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第64 练 专题强化：复合场中的摆线问题 动量定理在磁场中的应用
分值：60 分
1、2 题每小题7 分，3、4 题每小题15 分，5 题16 分，共60 分
1.(2022·全国甲卷·18)空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面(xOy 平面)向里，电场的方
向沿y 轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O 由静止开始运动。下列四幅图中，
可能正确描述该粒子运动轨迹的是( )
2.如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁
感应强度为B。一束质量均为m、电荷量均为＋q 的粒子，以不同速率沿着两板中轴线PQ 方向进入板间后，
速率为v 的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为v
2的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A 为乙粒
子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在v
2和3 v
2 之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线
分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，对应小段圆弧的半径
叫该处曲率圆半径。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是( )
A.两板间电场强度的大小为B
v
B.乙粒子偏离中轴线的最远距离为mv
qB
C.乙粒子的运动轨迹在A 处对应的曲率圆半径为9mv
4 qB
D.乙粒子从进入板间运动至A 位置的过程中，在水平方向上做匀速运动
3.(15 分)如图所示，坐标系xOy 平面在纸面内，在x≥0 的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，0≤x<d 的区
域Ⅰ和x≥d 的区域Ⅱ内磁场的磁感应强度大小分别为B1和B2。大量质量为m、电荷量为q 的带正电的粒
子，同时从原点O 射入磁场，粒子射入的速度大小相等，在坐标平面内与x 正方向成θ(－90°≤θ≤90°)角。
沿y 轴正方向射入的粒子在P(d，d)点垂直两磁场的边界射入区域Ⅱ。不计粒子的重力和粒子间的相互作用。
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(1)(3 分)求粒子从原点O 射入磁场时的速度大小；
(2)(3 分)求不能进入区域Ⅱ内的粒子，在区域Ⅰ内运动的最长时间；
(3)(9 分)若粒子在区域Ⅱ中受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为k，观察发现沿y 轴正方
向射入的粒子，射入区域Ⅱ后粒子轨迹呈螺旋状并与两磁场的边界相切于Q 点(未画出)，求：
①该粒子由P 点运动到Q 点的时间；
②该粒子在区域Ⅱ中运动轨迹的长度。
4.(15 分)(2024·甘肃卷·15)质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压
为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为E1，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为
B1，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为B2，方向垂直纸面向里。从S 点
释放初速度为零的带电粒子(不计重力)，加速后进入速度选择器做直线运动、再由O 点进入分离器做圆周
运动，最后打到照相底片的P 点处，运动轨迹如图中虚线所示。
(1)(5 分)粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。
(2)(3 分)求O 点到P 点的距离。
(3)(7 分)若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为E2(E2略大于E1)，方向不变，粒子恰好垂直打在速
度选择器右挡板的O'点上。求粒子打在O'点的速度大小。
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5.(16 分)(八省联考·四川·15)电容为C 的平行板电容器两极板间距为d，极板水平且足够长，下极板接地，
将电容器与开关S、电阻R1和R2连接成如图所示电路，a、b 是两个输出端，S 断开，极板间充满垂直纸面
向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。由质量为m、电荷量为q(q > 0)的带电粒子组成的粒子束以水平速
度v0沿下极板边缘进入极板间区域，单位时间进入的粒子数为n。带电粒子不计重力且不与下极板接触，
忽略极板边缘效应和带电粒子间相互作用。
(1)(4 分)为使带电粒子能落在电容器上极板，求极板间距的最大值dm；
(2)(5 分)满足(1)的前提下，求电容器所带电荷量的最大值Qm；
(3)(7 分)已知R1＝2R，R2＝R，闭合S，电容器重新达到稳定状态后，为使a、b 端接入任意负载时进入极板
间的带电粒子全部落在上极板，求R 应满足的条件和此时a、b 间输出功率的最大值。
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答案精析
1.B [解法一 在xOy 平面内电场的方向沿y 轴正方向，故在坐标原点O 静止的带正电粒子在电场力作用
下会向y 轴正方向运动，磁场方向垂直于纸面向里，根据左手定则，可判断出向y 轴正方向运动的粒子同
