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2024 高考物理二轮复习80 热点模型
最新高考题模拟题专项训练
模型51 旋转圆、放缩圆、磁聚焦模型
最新高考题
1．(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界
如图中虚线所示，为半圆，ac、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。一束质
量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种
速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A．
B．
C．
D．
【参考答案】C
【名师解析】带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心
力有qvB＝m，解得r＝，运动时间t＝＝，θ 为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，
粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法，粒子垂直ac 射入磁场，则轨
迹圆圆心必在直线ac 上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大。当r≤0.5R(R 为的半径)和
r≥1.5R 时，粒子从ac、bd 区域射出磁场，运动时间等于半个周期。当0.5R<r<1.5R 时，粒
子从弧ab 上射出，轨迹半径从0.5R 逐渐增大，粒子射出位置从a 点沿弧向右移动，轨迹
所对圆心角从π 逐渐增大。当轨迹半径等于R 时，轨迹所对圆心角最大，再增大轨迹半径，
轨迹所对圆心角减小。因此轨迹半径等于R 时，所对圆心角最大，为θmax＝π＋＝，粒子最
长运动时间为。综上，选项C 正确。
1
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2．（10 分）（2020 年7 月浙江选考）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内
存在边界为矩形
、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，探
测板
平行于
水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c 三束宽度不
计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界
水平射入磁场，b 束中
的离子在磁场中沿半径为R 的四分之一圆弧运动后从下边界
竖直向下射出，并打
在探测板的右边缘D 点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均
为
，探测板
的宽度为
，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离
子间的相互作用。
（1）求离子速度v 的大小及c 束中的离子射出磁场边界
时与H 点的距离s；
（2）求探测到三束离子时探测板与边界
的最大距离
；
（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量
F 与板到
距离L 的关系。
【名师解析】：（1）
得
几何关系
2
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（2）a、c 束中的离子从同一点Q 射出，
（3）a 或c 束中每个离子动量的竖直分量
最新模拟题
3
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1. (2024 湖北宜城一中质检)如图所示，在平板PQ 上方有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面
向里。某时刻有a、b、c 三个电子（不计重力）分别以大小相等、方向如图所示的初速度
va、vb和vc经过平板PQ 上的小孔O 垂直射入匀强磁场。这三个电子打到平板PQ 上的位置
到小孔O 的距离分别是
、
和
，电子在磁场中运动的时间分别为ta、tb和tc。整个装置
放在真空中。则下列判断正确的是（ ）
A.
=
<
B.
<
<
C. ta＞tb＞tc
D. ta=tc＜tb
【参考答案】C
【名师解析】
三个电子的速度大小相等，轨迹如图所示
垂直进入同一匀强磁场中。由于初速度va和vc的方向与PQ 的夹角相等，所以这两个电子
的运动轨迹正好组合成一个完整的圆，则这两个电子打到平板PQ 上的位置到小孔的距离
是相等的。而初速度vb的电子方向与PQ 垂直，则它的运动轨迹正好是半圆，所以电子打
到平板PQ 上的位置到小孔的距离恰好是圆的直径。由于它们的速度大小相等，因此它们
的运动轨迹的半径均相同。所以速度为vb的距离最大。故A 错误，B 错误；
CD．从图中可得，初速度va的电子偏转的角度最大，初速度vc的电子偏转的角度最小，根
据粒子在磁场中运动的时间与偏转的角度之间的关系
4
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可得偏转角度最大
