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计算题 03
1．（10 分）水平方向的弹簧振子在B-O-C 之间做简谐运动， 如左图所示。其中BC 长为0.1m，振子质量
m=0.1kg。 从B 点开始计时，弹簧的弹性势能随时间如右图所示变化。现以O 为坐标原点，水平向右为x
轴正方向，结合图像数据，求：
（1）振子相对 O 点的位移x 与时间t 的关系式
（2）振子从B 到O 过程所受弹簧弹力的冲量
【答案】（1）
；（2）
，方向由B 指向O
【详解】（1）由题，BC 长为0.1m，则振幅
A=0.05m
振子振动的周期
振子相对 O 点的位移x 与时间t 的关系式
（2）弹簧最大弹性势能
根据能量守恒，振子在O 时动能
得
振子从B 到O 过程所受弹簧弹力的冲量
方向由B 指向O。
2．（12 分）如图所示，在xOy 平面的第一象限内有半径为R 的圆形区域，该区域内有一匀强磁场，磁场
的方向垂直纸面向里。已知圆形区域的圆心为
，其边界与x 轴、y 轴分别相切于P、Q 点。位于P 处的
质子源均匀地向纸面内以大小为v 的相同速率发射质量为m、电荷量为e 的质子，且质子初速度的方向被
计算题必刷·1 规范+1 模型+1 思想
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限定在
两侧与
的夹角均为
的范围内。第二象限内存在沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度大小
为E，在x 轴（
）的某区间范围内放置质子接收装置MN。已知沿
方向射入磁场的质子恰好从Q
点垂直y 轴射入匀强电场，不计质子受到的重力和质子间的相互作用力。
（1）求圆形区域内匀强磁场的磁感应强度大小B；
（2）求y 轴正方向上有质子射出的区域范围；
（3）若要求质子源发出的所有质子均被接收装置MN 接收，求接收装置MN 的最短长度x。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）沿
方向射入磁场的质子恰好从Q 点垂直y 轴射入匀强电场，则该质子运动半径为
，有
解得
（2）如图所示，设在
左右两侧
角方向上射入磁场的质子，最终分别有磁场边界上的A、B 两点射
出，对应圆周运动的圆心分别为
、
，则四边形
和
均为 ，则粒子由A、B 两点水平飞
出，且
与B 点重合。
根据几何关系可知
B 点到
轴的距离为
，所以y 轴正方向上有质子射出的区域范围为
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（3）若质子由
处飞入电场时打在M 点，由
处飞入电场时打在N 点，根据类平抛运动的规律，
有
解得
MN 的最短长度为
3．（18 分）如图所示，倾角
的足够长斜面固定在水平面上，
时刻，将物块A、B（均可视为
质点）从斜面上相距
的两处同时由静止释放。已知A 的质量是B 的质量的3 倍，A、B 与斜面之
间的动摩擦因数分别为
、
，A、B 之间的碰撞为弹性碰撞，且碰撞时间极短，重力加速度
大小
，求：
（1）A、B 发生第一次碰撞后瞬间，A、B 的速度大小；
（2）A、B 发生第三次碰撞的时刻；
（3）从静止释放到第n 次碰撞，A 运动的位移。
【答案】（1）0.25m/s，0.75m/s；（2）1.0s；（3）
【详解】（1）A 沿斜面下滑，受力重力、支持力和摩擦力分析，根据牛顿第二定律
分析B 的受力
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即B 静止在斜面上。A 与B 发生第一次碰撞前，由运动学规律
A 与B 发生第一次碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律
，
解得
，
（2）由（1）可得，A 从静止释放后，经过时间
与B 发生第一次碰撞，有
B 以
匀速直线运动，A 以初速度
，加速度a 匀加速直线运动，第二次碰撞前，有
此时，B 以
匀速直线运动，A 的速度为
A 与B 发生第二次碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律
，
B 以
匀速直线运动，A 以初速度
，加速度a 匀加速直线运动，第三次碰撞前，有
显然，每次碰撞后，B 均相对A 以初速度
、加速度
做匀减速直线运动至下一次碰撞，经过时间均为
0.4s。故A 与B 发生第3 次碰撞后的时刻为
解得
（3）从开始至第一次碰撞
从第一次碰撞至第二次碰撞
从第二次碰撞至第三次碰撞
从第三次碰撞至第四次碰撞
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从第
次碰撞至第n 次碰撞
A 从静止释放到第n 次碰撞后运动的总位移
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