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第49 讲 带电粒子在组合场中的运动
目录
01 模拟基础练
【题型一】质谱仪模型
【题型二】回旋加速器
【题型三】带电粒子在组合场中的运动
02 重难创新练
【题型一】质谱仪模型
1．如图所示，氖的两种同位素阳离子
和
从容器下方的狭缝
飘入电场区，它们的初动能
为零，电荷量均为，经电场加速后通过狭缝
、
垂直于磁场边界
射入匀强磁场，磁场方向垂直纸
面向里，离子经磁场偏转后发生分离，最终到达照相底片D 上。已知加速电场的电压为
，磁场的
磁感应强度大小为
，不考虑离子间的相互作用。
(1)求两种离子在磁场中运动的半径之比；
(2)实际上两种离子从狭缝
飘入电场时的初动能不可能为零，假设其初动能介于
之间，试通过计
算说明两种离子经磁场偏转后在底片上是否能分离？
(3)若第（2）问中两种离子在底片上不能分离，试对该质谱仪提出两条改建措施。
2．如图所示是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置中的“偏转系统”原理图。由正离子和中性
粒子组成的多样性粒子束通过两极板间的电场后进入偏转磁场。其中的中性粒子沿原方向运动，被接收板
1
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接收；一部分离子打到左极板，其余的进入磁场发生偏转被吞噬板吞噬并发出荧光。多样性粒子束的宽度
为L，粒子均横向均匀分布。偏转磁场为垂直于纸面向外的矩形匀强磁场，磁感强度为
。已知离子的比
荷为k，两极板间的电压为U、间距为L，极板长度为2L，吞噬板长度为2L 并紧靠负极板。若离子和中性
粒子的重力、相互作用力，极板厚度可忽略不计。
(1)要使速度
的离子能沿直线通过两极板间的电场，可在极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场
，
求
的大小；
(2)调整极板间的磁场
，使速度
的离子沿直线通过极板后进入偏转磁场。若
且上
述离子全部能被吞噬板吞噬，求偏转磁场的最小面积和吞噬板的发光长度
；
(3)若撤去极板间磁场
且偏转磁场边界足够大，速度
的离子有n 个，能进入磁场的离子全部能
被吞噬板吞噬，求
的取值范围及吞噬板上收集的离子个数。
3．质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。I 为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，
匀强电场的电场强度大小为
，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里；
Ⅱ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里。从S 点释放初速度为零的带电粒
子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动，再经O 点的小孔进入分离器做圆周运动，最后打到
照相底片的P 点处，运动轨迹如图中虚线所示。
2
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(1)判断粒子电性并求粒子的比荷；
(2)求O 点到P 点的距离；
(3)若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为
（
略大于
），方向不变，粒子恰好垂直打在速
度选择器右挡板的
点，求
点到O 点的距离。
4．如图所示，离子源能不断产生质子
（质量为m 电荷量为正q）和α 粒子
（质量为4m 电荷量为正
2q），两种粒子由静止开始经电势差
加速后由狭缝
垂直进入两平行金属板间，经偏转电场偏转从右侧
射出，已知两平行板间电势差为
，两板间距为d，板长为L，粒子所受重力可忽略不计。
（1）求质子
偏转的距离y；
（2）在两板间再加上垂直纸面向里的由零逐渐增大的匀强磁场B，哪种粒子首先能沿直线通过电场从右侧
狭缝
射出，求此时的磁感应强度B。
【题型二】回旋加速器
5．2023 年中科院的医用重离子加速器研发及产业化团队获第三届全国创新争先奖牌．回旋加速器可作为
重离子加速器的注入器，其工作原理如题1 图所示，置于真空中的D 形金属盒半径为R，两盒间狭缝的宽
