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专题06 圆周运动
[-考点-03-] 水平面内圆周运动的临界极值问题
[典例1]
答案 AC
解析 小木块a、b 做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R.当角速度增大时，
静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a 有Ffa＝mωa
2l，当Ffa
＝kmg 时，kmg＝mωa
2l，ωa＝；对木块b 有Ffb＝mωb
2·2l，当Ffb＝kmg 时，kmg＝mωb
2·2l，
ωb＝，则ω＝是b 开始滑动的临界角速度，所以b 先达到最大静摩擦力，即b 比a 先开始滑
动，选项A、C 正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝mω2l，则Ffb＝mω2·2l，
Ffa<Ffb，选项B 错误；ω＝<ωa＝，a 没有滑动，则Ffa′＝mω2l＝kmg，选项D 错误．
[典例2]
答案 D
解析 对小球受力分析，小球受三个力的作用，重力mg、水平桌面支持力FN、绳子拉力
F.小球所受合力提供向心力，设绳子与竖直方向夹角为θ，由几何关系可知R＝htan θ，受
力分析可知Fcos θ＋FN＝mg，Fsin θ＝m＝mω2R＝4mπ2n2R＝4mπ2n2htan θ；当球即将离开
水平桌面时，FN＝0，转速n 有最大值，此时nm＝，故选D.
[典例3]
答案 ABD
解析 转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度的过程中，AC 绳与竖直方向的夹角θ 逐渐增大，m2
竖直方向处于平衡，由FTAcos θ＝m2g，可知在BC 绳被拉直之前，AC 绳中拉力逐渐增大，
A 正确；BC 绳刚好被拉直时，由几何关系可知AC 绳与竖直方向的夹角的正弦值sin θ＝，
对小球m2受力分析，由牛顿第二定律可知m2gtan θ＝m2ω1
2l2，解得ω1＝ rad/s，B 正确；
当ω＝3 rad/s> rad/s，BC 绳被拉直且放开了m1，m1就一直处于平衡状态，AC 绳中拉力不
变且为50 N，小于AC 绳承受的最大拉力，AC 未被拉断，C 错误；对小球m2，竖直方向有
m1gcos θ＝m2g，可得m2＝4 kg，当BC 被拉断时有m1gsin θ＋FTBC＝m2ω2
2l2，解得ω2＝4
rad/s，D 正确．
1.答案 C
解析 木块刚要发生相对滑动时，最大静摩擦力提供向心力，此时有：μmg＝mω2r，角速
度ω 增大，所需要的向心力Fn＝mω2r 增大，mω2r 将大于最大静摩擦力μmg 而发生相对滑
动，故A 错误；木块到转轴的距离越大，需要的向心力Fn＝mω2r 越大，则会发生滑动，故
B 错误；木块在圆盘上发生相对滑动的临界状态是μmg＝mω2r，由此可知与质量无关，所
以增大木块的质量仍能保持相对静止，故C 正确，D 错误．
2.答案 C
解析 螺丝帽受重力、弹力和摩擦力三个力的作用，螺丝帽在水平方向受到的弹力提供向
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心力，弹力的方向指向圆心，故A、B 错误；螺丝帽恰好不下滑，则螺丝帽受到的重力和
最大静摩擦力平衡，根据mg＝Ff＝μFN，FN＝mω2r，解得ω＝，故C 正确；若塑料管转动
加快，则所需向心力增大，弹力增大，最大静摩擦力增大，螺丝帽受到的重力和静摩擦力
仍然平衡，故D 错误．
3.答案 BC
解析 转速较小时，小球紧贴锥体，则FTcos θ＋FNsin θ＝mg，FTsin θ－FNcos θ＝mω2lsin
θ，随着转速的增加，FT增大，FN减小，当角速度ω 达到ω0时支持力为零，支持力恰好为
零时有mgtan θ＝mω0
2lsin θ，解得ω0＝ rad/s，A 错误，B、C 正确；当ω＝2 rad/s 时，小
球已经离开斜面，小球受重力和拉力的作用，D 错误．
4.答案 C
解析 小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，
