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模型12、行星模型
【模型特点】
1. 卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
2.极地卫星、近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.
(2) 近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球
的半径，其运行线速度约为7.9km/s.
绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期:
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.
深化拓展:
(1) 卫星的
、
、
、
是相互联系的，如果一个量发生变化，其他量也随之发生变化;这些量与卫星
的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定.
(2) 卫星的能量与轨道半径的关系:同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大.
3.同步卫星(通信卫星均为同步卫星)
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“同步”的含义就是和地球保持相对静止(又叫静止轨道卫星)
(1)周期等于地球自转周期，既T=24h
(2)轨道半径是唯一确定的，离地面的高度为
地
(3)该轨道必须在地球赤道的正上方
(4)卫星的运转方向必须是由西向东
【模型解题】
1、卫星变轨问题分析
当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用),万有引力不再等于向心力，卫
星将变轨运行:
(1)当卫星的速度突然增大时，
，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离
原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由
可知其运行速度比原轨道时
减小.
(2)当卫星的速度突然减小时，
;即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱
离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由
可知其运行速度比原轨道
时增大.
卫星的发射和回收就是利用这一原理.
2、双星系统模型问题的分析与计算
宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万
有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这
种结构叫做双星。
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[特点]
(1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
，
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即
,
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为:
(4)两颗星到圆心的距离
、
与星体质量成反比，即
(5)双星的运动周期
(6)双星的总质量公式
△双星系统问题的误区
(1)不能区分星体间距与轨道半径:万有引力定律中的r 为两星体间距离，向心力公式中的r 为所研究星球
做圆周运动的轨道半径.
(2)找不准物理现象的对应规律.
【模型训练】
【例1】某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运动半径的
，设月球绕地球
运动的周期为27 天，则此卫星的运行周期为（ ）
A．
天
B．
天
C．1 天
D．9 天
变式1.1 已知地球半径为R，同步卫星到地心的距离约为6.6R，某人造卫星在离地球表面的距离为1.2R 的
轨道上做匀速圆周运动，则该卫星运动的周期约为（ ）
A．0.5 天
B．0.2 天
C．5.2 天
D．9 天
变式1.2 我国的第一颗卫星“东方红一号”于1970 年4 月24 日在酒泉卫星发射中心由长征一号运载火箭
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送入工作轨道（近地点距地球表面的距离
、远地点距地球表面的距离
），它开创
了中国航天史的新纪元。1984 年，“东方红二号”卫星发射成功，这是一颗地球同步卫星，距离地心大约
。已知地球半径为
，可以估算“东方红一号”卫星的周期约为（ ）
A．80 分钟
B．102 分钟
C．114 分钟
D．120 分钟
【例2】2021 年4 月28 日，国际行星防御大会召开，我国代表介绍了正在论证的小行星探测任务。关于行
星运动规律下列说法正确的是（ ）
A．第谷根据多年的观测总结揭示了行星的运动规律，为万有引力定律的发现奠定了基础
B．牛顿发现万有引力定律后，开普勒整理牛顿的观测数据后，发现了行星运动的规律
C．开普勒第三定律表达式为
月亮围绕地球运动的k 值与人造卫星围绕地球运动的k 值相同
D．行星绕太阳运动时、线速度方向时刻在变，大小始终不变
变式2.1 关于开普勒行星运动定律，下列说法中正确的是（ ）
A．开普勒通过自己的长期观测，记录了大量数据，通过对数据的研究总结出了行星运动定律
B．根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上
C．根据开普勒第二定律，行星绕太阳运动时，线速度大小始终不变
