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模型21、对称模型
【模型概述】
对称法作为-种具体的解题方法，虽然高考命题没有单独正面考查，但是在每年的高考命题中都有所渗透
和体现。从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力。所以作为--种重要的物理思想和方法，
相信在今后的高考命题中必将有所体现。
【模型解题】
在研究和解决物理问题时，从对称性的角度去考查过程的物理实质，可以避免繁冗的数学推导，迅速而准
确地解决问题。
对称法是从对称性的角度研究、处理物理问题的一种思维方法，有时间和空间上的对称。它表明物理规律
在某种变换下具有不变的性质。用这种思维方法来处理问题可以开拓思路，使复杂问题的解决变得简捷。
如，一个做匀减速直线运动的物体在至运动停止的过程中，根据运动的对称性，从时间上的反演，就能看
作是一个初速度为零的匀加速直线运动，于是便可将初速度为零的匀加速直线运动的规律和特点，用于处
理末速度为零的匀减速运动，从而简化解题过程。具体如:竖直上抛运动中的速度对称、时间对称。沿着
光滑斜面上滑的物体运动等具有对称性等，总之物理问题通常有多种不同的解法，利用对称性解题不失为
一-种科学的思维方法。
利用对称法解题的思路:①领会物理情景，选取研究对象;②在仔细审题的基础上，通过题目的条件、背
景、设问，深刻剖析物理现象及过程，建立清晰的物理情景，选取恰当的研究对象如运动的物体、运动的
某-过程或某一-状态;③透析研究对象的属性、运动特点及规律;④寻找研究对象的对称性特点。⑤利用对
称性特点，依物理规律，对题目求解。
【模型训练】
【例1】（多选）如图所示，立方体
的四个顶点
、
、
、
处各固定着一个电荷量均
为
的正点电荷，
为
连线的中点，
为
连线的中点。下列说法正确的是（ ）
A．
、
两点处的电势相同
B．
、
两点处的电势相同
C．
、
两点处的电场强度相同
D．
、
两点处的电场强度相同
1
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【答案】AB
【详解】AC．设正方体中心为O，根据几何关系可知三角形ACH 和ACF 为全等的等边三角形。设A、
C、H 在D 点产生的电场强度为E1，电势为φ1；A、C、F 在B 点处产生的电场强度为E2，电势为φ2。根据
对称性可知φ1等于φ2，E1沿OD 方向，E2沿OB 方向。而F 在D 点产生的电场强度方向沿OD 方向，H 在
B 点产生的电场强度沿OB 方向，根据对称性以及电场的叠加可知B、D 两点电场强度大小相同、方向不
同。而F 在D 点产生的电势与H 在B 点产生的电势相等，则根据电势的叠加可知B、D 两点电势相等，故
A 正确，C 错误；
BD．根据对称性可知A、C 两点在M 产生的合场强为零，F、H 两点在M 产生的合场强沿OM 方向；H、C
两点在N 产生的合场强为零，A、F 在N 产生的合场强沿ON 方向，根据对称性以及电场的叠加可知M、N
两点电场强度大小相同、方向不同。而A、C 在M 产生的电势与H、C 在N 产生的电势相等，H、F 在M
产生的电势又与A、F 在N 产生的电势相等，根据电势的叠加可知M、N 两点电势相等，故B 正确，D 错
误。
故选AB。
变式1.1（多选）如图所示，真空中有一边长为a 的正立方体，在图中A、C、F 三个顶点放上电荷量相等
的负点电荷q，已知静电力常量为k，设无穷远处的电势为零，下列说法正确的是（ ）
A．A 处点电荷受到另两个点电荷对其作用力的合力大小为
B．B 点处的电场强度的大小为
C． D、E、G 三点电势相等
D．将一电子先后置于H 点和B 点，电子在H 点的电势能小于其在B 点的电势能
【答案】ACD
【详解】A．A、C、F 三点形成了一个等边三角形，有
2
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故A 正确；
B．B 点处的电场强度是由三个点电荷各自产生的电场强度叠加而成的，合电场强度为
，故B 错误；
C．D、E、G 三点在电场中相对A、C、F 三点的位置相同，故电势相等，故C 正确；
D．H 点到三个固定负点电荷的距离大于B 点到三个固定负点电荷的距离，所以
，根据
得
到
，故D 正确；
故选ACD。
变式1.2 如图所示，正方体ABCD-A'B'C'D'的顶点A、D'处有带电量为－q（q>0）的点电荷，B、C'处有带
电量为+q 的点电荷，O 点为正方体的中心，取无穷远处电势为0，则下列说法正确的是（ ）
A．O 点的电势为0
B．O 点场强为0
C．A'与C 点场强大小、电势均相同