时受到沿x 轴负方向的洛伦兹力，故带电粒子向x 轴负方向偏转，A、C 错误；运动的过程中静电力对带电
粒子做功，粒子速度大小发生变化，粒子所受的洛伦兹力方向始终与速度方向垂直.由于匀强电场方向是沿
y 轴正方向，故x 轴为匀强电场的等势面，从开始到带电粒子偏转再次运动到x 轴时，静电力做功为0，洛
伦兹力不做功，故带电粒子再次回到x 轴时的速度为0，随后受静电力作用再次进入第二象限重复向左偏
转，B 正确，D 错误。
解法二 粒子在O 点静止，对速度进行分解，分解为沿x 轴正方向的速度v，沿x 轴负方向的速度v'，两个
速度大小相等，方向相反，使得一个洛伦兹力平衡静电力，即qBv'＝qE，则粒子在电场、磁场中的运动，
可视为沿x 轴负方向以速度v'＝E
B 做匀速直线运动，同时在x 轴上方做匀速圆周运动。故选B。]
2.B [速率为v 的甲粒子恰好做匀速直线运动，则qE＝Bqv，解得两板间电场强度的大小为E＝Bv，选项A
错误；由于洛伦兹力一直不做功，乙粒子所受静电力方向一直竖直向下，当粒子速度最大时，静电力做的
功最多，偏离中轴线的距离最远，根据动能定理有qEymax＝1
2m×(3 v
2 )2－1
2m×(v
2)2，整理可得ymax＝mv
qB ，
故B 正确；由题意，乙粒子的运动轨迹在A 处时为粒子偏离中轴线的距离最远，粒子速度达到最大为vA＝
3 v
2 ，洛伦兹力与静电力的合力提供向心力qvAB－qE＝m v A
2
r A
，所以对应圆周的半径为rA＝9mv
2qB ，故C 错
误；由题意，速率为v
2的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，根据左手定则判断知，粒子受到的洛
伦兹力总是垂直指向每一小段圆弧的中心，可知从进入板间至A 位置过程中，乙粒子在水平方向上的合力
一直水平向右，所以粒子从进入板间运动至A 位置的过程中，在水平方向上做加速运动，故D 错误。]
3.(1)q B1d
m
(2) π m
q B1
(3)①3 π m
2q B2
②q B1d
k
解析 (1)由题意知，粒子做圆周运动的半径r＝d
由qvB1＝mv
2
r
解得v＝q B1d
m
(2)由旋转圆模型知，对于不能进入区域Ⅱ内的粒子，当粒子沿x 轴正向进入Ⅰ区域时，运动时间最长，即
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tmax＝T
2 ＝1
2×2π r
v
＝π m
q B1
(3)①该粒子在区域Ⅱ中的运动轨迹如图所示
洛伦兹力提供向心力qvB2＝mωv
可得ω＝q B2
m
即角速度为一定值，又可知粒子与边界相切时转过的弧度
θ＝3
2π，
时间t＝θ
ω
解得t＝3 π m
2q B2
②粒子在区域Ⅱ中做螺旋线运动，由于阻力最后停下来，在切线方向上，由动量定理有
－kvtΔt＝mΔvt
求和则有－k∑(vtΔt)＝m∑Δvt
有kl＝mv
解得l＝q B1d
k
4.(1)带正电
E1
2
2U B1
2 (2)4U B1
E1B2
(3)2 E2−E1
B1
解析 (1)粒子在磁场B2中O 处所受洛伦兹力方向向上，根据左手定则可知粒子带正电；
设粒子的质量为m，电荷量为q，粒子进入速度选择器时的速度为v0，在加速电场中，由动能定理qU＝1
2
mv0
2
在速度选择器中粒子做匀速直线运动，
由平衡条件qv0B1＝qE1
联立解得，粒子的比荷为q
m ＝
E1
2
2U B1
2
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(2)在Ⅲ中由洛伦兹力提供向心力qv0B2＝mv0
2
r
可得O 点到P 点的距离为
OP＝2r＝4U B1
E1B2
(3)粒子进入Ⅱ瞬间，粒子受到向上的洛伦兹力
F 洛＝qv0B1
向下的静电力F＝qE2
由于E2>E1，且qv0B1＝qE1
所以通过配速法，如图所示
其中满足qE2＝q(v0＋v1)B1
则粒子在速度选择器中水平向右以速度v0＋v1做匀速直线运动的同时，竖直方向以v1做匀速圆周运动，当
速度转向到水平向右时，满足垂直打在速度选择器右挡板的O'点的要求，故此时粒子打在O'点的速度大小
为v'＝v0＋v1＋v1＝
2 E2−E1
B1
。
5.(1)2mv0
qB (2)CBd(v0－Bqd
2m )
(3)R≤Bd
3nq (v0－Bqd
2m ) n
2q
2 R
2
解析 (1)由题意可知带电粒子在两极板间做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有
qv0B＝mv0
2
r
为使带电粒子能落在电容器上极板，则有r≥d
2
联立可得d≤2mv0
qB
即最大值为dm＝2mv0
qB
(2)当电容器所带电荷量最大时，板间电势差最大，粒子束恰好不能到达上极板，将粒子入射速度分解为向
右的两个速度，一个速度产生的洛伦兹力与电场力平衡，做匀速直线运动；另一个速度提供洛伦兹力，做
匀速圆周运动；即v0＝v1＋v2
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其中qE＝qv1B
粒子以v2做匀速圆周运动，有qv2B＝mv2
2
r
'
粒子恰好不到达上极板，则有d＝2r'
联立各式可得E＝B(v0－Bqd
2m )
此时两极板所带电荷量最大为Qm＝CUm＝CEd＝CBd(v0－Bqd
2m )
(3)根据题意可知当R1和R2两端的总电压不大于Um时带电粒子才能全部落在上极板，闭合S，电容器重新
达到稳定状态后，电流恒定，有I＝nq，根据欧姆定律有I(R1＋R2)≤Um＝Ed
其中R1＝2R，R2＝R
联立解得R≤Bd
3nq (v0－Bqd
2m )
当a、b 间接入负载时，设a、b 间的电流为Iab，由于总电流恒定，则R1的电流为I1＝I－Iab
a、b 间的功率为
Pab＝UabIab＝(I－Iab)R1·Iab＝2R(nqIab－I ab
2)
所以当Iab＝1
2nq 时，Pab最大，最大值为Pab＝n
2q
2 R
2
。
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