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专题强化十四 电场中的功能关系及图像问题
【复习目标】
1.会分析处理电场中的功能关系。 2.理解电场中有关图像的斜率、面积表示的物理意义，并能结
合图像分析电场、电势和电势能的变化。
考点一 电场中的功能关系
【知识梳理】
电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，则动能和电势能之间相互转化，二者之和保持不变，即ΔEk＝－ΔEp。
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量。
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量。
【典例剖析】
例1 (多选)(2024·山东卷，10)如图所示，带电荷量为＋q 的小球被绝缘棒固定在O 点，右侧有固定
在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电荷量为＋q 的小滑块从斜面上A 点由静
止释放，滑到与小球等高的B 点时加速度为零，滑到C 点时速度为零。已知AC 间的距离为s，重
力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是( )
A.OB 的距离l＝√
√3k q
2
mg
B.OB 的距离l＝√
√3k q
2
3mg
C.从A 到C，静电力对小滑块做功W＝－mgs
D.AC 之间的电势差UAC＝－mgs
2q
【即时训练】
1.(2025·湖北黄石模拟)如图所示，竖直固定的光滑绝缘细杆上O 点套有一个电荷量为－q(q>0)的
小环，在杆的左侧O'点固定一个电荷量为Q(Q>0)的点电荷，杆上a、b 两点与O'正好构成等边三
1
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角形，c 是ab 的中点。将小环从O 点无初速度释放，通过a 点时的速率为v。若已知ab＝Oa＝l，
静电力常量为k，重力加速度为g。则( )
A.在a 点，小环所受弹力大小为kQq
l
2
B.在c 点，小环的动能最大
C.在c 点，小环的电势能最大
D.在b 点，小环的速率为√v
2＋2 gl
考点二 电场中的图像问题
【知识梳理】
角度1 电场中的v－t 图像
1.由v－t 图像中图线的斜率变化分析带电粒子的加速度a 的大小变化。
2.根据牛顿第二定律a＝F
m ＝qE
m ，判断电场强度E 的大小变化。
3.根据v－t 图像分析带电粒子做加速运动还是减速运动，结合带电粒子的电性分析电场强度的方
向。
4.由电场强度的大小和方向分析电场的其他性质，如电场线、等势面的分布及电势的变化等。
【典例剖析】
例2 (多选)(2025·天津河西一模)如图甲中M、N 是同一条电场线上的两个点，一个电子仅在静电力
的作用下沿着这条电场线从M 点运动到N 点，其运动的v－t 图像如图乙所示。电子经过M、N 两
点时的速度分别为vM和vN，电子的质量为m，电子电荷量的绝对值为e。以下说法正确的是( )
A.电场强度的方向由N 指向M
2
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B.M、N 两点之间的电势差UMN＝m(v N
2−v M
2)
2e
C.电子运动的过程中，其电势能不断减小
D.N 点的电场强度大于M 点的电场强度
角度2 电场中的φ－x 图像(电场方向与x 轴平行)
【知识梳理】
1.电场强度的大小等于φ－x 图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场;如果
图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)。切线的斜率为零时沿x 轴方向电场强度为零。
2.在φ－x 图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进
而可以判断电荷在电场中的受力方向(如图)。
3.电场中常见的φ－x 图像
(1)点电荷的φ－x 图像(取无限远处电势为零)，如图。
(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x 图像，如图。
(3)两个等量同种点电荷的φ－x 图像，如图。
3
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【典例剖析】
例3 (2025·八省联考河南卷，6)某电场的电势φ 随位置x 的变化关系如图所示，O 点为坐标原点，
a、b、c、d 为x 轴上的四个点。一带正电粒子从d 点由静止释放，在电场力作用下沿x 轴运动，
不计重力，则粒子( )
A.将在a、d 之间做周期性运动
B.在d 点的电势能大于在a 点的电势能
C.在b 点与c 点所受电场力方向相同
D.将沿x 轴负方向运动，可以到达O 点
【即时训练】
2.(2024·湖南卷，5)真空中有电荷量为＋4q 和－q 的两个点电荷，分别固定在x 轴上－1 和0 处。
设无限远处电势为0，x 正半轴上各点电势φ 随x 变化的图像正确的是( )
