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第16 讲 功 功率
——划重点之精细讲义系列
考点一 功的正负判断和计算
一．功
1．做功的两个必要条件
力和物体在力的方向上发生的位移．
2．公式
W＝Flcos α，适用于恒力做功，其中α 为F、l 方向间夹角，l 为物体对地的位移．
3．功的正负判断
夹角
功的正负
α<90°
力对物体做正功
α>90°
力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
α＝90°
力对物体不做功
考向1：功的正负的判断方法
(1)恒力做功的判断：若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断．
(2)曲线运动中功的判断：若物体做曲线运动，依据F 与v 的方向夹角来判断．当
0≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物
体不做功．
(3)依据能量变化来判断：根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对
物体做功．此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断．
考向2：恒力做功的计算
(1)单个力做的功：直接用W＝Flcos α 计算．
(2)合力做的功
方法一：先求合力F 合，再用W 合＝F 合lcos α 求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W 合＝W1＋W2＋W3＋…求
合力做的功．
【典例1】(多选)如图所示，重物P 放在一长木板OA 上，将长木板绕O 端转过一
个小角度的过程中，重物P 相对于木板始终保持静止．关于木板对重物P 的摩擦力和
支持力做功的情况是( )
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A．摩擦力对重物不做功
B．摩擦力对重物做负功
C．支持力对重物不做功
D．支持力对重物做正功
【典例2】 (多选)如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P 匀速带至高处，
在此过程中，下列说法中正确的是( )
A．摩擦力对物体做正功
B．摩擦力对物体做负功
C．支持力对物体不做功
D．合力对物体做正功
【典例3】．(多选)如图所示，水平路面上有一辆质量为M 的汽车，车厢中有一个
质量为m 的人正用恒力F 向前推车厢，在车以加速度a 向前加速行驶距离L 的过程中，
下列说法正确的是( )
A．人对车的推力F 做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F＋ma)L
【典例4】一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0 时其速度为1 m/s，从此刻开始
在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F 和滑块的速率v 随时间的变化规律分
别如图甲和乙所示，设在第1 s 内、第2 s 内、第3 s 内力F 对滑块做的功分别为W1、
W2、W3，则以下关系正确的是( )
A．W1＝W2＝W3
B．W1<W2<W3
C．W1<W3<W2
D．W1＝W2<W3
【典例5】(多选)质量为m 的物体静止在倾角为θ 的斜面上，斜面沿水平方向向右
匀速移动了距离s，如图所示，物体m 相对斜面静止．则下列说法正确的是( )
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A．重力对物体m 做正功
B．合力对物体m 做功为零
C．摩擦力对物体m 做负功
D．支持力对物体m 做正功
【典例6】如图所示，甲、乙、丙三个物体分别在大小相等、方向不同的力F 的
作用下，向右移动相等的位移x，关于F 对甲、乙、丙做功的大小W1、W2、W3判断正
确的是( )
A．W1>W2>W3
B．W1＝W2>W3
C．W1＝W2＝W3
D．W1<W2<W3
考点二 变力功的计算
方法一 利用“微元法”求变力的功
物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视
为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数
和．此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题．
【典例1】如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为和
R 的两个半圆构成，现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿滑槽道拉至B 点，
若拉力F 的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
A．0
B．FR
C.πFR
D．2πFR
方法二 化变力的功为恒力的功
若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Flcos α 求解．此法常常应
用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中．
【典例2】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过
光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升．若从A
点上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W1和W2，图中AB＝
BC，则( )
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A．W1＞W2
B．W1＜W2
C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
方法三 利用Fx 图象求变力的功
在Fx 图象中，图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移所做的功，
且位于x 轴上方的“面积”为正，位于x 轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于
便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)．
【典例3】如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F
作用下，沿x 轴方向运动，拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图
线为半圆．则小物块运动到x0处时F 做的总功为( )
A．0
B．Fmx0
C.Fmx0
D.x
方法四 利用平均力求变力的功
在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力
均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝的恒力作用，F1、F2分别为物体初、
末态所受到的力，然后用公式W＝Flcos α 求此力所做的功．
【典例4】把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在
木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k.问此钉子全部进入木
板需要打击几次？
方法五 利用动能定理求变力的功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于
求变力做功．使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法．
【典例5】如图，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量
为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为
2mg，重力加速度大小为g.质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
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A.mgR
B.mgR
C.mgR
D.mgR
考点三 功率的计算
一．功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值．
2．物理意义：描述做功的快慢．
3．公式
(1)P＝，P 为时间t 内的平均功率．
(2)P＝Fvcos α(α 为F 与v 的夹角)
①v 为平均速度，则P 为平均功率．
②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率．
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率．
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．
1．平均功率的计算
(1)利用P＝.