D．A'与C 点场强大小、电势均不相同
【答案】A
【详解】AB．O 点既位于AB 的垂直平分面上，也位于C'D'的垂直平分面上，若取无穷远处电势为0，则
等量异种电荷连线的垂直平分面上电势为0，所以O 点的电势为0；等量异种电荷连线的垂直平分面上各
点的电场强度方向平行于两电荷连线并指向负电荷一侧，所以A、B 两点的点电荷在O 点产生的合电场强
度EO1方向平行于AB 且指向ADD'A'面，且C'、D'两点的点电荷在O 点产生的合电场强度EO2方向平行于
C'D'也指向ADD'A'面，即EO1和EO2方向相同，所以O 点场强不为0，故A 正确，B 错误；
CD．因为A'到A 和D'的距离大于其到B 和C'的距离，所以A'点电势为负，同理可知C 点电势为正，所以
A'与C 点电势不同；根据对称性可知，A 和D'处点电荷在A'产生的合电场强度EA′1与B 和C′处点电荷在C
产生的合电场强度EC1相同，而A 和D'处点电荷在C 产生的合电场强度EC2与B 和C′处点电荷在A′产生的
合电场强度EA′2相同，根据平行四边形法则可知EA′1和EA′2的矢量和与EC1和EC2的矢量和相同，所以
A'与C 点场强相同，故CD 错误。
3
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故选A。
【例2】如图所示，在a、b 两点固定着两个带等量异种电荷的点电荷，c、d 两点将a、b 两点的连线三等
分，则（ ）
A．c、d 两点的电场强度大小相等，方向相反
B．c、d 两点的电场强度大小相等，方向相同
C．从c 点到d 点，电场强度先增大后减小
D．从c 点到d 点，电势先降低后升高
【答案】B
【详解】AB．带等量异种电荷连线的中点，c、d 两点将a、b 两点的连线三等分，所以c 与d 关于连线的
中点对称，所以关于连线的中点对称的两点c 与d 的场强等大同向，故A 错误，B 正确；
C．根据等量异种电荷电场线的分布，电场线密的地方场强大，反之电场线疏的地方场强小，所以在两点
电荷连线上中点处场强最小，两边依次增大。所以从c 到d 点场强先变小后变大，故C 错误；
D．根据等量异种电荷电场线的分布可知，电场线由a 指向b，电势越来越低，连线中点处的电势为0，d
点电势为负，所以c 点到d 点电势一直减小，故D 错误；
故选B。
变式2.1 如图所示，M、N 两点处分别固定有两个等量正点电荷，O 点为MN 连线中点，点a、点b 为MN
连线上到O 点距离相等的两点，点c、点d 为MN 连线的中垂线上到O 点距离相等的两点。下列说法中正
确的是（ ）
A．c 点和d 点处的电场强度相同
B．b 点比O 点电势高
C．b、c 两点间电势差Ubc等于d、a 两点间电势差Uda
D．把一个不计重力的带负电的微粒从d 点由静止释放，它将沿dc 方向运动到无穷远处
【答案】B
【详解】A．根据等量同种电荷的电场分布可知，点和
点的电场强度大小相等方向相反，A 错误；
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B．沿电场线方向电势降低可知，
点电势比
点电势高。B 正确；
C．由对称性可知
、
两点的电势相等，、
两点的电势相等，所以
，
，C 错误；
D．在等量同种电荷连线的中垂线上，
点的电场强度为零，电场强度方向由
指向
和由
指向，带负
电微粒从
点由静止释放，则在电场力作用下向
点加速运动，过
点后做减速运动，到达点，速度为
零，然后向
点加速运动，由于对称性，带负电微粒将会在
点上下两侧
之间往复运动， D 错误。
故选B。
变式2.2 如图所示，以两等量同种点电荷连线的中点O 为圆心画圆，在圆上有a、b、c、d 四点，b、d 两
点在两点电荷连线的中垂线上，下列说法正确的是（ ）
A．a 点的电场强度大于c 点的电场强度
B．b、d 两点的电场强度大小相等、方向相同
C．负电荷在a 点的电势能大于在c 点的电势能
D．将正电荷由b 点沿直线移到d 点，其受到的电场力先做负功后做正功
【答案】D
【详解】A．a、c 两点关于O 点对称，根据场强的叠加法则可知，a、c 两点的电场强度大小相等，方向相
反，故A 错误；
B．b、d 两点关于O 点对称，根据场强的叠加法则可知，b、d 两点的电场强度大小相等，方向相反，故B
错误；
C．根据点电荷电势表达式可知
可知a、c 两点电势大小相等；根据电势能表达式
可知电荷在a 点的电势能等于在c 点的电势能，故C 错误；
D．b 点合场强方向向上，d 点合场强方向向下，正电荷受到的电场力先做负功后做正功，故D 正确。
故选D。
【例3】一段均匀带电的半圆形细线在其圆心O 处产生的场强大小为E，把细线分成等长的圆弧
