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05 抛体运动
[-考点-06-] 斜面或圆弧面约束型的平抛运动
已知条件
情景示例
解题策略
已知速度方向
从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所
示，已知速度的方向垂直于斜面
分解速度tan θ＝＝
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入
圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿
该点圆弧的切线方向
分解速度tan θ＝＝
已知位移方向
从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，
已知位移的方向沿斜面向下
分解位移tan θ＝＝＝
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如
图所示，已知位移方向垂直斜面
分解位移tan θ＝＝＝
利用位移关系
从圆心处水平抛出，落到半径为R 的圆弧
上，如图所示，已知位移大小等于半径R
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半
径为R 的圆弧上，如图所示，已知水平位
移x 与R 的差的平方与竖直位移的平方之
和等于半径的平方
1
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1．在分析与斜面有关的平抛运动问题时，注意分析题干信息，强调的是速度方向还是位移
方向，然后进行分解并利用两分量与已知角关系求解．
2．与斜面有关的平抛运动拓展
运动情形
题干信息
分析方法
斜面外开始，要求以最短位移打到斜面
位移方向
分解位移
x＝v0t
y＝gt2
tan α＝＝
斜面外开始，沿斜面方向落入斜面
速度方向
分解速度
vx＝v0
vy＝gt
tan α＝＝
典例1 (斜面约束型的平抛运动)(2023·兰州·月考)如图所示，小球以速度v0正对倾角为θ 的
斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．小球在空中的运动时间为
B．小球的水平位移大小为
C．小球的竖直位移大小为
D．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解
答案 B
解析 如图所示，过抛出点作斜面的垂线与斜面交于B 点，当小球落在斜面上的B 点时，
位移最小．设运动的时间为t，
则水平方向有x＝v0t，竖直方向有y＝gt2.根据几何关系有＝tan θ，联立解得t＝，
小球的水平位移大小为x＝v0t＝，竖直位移的大小为y＝gt2＝，由水平位移和竖直位移可求
解总位移的大小，故A、C、D 错误，B 正确．
2
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典例2 (平抛运动的推论在斜面约束型上的应用)如图所示，从倾角为θ 的斜面上某点先后
将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到
达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜
面的夹角为α2，不计空气阻力，则( )
A.当v1>v2时，α1>α2
B.当v1>v2时，α1<α2
C.无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D.α1、α2的关系与斜面倾角θ 有关
答案 C
解析 小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移与水平方向的夹角等于斜面倾
角θ，即tan θ＝＝＝，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan β＝＝，
故可得tan β＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球
的速度方向与水平方向的夹角也总是β，故速度方向与斜面的夹角总是相等，与v1、v2的
关系无关，C 选项正确.
典例3 (圆弧面约束型的平抛运动)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开
始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点，O 为半圆轨道
圆心，半圆轨道半径为R，OB 与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻
力，则小球抛出时的初速度为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点，可知小球运动到B 点时速度方向与水
平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，由tan θ＝＝，可
得竖直方向的位移y＝R，而vy
2＝2gy，tan 30°＝，联立解得v0＝，选项A 正确．
1．(2021·绍兴市柯桥中学高一月考)滑雪运动员在训练过程中，从斜坡顶端以5.0 m/s 的速
度水平飞出，落在斜坡上，然后继续沿斜坡下滑．已知斜坡倾角为45°，空气阻力忽略不
计，g 取10 m/s2，则他在该斜坡上方做平抛运动的时间为( )
3
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A．0.5 s
B．1.0 s
C．1.5 s
D．5.0 s
答案 B
解析 滑雪运动员做平抛运动，在水平方向有x＝v0t，在竖直方向有y＝gt2，根据题意有
tan 45°＝＝，解得t＝1.0 s，故选B.
2．(2023·山东烟台市高三模拟)如图所示，小球以v0正对倾角为θ 的斜面水平抛出，若小球
到达斜面的位移最小，则飞行时间t 为(重力加速度为g)( )
A．t＝v0tan θ
B．t＝
C．t＝
D．t＝
答案 D
解析 如图所示，要使小球到达斜面的位移最小，则要求落点与抛出点的连线与斜面垂直
所以有tan θ＝，而x＝v0t，y＝gt2，联立解得t＝，故选D.
3.如图所示，若物体自倾角为θ 的固定斜面顶端沿水平方向抛出后仍落在斜面上，则物体
与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ 满足(空气阻力不计)( )
A.tan φ＝sin θ
B.tan φ＝cos θ
C.tan φ＝tan θ
D.tan φ＝2tan θ
答案 D
解析 物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向夹角为θ，落到斜面上时速
度方向与水平方向夹角为φ，由平抛运动的推论知tan φ＝2tan θ，选项D 正确.