度为d，磁感应强度为B 的匀强磁场与盒面垂直，被加速离子的质量为m、电荷量为＋q，加在狭缝间的交
变电压如题2 图所示，周期
，U0未知．一束该种离子在t＝0～
时间内从A 处均匀地飘入狭缝，
其初速度视为零．假设能从D 形盒出射的离子每次经过狭缝均做匀加速直线运动，不考虑重力、离子间相
互作用及相对论效应，离子在狭缝中的运动时间不能忽略．
（1）求出射离子的动能Ekm；
3
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（2）若离子第2 次与第4 次加速轨迹间距为x，求第4 次加速后粒子速度大小v4；
（3）要使飘入狭缝的离子中有超过60%能射出，求U0应满足的条件．
6．如图甲是回旋加速器的工作原理示意图，置于真空中半径为R 的D 形金属盒中，匀强磁场与盒面垂直，
两盒间狭缝MN 的间距很小，加在狭缝间的交变电压如图乙所示，电压的大小为
，周期为
。质量为
m，电荷量为
的粒子在
时从D 形金属盒的中心O 处飘入狭缝，其初速度视为零，不考虑粒子
在狭缝中的运动时间。求：
（1）粒子在狭缝间被加速的次数；
（2）粒子在回旋加速器中运动的总时间。
7．回旋加速器（英文：Cyclotron）是利用磁场和电场共同使带电粒子作回旋运动，在运动中经高频电场
反复加速的装置，是高能物理中的重要仪器。1930 年欧内斯特·劳伦斯提出回旋加速器的理论，1932 年首
次研制成功。某型回旋加速器的主要结构如图所示，置于真空中的两个D 形金属盒半径为R，两盒间的狭
缝宽度为d，匀强磁场方向与盒面垂直。两D 形盒之间所加的交流电压为U，频率为f，被加速的粒子质量
为m、电荷量为q，粒子从D 形盒一侧圆心处A 点开始被加速（初动能可以忽略），经若干次加速后粒子
从D 形盒边缘射出。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）粒子在狭缝之间运动的总时间；
（3）粒子第4 次被加速结束的瞬间位置与A 点之间的距离。
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【题型三】带电粒子在组合场中的运动
8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第Ⅰ、Ⅱ象限内存在着平行于纸面的匀强电场，电场强度大小为
E，方向与y 轴正方向成
角，第Ⅲ象限存在着沿y 轴负方向的匀强电场，一质量为m、电荷量为q
的带负电粒子从电场中的Q 点，以速度
沿x 轴正方向开始运动。然后从坐标原点O 进入第Ⅰ象限的匀强
电场，在电场中运动一段时间后，再次通过O 点，通过O 点时，x 轴下方的匀强电场已换成与第Ⅳ象限相
同的匀强磁场，方向垂直于纸面向外，第Ⅳ象限磁场的上边界ON 与x 轴正方向成
角，下边界平行
于x 轴，当粒子从边界ON 上的P 点（图中未画出）离开磁场后，再次进入电场，经电场偏转恰好回到O
点，不计粒子的重力，Q 点到y 轴的距离为到x 轴距离的
倍，求：
(1)粒子第一次到达O 点时速度的大小和方向；
(2)粒子第一次在第Ⅰ象限中运动时，粒子离原点O 的最远距离和粒子整个运动过程中磁场下边界到x 轴的
最小距离；
(3)粒子第二次和第三次经过O 点的时间间隔。
9．利用电磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在
坐标系的
轴左侧存在沿
轴负方向的匀强电场，
轴右侧存在垂直于
平面向里、磁感应强度大小为
的匀强磁场。现有
一质量为
，电荷量为
的带正电粒子，从P 点
以大小为
的初速度沿
轴正方向发射，恰好
经过坐标原点O 进入右侧磁场，再经过M 点（未画出）返回
轴左侧，粒子经过M 点时在
轴左侧增加与
右侧相同的磁场（图中未画出），粒子从M 点到达N 点（未画出）时速度方向第一次与
轴平行。不计带
电粒子的重力，已知
，
。求：
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(1)匀强电场的电场强度
的大小；
(2)粒子从
点运动到
点的时间；
(3)粒子在
点时的速度大小
10．如图所示，在半径为R 的圆形区域内有垂直于xOy 平面向外的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，圆