、
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、
，则圆弧
在圆心O 处产生的场强大小为( )
A．E
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】如图所示，B、C 两点把半圆环等分为三段。设每段在O 点产生的电场强度大小均为
。
AB 段和CD 段在O 处产生的场强夹角为120°，它们的合场强大小为
，则O 点的合场强
则
故圆弧BC 在圆心O 处产生的场强为
，ACD 错误，B 正确。
故选B。
变式3.1 如图所示，正电荷q 均匀分布在半球面ACB 上，球面半径为R，CD 为通过半球顶点C 和球心O
的轴线．P、M 为CD 轴线上的两点，距球心O 的距离均为
，在M 右侧轴线上
点固定正点电荷Q，点
、M 间距离为R，已知P 点的场强为零，若带电均匀的封闭球壳内部电场强度处处为零，则M 点的场
强为
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A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据P 点的场强为零，得半球面对P 点场强和点电荷Q 对P 场强等大反向，即半球面对P 点场强
大小为
，
方向向右；现只研究半球面，若补全右半球面，根据带电均匀的封闭球壳内部电场强度处处为零，补全右
半球面后，正电球面在P、M 两点产生的电场强度均为零，由于对称性，左半球面对M 点场强和右半球面
对M 点场强等大反向，左半球面P 点场强和右半球面对M 点场强等大反向，，即左半球面对M 点场强
为：
，
方向向右，点电荷Q 对M 点场强为
，
方向向左，叠加得M 点合场强为
，
方向向左，故C 正确，ABD 错误。
故选C。
变式3.2 如图所示，在竖直平面内固定个半径为R 的绝缘圆环，有两个可视为点电荷的相同的带负电的小
球A 和B 套在圆环上，其中小球A 可沿圆环无摩擦的滑动，小球B 固定在圆环上和圆心O 的连线与水平
方向的夹角为45°.现将小球A 由静止释放，则下列说法中正确的有( )
A．小球A 运动到圆环最低点Q 的过程中电势能先增大后减小
B．小球A 速度最大处位于Q 点的左端
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C．小球A 恰好可以运动到P 点
D．小球到达圆环最低点Q 时的速度大小为
【答案】D
【详解】A．小球A、B 均带负电，则根据点电荷的特点可知，B 固定，当A、B 距离缩短时，电场力做负
功，电势能增大，反之减小，由图可知，小球A 运动到圆环最低点Q 点的过程中，与B 电荷的距离先增大
后减小，则电势能先减小后增大，故A 错误；
B．延长BO 交圆周与C 点，作图如下
小球在下降过程中，当小球A、B 距离增大时，即AC 段，电场力做正功，重力做正功，速度增大，CQ
段，小球A、B 距离减小，电场力做负功，重力做正功，PQ 段，小球A、B 距离减小，电场力做负功，重
力做负功，小球速度减小，则可知小球速度最大处不位于Q 左边，故B 错误；
C．小球在A、P 两点相比，重力势能相同，但P 点与B 球距离更小，则A 到P 过程电场力做负功，电势能
增大，则需要有外力做功才能到达P 点，故C 错误；
D．由图几何关系可知，A、Q 两点与B 小球距离相同，则电势能相等，则A 到Q 过程中动能增加量等于
重力势能减少量，可得
解得
故D 正确。
故选D。
【例4】已知直导线中电流在周围空间产生的磁感应强度大小为B=k
，k 为常量，I 为电流强度，r 为到导
线的距离。b、c、d 三根长通电直导线垂直于纸面放置，电流方向如图所示，ac 垂直于bd 且ab=ad=ac，
b、c、d 三根导线中电流强度分别为I、I、2I。已知导线c 在a 点的磁感应强度大小为B，则a 点处的合磁
感应强度大小为（ ）
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A．
B
B．3B
C．2
B
D．
B
【答案】A
【详解】由于直导线c 在a 点处的磁感应强度大小为B，又因为b、c、d 三根导线中电流强度分别为I、I、
2I，且
，所以直导线b 在a 点的磁感应强度大小也等于B，而直导线d 在a 点的磁感应强度大
小等于2B，根据安培定则可判断方向如下图所示
b 和d 直导线在a 点产生的磁感应强度方向向左，合成后大小为3B，c 直导线在a 点产生的磁感应强度方向
向下，大小为B，根据平行四边形法则，可知a 点的磁感应强度大小为
故BCD 错误，A 正确。
