
B．速度的最小值为
C．在磁场中运动的最短时间为1
3
D．在磁场中运动的最长时间为
20.如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，其边界
为一边长为L 的正三角形（边界上有磁场），A、B、C 为三角形的三个顶点。现有一质
量为m、电荷量为+q 的粒子（不计重力），以速度
从AB 边上的某点P 既
垂直于AB 边又垂直于磁场的方向射入，然后从BC 边上某点Q 射出。若从P 点射入的
该粒子能从Q 点射出，则）
10
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A．
B．
C．
D．
21.（多选）如图，半径为R 的圆形区域（纸面）内存在着匀强磁场，磁场方向垂直于纸面，
半径OA 与半径OC 夹角α=60°，CD 为直径。电子、质子均从A 点沿与OA 夹角θ=30°方向
垂直射入匀强磁场中，电子经磁场偏转后从C 点以速率v 射出磁场，质子从D 点垂直AO
方向射出磁场。已知电子与质子的质量之比为k，重力及粒子间的作用均不计，则
A．磁场方向垂直圆面向外
B．电子在磁场中运动的路程为
πR
C．质子在磁场中运动的速率为kv
D．电子、质子通过磁场所用的时间之比为1:2
22．圆形区域内有如图所示的匀强磁场,一束比荷相同的带电粒子对准圆心O 射入,分别
从a、b 两点射出,下列说法正确的是
A．b 点出射粒子速率较小
B．a 点出射粒子运动半径较大
C．b 点出射粒子磁场中的运动时间较短
D．a 点出射粒子速度偏转角较小
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23．（多选）如图所示是一个半径为R 的竖直圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，磁
感应强度方向垂直纸面向内。有一个粒子源在圆上的A 点不停地发射出速率相同的带正
电的粒子，带电粒子的质量均为m，运动的半径为r，在磁场中的轨迹所对应的圆心角
为α。下列说法正确的是
A．若r=2R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若r=2R，粒子沿着与半径方向成45°角斜向下射入磁场，则有关系
成立
C．若r=R，粒子沿着磁场的半径方向射入，则粒子在磁场中的运动时间为
D．若r=R，粒子沿着与半径方向成60°角斜向下射入磁场，则圆心角α 为150°
24.如图所示，正方形abcd 内存在匀强磁场，方向垂直于纸面(abcd 所在平面)向外。a 处有
一粒子(重力不计)发射源，先后向磁场内沿与ab 边成30°角方向发射两个比荷不同、速度
相同的粒子，若该两粒子分别从b、d 点射出，则从b、d 两点射出的粒子在磁场中运动的
时间之比为
A．1：
B．
：2
C．
：1
D．2：
25.如图所示，abcd 为边长为L 的正方形，在四分之一圆abd 区域内有垂直正方形平面
向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。一个质量为m、电荷量为q 的带电粒子从b
点沿ba 方向射入磁场，结果粒子恰好能通过c 点，不计粒子的重力，则粒子的速度大
小为
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A．
B．
C．
D．
26.如图所示，在一个边长为
的正六边形区域内存在磁感应强度为
，方向垂直于纸
面向里的匀强磁场。三个相同的带电粒子，比荷大小均为
，先后从
点沿
方向
以大小不等的速度射人匀强磁场区域，粒子在运动过程中只受磁场力作用。已知编号
为
的粒子恰好从
点飞出磁场区域，编号为
的粒子恰好从
点飞出磁场区城，编
号为
的粒子从
边上的某点垂直边界飞出磁场区城。则
A．三个带电粒子均带正电
B．编号为
的粒子进人磁场区城的初速度大小为
C．编号为
的粒子在磁场区城内运动的时间为
D．编号为
的粒子在
边上飞出的位置与
点的距离为
27.如图所示，MN 是磁感应强度为B 的匀强磁场的边界。一质量为m、电荷量为q 的粒子
在纸面内从O 点射入磁场. 若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A 点。下列说法正确的
有
A.若粒子落在A 点的左侧，其速度一定小于v0
B.若粒子落在A 点的右侧，其速度一定大于v0
C.若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能小于v0－qBd/2m
D.若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能大于v0+qBd/2m
28.如图为某磁谱仪部分构件的示意图。图中，永磁铁提供匀强磁场，硅微条径迹探测器可
以探测粒子在其中运动的轨迹。宇宙射线中有大量的电子、正电子和质子。当这些粒子从
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上部垂直进入磁场时，下列说法正确的是
A.电子与正电子的偏转方向一定不同
B.电子和正电子在磁场中的运动轨迹一定相同
C.仅依据粒子的运动轨迹无法判断此粒子是质子还是正电子
D.粒子的动能越大，它在磁场中运动轨迹的半径越小
29.有两个运强磁场区域I和II，I中的磁感应强度是II中的k 倍，两个速率相同的电子分别在
两磁场区域做圆周运动。与I中运动的电子相比，II中的电子
A.运动轨迹的半径是I中的k 倍
B.加速度的大小是I中的k 倍
C.做圆周运动的周期是I中的k 倍
D.做圆周运动的角速度是I中的k 倍
30.如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN 垂直于纸面，在
纸面内的长度L=9.1cm，中点O 与S 间的距离d＝4.55cm，MN 与SO 直线的夹角为θ，板
所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－
4T，电子质量m＝9.1×10－31kg，电荷量e＝－1.6×10－19C，不计电子重力。电子源发射速度
v＝1.6×106m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l，则
A.θ＝90°时，l＝9.1cm B.θ＝60°时，l＝9.1cm
C.θ＝45°时，l＝4.55cm D.θ＝30°时，l＝4.55cm
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