(2)利用P＝Fvcos α，其中v 为物体运动的平均速度．
2．瞬时功率的计算
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v 为t 时刻物体的瞬时速度．
(2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v 在力F 方向上的分速度．
(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力F 在速度v 方向上的分力．
3．计算功率的3 个注意
(1)要弄清楚是平均功率还是瞬时功率．
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过
程)内做功的平均功率．
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率．求解瞬时功率时，
如果F 与v 不同向，可用力F 乘以F 方向的分速度，或速度v 乘以速度方向的分力求
解．
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【典例1】在光滑的水平面上，用一水平拉力F 使物体从静止开始移动x，平均功
率为P，如果将水平拉力增加为4F，使同一物体从静止开始移动x，则平均功率为(
)
A．2P
B．4P
C．6P
D．8P
【典例2】一个质量为m 的物块，在几个共点力的作用下静止在光滑水平面上．
现把其中一个水平方向的力从F 突然增大到3F，并保持其他力不变，则从这时开始到
t 秒末，该力的瞬时功率是( )
A.
B．
C.
D.
【典例3】(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质
量为3.0×104 kg，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105 N；弹射器有效作用长度
为100 m，推力恒定．要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s.弹射过程中
舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则(
)
A．弹射器的推力大小为1.1×106 N
B．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108 J
C．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107 W
D．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s2
【典例4】如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A 沿着固定
在地面上的光滑斜面下滑，B 做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列说法正
确的是( )
A．重力的平均功率A>B
B．重力的平均功率A＝B
C．重力的瞬时功率PA＝PB
D．重力的瞬时功率PA<PB
求解功率时应注意的“三个”问题
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过
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程)内做功的平均功率；
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率
考点四 机车启动问题
1.模型综述
物体在牵引力(受功率和速度制约)作用下，从静止开始克服一定的阻力，加速度不
变或变化，最终加速度等于零，速度达到最大值．
2.两种模型的比较
（1）两种启动方式的比较
两种模型
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t 图和v－t 图
O
A
段
过程分析
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
a＝不变⇒F 不变⇒P＝Fv↑直到
P 额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
A
B
段
过程分析
F＝f⇒a＝0
⇒f＝
v↑⇒F＝↓
⇒a＝↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC 段
无
F＝f⇒a⇒0⇒
以vm＝匀速运动
（2）三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝
(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力f)．
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不
是最大，即v＝<vm＝.
(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理：Pt－fs＝ΔEk.此式
经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小.
【典例1】一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P 随时
间t 的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小Ff恒定不变．下列描述该汽车的速度v
随时间t 变化的图线中，可能正确的是( )
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【典例2】(多选)汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，牵引力
为F0，t1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行
驶，到t2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动．下列能正确表示这一过程中汽车牵引力
F 随时间t、速度v 随时间t 变化的图象是( )
【典例3】一辆汽车从静止出发，在平直的公路上加速前进，如果发动机的牵引
力保持恒定，汽车所受阻力保持不变，在此过程中( )
A．汽车的速度与时间成正比
B．汽车的位移与时间成正比
C．汽车做变加速直线运动
D．汽车发动机做的功与时间成正比
【典例4】质量为1.0×103 kg 的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动，汽
车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为
5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g＝10 m/s2)．求：
(1)汽车做匀加速运动的时间t1；
(2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前，已达到最大速率，则汽车从坡底
到坡顶需多长时间？
解决机车启动问题的4 个注意
(1)机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力
等物理量的变化规律不同，分析图象时应注意坐标轴的意义及图象变化所描述的规律．
(2)在机车功率P＝Fv 中，F 是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，
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牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度，即P＝Ffvm.