角度3 电场中的 E－x 图像(如图所示)
1.反映了电场强度随位移变化的规律。
2.判定电场强度E 的方向:E>0 表示电场强度沿正方向;E<0 表示电场强度沿负方向。
3.图线与x 轴围成的“面积”表示两点间电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高
低根据电场方向判定。
4.在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子电性、动能变化、电势能变化等情况。
4
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5.电场中常见的E－x 图像
(1)点电荷的E－x 图像
正点电荷及负点电荷的电场强度E 随坐标x 变化关系的图像大致如图所示。
(2)两个等量异种点电荷的E－x 图像，如图所示。
(3)两个等量正点电荷的E－x 图像，如图所示。
【典例剖析】
例4 (2025·陕西西安一中模拟)如图甲所示，竖直线A、B 两端点固定两个等量点电荷，带电荷量
大小均为Q，AB 长2l，O 为AB 连线的中点，以AB 中垂线为x 轴，其正半轴的电场强度变化如图
乙所示，图中的阴影“面积”为S(S>0)，以沿x 轴正方向为电场强度的正方向，静电力常量为k。
下列说法正确的是( )
A.A、B 两点的点电荷为异种电荷
B.Ox 直线上电场强度最大值为4√3kQ
9l
2
5
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C.将一电子从O 点沿x 轴移到无穷远的过程中，电势能先增大后减小
D.将一带电荷量为－q 的点电荷由x＝√2
2 l 处静止释放，到达O 点时的动能为2qS
【即时训练】
3.(多选)如图甲所示，某电场中的一条电场线恰好与直线AB 重合，以A 点为坐标原点，向右为正
方向建立直线坐标系，B 点的坐标为xB＝0.06 m，若α 粒子仅在静电力的作用下由A 点运动至B 点，
其电势能增加60 eV，该电场线上各点的电场强度大小E 随位移x 的变化规律如图乙所示，若A 点
电势为15 V，下列说法正确的是( )
A.x 轴上各点的电场强度方向都沿x 轴负方向
B.该α 粒子沿x 轴正方向做匀减速直线运动
C.B 点电势是A 点电势的3 倍
D.图乙中E0应为2.5×103 V·m－1
角度4 电场中的Ep－x 图像、Ek－x 图像
1.Ep－x 图像
由静电力做功与电势能变化关系F 电Δx＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x 图像的切线斜率k＝－Δ E p
Δ x ，其
绝对值等于静电力大小，正负代表静电力的方向。
2.Ek－x 图像
当带电体只有静电力做功，由动能定理F 电Δx＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x 图像的切线斜率k＝Δ Ek
Δ x ，
斜率表示静电力。
【典例剖析】
例5 (2025·八省联考内蒙古卷，5)如图所示，一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上，另一带正电
小球乙在斜面上由静止释放。以释放点为原点，沿斜面向下为正方向建立x 轴。在乙沿x 轴加速
下滑过程中，其动能Ek和机械能E 随位置x 变化的图像，可能正确的是( )
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【限时训练】（40min）
1.(多选)(2025·海南海口一模)如图所示，与xOy 坐标系平面平行的匀强电场(未画出)中有一个电荷
量为q 的正粒子，从坐标原点O 处沿与x 轴正方向成45°角的虚线匀速运动。已知粒子在运动过程
中始终受到一个大小为F、方向沿x 轴正向的恒定外力的作用，不计粒子的重力。则下列说法正
确的是( )
A.匀强电场的电场强度大小为√2 F
2q
B.虚线上相距为L 的两点间的电势差绝对值为√2 FL
2q
C.粒子沿虚线运动距离L 的过程中，静电力做功为√2
2 FL
D.粒子沿虚线运动距离L 的过程中，电势能增加了√2
2 FL
2.如图所示，空间中存在与纸面平行的匀强电场，在纸面内从正方形的顶点A 沿任意方向发射速
度相同的带正电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知经过B 点的粒子在B 点时的动能
是初动能的3 倍，经过C 点的粒子在C 点时的动能是初动能的7 倍，则经过D 点的粒子在D 点时
的动能是初动能的( )
A.3 倍
B.4 倍
C.5 倍
D.6 倍
3.如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m 的带电小球，以初速度v 从M 点竖直向上运动，
通过N 点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M 运动到N 的过程( )
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A.动能增加1
2mv2
B.机械能增加2mv2
