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模型17、多过程模型
【模型解题】
一、应用牛顿运动定律和动能定理分析多过程问题
若一个物体参与了多个运动过程，有的运动过程只涉及分析力或求解力而不涉及能量问题，则常常用牛顿
运动定律求解;若该过程涉及能量转化问题，并且具有功能关系的特点，则往往用动能定理求解.
二、用动力学和能量观点分析多过程问题
若一个物体参与了多个运动过程,有的运动过程只涉及分析力或求解力而不涉及能量问题，则常常用牛顿
运动定律求解;若该过程涉及能量转化问题，并且具有功能关系的特点,则往往用动能定理或机械能守恒定
律以及能量守恒定律求解.
【模型训练】
1．如图所示，倾角为
的粗糙斜面AB 长
，B 端距水平地面
，O 在B 点的正下方，B 点
右端接一光滑小圆弧（图上未画出），圆弧右端切线水平，且与一长
的水平木板MN 平滑连接。
一个小滑块与斜面AB 间的动摩擦因数为
，它从A 端由静止释放后运动到N 端恰好停止。（
，
）
（1）求滑块到达B 点速度
的大小；
（2）求滑块与木板MN 之间的动摩擦因数
；
（3）若将木板右侧截去长为
的一段，滑块从A 端由静止释放后将滑离木板，落在水平地面上某点P
（图中未标出）。求落地点P 距O 点的距离范围。
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2．如图所示，固定的竖直光滑圆轨道与倾斜光滑直轨道相切与
点，轨道半径
，直轨道倾角
，质量
的小球B 锁定在
点，固定的水平发射装置发射小球
，小球
以最小速度和
发生碰撞，小球
与小球
碰撞前瞬间，小球
解除锁定，两小球质量相等，碰后两个小球粘在一起，沿
光滑轨道在D 点无能量损失的滑上小车，小车放在光滑水面上，右端固定一个轻弹簧，弹簧原长为
，
小车
段粗糙，小球与
段的动摩擦因数
，EF 段光滑，小车的质量
，重力加速度
，
，
，求
（1）水平弹簧装置具有弹性势能
；
（2）小球恰好不从小车上滑下，小车
段的长度
；
（3）为保证小球既要挤压弹簧又不滑离小车，小车DE 段的长度
的取值范围。
3．如图所示，高度相同的两块平板P1、P2置于光滑水平面上，其质量分别为m1=1kg 和m2=3kg。质量
m=1kg 且可看作质点的物体P 置于P1的最右端，P1与P 一起以v0=4m/s 的速度向右运动，与静止的P2发生
碰撞（碰撞时间极短），碰撞过程中无机械能损失。P 与P2之间的动摩擦因数为μ=0.5，P2足够长，重力加
速度g 取10m/s2。求：
（1）P1、P2碰撞后瞬间两平板的速度大小；
（2）P 最终距离P2左端的距离。
4．如图甲所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上，右端点在O 位置。质量为m 的物块A（可视为质点）以初
速度v0从距O 点右方s0处的P 点向左运动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧右端压到O′点位置后，A 又被
弹簧弹回。A 离开弹簧后，恰好回到P 点，物块A 与水平面间的动摩擦因数为μ。
（1）求物块A 从P 点出发又回到P 点的过程中克服摩擦力所做的功；
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（2）求O 点和O′点间的距离s1；
（3）如图乙所示，若将另一个与A 完全相同的物块B（可视为质点）与弹簧右端拴接，将A 放在B 右
边，向左推A、B，使弹簧右端压缩到O′点位置，然后从静止释放，A、B 共同滑行一段距离后分离。求分
离后物块A 向右滑行的最大距离s2的大小。
5．如图（a）所示，在竖直平面内有一固定轨道ABC，BC 段是半径为R 的光滑半圆轨道，AB 段是长度为
4R 的粗糙水平轨道。一质量为m 的小物块静止在A 点，现对小物块施加一水平向右的拉力F，其在水平轨
道上加速度a 与位移x 的关系如图（b）所示。该拉力的初始值F0=mg，通过B 点后拉力保持不变，在小物