(3)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，
这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt 计算，不能用W＝Fl 计算(因为F 为变力)．
(4)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝
Fl 计算，不能用W＝Pt 计算(因为功率P 是变化的)．
1. 如图所示，木块B 上表面是水平的，当木块A 置于B 上，并与B 保持相对静止，
一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中( )
A．A 所受的合外力对A 不做功
B．B 对A 的弹力做正功
C．B 对A 的摩擦力做正功
D．A 对B 做正功
2. (多选)如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手．
设在摆球从A 点运动到B 点的过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是(
)
A．重力做功为mgL
B．绳的拉力做功为0
C．空气阻力F 阻做功为－mgL
D．空气阻力F 阻做功为－F 阻πL
3．(多选) 如图所示，B 物体在拉力F 的作用下向左运动，在运动过程中，A、B
之间有相互作用的摩擦力，则这对摩擦力做功的情况，下列说法中正确的是( )
A．A、B 都克服摩擦力做功
B．摩擦力对A 不做功
C．摩擦力对B 做负功
D．摩擦力对A、B 都不做功
4. 如图所示，用与水平方向成θ 角的力F，拉着质量为m 的物体沿水平地面匀速
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前进位移s，已知物体和地面间的动摩擦因数为μ.则在此过程中F 做的功为( )
A．mgs
B．μmgs
C.
D.
5．如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置．现用水平拉
力F 将小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ 角的位置．在此过程中，拉力F 做的功为(
)
A．FLcos θ
B．FLsin θ
C．FL(1－cos θ)
D．mgL(1－cos θ)
6. 如图所示，质量为m 的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ 的斜
面上，则球落在斜面上时重力的瞬时功率为(不计空气阻力)( )
A．mgv0tan θ
B.
C.
D．mgv0cos θ
7. 如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面
上的斜面．设小球在斜面最低点A 的速度为v，压缩弹簧至C 点时弹簧最短，C 点距地
面高度为h，则小球从A 到C 的过程中弹簧弹力做功是( )
A．mgh－mv2
B.mv2－mgh
C．－mgh
D．－(mgh＋mv2)
8．质量为m 的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶
过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车
速为时，汽车的瞬时加速度的大小为( )
A.
B.
C.
D.
9．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg 的物体在F 作用下由静止开
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始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F 的大小为21 N
C．4 s 末F 的功率大小为42 W
D．4 s 内F 做功的平均功率为42 W
10. 当前我国“高铁”事业发展迅猛．假设一辆高速列车在机车牵引力和恒定阻
力作用下，在水平轨道上由静止开始启动，其vt 图象如图所示，已知在0～t1时间内为
过原点的倾斜直线，t1时刻达到额定功率P，此后保持功率P 不变，在t3时刻达到最大
速度v3，以后匀速运动．下述判断正确的是( )
A．从0 至t3时间内，列车一直匀加速直线运动
B．t2时刻的加速度大于t1时刻的加速度
C．在t3时刻以后，机车的牵引力为零
D．该列车所受的恒定阻力大小为
11．有一种太阳能驱动的小车，当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中
产生的电流经电动机带动小车前进．若质量为m 的小车在平直的水泥路上从静止开始
沿直线加速行驶，经过时间t 前进的距离为x，且速度达到最大值vm.设这一过程中电
动机的功率恒为P，小车所受阻力恒为f，那么这段时间内( )
A．小车做匀加速运动
B．小车受到的牵引力逐渐增大
C．小车受到的合外力所做的功为Pt
D．小车受到的牵引力做的功为fx＋mv
12．放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s 内其速度与时间图
象和该拉力的功率与时间图象分别如图所示，下列说法正确的是( )
