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第63 讲 电磁感应中的动量问题
核心考点
考点一 动量定理在电磁感应中的应用........................................................................................1
考点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用..............................................................................14
考点一 动量定理在电磁感应中的应用
1．此类问题中常用到的几个公式
(1)安培力的冲量为：I 安＝BLt＝BLq。
(2)通过导体棒或金属框的电荷量为：q＝Δt＝Δt＝nΔt＝n。
(3)磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx。
(4)导体棒在磁场中所受安培力是变力时，可用动量定理分析棒的速度变化，表达式为I 其
他＋lBΔt＝mv－mv0或I 其他－lBΔt＝mv－mv0。
2．选用技巧：当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x 时常用动量定理
求解更方便。
►考向1 “导体棒＋电阻”模型
模
型
一
示意图
水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速
度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足
够长且电阻不计，从开始运动至停下来
求电荷
量q
对金属棒应用动量定理－BLΔt＝0－mv0，q＝Δt，q＝
求位
移x
对金属棒应用动量定理－Δt＝0－mv0，x＝Δt＝
基础过关
1
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模
型
二
示意图
间距为L 的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为
m、接入电路的阻值为R 的导体棒，当通过横截面的电荷量为q 或下
滑位移为x 时，速度达到v
求运动
时间
－BLΔt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，q＝Δt，－Δt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，x
＝Δt
►考向2 导线框模型
模
型
一
示意图
在安培力作用下穿越磁场
位移
速度
电荷
量的
计算
动量不守恒，可用动量定理分析导线框的位移、速度、通过导线横
截面的电荷量：
(1)求电荷量或速度：－B·LΔt＝mv2－mv1，q＝Δt；
(2)求位移：－＝0－mv0，即－＝0－mv0
模
型
二
示意图
在恒力F(包括重力mg)和安培力作用下穿越磁场
时间的
计算
求时间：①－BLΔt＋F 其他·Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F 其他·Δt＝mv2
－mv1
已知电荷量q，F 其他为恒力，可求出变加速运动的时间；
②－＋F 其他·Δt＝mv2－mv1，即－＋F 其他·Δt＝mv2－mv1
若已知位移x，F 其他为恒力，也可求出变加速运动的时间
►考向3 双棒在外力作用下模型
光滑的平行导轨
不光滑的平行导轨
2
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示意
图
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝La
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝La
摩擦力Ffb＝Ffa
运动
分析
开始时，两杆受安培力做变
加速运动；稳定时，两杆以
相同的加速度做匀加速运动
开始时，若Ff<F≤2Ff，则a 杆先变加速后匀速运
动；b 杆静止。若F>2Ff，a 杆先变加速后匀加速运
动，b 杆先静止后变加速最后和a 杆同时做匀加速
运动，且加速度相同
运动
图像
能量
观点
F 做的功转化为两杆的动能
和内能：WF＝ΔEk＋Q
F 做的功转化为两杆的动能和内能(包括电热和摩
擦热)：WF＝ΔEk＋Q 电＋Qf
动量
观点
两杆组成的系统动量不守恒
对单杆可以用动量定理
两杆组成的系统动量不守恒
对单杆可以用动量定理
►考向4 不等间距上的双棒模型
光滑不等距导轨
示意
图
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝2La
运动情况
分析
杆b 受安培力做变减速运动，杆a 受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的
加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2
动量
关系
两杆组成的系统动量不守恒
对单杆可以用动量定理
3
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►考向5 “导体棒＋电容器”模型
模
型
一
示意图
(无外
力充
电式)
导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，杆ab 初速度为v0，质量为m，
电阻不计
运动
情况
分析
导体杆速度为v 时，感应电流I＝，导体杆受安培力F 安＝BIL，做减
速运动，v，电容器充电，UC，F 安，a，当BLv＝UC时，I＝0，
F 安＝0，杆匀速运动
最终
速度
计算
模
型
二
示意图
(无外
力放
电式)
导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab 质量为m，电阻为R