C.重力势能增加3
2mv2
D.电势能增加2mv2
4.(多选)(2025·福建泉州模拟)光滑绝缘的水平面上存在一范围足够大且沿水平方向的电场。将一质
量为m、电荷量为－q 的物块(可视为质点)从该水平面上O 点由静止释放，沿物块运动方向建立x
轴，其速度v 与位移x 的关系如图所示，该图像为一条斜率为k 的直线。下列说法正确的是( )
A.从O 点沿着x 轴正方向，各点电势依次升高
B.该物块做匀加速直线运动
C.该物块的加速度a 随位移x 变化的关系为a＝1
2kx2
D.若取O 点电势为零，则x＝x0处的电势为mk
2 x0
2
2q
5.(多选)(2025·湖南长沙模拟)空间存在一电场，电场方向平行于x 轴，电场中沿x 轴各处的电势如
图所示，一个带电粒子仅在静电力作用下沿x 轴做周期性运动。若粒子的质量为m、电荷量大小
为q，其在O 点的能量(包括电势能和动能)为2qφ0。 下列说法正确的是( )
A.粒子带正电
B.O 点左侧区域为匀强电场且电场强度的大小为
φ0
5 x0
C.粒子在运动过程中到 O 点的最远距离为9x0
D.粒子在运动过程中的最大速度大小为2√
q φ0
m
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6.(2024·吉林长春模拟)如图甲，电荷均匀分布的固定绝缘细圆环，圆心为O，轴线上的电场强度
如图乙所示。现有一带正电粒子，以大小为v0的初速度沿轴线仅在静电力作用下由P 点运动到Q
点，OP＝OQ＝L。以x 轴的正向为电场强度的正方向，则( )
A.细圆环带负电
B.O、P 两点间电势差UOP小于O、Q 两点间电势差UOQ
C.该粒子将会在P、Q 两点之间做往复运动
D.该粒子由P 点运动到Q 点的过程，电势能先增大后减小
7.(多选)如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一质量为
m 的带正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力F 将小球向下压至某位置静止。现撤去F，小球
沿竖直方向运动，在小球由释放到刚离开弹簧的过程中，重力、静电力对小球所做的功分别为W1
和W2，小球离开弹簧时的速度为v，不计空气阻力，则上述过程中下列说法正确的是( )
A.小球的重力势能增加－W1
B.小球的电势能增加W2
C.小球与弹簧组成的系统的机械能增加W2
D.撤去F 前弹簧的弹性势能为1
2mv2－W1－W2
8.(多选)(2025·河北沧州模拟)一带正电的物体仅在静电力作用下沿x 轴正方向运动，物体的动能随
位移的变化规律如图所示，已知物体所带的电荷量为q，坐标原点为电势零点。则下列说法正确
的是( )
A.0~2x0区域电场方向沿x 轴正方向
B.0~x0与x0~2x0区域电场强度大小之比为1∶2
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C.x0处的电势为E0
q
D.0 与2x0处的电势差为－E0
q
9.(多选)(2024·广东深圳模拟)如图所示，在倾角为θ 的足够长的绝缘光滑斜面底端，静止放置质量
为m、带电荷量q(q>0)的物体。加上沿着斜面方向的电场，物体沿斜面向上运动。物体运动过程
中的机械能E 与其位移x 的关系图像如图所示，其中OA 为直线，AB 为曲线，BC 为平行于横轴的
直线，重力加速度为g，不计空气阻力( )
A.0~x1过程中，电场强度的大小恒为
E1
q x1
＋mgsinθ
q
B.x1~x2过程中，物体电势降低了E2−E1
q
C.x1~x2过程中，物体加速度的大小先变小后变大
D.x2~x3过程中，电场强度为零
10.如图甲，粗糙绝缘的水平地面上，电荷量为QA、QB的两个点电荷分别固定于相距为6L 的A、
B 两处。一质量为m、电荷量为q 的带负电小滑块(可视为质点)从x＝－L 处由静止释放后沿x 轴正
方向运动，在x＝2L 处开始反向运动。滑块与地面间的动摩擦因数为μ，滑块在不同位置所具有
的电势能Ep如图乙所示，P 点是图线最低点，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A.两固定点电荷均为正电荷
B.QA＝2QB
C.x＝L 处电势最低
D.从－L 到2L，电势升高3 μmgL
q
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11.(2025·河北邯郸一模)如图所示，电场强度为E 的匀强电场中有一光滑水平绝缘平面，一根轻弹
簧左端固定在平面上，右端拴接一个带正电的绝缘物块甲，平衡时物块甲静止在a 点。某时刻在
b 点由静止释放带有正电的绝缘物块乙，乙与甲发生碰撞后一起向左运动但未粘连，当甲、乙一
起返回到c 点时，弹簧恰好恢复原长，甲、乙速度刚好为零。若在d 点由静止释放乙，乙与甲发
生碰撞后仍一起压缩弹簧运动，返回到c 点时甲、乙分离，分离后，乙刚好能够返回到e 点(未画
出)。已知物块甲、乙可视为质点，质量均为m，电荷量均为q，a、b 间距离为L，a、c 间距离以
及b、d 间距离均为L
3 ，忽略甲、乙间的库仑力。求:
(1)初始状态弹簧储存的弹性势能;
(2)e 点与a 点的距离。
11
