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专题05 抛体运动
[-考点-06-] 斜面或圆弧面约束型的平抛运动
[典例1]
答案 B
解析 如图所示，过抛出点作斜面的垂线与斜面交于B 点，当小球落在斜面上的B 点时，
位移最小．设运动的时间为t，
则水平方向有x＝v0t，竖直方向有y＝gt2.根据几何关系有＝tan θ，联立解得t＝，
小球的水平位移大小为x＝v0t＝，竖直位移的大小为y＝gt2＝，由水平位移和竖直位移可求
解总位移的大小，故A、C、D 错误，B 正确．
[典例2]
答案 C
解析 小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移与水平方向的夹角等于斜面倾
角θ，即tan θ＝＝＝，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan β＝＝，
故可得tan β＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球
的速度方向与水平方向的夹角也总是β，故速度方向与斜面的夹角总是相等，与v1、v2的
关系无关，C 选项正确.
[典例3]
答案 A
解析 小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点，可知小球运动到B 点时速度方向与水
平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，由tan θ＝＝，可
得竖直方向的位移y＝R，而vy
2＝2gy，tan 30°＝，联立解得v0＝，选项A 正确．
1.答案 B
解析 滑雪运动员做平抛运动，在水平方向有x＝v0t，在竖直方向有y＝gt2，根据题意有
tan 45°＝＝，解得t＝1.0 s，故选B.
2.答案 D
解析 如图所示，要使小球到达斜面的位移最小，则要求落点与抛出点的连线与斜面垂直
所以有tan θ＝，而x＝v0t，y＝gt2，联立解得t＝，故选D.
3.答案 D
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解析 物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向夹角为θ，落到斜面上时速
度方向与水平方向夹角为φ，由平抛运动的推论知tan φ＝2tan θ，选项D 正确.
4.答案 D
解析 小球从A 点平抛击中D 点：R＝v1t1，R＝gt1
2；小球从C 点平抛击中D 点：Rsin 60°
＝v2t2，R(1－cos 60°)＝gt2
2，联立解得＝，D 正确，A、B、C 错误.
5.答案 D
解析 根据平抛运动的规律可知，x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝，则运动时间t＝，故A、B 两个
小球运动时间之比为tA∶tB＝tan 37°∶tan 53°＝9∶16，选项D 正确，A、B、C 错误．
6.答案 A
解析 如图所示，对在B 点时的速度进行分解，小球运动的时间t＝＝，则A、B 间的水平
距离x＝v0t＝，故A 正确，B、C、D 错误．
7.答案 A
解析 由题意知小球通过D 点时速度与圆柱体相切，则有vy＝v0tan 60°，小球从C 到D，
水平方向有Rsin 60°＝v0t，竖直方向上有y＝t，解得y＝R，故C 点到B 点的距离为s＝y－
R(1－cos 60°)＝，故选A.
8.答案 C
解析 设斜面倾角为α，小球落在斜面上速度方向偏向角为θ，甲球以速度v 抛出，落在斜
面上，如图所示
根据平抛运动的推论tan θ＝2tan α，可知甲、乙两个小球落在斜面上时速度偏向角相等，
对甲有vy 甲＝vtan θ，对乙有vy 乙＝2vtan θ，又因为下落高度y＝，可得甲、乙两个小球下
落高度之比为＝，甲、乙两球落点P、Q 到端点O 的距离之比＝＝，故选C.
9.答案 C
解析 物体的位移大小等于初、末位置的距离，位移大小l＝＝75 m，A 错误；平抛运动的
竖直位移大小h＝sin α＝75×0.6 m＝45 m，根据h＝gt2 得，物体飞行的时间t＝＝ s＝3
s，B 错误；物体的初速度v0＝＝ m/s＝20 m/s，C 正确；物体落到B 点的竖直分速度vBy＝
gt＝10×3 m/s＝30 m/s，根据平行四边形定则知，物体落在B 点的速度vB＝＝ m/s＝10
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m/s，D 错误.
10.答案 BC
解析 对小球A，有tan θ＝＝＝，得t＝，tan φ＝＝，则有tan φ＝2tan θ，故A 错误，B
正确；对小球B，tan θ＝＝，得t′＝，所以小球A、B 在空中运动的时间之比为t∶t′＝
2tan2 θ∶1，故C 正确，D 错误.
11.答案 (1) m/s (2)0.6 s
解析 (1)若选手以速度v0 在A 点水平跳出后，能落到水平跑道上，则水平方向有hsin
60°≤v0t
竖直方向有hcos 60°＝gt2
解得v0≥ m/s
则v0最小值为 m/s
(2)若选手以速度v1＝4 m/s 在A 点水平跳出，因v1< m/s，选手将落在弧形坡上，设该选手
在空中运动的时间为t1
下降高度为h1＝gt1
2
水平前进距离x＝v1t1
又x2＋h1
2＝h2
解得t1＝0.6 s.
12.答案 (1)45° (2)0.8 m
解析 (1)设小球撞击斜面前瞬间的竖直分速度大小为vy，则根据运动学公式可得vy＝＝4
m/s
由几何关系有tan θ＝＝1
解得θ＝45°.
(2)设小球反向弹回瞬间的竖直分速度大小为vy′，水平分速度大小为v0′，则根据运动学
公式有
vy′＝＝2 m/s
由几何关系有tan θ＝＝1
解得v0′＝2 m/s.
小球反向弹回后上升到最大高度所需的时间为
t′＝＝ s
解得x＝v0′t′＝0.8 m.
13.答案 B
解析 根据tan θ＝＝，解得t＝，初速度变为原来的2 倍，则小球在空中的运动时间变为
原来的2 倍，C 错误；根据x＝v0t＝知，初速度变为原来的2 倍，则水平位移变为原来的4
倍，且PQ＝，故PQ 间距变为原来间距的4 倍，D 错误；末速度与水平方向夹角的正切值
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tan β＝＝＝2tan θ，可知速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的
2 倍，因为位移与水平方向夹角不变，则末速度与水平方向夹角不变，由几何关系可知α
不变，与初速度大小无关，A 错误，B 正确．
14.答案 D
解析 小球落在环上的最低点C 时所用时间最长，所以选项A 错误；由平抛运动规律可知
小球的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2 倍，v0取值不
同，小球落到环上时的位移与水平方向的夹角不同，则速度方向和水平方向之间的夹角不
相同，选项B 错误；小球做平抛运动的末速度方向斜向右下方，不可能垂直撞击半圆环左
半部分，要使小球垂直撞击半圆环右半部分，设小球落点与圆心O 的连线与水平方向夹角
为θ(0<θ<)，如图所示，根据平抛运动规律可得，v0t＝R(1＋cos θ)，Rsin θ＝gt2，tan θ
＝，联立解得cos θ＝1，则垂直撞击到半圆环是不可能的，故选项D 正确，C 错误.
15.答案 (1) (2)
解析 (1)设飞行时间为t，则水平方向位移lABcos 30°＝v0t，
竖直方向位移lABsin 30°＝gt2，
解得t＝tan 30°＝，lAB＝.
(2)如图所示，把初速度v0、重力加速度g 都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量．在垂直
斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的“竖直上抛”运动．
小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0，
由vy＝v0y－gyt′可得
t′＝＝＝tan 30°＝
小球离斜面的最大距离y＝＝＝.
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