所以a 绳在竖直方向上的分力与小球重力相等，可知a 绳的拉力不可能为零，A 错误；根
据竖直方向上受力平衡得Fasin θ＝mg，解得Fa＝，可知a 绳的拉力不变，与角速度无关，
B 错误；当b 绳拉力为零时，有＝mω2Lcos θ，解得ω＝，可知当角速度ω>时，b 绳出现拉
力，C 正确；若a 绳突然被剪断，则b 绳不能保持水平，D 错误．
5.答案 ABC
解析 由题意可知两轮盘边缘的线速度v 大小相等，由v＝ωr，r 甲∶r 乙＝3∶1，可得ω 甲
∶ω 乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B 的角速度之比为1∶3，故A 正确；滑块相
对盘开始滑动前，根据加速度公式：a＝Rω2，又RA∶RB＝2∶1，ωA：ωB＝1∶3，所以A、B
的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9，故B 正确；滑块的最大静摩擦力分别为 FfA＝μmAg，FfB
＝μmBg，则最大静摩擦力之比为FfA∶FfB＝mA∶mB；转动中所受的静摩擦力之比为
FfA′∶FfB′＝mAaA∶mBaB＝mA∶4.5mB，由上可得滑块B 先达到最大静摩擦力而先开始滑动，
故C 正确，D 错误．
6.答案 D
解析 当角速度较小时，A、B 均靠静摩擦力提供向心力，由于B 转动的半径较大，则B 先
达到最大静摩擦力，角速度继续增大，则轻绳出现拉力，当A 的静摩擦力达到最大时，角
速度增大，A、B 开始发生相对滑动，可知B 的静摩擦力方向一直指向圆心，在绳子出现张
力前，A、B 的角速度相等，半径之比为1∶2，则静摩擦力之比为1∶2，当轻绳出现张力
后，A、B 的静摩擦力之比不是1∶2，故A、B 错误．当摩擦力刚好提供B 做圆周运动的向
心力时，轻绳开始产生拉力，则kmg＝mω2·2L，解得ω＝ ，故C 错误；当A 的摩擦力达到
最大时，A、B 将要开始滑动，对A 有：kmg－FT＝mLω′2，对B 有：FT＋kmg＝
m·2Lω′2，解得ω′＝ ，故D 正确．
7.答案 AB
解析 小球做圆锥摆运动，设细线张力为FT，则有FTsin α＝mω2Lsin α，FTcos α＝mg，联
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立可得ω＝，如果L 不变，ω 越大则α 越大，A 正确；由小球的运动可知细线张力FT＝
mω2L，木块随圆盘匀速转动所需向心力F＝mω2R，当R＝L，细线张力恰好提供木块做圆
周运动的向心力，摩擦力为零，而且此力只与ω 有关，所以无论ω 多大木块都不会滑动，
B 正确；如果R>L 木块随圆盘匀速转动所需向心力大于细线张力，木块受到指向O 点的摩
擦力Ff，当ω 增大，摩擦力Ff也增大，达到最大静摩擦力后木块会远离O 点滑动，C 错误；
同理，如果R<L 木块随圆盘匀速转动所需向心力小于细线张力，木块受到指向圆盘边缘的
摩擦力Ff，ω 增大到一定值，摩擦力达到最大值后木块会向O 点滑动，D 错误。
8.答案 B
解析 木块随圆盘一起转动，水平方向只受静摩擦力，故由静摩擦力提供向心力，当需要
的向心力大于最大静摩擦力时，木块开始滑动．b、c 质量不等，由Ff＝mrω2知b、c 所受
摩擦力不等，不能同时从水平圆盘上滑落，A 错误；当a、b 和c 均未滑落时，a、b、c 和
圆盘无相对运动，因此它们的角速度相等，Ff＝mrω2，所以a、c 所受摩擦力的大小相等，
B 正确；b 和c 均未滑落时，由v＝rω 知线速度大小相等，方向不相同，故C 错误；b 开始
滑动时，最大静摩擦力提供向心力，kmg＝m·2lω2，解得ω＝，故D 错误．
9.答案 (1)mω0
2r 指向转盘中心O 点 (2) (3)
解析 (1)人做圆周运动，摩擦力提供向心力，有Ff＝mω0
2r，方向指向转盘中心O 点
(2)静摩擦力提供人做圆周运动所需的向心力，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，此时的角
速度为最大角速度，则
μmg＝mω2r
解得ω＝
(3)人离开盘面贴着侧壁一起转动时，竖直方向受力平衡，水平方向侧壁对人的支持力提供
向心力，则有
FN＝mωm
2R
μFN＝mg
解得ωm＝.