块离地面高度为R 时再撤去拉力，已知重力加速度为g，求：
（1）小物块运动至B 点时拉力F1大小；
（2）小物块运动至C 点时的速度大小；
（3）小物块从C 点抛出后，当小物块再次离地高度为R 时，在小物块上施加一大小为F1、方向水平向左
的恒力，求小物块回到水平轨道时距B 的距离。
6．如图所示，滑道由光滑的曲面滑梯
和一条与其平滑连接的水平轨道
构成，水平轨道右侧固定有
一轻质弹簧，弹簧左端恰好位于
点。若质量为
的滑块A 从距离地面高
处由静止开始
下滑，下滑后与静止于
点的滑块B 发生碰撞。若碰撞后A、B 粘在一起，两者以2m/s 的速度向右移动
0.5m 停下。已知水平轨道
长度
，两滑块与
段之间的动摩擦因数相同，其余部分光滑，两
滑块均可视为质点，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度
。求：
（1）滑块B 的质量
；
（2）滑块与
段之间的动摩擦因数；
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（3）若A、B 两滑块发生弹性碰撞，求弹簧最大的弹性势能
。
7．如图所示，在距水平地面高
的光滑绝缘水平台面上，一个质量为
、带电量
的小物块压缩弹簧后被锁扣K 锁住，储存了
的弹性势能。现打开锁扣K，物块与弹簧分
离后以水平速度
向右滑离平台，并恰好从B 点沿切线方向进入光滑竖直的圆弧轨道BC。已知B 点距水
平地面高
，圆弧轨道BC 的圆心O 与水平台面等高，C 点的切线水平，并与水平地面上长为
的粗糙直轨道CM 平滑连接，CM 轨道区域存在水平向左的匀强电场，小物块穿过电场后平滑的
滑上以速度
逆时针转动的传送带，小物块与直轨道和传送带的动摩擦因数均为
，传送带
MN 两端点间距离
，小物块刚好没有从N 端滑离传送带。小物块在整个运动过程中电量保持不变，
重力加速度
，空气阻力忽略不计。试求：
（1）压缩弹簧后被锁扣K 锁住时的弹性势能
；
（2）匀强电场的场强大小E；
（3）小物块从开始运动到最后静止的整个运动过程中因摩擦力做功产生的热量Q。
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8．如图所示，BCDG 是光滑绝缘的
圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为
，下端与水平绝缘轨道在
点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中
。现有一质量为
、带电量为
的小滑块
（可视为质点）置于水平轨道上，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为
。
，
。
（1）若滑块从水平轨道上距离
点
的
点由静止释放，求滑块到达
点的速度；
（2）在（1）的情况下，求滑块到达
点时对轨道的压力；
（3）改变的大小，为了使小滑块不脱离圆弧轨道，求AB 初始距离的取值范围。
9．如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB 的下端与圆弧轨道DCB 相切于B 点，DC 段粗糙，CB
段光滑，圆心角
，D 点与圆心O 等高，圆弧轨道半径
，一个质量为
，可视
为质点的小物体，从D 点的正上方距离为
的E 点处自由下落，小物体与斜面AB 之间的动摩擦因数
，取
，
，
。忽略空气阻力对物体运动的影响，则：
（1）小物体经多长时间到达D 点；
（2）当小物体到达圆弧轨道底端C 时对轨道的压力为13N，求小物体在圆弧DC 段克服摩擦力所做的功；
（3）要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L 至少要多长？
10．如图所示，三个质量均为1kg 的小滑块 A、B、C 沿直线静止排列在水平面上，其中A、B 与水平面
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间无摩擦，C 与水平面之间的动摩擦因数