心
的坐标为（
，
），在第三象限内
和y 轴之间，有沿y 轴负方向的匀强电场，在第四象限内
有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，一个质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从
（
，
）点以一定
的初速度沿x 轴正向射入磁场Ⅰ，粒子在磁场Ⅰ中的速度方向偏转了60°角后进入磁场Ⅱ，经磁场Ⅱ偏转，
沿与y 轴正向成60°角的方向进入电场，此后，粒子在电场中的轨迹刚好与x 轴相切，不计粒子重力，求：
(1)粒子从P 点射入磁场时的初速度大小；
(2)磁场Ⅱ的磁感应强度大小；
(3)粒子出电场的位置到x 轴的距离。
11．如图所示，坐标平面第Ⅰ象限内存在水平向左的匀强电场，在距
轴左侧区域存在宽度为
的
垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
大小可调。现有质荷比为
的带正电粒子从
轴
上的
点以一定初速度垂直
轴射入电场，并且以
，方向与
轴正方向成
的速度经过
点进入磁场，
，
，不计粒子重力。求：
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(1)粒子在
点进入电场的初速度
；
(2)要使粒子不从
边界射出，磁感应强度
的最小值；
(3)粒子经过磁场后，刚好可以回到
点，磁感应强度
的大小。
1．某种质谱仪的结构示意图如图所示，主要构造包括加速电场（可左右平移）、静电分析器和磁分析器
等。其中加速电场的电压为U，静电分析器是以
为圆心的四分之一圆形通道，通道内有均匀辐射电场，
方向沿径向指向圆心
，且与圆心
等距的各点电场强度大小相等，电场强度E 与到圆心距离r 的关系满
足
（k 未知）；磁分析器在以
为圆心、圆心角为
的圆形扇形区域内分布着磁感应强度大小为
B、方向垂直于纸面的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界紧靠。由离子源静止释放出三种正离子
a、b、c 经相同电场加速后，分别从P、Q、M 进入静电分析器，恰好能以
为圆心做匀速圆周运动从磁分
析器中
、
、
射出。已知PQ、QM 间的距离都为
，Q 到圆心距离为R，不考虑电磁场的边缘效应，
求：
(1)关系式
中k 的大小；
(2)b 离子进入静电分析器时的速度大小；
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(3)a、c 两离子的比荷之比；
(4)离子a 经相同加速电场加速后从M 进入至磁分析器下端
（未标出）射出，求
、
之间的距离
d。
2．某“双聚焦分析器”质谱仪工作原理如图所示，加速器中加速电压为U，静电分析器中有辐向电场，即
与圆心
等距各点的电场强度大小相同，方向指向圆心
。磁分析器中以
为圆心、圆心角为90°的扇形
区域内，分布着方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其左边界
与静电分析器的右边界平行。离子源逸出
初速度为0、质量为m、电荷量为q 的正离子，经加速电场加速后，从M 点垂直于
进入静电分析器，
沿半径为R 的圆弧轨道做匀速圆周运动，后从N 点射出，然后离子由P 点垂直于
射入磁分析器中，最
后离子垂直
从Q 点射出。已知
，
，不计离子重力及离子间相互作用。
（1）求离子从加速器射出时速度v 的大小；
（2）求静电分析器中离子运动轨迹处电场强度E 的大小：
（3）若离子源逸出初速度为0、比荷不同的正离子，求能从磁场区域上边界
出射的离子比荷k 的范围。
3．某型号的回旋加速器的工作原理如图甲所示，图乙为俯视图。回旋加速器的核心部分为D 形盒，D 形
盒装在真空容器中，整个装置放在电磁铁两极之间的磁场中，磁场可以认为是匀强磁场，且与D 形盒盒面
垂直。两盒间狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计。质子从粒子源A 处进入加速电场的初速度不
计，从静止开始加速到出口处所需的时间为t，已知磁场的磁感应强度为B，质子质量为m、电荷量为+q，
加速器接一定频率高频交流电源，其电压为U，不考虑相对论效应和重力作用，求：