a 运动的时间最长，偏转角度最小的c 在磁场中运动的时间最短。故C
正确，D 错误。
2．（2023 湖北荆门三校5 月联考）（15 分）如图所示，在纸面内有一平面直角坐标系
xOy，其第一象限内有一沿y 轴负方向的有界匀强电场，其右侧边界满足方程y=x2，如图中
虚线所示，电场强度大小E= 4V/m。第三象限内（包含x 轴负半轴）存在垂直纸面向里的
匀强磁场，磁感应强度大小为
。在第一象限内虚线右侧、纵坐标0 ≤ y ≤ 0.25m 区
域内有大量（速度相等）沿x 轴负方向运动的带电粒子，粒子电荷量q=＋8×10－6C，质量
m=1×10－6kg。已知从边界上横坐标为x= 0.1m 以初速度v0处飞入的粒子从坐标原点飞出电
场区域，不计粒子重力和粒子之间的相互作用力，求：
（1）粒子的初速度v0；
（2）所有粒子离开电场时，其速度方向与x 轴负方向所成夹角的范围；
（3）粒子在磁场中运动的最短时间和出磁场的坐标。
【参考答案】．（1）4m/s；（2）0~45°；（3）0.25s
【名师解析】（1）从x=0.1m 飞入的粒子,由类平抛运动的规律有
（1 分）
（1 分）
5
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x=v0t（1 分）
y=x2（1 分）
联立解得
v0= 4m/s（1 分）
（2）从范围内任意位置进入电场的粒子，设进入的位置横坐标为x，则由
x=v0t
解得
（1 分）
可知，所有粒子均从坐标原点飞出电场。
设粒子飞离电场时沿电场方向的速度大小为v1，则
（1 分）
（1 分）
粒子在电场中运动时间越长，飞出电场时速度方向与x 轴负方向的夹角越大，故
从y1= 0.25m 处进人电场的粒子，飞离电场时与x 轴负方向的夹角最大，θ1= 45°（1 分）
从y2= 0 飞人的粒子运动方向不变，θ2= 0（1 分）
故粒子飞离电场时速度方向与x 轴负方向的夹角范围为0~45°。
（3）与x 轴负方向夹角最大的粒子在磁场中运动的时间最短，所有粒子从同一点离开磁场，
由洛伦兹力提供向心力有
（1 分）
解得
（1 分），
（1 分）
磁场中运动最短时间
（1 分）出磁场的坐标为
（1 分）
6
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3. 如图所示，有一粒子源，可以产生某种质量为m，电荷量为q 的带正电离子，离子从静
止开始经M 和N 两板间的电场加速后，从cd 边的中点O 沿纸面以与Od 成30°角的方向射
入边长为a 的正方形abcd 边界内的匀强磁场区域，已知匀强磁场的磁感应强度为B，方向
垂直纸面向里，不计粒子的重力以及离子间的相互作用。求：
（1）若要离子全部从ab 边射出，加速电场MN 两板间的电压U 满足的条件；
（2）若加速电场MN 两板间的电压
，离子在磁场中运动的时间t。
【参考
答案】（1）
；（2）
【名师解析】
（1）当粒子不从ad 边射出的临界轨迹是轨迹与ad 边相切，如图中①所示，设此时粒子轨
道半径为
，几何关系得
解得
在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力
粒子在电场中加速过程根据动能定理
7
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以上各式联立解得轨迹与ad 边相切时加速电压为
当粒子恰好从ab 边射出的临界轨迹是轨迹与ab 边相切，如图中②所示，设此时粒子轨道
半径为
，由几何关系得
解得
在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力
粒子在电场中加速过程根据动能定理
以上各式联立解得轨迹与ad 边相切时加速电压为
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要使粒子全部从ad 边射出，则粒子轨迹半径要小于
，大于
，则加速
电压
，即
（2）加速电场两板间的电压
粒子在电场中加速过程根据动能定理
在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力
以上各式联立代入数据解得
如图所示，当粒子轨迹与bc 边界相切时，如图中③所示，设此时的轨道半径为
，由几何
关系得
解得
因为
，则粒子从cd 边射出
根据对称性得轨迹的圆心角为300°，运动时间为
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4. 如图所示，在y>0 的区域内存在垂直于xOy 平面向里，大小为B 的匀强磁场，y<0 的区
域内存在沿y 轴正方向的匀强电场（图中未画出）。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子
（不计重力）自y 轴上的点P 以初速度v0沿x 轴正方向射出，经点M（L，0）进入磁场，
且速度与x 轴正方向的夹角为60°，经磁场偏转后从x 正半轴上的点N 离开磁场。
（1）求匀强电场的场强大小E 以及点P 的坐标；
（2）求MN 两点间距d 以及粒子在磁场中运动的时间t0；
（3）若粒子运动到点N 瞬间，将y<0 的区域的电场撤去，改为垂直于xOy 平面向里，大小
为λB（λ>0）的匀强磁场，结果使得粒子的轨迹在之后的运动中能够与y 轴相切，试求λ 的
可能取值。
【参考
答案】（1）
，（0，
）；（2）
，
；
（3）
或
【名师解析】