D．根据开普勒第三定律，所有行星轨道的半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相等
变式2.2 人类对太阳系中行星运动规律的探索过程中，曾有擅长观测的科学家通过长期观测记录了各行星
环绕太阳运动（公转）的大量数据，在此基础上有位擅长数学推理的科学家，认为行星公转轨道应该是椭
圆，然后通过数学推理，发现了行星运动三大定律，揭示了行星运动的规律。观测记录行星公转的大量数
据以及发现行星运动三大定律的科学家分别是（ ）
A．托勒密、第谷B．第谷、开普勒
C．哥白尼、托勒密
D．哥白尼、开普勒
【例3】在利用探测器探测石油的过程中，遇到空腔或者其他物质时，引力会发生变化，引起该区域重力
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加速度的大小和方向发生微小的变化，以此来探寻石油区域的位置。简化模型如图所示，一个质量均匀分
布的半径为R 的球体对球外质点P 的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r 的一部分球体，且
，则原球体剩余部分对质点P 的万有引力变为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3.1 如图所示，一个质量均匀分布的半径为R 的球体对球外质点P 的万有引力为F。如果在球体中央
挖去半径为r 的一部分球体，且r=
，则原球体剩余部分对质点P 的万有引力大小变为（ ）
A．
B．
C．
D．
F
变式3.2 有一质量为
、半径为
、密度均匀的球体，在距离球心
为
的地方有一质量为
的质点。
现将
中挖去半径为
的球体，如图所示，则剩余部分对m 的万有引力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】2023 年9 月5 日傍晚5 点30 分左右，一颗命名为“合肥高新一号”的卫星，从海上发射基地飞向
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太空，成为中国低轨卫星物联网的一部分。假设此卫星在赤道平面内绕地球做圆周运动，离地面高度等于
地球半径R，运行方向与地球自转方向相同。已知地球自转周期为
，地球两极处重力加速度为g，万有
引力常量用G 表示。下列说法正确的是（ ）
A．地球的平均密度为
B．卫星做圆周运动的周期为
C．赤道表面的重力加速度为
D．若赤道上有一卫星测控站，忽略卫星信号传输时间，卫星与测控站能连续通信的最长时间为
变式4.12021 年2 月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后进入运行
周期为T 的椭圆形停泊轨道（如图所示），近火点A 到火星中心O 的距离为a，已知火星的半径为R，在
火星上以v₀ 的速度竖直上抛物体，经过t 时间后物体回到原处，万有引力常量为G，忽略火星自转。以下
说法正确的是（ ）
A．火星的质量为
B．火星的密度为
C．火星的第一宇宙速度为
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D．远火点B 到火星中心O 的距离为
变式4.2 地球资源卫星“04 星”绕地球做匀速圆周运动的角速度为
，地球相对“04 星”的张角为
，如
图所示。引力常量为G，则地球的密度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5】在刘慈欣的科幻小说《带上她的眼睛》里演绎了这样一个故事：“落日六号”地层飞船深入地球
内部进行探险，在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年轻的女领航员，她只能在封闭的地心度过余生。
已知地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零。若地球表面的重力
加速度为g，当“落日六号”位于地面以下深0.5R 处时，该处的重力加速度大小为（ ）
A．0.25g
B．0.5g
C．0.75g
D．g
变式5.1 已知“祝融号”火星车在地球表面受到的重力大小为G1，在火星表面受到的重力大小为G2；地球
与火星均可视为质量分布均匀的球体，其半径分别为R1、R2。若不考虑自转的影响且火星车的质量不变，
则地球与火星的密度之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5.2 中子星是除黑洞外密度最大的星体，恒星演化到末期，经由重力崩溃发生超新星爆炸之后，可能
成为的少数终点之一，其密度比地球上任何物质密度大相当多倍。设某中子星的质量是太阳的50 倍，自转
周期是0.01s，半径是地球绕太阳运动的轨道半径的
倍，已知地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为
1.5×108km，太阳质量为2.0×1030kg，则该中子星赤道表面的重力加速度大小为（ ）
A．3×1011m/s2
B．2.4×1011 m/s2
C．1.2×1011 m/s2
D．6×1010 m/s2
【例6】中科院紫金山天文台在 2023 年1 月9 日首次发现了一颗新彗星，目前，该彗星正朝着近日点运
动，明年有望成为肉眼可见的大彗星。如图所示，Ⅱ为该彗星绕太阳运行的椭圆轨道，Ⅰ为某行星绕太阳
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做匀速圆周运动的轨道，两轨道相切于B 点。A 为彗星运动的远日点，B 为彗星运动的近日点。下列说法
正确的是（ ）
A．彗星运行到A 点的速度小于行星运行到B 点的速度
B．彗星运行到A 点的速度大于彗星运行到B 点的速度