10.答案 (1) (2)mg mg (3)3mg 0
解析 (1)当小球刚好离开水平桌面做匀速圆周运动时，由向心力公式可得
mgtan θ＝m·Lsin θ·ω0
2
解得小球的角速度为ω0＝
(2)当小球以ω1＝做圆锥摆运动时，由于ω1<ω0，桌面对小球存在支持力，竖直方向小球处
于平衡状态，满足
FN1＋F1cos θ＝mg
水平方向由向心力公式可得
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F1sin θ＝m·Lsin θ·ω1
2
联立解得F1＝mg，FN1＝mg
(3)当小球以ω2＝做圆锥摆运动时，由于ω2>ω0，小球离开桌面，故桌面对小球的支持力
FN2＝0
设此时绳子与竖直方向夹角为α，由向心力公式可得F2sin α＝m·Lsin α·ω2
2
解得F2＝3mg.
11.答案 C
解析 把A、B 当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物块所受
合外力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A 错误；
物块做匀速圆周运动，向心力F＝m，A、B 质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半
径也相等，所以，两者运动所需的向心力相等，故B 错误；由受力分析可知B 对A 的摩擦
力等于F，盘对B 的摩擦力等于2F，故C 正确；若B 相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg＜
μAmg，即μB＜μA，故D 错误．
12.答案 ABD
解析 当A、B 所受摩擦力均达到最大值时，A、B 相对转盘即将滑动，则有Kmg＋Kmg＝
mω2L＋mω2·2L，解得ω＝，A 项正确；当B 所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，
即有Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝，可知当ω>时，绳子有弹力，B 项正确；当ω>时，B 已达
到最大静摩擦力，则ω 在<ω<范围内增大时，B 受到的摩擦力不变，C 项错误；ω 在0<ω<
范围内，A 相对转盘是静止的，A 所受摩擦力为静摩擦力，所以由Ff－FT＝mLω2可知，当
ω 增大时，静摩擦力也增大，D 项正确．
13.答案 B
解析 由于物体 A、B 及物体 C 能随转台一起匀速转动，则三个物体受到的均为静摩擦力，
由静摩擦力提供向心力，则B 对A 的摩擦力一定为FfA＝3mω2r，又有0<FfA≤Ffmax＝3μmg，
由于角速度大小不确定，B 对A 的摩擦力不一定达到最大静摩擦力3μmg，A 错误，B 正确；
若物体A 达到最大静摩擦力，则3μmg＝3mω1
2r，解得ω1＝，若转台对物体B 达到最大静摩
擦力，对A、B 整体有5μmg＝5mω2
2r，解得ω2＝，若物体C 达到最大静摩擦力，则μmg＝
mω3
2×1.5r，解得ω3＝，可知ω1＝ω2>ω3，由于物体 A、B 及物体 C 均随转台一起匀速转
动，则转台的角速度需要满足ω≤ω3＝，该分析表明，当角速度逐渐增大时，物体C 所受
摩擦力先达到最大静摩擦力，即若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是C 物体，C、D
错误．
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