（1）质子第1 次经过狭缝被加速后进入D 形盒运动轨道的半径r1；
（2）质子第1 次和第3 次经过狭缝进入D 形盒位置间的距离；
（3）D 形盒半径R。
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4．如图所示，在
的空间中存在匀强电场，场强沿y 轴负方向；在
的空间中，存在匀强磁场，磁
场方向垂直xOy 平面（纸面）向外。一电量为q、质量为m 的带正电的运动粒子，经过y 轴上
处的P1
点时速率为v0，方向沿x 轴正方向，然后，经过x 轴上
处的P2点进入磁场，并经过y 轴上
处
的P3点，不计重力，求：
(1)粒子到达P2时速度v 的大小和方向；
(2)磁感应强度B 的大小；
(3)粒子从P1运动到第二次通过P2点所用的时间。
5．如图所示，在
坐标系中，第一象限存在垂直于纸面向里的匀强磁场，第二、三象限存在沿
轴正方
向的匀强电场。质量为
、电荷量为
的粒子以初速度
从坐标为
的
点开始沿
轴正方向运动，
且从点
进入第一象限。带电粒子在第一象限运动的过程中，到
轴的最远距离为
。不计带电粒
子的重力。求：
(1)匀强电场的电场强度大小
；
(2)匀强磁场的磁感应强度大小
；
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(3)带电粒子第一次回到坐标
时，
轴的坐标值。
6．如图，纸面内存在上、下宽度均为2d 的匀强电场与匀强磁场，匀强电场沿竖直方向，平行于纸面。匀
强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、带电荷量为
的粒子，从电场的上边界O
点由静止释放，进入磁场后，其运动轨迹与下边界相切于P 点，不计粒子重力。求：
(1)匀强电场的场强；
(2)带电粒子从O 点运动到P 点的时间。
7．如图所示，在xOy 坐标系的第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，第一象限
和第三象限内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下的匀强电场。在与y 轴平行且相距为d 的竖直线MN
上的A 点（图中未画出）处放置一个粒子源，它能无初速地释放大量质量为m、电荷量为q、且带负电的
粒子，这些粒子经电场加速后均沿y 轴正方向进入第二象限，并均垂直y 轴通过
点。不计粒子重力
及粒子间相互作用。
(1)求从A 点释放的粒子进入第二象限时的速度大小；
(2)求粒子从A 点释放之后至运动到
点的总时间；
(3)若改变离子源在直线MN 上的位置，要求释放的粒子均要垂直经过y 轴，求粒子源到x 轴的距离应满足
什么条件？
8．利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在图示的xOy 平面（纸面）内，
的
区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x 轴上方的
区域Ⅱ内存在沿y 轴负方向的匀强电场。一质
量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），从原点O 处以大小为
的速度垂直磁场射入第二象限，
方向与x 轴负方向夹角
，一段时间后垂直
虚线边界进入电场。已知
，
，区
域Ⅱ中电场的场强
。求：
10
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(1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小
；
(2)粒子从原点O 出发到离开电场的总时间t；
(3)粒子离开电场时的速度大小v。
9．如图甲所示，在平面直角坐标系xOy 的第一象限内有沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，在
第三象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在坐标平面的第一象限内，抛物线
（虚线）
上有纵坐标分别为
，
的P、Q 两点，从P、Q 两点分别沿x 轴负方向射出质
量均为m、电荷量均为q 的带正电的粒子，粒子均从O 点进入磁场，不计粒子重力。
(1)试证明P、Q 两点射出的粒子初速度大小相等，并求出初速度v0的大小；