4.如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O 为圆心，AB 为沿水平方向的直
径.若在A 点以初速度v1沿AB 方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点D 点；而在C
点以初速度v2沿BA 方向平抛的小球也能击中D 点.已知∠COD＝60°，则两小球初速度大
小之比为(小球视为质点)( )
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A.1∶2 B.1∶3
C.∶2
D.∶3
答案 D
解析 小球从A 点平抛击中D 点：R＝v1t1，R＝gt1
2；小球从C 点平抛击中D 点：Rsin 60°
＝v2t2，R(1－cos 60°)＝gt2
2，联立解得＝，D 正确，A、B、C 错误.
5.(2021·淮南二中高一第二学期期末)如图所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，
在斜面顶点把两个可视为质点的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球
都落在斜面上．若不计空气阻力，则A、B 两个小球的运动时间之比为(sin 53°＝0.8，cos
53°＝0.6)( )
A．1∶1
B．1∶3
C．16∶9
D．9∶16
答案 D
解析 根据平抛运动的规律可知，x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝，则运动时间t＝，故A、B 两个
小球运动时间之比为tA∶tB＝tan 37°∶tan 53°＝9∶16，选项D 正确，A、B、C 错误．
6.如图所示，B 为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O 的连线与竖直方向的夹角为α.一小球
在圆轨道左侧的A 点以速度v0平抛，恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度
为g，不计空气阻力，则A、B 之间的水平距离为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 如图所示，对在B 点时的速度进行分解，小球运动的时间t＝＝，则A、B 间的水平
距离x＝v0t＝，故A 正确，B、C、D 错误．
7.如图所示为四分之一圆柱体OAB 的竖直截面，半径为R，在B 点上方的C 点水平抛出一
个小球，小球轨迹恰好在D 点与圆柱体相切，OD 与OB 的夹角为60 °，则C 点到B 点的距
离为( )
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A. B. C. D．R
答案 A
解析 由题意知小球通过D 点时速度与圆柱体相切，则有vy＝v0tan 60°，小球从C 到D，
水平方向有Rsin 60°＝v0t，竖直方向上有y＝t，解得y＝R，故C 点到B 点的距离为s＝y－
R(1－cos 60°)＝，故选A.
8．(2022·石家庄市高一期末)甲、乙两个小球分别以v、2v 的速度从斜面顶部端点O 沿同一
方向水平抛出，两球分别落在该斜面上P、Q 两点，忽略空气阻力，甲、乙两球落点P、Q
到端点O 的距离之比为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设斜面倾角为α，小球落在斜面上速度方向偏向角为θ，甲球以速度v 抛出，落在斜
面上，如图所示
根据平抛运动的推论tan θ＝2tan α，可知甲、乙两个小球落在斜面上时速度偏向角相等，
对甲有vy 甲＝vtan θ，对乙有vy 乙＝2vtan θ，又因为下落高度y＝，可得甲、乙两个小球下
落高度之比为＝，甲、乙两球落点P、Q 到端点O 的距离之比＝＝，故选C.
9.如图所示，从斜面上的A 点以速度v0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上
的B 点，已知＝75 m，α＝37°，不计空气阻力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，
下列说法正确的是( )
A.物体的位移大小为60 m
B.物体飞行的时间为6 s
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C.物体的初速度v0大小为20 m/s
D.物体在B 点的速度大小为30 m/s
答案 C
解析 物体的位移大小等于初、末位置的距离，位移大小l＝＝75 m，A 错误；平抛运动的
竖直位移大小h＝sin α＝75×0.6 m＝45 m，根据h＝gt2 得，物体飞行的时间t＝＝ s＝3
s，B 错误；物体的初速度v0＝＝ m/s＝20 m/s，C 正确；物体落到B 点的竖直分速度vBy＝
gt＝10×3 m/s＝30 m/s，根据平行四边形定则知，物体落在B 点的速度vB＝＝ m/s＝10
m/s，D 错误.
10.(多选)(2023·乐山市·检测)如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A 从斜面顶端以速度
v0水平向右抛出，击中了斜面上的P 点，将小球B 从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，
恰好垂直斜面击中Q 点，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A.若小球A 在击中P 点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan θ＝2tan φ
B.若小球A 在击中P 点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan φ＝2tan θ
C.小球A、B 在空中运动的时间之比为2tan2 θ∶1
D.小球A、B 在空中运动的时间之比为tan2 θ∶1
答案 BC
解析 对小球A，有tan θ＝＝＝，得t＝，tan φ＝＝，则有tan φ＝2tan θ，故A 错误，B
正确；对小球B，tan θ＝＝，得t′＝，所以小球A、B 在空中运动的时间之比为t∶t′＝
2tan2 θ∶1，故C 正确，D 错误.