C．彗星运行的周期小于行星运行的周期
D．彗星运行到B 点的加速度大于行星运行到B 点的加速度
变式6.12021 年2 月，“天问一号”探测器成功被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星，实现“绕、
着、巡”目标的第一步。 如图，为“天问一号”被火星捕获的简易图，其中1 为椭圆轨道，2 为圆轨道。
则下列说法正确的是（ ）
A．“天问一号”在轨道2 运行的周期大于在轨道1 运行的周期
B．“天问一号”沿轨道1 运行时在P 点的加速度大于在Q 点的加速度
C．“天问一号”由轨道1 进入轨道2，在Q 点的喷气方向与速度方向相反
D．“天问一号”在轨道1 由Q 点向P 点运动的过程中，速度减小
变式6.2 如图所示为“天问一号”探测器围绕火星多次变轨的简化图景。轨道I、III 为椭圆，轨道II 为
圆，O 点是这三个轨道的相切点，O、Q 分别是远火星点和近火星点，O、P、Q 三点连线经过火星中心，
已知火星的半径为R，
，探测器在轨道II 上经过O 点时的速度为v。下列说法正确的是（ ）
A．在多次变轨过程中，探测器与火星中心的连线经过相等时间扫过的面积都相等
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B．探测器在轨道II 上运动时，经过O 点的加速度等于
C．探测器在轨道I 上运动时，经过O 点的速度小于v
D．探测器在轨道II 和III 上运动的周期之比是
【例7】如图所示，2022 年7 月15 日，由清华大学天文系某教授牵头的国际团队近日宣布在宇宙中发现了
两个罕见的恒星系统。该系统均由两颗互相绕行的中央恒星组成，被气体和尘埃盘包围。且该盘与中央恒
星的轨道成一定角度，呈现出“雾绕双星”的奇幻效果。若其中一个系统简化模型如图所示，质量不等的
恒星A 和B 绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动，由天文观察测得其运动周期为T，恒星A 到O 点的
距离为
，恒星A 和B 间的距离为r，已知引力常量为G。则恒星A 的质量为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7.1 中国天眼FAST 已发现约500 颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团
M92 第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图，距离为L 的A、B 双星绕它们连线上的某点O 在二者万
有引力作用下做匀速圆周运动，运动周期为T，万有引力常量为G，则双星总质量为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7.2 如图甲所示，河外星系中两黑洞A、B 的质量分别为
和
，它们以连线上的某一点为圆心做
匀速圆周运动。为研究方便简化为如图所示的示意图，黑洞A 和黑洞B 均可看成球体，
，且黑洞
A 的半径大于黑洞B 的半径，下列说法正确的是（ ）
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A．黑洞A 的向心力大于黑洞B 的向心力
B．若两黑洞间的距离一定，把黑洞A 上的物质移到黑洞B 上，它们运行的角速度变大
C．若两黑洞间的距离一定，把黑洞A 上的物质移到黑洞B 上，A 运行的线速度变大
D．人类把宇航器发射到距黑洞A 较近的区域进行探索，发射速度不大于第三宇宙速度
【例8】“鹊桥”卫星是地球与位于月球背面的“嫦娥四号”月球探测器实现信号传输的中继站。如图，L
是地月连线上的一个“拉格朗日点”，处在该点的物体会与月球一起绕地球同步公转。已知在地月引力共
同作用下，“鹊桥”卫星在轨道平面与地月连线垂直的“Halo 轨道”上绕L 做匀速圆周运动，同时随月球
一起绕地球同步公转。结合图中所给的观测数据，下列说法正确的是（ ）
A．“鹊桥”卫星绕地球公转的向心加速度小于月球公转的向心加速度
B．根据观测数据能计算出地球、月球和“鹊桥”卫星的质量
C．根据观测数据能计算出“鹊桥”卫星在“Halo 轨道”上的运动周期
D．若将“鹊桥”卫星直接发射到L 点，能量消耗最小，能更好地为地-月通信提供支持
变式8.1 如图所示，地球和月球组成双星系统，它们共同绕某点O 转动且角速度相同。L1、L2、L3、L4、L5
称为拉格朗日点，在这些位置上的航天器也绕O 点转动且相对地月系统不动，则下列说法正确的是（
）
A．地月系统中，O 点更靠近月球
B．在五个拉格朗日点中，L1位置上的航天器向心加速度最大
C．在五个拉格朗日点中，L2位置上的航天器所需向心力仅由地球引力提供
D．在地面附近给航天器一初速度v0，不考虑月球对航天器的引力，航天器沿椭圆轨道运动至L3处，
则v0>7.9km/s
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变式8.2 探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成为世界首颗成功进入地月拉格朗日
点的Halo 使命轨道
的卫星，为地月信息联通搭建“天桥”。如图所示，该
点位于地球与月球连线的延长线上，“鹊桥”位
于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周运动。已知地球、月球和“鹊桥”的质量分
别为
、
、
，地球和月球之间的平均距离为R，
点离月球的距离为x，不计“鹊桥”对月球的影
响，则（ ）
A．“鹊桥”的线速度等于月球的线速度
B．“鹊桥”的向心加速度小于月球的向心加速度
C．x 满足
D．x 满足
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