。某时刻给滑块A 水平向右的速度
，与滑块B
碰撞后粘在一起形成结合体P（P 与水平面间无摩擦），结合体P 与滑块C 发生弹性碰撞后均停止在水平
面上。已知重力加速度
。求：
（1）A、B 碰撞过程中，B 受到的冲量大小I；
（2）P、C 第一次碰撞后C 的速度；
（3）整个过程中滑块C 的位移大小x。
11．滑板运动，越来越受到年轻人追捧，如图所示，滑板轨道ADE 光滑，水平轨道AD 与半径
四
分之一竖直圆弧轨道DE 在D 点相切。一个质量为
的运动员（可视为质点）以初速度
冲上静
止在A 点质量
的滑板（可视为质点），设运动员蹬上滑板后立即与滑板一起共同沿着轨道运动。
若不计空气阻力，重力加速度g 取值
（计算结果均保留三位有效数字）。求：
（1）运动员以6m/s 的水平速度冲上滑板，是否能达到E 点；
（2）以运动员恰好到达E 点的速度
冲上滑板，运动员和滑板滑过圆弧形轨道D 点时对轨道的压力；
（3）若A 点左侧为滑动摩擦因数
的水泥地面，则运动员与滑板滑回后停在距A 点多远的距离。
12．如图所示，长为L＝3m 的木板A 质量为M＝2kg，A 静止于足够长的光滑水平面上，小物块B（可视
为质点）静止于A 的左端，B 的质量为m1＝1kg，曲面与水平面相切于M 点。现让另一小物块C（可视为
质点），从光滑曲面上离水平面高h＝3.6m 处由静止滑下，C 与A 相碰后与A 粘在一起，C 的质量为m2＝
1kg，A 与C 相碰后，经一段时间B 可刚好未离开A。（g＝10m/s2）求：
（1）C 与A 碰撞结束时A 的速度；
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（2）A、B 之间的动摩擦因数μ；
（3）从开始到最后损失的机械能。
13．如图所示，半径为R 的光滑四分之一圆弧轨道AB 在最低点B 与足够长的光滑水平面平滑连接，质量
为4m 的物块甲静置于B 处，质量为m 的物块乙从圆弧轨道最高点A 处由静止开始无初速度释放。已知重
力加速度为g，甲、乙两物块均可视为质点，不计空气阻力，甲、乙间的碰撞均为弹性碰撞。求：
（1）物块乙第1 次刚要到达B 处时对圆弧轨道的压力大小；
（2）物块甲、乙第1 次碰撞后瞬时各自的速度大小；
（3）最终物块甲、乙各自的速度大小。
14．如图所示，竖直固定的半径R＝0.32m 的光滑绝缘圆弧轨道在B 点与粗糙绝缘水平轨道AB 相切。整个
轨道处于水平向左的匀强电场中。将一个质量m＝0.4kg、带电量q＝＋3×10－3C 的物块P（可视为质点）从
水平轨道上B 点右侧距离B 点x＝0.64m 的位置由静止释放，物块运动到B 点时对圆弧轨道的压力大小为
。圆弧轨道右下方留有开口，物块进入圆弧轨道后，开口将自动关闭形成一个闭合的圆轨道。已
知物块P 与水平轨道AB 间的动摩擦因数μ＝0.25，
，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：
（1）物块P 运动到B 点时的速度大小以及匀强电场的场强大小；
（2）为了让物块P 进入圆弧轨道后恰好能做完整的圆周运动，需要将物块P 从B 点右侧多远处由静止释
放？
（3）通过计算分析物块P 进入圆弧轨道后的运动过程是否会与圆弧轨道分离。
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15．一辆质量m=2kg 的平板车左端放有质量M=3kg 的小滑块，滑块与平板车之间的动摩擦因数μ=0.4。开
始时平板车和滑块以v0=2m/s 的速度在光滑水平面上向右运动，并与竖直墙壁发生碰撞，碰撞时间极短且
碰撞后平板车速度大小保持不变，但方向与原来相反。平板车足够长，以至滑块不会滑到平板车右端。
（1）平板车最终停在何处？
（2）为使滑块不滑离平板车，平板车至少多长？
（3）从平板车第一次与墙壁碰撞后算起，平板车运动的总时间是多少？
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