(2)求从P、Q 两点射出的粒子出磁场时的位置间的距离；
(3)将第三象限内的匀强磁场反向，并在第三象限内放一个平行于x 轴的足够大的接收屏，如图乙所示，若
从P 点射出的粒子恰好能垂直打在屏上，则从P、Q 两点射出的粒子打在屏上的位置间的距离是多少？
10．如图所示，真空中平面直角坐标系
第一象限内存在沿y 轴负方向的匀强电场，第四象限
区域
内存在垂直纸面向里的匀强磁场，M、N 用弹性绝缘挡板连接。y 轴上的粒子源P 沿x 轴正方向发射一带正
电粒子，粒子进入磁场后恰好垂直击中挡板，反弹后恰好从O 点垂直y 轴以
的速度射出磁场。
已知M、N 两点的坐标分别为
、
，粒子的比荷
，求：
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(1)匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)匀强电场的电场强度大小E。
11．如图，
坐标系第一象限内的矩形区域中存在沿
轴负方向、电场强度大小为
的匀强电场，第二
象限内存在垂直于
平面向外、磁感应强度大小为
的匀强磁场和与第一象限内的矩形区域中电场强度
大小相同、方向相反的匀强电场，第三、四象限内存在垂直于
平面向外的匀强磁场。
时刻将一质
量为
、电荷量为
的带正电粒子从第二象限的
点由静止释放，粒子第二次经过距
轴距离最远的位置
时恰好由图中
点射入矩形电场区域，一段时间后，粒子由第三象限经坐标原点
射入第一象限。已知
为矩形的顶点，其坐标为
，矩形区域沿
轴方向的长度为
，沿
轴方向的长度为沿
轴方
向的长度的
倍，忽略粒子的重力。求：
(1)粒子在
点速度的大小；
(2)
点的
坐标；
(3)第三、四象限内匀强磁场的磁感应强度大小。
12．如图所示，纸面内间距为
的竖直虚线M、N 间有竖直向下的匀强电场，半径为R 的绝缘圆筒垂直纸
面放置，圆筒内有垂直于纸面向外的匀强磁场，圆筒与N 相切于Q 点，圆筒上Q 点有一个小孔。从M 上
的P 点沿水平方向向右射出质量为、电荷量为q、速率为
的粒子，经电场偏转后刚好从Q 点进入磁场，
在磁场中偏转后每次与筒壁碰撞前后，沿圆筒半径方向分速度大小相等、方向相反，垂直圆筒半径方向分
速度不变，粒子在筒内与筒壁发生5 次碰撞后，刚好从Q 点射出磁场，已知P、Q 间沿电场方向的距离为
，不计粒子的重力，粒子的电荷量保持不变。求：
12
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(1)粒子在磁场中运动的速度大小；
(2)匀强电场的电场强度大小；
(3)匀强磁场的磁感应强度大小。
13．如图所示，在平面内x 轴与MN 边界之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为
，
磁场区域的宽度为d。x 轴下方和MN 边界上方的空间有两个匀强电场，场强大小相等（大小未知），方向
与y 轴平行。
时刻，质量为m、电荷量为+q 的粒子从P 点沿x 轴正方向射入电场，从x 轴上Q 点进入
磁场，Q 点坐标为（d，0）。进入磁场时速度大小为v，方向与x 轴正方向夹角为60°，然后垂直于MN 边
界进入上方电场。粒子重力不计，求：
(1)匀强电场的场强大小E；
(2)粒子从P 点出发至第2 次经过MN 边界所经历的时间。
14．如图所示，平面直角坐标系xOy 的第二、第三象限内存在着沿y 轴负方向的匀强电场，在第一象限内
有一半径为a 的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，圆形磁场区域与两坐标轴相
切于C、D 两点。在第四象限内存在着一矩形匀强磁场区域（图中未画出）﹐磁场方向垂直纸面向外﹑磁
感应强度大小也为B。一质量为m，电荷量为q 的带负电的粒子由坐标为
的A 点以初速度
（未
知）沿x 轴正方向进入电场区域，经C 点进入圆形磁场区域，垂直x 轴射入第四象限，经矩形磁场区域后
垂直于y 轴到达坐标为
的P 点，粒子重力忽略不计，
，求：
13
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(1)粒子的初速度
和匀强电场电场强度E 的大小；
(2)矩形匀强磁场区域的最小面积；
(3)在（2）的情况下粒子由A 点到P 点的时间。
14