（1）粒子做类平抛运动
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联立得
故点P 的坐标为
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动
得
粒子运动的周期
粒子的圆心角为
，故
（3）记粒子经点N 后第一次返回x 轴的点Q，由（2）知，
间距
为
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经分析，粒子可能的轨迹如图所示
由几何关系有
解得
或
解得
5.（15 分）（2023 江苏扬州考前质检）如图所示，y 方向足够长的两个条形区域，宽度
分别为 l1=0.1m 和 l2=0.2m，两区 域分别分布着磁感应强度为 B1 和 B2 的磁场，磁场方
向垂直于 xoy 平面向外，磁感应强度 B2=0.1T．现有大量粒子从坐标原点 O 以恒定速度
v=2×106m/s 不断沿 x 轴正方向射入磁 场，由于 B1 的大小在 0~0.5T 范围内可调，粒子
可从磁场边界的不同位置飞出．已知带电 粒子的电量 q=﹣2×10-8C，质量 m=4×10-16kg，
不考虑带电粒子的重力．求：
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（1）要使粒子能进入 B2的磁场，B1 应满足的条件；
（2）粒子在条形区域内运动的最短时间 t．
（3）粒子从 y 轴飞出磁场时的最高点坐标 y；
【名师解析】
（1）当带电粒子在 B1 磁场中圆周运动的半径大于 l1时粒子能进入磁感应强度 B2的磁场。
qvB 1=m
（1 分）
当 r = l1 时
（1 分）
代入数据得 B1 = 0.4T （1 分）
因此 B 满足的条件为 0 B1 0.4T （1 分）
（2）当 B1=0 时，粒子进入 B2 磁场，
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解得： r 2= 0.4m （1 分）
粒子从右边界 MN 飞出。
由几何关系可知
2 = 30° （1 分）
粒子在两个条形区域运动的时间为
随着 B1 的增大，如图所示，根据时间等于弧长与速度的比值可知，粒子在磁场中的 运动
时间先增大后减小，当 B1 达到最大值 0.5T 时，粒子从左边界飞出，运动时间为
所以粒子在两个条形区域内运动的最短时间为
t 2=1.26 ×10-7 s
（3）设 A1 为粒子从 MN 射出的最高点，则 A1 为轨迹与边界 MN 的切点，如图 O1 为
粒子 在 B1 磁场中运动的圆心，O2 为粒子在 B2 磁场中运动的圆心，由几何知识可得
， 1 = 30° （2 分）
由几何知识知此时
A1 的纵坐标
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粒子从 y 轴飞出磁场时的最高点坐标
6. （2022 湖南长沙长郡中学模拟）如图所示，磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直纸面向
里，图中虚线为磁场的边界，其中bc 段是半径为R 的四分之一圆弧，ab、cd 的延长线通过
圆弧的圆心，Ob 长为R。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内以不同的速
率从O 点垂直ab 射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N 是圆弧边界上的
两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是（ ）
A. 从M 点射出粒子的速率一定小于从N 点射出粒子的速率
B. 从M 点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N 点射出粒子所用时间
C. 所有粒子所用最短时间为
D. 所有粒子所用最短时间为
【参考答案】AD
【名师解析】
粒子运动轨迹如图所示，可以看出，粒子落到b 点到c 点的过程中，半径越老越大，则由
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可知，速度越来越大，所以从M 点射出粒子的速率一定小于从N 点射出粒子的速
率。又因为粒子在磁场中的运动时间和圆心角成正比，且由几何关系知，弦切角等于圆心
角的一半，所以当弦切角最小时对应粒子的运动时间最短，如图所示，当弦与圆周相切时，
弦切角最小，因为Ob 长为R，所以由几何关系知，此时弦切角为
，所以圆心角为
所以最短运动时间为
即从M 点射出粒子在磁场中运动时间与从N 点射出粒子所用时间大小不能确定。
故选AD。
7. (2023 云南昆明一中第9 次质检)如图所示，空闻有半径为R 的圆形匀强磁场，磁感应强
度大小为B，方向垂直于纸面，在距圆心O 为
处有一粒子源，
时刻沿纸面内的任
意方向上均匀发射出速度大小相同的大量带电粒子，粒子比荷为k，粒子在磁场中运动的
半径为
，则（ ）
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A. 粒子在圆形磁场区域中运动的最短时问为
B. 粒子在圆形磁场区城中运动的最短时间为
C.
时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为
D.