11.(2023·天津市·期中)如图为一游戏中某个环节的示意图.参与游戏的选手会遇到一个人造
山谷AOB，AO 是高h＝3 m 的竖直峭壁，OB 是以A 点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B
点右侧是一段水平跑道.选手可以自A 点借助绳索降到O 点后再爬上跑道，但身体素
质好的选手会选择自A 点直接跃上水平跑道.选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度
g 取10 m/s2.
(1)若选手以速度v0在A 点水平跳出后，能落到水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4 m/s 在A 点水平跳出，求该选手在空中的运动时间.
答案 (1) m/s (2)0.6 s
解析 (1)若选手以速度v0 在A 点水平跳出后，能落到水平跑道上，则水平方向有hsin
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60°≤v0t
竖直方向有hcos 60°＝gt2
解得v0≥ m/s
则v0最小值为 m/s
(2)若选手以速度v1＝4 m/s 在A 点水平跳出，因v1< m/s，选手将落在弧形坡上，设该选手
在空中运动的时间为t1
下降高度为h1＝gt1
2
水平前进距离x＝v1t1
又x2＋h1
2＝h2
解得t1＝0.6 s.
12.(2023·南京市·期末)如图所示，水平桌面上放置一小球(可视为质点)．击打小球后，小球
以4 m/s 的速度水平抛出，下落H＝0.8 m 后垂直撞击倾角为θ 的斜面．小球反向弹回后，
继续向上运动的最大高度为H.不计空气阻力，重力加速度大小g＝10 m/s2，求：
(1)斜面的倾角θ；
(2)小球撞击斜面弹回后，上升到最大高度时，小球与斜面撞击点间的水平距离x.
答案 (1)45° (2)0.8 m
解析 (1)设小球撞击斜面前瞬间的竖直分速度大小为vy，则根据运动学公式可得vy＝＝4
m/s
由几何关系有tan θ＝＝1
解得θ＝45°.
(2)设小球反向弹回瞬间的竖直分速度大小为vy′，水平分速度大小为v0′，则根据运动学
公式有
vy′＝＝2 m/s
由几何关系有tan θ＝＝1
解得v0′＝2 m/s.
小球反向弹回后上升到最大高度所需的时间为
t′＝＝ s
解得x＝v0′t′＝0.8 m.
13.如图所示，从倾角为θ 且足够长的斜面顶端P 以速度v0抛出一个小球(可视为质点)，落
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在斜面上某处，记为Q 点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为
2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是( )
A．夹角α 将变大
B．夹角α 与初速度大小无关
C．小球在空中的运动时间不变
D．PQ 间距是原来间距的3 倍
答案 B
解析 根据tan θ＝＝，解得t＝，初速度变为原来的2 倍，则小球在空中的运动时间变为
原来的2 倍，C 错误；根据x＝v0t＝知，初速度变为原来的2 倍，则水平位移变为原来的4
倍，且PQ＝，故PQ 间距变为原来间距的4 倍，D 错误；末速度与水平方向夹角的正切值
tan β＝＝＝2tan θ，可知速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的
2 倍，因为位移与水平方向夹角不变，则末速度与水平方向夹角不变，由几何关系可知α
不变，与初速度大小无关，A 错误，B 正确．
14.(2023·长沙·期末)如图所示，AB 为半圆环ACB 的水平直径，C 为环上的最低点，环半径
为R.一个小球从A 点沿AB 以速度v0抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是( )
A.v0越大，小球从抛出到落在半圆环上经历的时间越长
B.即使v0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同
C.若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环
D.无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环
答案 D
解析 小球落在环上的最低点C 时所用时间最长，所以选项A 错误；由平抛运动规律可知
小球的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2 倍，v0取值不
同，小球落到环上时的位移与水平方向的夹角不同，则速度方向和水平方向之间的夹角不
相同，选项B 错误；小球做平抛运动的末速度方向斜向右下方，不可能垂直撞击半圆环左
半部分，要使小球垂直撞击半圆环右半部分，设小球落点与圆心O 的连线与水平方向夹角
为θ(0<θ<)，如图所示，根据平抛运动规律可得，v0t＝R(1＋cos θ)，Rsin θ＝gt2，tan θ
＝，联立解得cos θ＝1，则垂直撞击到半圆环是不可能的，故选项D 正确，C 错误.
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15.如图所示，AB 为固定斜面，倾角为30°，小球从A 点以初速度v0水平抛出，恰好落到B
点．求：(空气阻力不计，重力加速度为g)
(1)A、B 间的距离及小球在空中飞行的时间；
(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？
答案 (1) (2)
解析 (1)设飞行时间为t，则水平方向位移lABcos 30°＝v0t，
竖直方向位移lABsin 30°＝gt2，
解得t＝tan 30°＝，lAB＝.
(2)如图所示，把初速度v0、重力加速度g 都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量．在垂直
斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的“竖直上抛”运动．
小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0，
由vy＝v0y－gyt′可得
t′＝＝＝tan 30°＝
小球离斜面的最大距离y＝＝＝.
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