运动
情况
分析
电容器充满电后，S 合向2，导体杆受安培力运动，产生电动势E＝
BLv，感应电流I＝，导体杆受安培力F 安＝BIL，做加速运动，v，
电容器放电UC减小，F 安，a，当BLv＝UC时，I＝0，F 安＝0，杆
匀速运动
最终
速度
计算
【例1】（2025·湖北·模拟预测）如图所示，水平方向的匀强磁场磁感应强度大小为B，左边
界MN 竖直。质量m 的单匝矩形线框ABCD 的AD 边长为L，且与MN 齐平，线框平面与磁场
方向垂直。线框在水平向右的恒力F 作用下，以水平向右的初速度
进入磁场，恰好沿水平
方向匀速运动，到BC 边刚进入磁场时，线框下落的高度为h。已知线框回路电阻为R，重力
加速度为g。
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(1)求水平恒力F 的大小；
(2)求AB 边的长度和线框进入磁场过程中产生的焦耳热；
(3)若将初速度大小减小为
，线框在水平方向运动位移x 后水平速度达到
此时BC 边还
未进入磁场，求在这段时间内，线框下落的高度。
【例2】（2025·湖北武汉·二模）如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨
每米的电阻
，导轨的端点C、D 用电阻可以忽略的导线相连，两导轨间的距离l。有随时间
变化的匀强磁场垂直于桌面向里，已知磁感应强度B 与时间t 的关系为B=kt，k 为大于零的比
例系数。一电阻不计、质量为m 的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导
轨垂直且接触良好。在t=0 时刻，金属杆紧靠在C、D 端，在平行于导轨的外力F 作用下，杆
以恒定的加速度a0从静止开始向导轨的右端滑动，下列说法正确的是（ ）
A．导线CD 中感应电流的方向由D 指向C
B．
时刻感应电动势的大小
C．
时刻导体棒所受安培力
D．在
时间内，作用在金属杆上外力F 的冲量
【例3】（2025·浙江·二模）如图所示，间距
的两平行竖直导轨空间存在垂直平面向内
的匀强磁场，磁感应强度
，其中AB 两处为处于同一高度、长度可忽略不计的绝缘物
质，其余部分均由金属材料制成，其上下分别接有电阻
和电容
，开始时电
容器不带电。现将一质量
的导体棒从上磁场边界上方不同高度
处紧贴导轨静止释
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放，导体棒与导轨始终接触良好，导轨和导体棒的电阻极小，忽略一切摩擦，不计回路自感。
若AB 上下导轨足够长，
(1)试定性分析导体棒进入AB 上方磁场区时运动的情况，并在答题纸上画出其速率随时间变
化可能的关系曲线；
(2)导体棒通过AB 后一瞬间，求电容器C 所带的电荷量；
(3)求导体棒运动到AB 下方
处的速度。
【例4】（2025·山东·模拟预测）如图所示，两根平行光滑金属导轨之间的距离d=1m，倾角
θ=30°，导轨上端接有一个阻值R=2Ω 的电阻，在导轨间、电阻下方存在方向垂直导轨平面向
上的匀强磁场，磁感应强度大小B=1T。质量m=0.2kg 的金属棒水平置于导轨上，垂直于导轨
且与导轨接触良好，金属棒与导轨间的动摩擦因数
。金属棒与电阻R 距离足够远，
金属棒沿导轨平面以初速度v0=6m/s 向上运动，t（t 为已知量，单位为秒）时间后速度减为零。
当金属棒速度减为零时，立即让磁场以大小v0=6m/s 的速度沿导轨平面匀速向下运动，金属
棒在磁场驱动下沿导轨平面向下运动距离L（L 为已知量，单位为米）时，金属棒恰好达到最
大速度且此后以此速度沿导轨平面匀速运动。金属棒在运动过程中始终处于磁场区域内，重
力加速度g=10m/s2，不计导轨和金属棒的电阻及空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
求：
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(1)金属棒开始沿导轨平面向上运动时的加速度大小；
(2)金属棒向上运动过程中通过电阻R 的电荷量和电阻R 产生的焦耳热；
(3)金属棒向下运动过程中加速运动的时间与该段时间内通过电阻R 的电荷量。
【例5】（2025·河南·模拟预测）如图所示，间距为
的两平行导轨由倾斜导轨和水平导轨组
成，两部分通过光滑绝缘的小圆弧轨道的相连接，其中光滑的倾斜导轨面
与水平
面的倾角
，
间接有电容为
的电容器，导轨间有垂直于导轨平面向下的匀强磁
场，磁感应强度为
；水平轨道
左侧粗糙且无磁场，
右侧光滑，有竖直向下的匀
强磁场，磁感应强度也为
。长度均为
的导体棒a、b 由不同材料制成，其质量分别为
，b 棒静置于
处，
与
间距为
，a 棒在倾斜导轨
处由静止释放，
滑到水平轨道上与b 棒弹性碰撞后向左运动，b 棒向右运动
后静止于
处。已知b 棒电
阻为
，不计导轨及a 棒电阻，不考虑电磁辐射，两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接
触良好，重力加速度为
。求：
(1)a 棒离开倾斜导轨时电容器
带电量
；
(2)a 棒碰撞b 棒后的瞬间，b 棒的加速度大小
；
(3)a 棒与水平轨道
和
之间的动摩擦因数
。
考点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用
1.在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，
基础过关
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如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0 时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解
题比较方便。
2.双棒模型(不计摩擦力)
模型示意图及条件
水平面内的光滑等距导轨，两个棒的质量分别为m1、m2，电阻分别