时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为
【参考答案】AD
【名师解析】如图1 所示，当粒子的轨迹以AB 为弦长时经历的时间最小，由几何关系得圆
心角为
，故粒子在圆形磁场区域中运动的最短时间为
，A 正确B 错误。
．因粒子均匀分布于各个方向，故粒子数之比与角度成正比，如图2 所示，当
时，由几何关系知出磁场与未出磁场的粒子数之比为
，故C 错误，D 正确。
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8..（2023 山东滕州质检） 8．如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁
场，磁感应强度为B，在磁场边界上的M 点放置一个放射源，能在纸面内以速率v 向各个
方向发射大量的同种粒子，粒子的电荷量为q、质量为m（不计粒子的重力），所有粒子
均从某段圆弧边界射出，其圆弧长度为
。下列说法正确的是（ ）
A．粒子进入磁场时的速率为
B．所有粒子中在磁场中运动的最长时间是
C．将磁感应强度大小改为
时，有粒子射出的边界弧长变为
D．若粒子入射速率为
时，有粒子射出的边界弧长变为
【参考答案】．C
【名师解析】．由题意，如图所示，当粒子在磁场中运动转过的圆心角为180°时，其射出
点N 离M 最远，此时
对应磁场区域的圆心角为120°，则根据几何关系可知粒子做匀速
圆周运动的半径为
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根据牛顿第二定律有
解得
故A 错误；
粒子在磁场中运动的周期为
当粒子的轨迹与磁场区域内切时，其运动时间最长，恰好为1 个周期，故B 错误；
将磁感应强度大小改为
时，粒子运动半径变为
如图所示，可知此时磁场区域所截粒子轨迹弦长最大值为R，所以有粒子射出的边界弧长
变为
故C 正确；
若粒子入射速率为
时，粒子运动半径变为
如图所示，可知此时磁场区域所截粒子轨迹弦长最大值为
，所以有粒子射出的边界弧
长变为
故D 错误。
9.（2022 山东泰安三模）如图所示为一圆形区域，O 为圆心，半径为R，P 为边界上的一点，
区域内有垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B。电荷量为q、质
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量为m 的相同带电粒子a、b（不计重力）从P 点先后以大小相等的速率
射入磁
场，粒子a 正对圆心射入，粒子b 射入磁场时的速度方向与粒子a 射入时的速度方向成θ
角，已知粒子a 与粒子b 在磁场中运动的时间之比为3∶4，下列说法正确的是（ ）
A. 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r =R
B. θ=60°
C. θ=30°
D. a、b 粒子离开磁场时的速度方向也成θ 角
【参考答案】AC
【名师解析】
粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r =
，代入速度
，得r = R，故A 正确；
BC．因a 正对圆心射入，又r = R，故a 粒子在磁场中的运动时间为
，运动圆弧的圆
心角为90°，两粒子在磁场中运动的周期相等，即T =
，故b 粒子在磁场中的运动时
间为
，即运动圆弧的圆心角为120°，运动圆弧对应的圆心与O、P 三点的连线构成等
边三角形，故θ=30°，故B 错误，C 正确；
作图可知a、b 粒子离开磁场时平行，是“磁发散”模型，故D 错误。
故选AC。
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10．（2023 四川宜宾重点高中二诊）（20 分）如图所示，在
平面内，三个
半径为的四分之一圆形有界区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ内有垂直纸面向外、磁感应强度
为
的匀强磁场（含边界上）。一群质量为
电荷量为的带正电的粒子同时从
坐标原点O 以相同的速率、不同的方向射入第一象限内（含沿轴、
轴方
向），它们在磁场中运动的轨道半径也为，在
的区域，存在场强为
、
沿
方向的匀强电场。整个装置在真空中，不计粒子的重力及粒子之间的相互
作用。求：
（1）粒子从O 点射入磁场时的速率
；
（2）这群粒子从O 点射入磁场至运动到轴的最长时间；
（3）这群粒子到达
轴上的区域范围。
【名师解析】：
（1）粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有
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又
可得
（2）如图所示，这些粒子中，从O 沿
轴方向射入磁场的粒子，从O 到C 用时最长。
由
可得
（3）这些粒子经过Ⅰ区域偏转后方向都变为与
轴平行，接着匀速直线进入Ⅱ区域，
经过Ⅱ区域偏转又都通过C 点；从C 点进入Ⅲ区域，经过Ⅲ区域偏转，离开Ⅲ区域时，
所有粒子都变成与
轴平行（即垂直进入电场）。
对于从
进入电场的粒子，在
方向的分运动有
解得
则该粒子运动到
轴上的坐标为
对于从
进入电场的粒子，在
方向的分运动有
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解得
则该粒子运动到y 轴的坐标为
这群粒子运动到
轴上的区间为
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