故选A。
变式4.1 如图所示，a、b、c 为三根与纸面垂直的固定长直导线，其截面位于等边三角形的三个顶点上，
bc 连线沿水平方向，导线中通有恒定电流，且
，电流方向如图中所示。O 点为三角形的中心
（O 点到三个顶点的距离相等），其中通电导线c 在O 点产生的磁场的磁感应强度的大小为B0，已知通电
长直导线在周围空间某点产生磁场的磁感应强度的大小B=
，其中I 为通中导线的中流强度，r 为该点到
通中导线的垂直距离，k 为常数，则下列说法正确的是（ ）
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A．O 点处的磁感应强度的大小为3B0
B．O 点处的磁感应强度的大小为5 B0
C．质子垂直纸面向里通过O 点时所受洛伦兹力的方向由O 点指向c
D．电子垂直纸面向里通过O 点时所受洛伦兹力的方向垂直Oc 连线向下
【答案】A
【详解】AB．根据右手螺旋定则，通电导线
在
点处产生的磁场平行于
指向左方，通电导线
在
点
处产生的磁场平行于
指向右下方，通电导线在
点处产生的磁场平行于
指向左下方；根据公式
可得
根据平行四边形定则，则
点的合场强的方向平行于
指向左下方，大小为
，故A 正确，B 错误；
C．根据左手定则，质子垂直纸面向里通过
点时所受洛伦兹力的方向垂直
连线由点指向
，故C 错
误；
D．根据左手定则，电子垂直纸面向里通过
点时所受洛伦兹力的方向垂直
连线由
点指向，故D 错
误；
故选A。
变式4.2 如图所示，直线电流P 和Q 大小相等，处于磁感应强度大小为B0，方向平行于纸面的匀强磁场
中，P 的方向垂直纸面向里；Q 的方向垂直纸面向外，两电流在纸面上的位置和M 点恰好组成等边三角
形，M 点的磁感应强度为零。若仅把电流Q 撤掉，则M 点的磁感应强度变为（ ）
A．大小为B0，方向与PM 延长线成30°角
B．大小为B0，方向与PQ 平行
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C．大小为
B0，方向沿PM 延长线
D．大小为
B0，方向与PQ 平行
【答案】A
【详解】设两导线在M 点处的磁感应强度大小为B0。当P 导线中方向向里，Q 导线中方向向外时，根据安
培定则知两导线在M 点处的磁感应强度方向夹角为120°，合磁感应强度
．如图所示：
因为M 点处的磁感应强度为零，则
，可得，BP=B0。若仅把电流Q 撤掉，则M 点的磁感应强度大小
为BP=B0，方向与PM 垂直向右下方，如图所示：
结合矢量的合成法则，则M 点的合磁感应强度为B0，方向与PM 延长线成30°角，A 正确，BCD 错误。
故选A。
【例5】如图所示，在x 轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直xOy 平面向里．现有大
量质量为m、带电量为＋q 的粒子，以相同的速率v 沿xOy 平面从O 点射入第一象限，不计重力，不计粒
子间的相互影响．若图中的阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中
，则下列选项中正确的是
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，以x 轴为边界的磁场，粒子从x 轴进入磁场后在离开，速度v 与x
轴的夹角相同，根据
，知沿x 轴正轴的刚好进入磁场做一个圆周，沿y 轴进入的刚好转半个周期，
如图，在两图形的相交的部分是粒子不经过的地方．
A.图像与分析不符，故A 错误．
B.图像与分析不符，故B 错误．
C.图像与分析不符，故C 错误．
D.图像与分析相符，故D 正确．
变式5.1 如图所示，水平虚线MN 上方有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里．大量带正电的相同粒子，
以相同的速率沿位于纸面内水平向右到竖直向上90°范围内的各个方向，由小孔O 射入磁场区域，做半径
为R 的圆周运动．不计粒子重力和粒子间相互作用．下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其
中正确的是
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由小孔O 射入磁场区域，做半径为R 的圆周运动，因为粒子带正电，根据左手定则可知粒子将向
左偏转，故C 错误；因为粒子以相同的速率沿位于纸面内水平向右到竖直向上90°范围内的各个方向发
射，由O 点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界且ON=R；在竖直方向上有最远点为2R，由O 点竖直