为R1、R2，给棒2 一个初速度v0
电路特点
棒2 相当于电源；棒1 受安培力而加速运动，运动后产生反电动势
电流及速度变化
棒2 做变减速运动，棒1 做变加速运动，随着两棒相对速度的减
小，回路中的电流减小，I＝BL
v2−v1
R1＋R2
，安培力减小，加速度减
小，稳定时，两棒的加速度均为零，以相等的速度匀速运动
最终状态
a＝0，I＝0，v1＝v2
系统规律
动量守恒m2v0＝(m1＋m2)v
能量守恒Q＝1
2m2v0
2－1
2(m1＋m2)v2
两棒产生焦耳热之比
Q1
Q2
＝R1
R2
【例6】（2025·山东济南·二模）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右
两侧导轨间距分别为d 和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B 和B。两导
体棒MN、PQ 垂直放置在导轨上，已知导体棒MN 的电阻为R、长度为d、质量为m，导体棒
PQ 的电阻为2R、长度为2d，质量为2m。0 时刻，用水平恒力F 向右拉动PQ，此后运动了
足够长时间t，运动过程中，两导体棒均未脱离原宽度处的导轨且与导轨保持良好接触。已知
导轨足够长且电阻不计，从0 时刻到t 时刻的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．回路中始终产生顺时针方向的电流
B．PQ 加速度为a 时，MN 的加速度为2a
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C．t 时刻后两导体棒的速度差恒为
D．通过两导体棒的电量为
【例7】（2025·湖北荆州·三模）如图所示，水平金属导轨左侧接电容为1F 的电容器，最右
侧用一段长度可忽略不计的绝缘材料与倾角为
的倾斜金属导轨平滑连接，倾斜导轨上
端接阻值为0.1Ω 的电阻，两导轨宽均为1m。水平导轨处在垂直于导轨平面的匀强磁场中，
倾斜导轨也处在垂直于导轨平面的磁场中，磁感应强度大小均为0.2T。质量为0.4kg 的金属
棒a 静置在水平导轨上，距水平导轨右端4.32m，质量为0.8kg 的金属棒b 放在倾斜导轨上，
控制其不动，b 棒距导轨下端3.6m。对a 施加水平向右的大小为2.64N 的恒力，同时静止释
放b。a 棒运动到水平导轨最右端时恰好与b 棒发生弹性碰撞，碰撞前瞬间撤去拉力。导轨均
光滑且不计导轨和a、b 的电阻，重力加速度大小为
。则（ ）
A．a 从开始运动到第一次碰撞前所用时间为1.2s
B．a 从开始运动第一次碰撞前，R 上消耗的焦耳热为19.2J
C．两棒第一次碰撞后瞬间，a 的速度大小为7.2m/s
D．两棒第一次碰撞后瞬间，b 的速度大小为3.4m/s
【例8】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，两根足够长的平行金属光滑导轨
、
固定在倾角为
的斜面上，导轨电阻不计。
与
间距为
，
与
间距为
。在
与
区域有方向垂直斜面向下的匀强磁场，在
与
区域有方向
垂直斜面向上的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为
。在
与
区域中，将质
量为
，电阻为
，长度为
的导体棒
置于导轨上，且被两立柱挡住。
与
区域中
将质量为
，电阻为
，长度为
的导体棒
置于导轨上。
由静止下滑，经时间
恰好
离开立柱，
、
始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度大小为
。则（
）
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A．两导体棒最终做匀速直线运动
B．时刻，
的速度大小为
C．
内，
下滑的距离为
D．
中电流的最大值为
【例9】（2025·山东·三模）如图所示，间距为
的两固定平行光滑金属导轨由倾斜部分和水
平部分（均足够长）平滑连接而成，连接处绝缘，倾斜部分导轨与水平面的夹角为
，导轨
上端接有一个阻值为
的定值电阻。倾斜导轨处存在方向垂直于倾斜导轨平面向上的匀强磁
场，水平导轨处存在方向竖直向上的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为
。初始时，
导体棒
放置在水平导轨上离倾斜导轨底端足够远的位置，导体棒
从倾斜导轨上某处由静
止释放，到达倾斜导轨底端前已经匀速运动。导体棒
进入水平导轨后始终没有和导体棒
相碰。导体棒
、
接入电路的阻值均为
，质量均为
，运动过程中始终垂直于导轨且与
导轨接触良好，导轨电阻不计，重力加速度为
。求：
(1)导体棒
在倾斜导轨上的最大速度；
(2)整个过程，导体棒
产生的热量。
【例10】（2025·陕西宝鸡·三模）如图所示为放置在水平面上的光滑金属导轨，由左侧的圆
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弧轨道和右侧足够长的水平轨道平滑连接组成。圆弧轨道最上端连接一个电容
的电
容器，导轨间距为
。在图中虚线de 右侧区域存在磁感应强度大小，
，方向竖
直向上的匀强磁场，金属棒b 静止在磁场内水平导轨上。现断开开关S，将金属棒a 从圆弧导
轨由静止释放，释放位置与水平导轨的高度差为
。已知金属棒a 的质量
，
金属棒b 质量
，两金属棒在导轨间的电阻均为
。在运动过程中两金属棒始
终与导轨接触良好且与导轨垂直，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计，重力加速度
。求：
(1)当金属棒b 的速度为
时，金属棒a 速度；
(2)要使两金属棒在磁场内运动过程中不相撞，求初始时刻金属棒b 到de 的最小距离x；
(3)若金属棒b 的速度为
时从导轨上取走金属棒b，同时闭合开关S，求金属棒a 的最小
速度。
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