A．0～6 s 内物体位移大小为36 m
B．0～6 s 内拉力做的功为30 J
C．合外力在0～6 s 内做的功与0～2 s 内做的功相等
D．滑动摩擦力大小为5 N
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13．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m 的重物，当重物的速度为v1
时，起重机的功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到
以最大速度v2匀速上升，物体上升的高度为h，则整个过程中，下列说法正确的是(
)
A．钢绳的最大拉力为
B．钢绳的最大拉力为mg
C．重物匀加速的末速度为
D．重物匀加速运动的加速度为－g
14．(多选)两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量．两球在
空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关．
若它们下落相同的距离，则( )
A．甲球用的时间比乙球长
B．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
15．一起重机用钢绳提起静止在地面上的重物，开始在竖直方向上做匀加速运动，
然后做匀速运动。重物上升高度为h，运动时间为t，加速度为a，动能为Ek，起重机
功率为P，下列图像能描述上述过程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．如图所示，固定于竖直面内的粗糙斜杆长为1m，杆与水平方向的夹角为
30°，质量为1kg 的小球套在杆上，小球与杆间的动摩擦因数为
，小球在恒定拉力F
作用下，沿杆由底端匀速运动到顶端。已知拉力F 的方向与杆在同一竖直平面内，且
与水平方向的夹角大于30°，重力加速度g=10m/s2。则下列说法错误的是（ ）
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A．拉力F 与杆之间的夹角为30°时，F 的值最小
B．拉力F 的最小值为
C．拉力F 的大小可能为15N
D．拉力F 做功的最小值为5J
17．如图所示，在光滑水平面上静置着一个质量为
，倾角为
的斜面体C，质
量均为
的A、B 两物体叠放在一起以一定的初速度先沿光滑的斜面向上滑，然后沿斜
面向下滑，该过程中一直用水平力
作用于斜面体上使斜面体静止不动。已知A、B 间
的动摩擦因数为
，重力加速度为
，则（ ）
A．水平力
B．A、B 相对斜面上滑时A 所受摩擦力对A 做正功
C．A、B 沿斜面下滑时，B 物体对A 做正功
D．欲使A、B 速度减为零后能与斜面保持相对静止，作用力应突变为
18．我国新能源汽车发展迅速，2022 年仅比亚迪新能源汽车全年销量为186.35 万
辆，位列全球第一、如图所示为比亚迪某型号汽车某次测试行驶时的加速度和车速倒
数
的关系图像。若汽车质量为
，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中
阻力恒定，最大车速为30m/s，则（ ）
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A．汽车匀加速所需时间为5s
B．汽车以恒定功率启动
C．汽车所受阻力为
D．汽车在车速为5m/s 时，功率为
19．（多选）若升降机速度由v1增大至v2的过程重物上升高度为h，所用时间为
t，此过程中忽略摩擦阻力及空气阻力，重力加速度为g．有关此过程下列说法正确的
是 ( )
A．钢丝绳的最大拉力为
B．升降机的最大速度
C．升降机速度由v1增大至v2的过程中，起重机对重物做功为
D．升降机速度由v1增大至v2的过程中，起重机对重物做功为
20．（多选）如图所示，质量m=2kg 的物体（可看质点）静置在倾角为37°粗糙斜
面上的A 点，现利用固定在B 点的电动机通过跨过斜面顶端光滑小定滑轮的轻绳将该
物体从A 点拉升到斜面顶端O 点，轻绳均与所在的斜面和平面平行。物体与斜面间的
动摩擦因数μ=0.25，轻绳可承受最大的力F=20N，电动机的额定功率P=320W，AO 的
距离s=175m。若要用最短的时间将物体拉到斜面顶端O 点，且物体到达O 点前已经达
到最大速度。则（已知sin37°=0.6，重力加速度取g=10m/s2）（ ）
A．物体运动过程中的最大速度v=16m/s
B．物体上升过程中最大的加速度am=2m/s2
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C．在将物体从A 拉到O 点的过程中，电动机共做功3200J
D．物体从A 运动到O 共用时14s
21．（多选）汽车从静止开始以加速度a0匀加速启动，最后做匀速运动。已知汽
车的额定功率为P0，运动过程中所受的阻力恒为F，汽车的速度v 随时间t 及加速度
a、牵引力F 和功率P 随速度v 变化的图象如图所示，其中可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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