向上射入的粒子，打在最左端且距离为OM=2R，但是左侧因为没有粒子射入，所以中间会出现一块空白
区域，故B 正确，AD 错误．所以B 正确，ACD 错误．
变式5.2 如图所示，在直角坐标系xoy 中，x 轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于
纸面向外．许多质量为m、电荷量为+q 的粒子，以相同的速率v 沿纸面内，由x 轴负方向与y 轴正方向之
间各个方向从原点O 射入磁场区域．不计重力及粒子间的相互作用．下列图中阴影部分表示带电粒子在磁
场中可能经过的区域，其中R=mv/qB，正确的图是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】试题分析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，以
轴为边界的磁场，粒子从
轴进入磁场后在离
开，速度与
轴的夹角相同，根据左手定和
，知沿x 轴负轴的刚好进入磁场做一个圆周，沿y 轴
进入的刚好转半个周期，如图，在两图形的相交的部分是粒子不经过的地方，故D 正确；
考点：带电粒子在匀强磁场中的运动
【例6】如图所示，在边长为L 的正方形的每个顶点都放置一个点电荷。a、b、c 三点的电荷量均为+q，d
点的电荷量为-2q，则正方形中点O 的电场强度的大小和方向为（ ）
A．
，由O 指向b
B．
，由O 指向d
C．
，由O 指向c
D．
，由O 指向d
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【答案】B
【详解】a、c 两点对称分布，电荷量相同，故在O 点的电场强度相互抵消，b、d 两点对称分布，但电荷
量不等，在O 点的电场强度不能抵消，b 点在O 点的电场强度为
方向由b 到O；d 点在O 点的电场强度为
方向由O 到d；则O 点的电场强度大小为
，方向由O 指向d，故ACD 错误，B 正确。
故选B。
变式6.1 如图所示，正方形abdc 的三个直角a、b、c 处分别放置了三个电荷量相等的点电荷，a、b 处的点
电荷带正电，c 处的点电荷带负电，e 是bd 的中点，O 是正方形的中心，下列说法正确的是（ ）
A．d 点的电场强度大小为零
B．O 点的场强为零
C．e 点的场强方向沿bd 指向d
D．正电荷在e 点的电势能小于在O 点的电势能
【答案】C
【详解】A．b、c 两处有等量异种点电荷，d 点处在b、c 连线的垂直平分线上，这两处点电荷在d 点处的
合场强垂直于ad 指向左上方，而a 处的点电荷在d 点产生的场强方向沿直线ad 指向右上方，根据矢量合
成法则，d 点的电场强度大小不为零，故A 错误；
B．同理，b、c 两处点电荷在O 点处的合场强沿直线bc 从O 点指向c 点，而a 处的点电荷在O 点产生的场
强方向沿直线ad 指向右上方，根据矢量合成法则，O 点的场强不为零，故B 错误；
C．e 点处在a、c 两处等量异种点电荷连线的垂直平分线上，这两处点电荷在e 点处的合场强方向沿bd 指
向d，b 处的正点电荷在e 点产生的场强方向也沿bd 指向d，故e 点的合场
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强方向沿bd 指向d，故C 正确；
D．e、O 两点均处在a、c 两等量异种点电荷连线的垂直平分线上，这两处点电荷在e、O 两点的电势和均
为零，所以可以不考虑a、c 处，相当于只有b 处的正点电荷，e 点更靠近b 处的正点电荷，所以e 点电势
高于O 点电势，正电荷在e 点的电势能大于在O 点的电势能，故D 错误。
故选C。
变式6.2a、b、c、d 分别是一个菱形的四个顶点，O 为菱形中心，∠abc=120°。现将三个等量的正点电荷
＋Q 分别固定在a、b、c 三个顶点上，下列说法正确的有（ ）
A．d 点电场强度的方向由d 指向O
B．O 点电场强度的方向由d 指向O
C．O 点的电场强度大于d 点的电场强度D．O 点的电场强度小于d 点的电场强度
【答案】C
【详解】AB．由电场的叠加原理可知，d 点电场的方向为由O 指向d，O 点的电场方向也是由O 指向d，
故AB 错误；
CD．设菱形的边长为r，根据点电荷电场强度表达式
三个点电荷在d 点产生的场强大小相等，由场强的叠加可知，d 点的场强大小
O 点的场强大小为
可见d 点的电场强度小于O 点的电场强度，故D 错误，C 正确。
故选C。
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