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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）
黄金卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，
89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的 分位数为（ ）
A．93 B．93.5 C．94 D．94.5
【答案】B
【解析】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，
因为 ，所以这组数据的 分位数第8个数与第9个数的平均值，即 ，故选B.
2．若 ，则实数 （ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
即 ，解得 ，故选B.
3．各项为正的等比数列 中， ，则 的前4项和 （ ）
A．40 B．121 C．27 D．81
【答案】A
【解析】设等比数列公比为 ,
故选A.
4．“函数 的图象关于 对称”是“ ， ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当函数 的图象关于 对称时，
有 ， ，得 ， ，
易知 ，
所以“函数 的图象关于 对称”是“ ， ”的必要不充分条件．故选B．
5．某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相
邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（ ）
A．48种 B．32种 C．24种 D．16种
【答案】B
【解析】当老师从左到右排在第二或第四位时，共有 种排法，
当老师从左到右排在第三位时，共有 种排法，于是共有 种排法.
故选：B.
6．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】B
【解析】对于A,如上图正方体中，设平面 为 ，
平面 为 ， 为 ，
满足 ， ，此时 ，故A错误；
对于B，因为 ， ，α、β是不同的平面，则必有 ，
故B正确；
对于C，如上图正方体中，设平面 为 ，
平面 为 ， 为 ，
满足 ， ，此时 ，故C错误；
对于D，如上图正方体中，设平面 为 ，
为 ， 为 ，
则满足 ， ，此时 ，故D错误.
故选:B.
7．已知函数 ，若 ， 是锐角 的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递减.因为 ， 是锐角 的两个内角，所以 ，则 ，
因为 在 上单调递减，
所以 ，
故 ，故D正确.
同理可得 ，C错误；
而 的大小不确定，故 与 ， 与 的大小关系均不确定，
所以 与 ， 与 的大小关系也均不确定，AB不能判断.
故选：D
8．已知椭圆 ： 的焦点分别为 ， ，点 在 上，点 在 轴上，且满足
， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图， ： 的图象，则 ， ，其中 ，
设 ， ，则 ，
， ， ，因 ，得 ，
故 ，得 ，
由 得 ，
得 即 ，得
由 ，得 ，又 ， ，
化简得 ，又椭圆离心率 ，
所以 ，得 .
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知 ， 为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 或
【答案】AC
【解析】A：根据共轭复数的定义，本选项正确；
B：取 ， ，满足 ，但 ，故本选项错误；
C：设 ， ， ，由 ，得 ，即 ， ，所以
，即 ，故本选项正确；
D：取 ， ，则 ， ，此时 且 ，故D不正确．故选：AC
10．如图，点 是函数 的图象与直线 相邻的三个交点，且
，则（ ）
A．
B．
C．函数 在 上单调递减
D．若将函数 的图象沿 轴平移 个单位，得到一个偶函数的图像，则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】令 得， 或 ， ，
由图可知： ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，故A选项正确，
所以 ，由 得 ，
所以 ， ，所以 ， ，
所以 ，
，故B错误.
当 时， ，
因为 在 为减函数，故 在 上单调递减，故C正确；
将函数 的图象沿 轴平移 个单位得 ，（ 时向右平移， 时向左平
移），
为偶函数得 ， ，
所以 ， ，则 的最小值为 ，故D正确.
故选：ACD.
11．已知定义在 上的函数 满足 ，且 是奇函数.则（ ）
A． B．
C． 是 与 的等差中项D．
【答案】ACD
【解析】因为 ，
所以 ，
两式相减得 ，
所以 的周期为4.
因为 是奇函数，
所以 ，所以 ，即 ，
令 ，得 .
因为 ，
令 ，得 ，
所以 ，即 .
因为 ，
令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故A正确.
因为 ，
所以 ，即 ，所以 .
因为 ， ，所以B错误.
因为 ， ，
所以 ，
所以 是 与 的等差中项，故C正确.
因为 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合 ， ，则
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以 .
13．已知多项式 ，则 .
【答案】74
【解析】对于 ，
其二项展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
故 ，
对于 ，
其二项展开式的通项为 ，
令 ，得 ，故 ，
所以 .
14．在正三棱台 中， ， ，侧棱 与底面ABC所成角的正切值为 ．若该
三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，取BC和 的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为 ， ，
设 ，内切球半径为r，因为 ，棱台的高为2r，
所以 ，
，同理 ．
因为内切球与平面 相切，切点在 上，
所以 ①，
在等腰梯形 中， ②，
由①②得 ．
在梯形 中， ③，
由②③得 ，代入得 ，则棱台的高 ，
所以棱台的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（本小题满分13分）已知函数(1)当 时，求 在区间 上的最值；
(2)若直线 是曲线 的一条切线，求 的值.
【解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
又 ， ， .
（2）由题意知： ，
设直线 与 相切于点 ，
则 ，消去 得： ，解得： ，
则 ，解得： .
16．（本小题满分15分）如图，AB是半球O的直径， ， 依次是底面 上的两个三等分点，
P是半球面上一点，且 ．
(1)证明： ；
(2)若点 在底面圆上的射影为 中点，求直线 与平面 所成的角的正弦值．
【解】（1）连接 ，因为 依次是底面 上的两个三等分点，
所以四边形 是菱形，设 ，则 为 中点，且 ，
又因为 ，故 是等边三角形，
连接 ，则 ，
又因为 面 ， ，所以 面 ，
因为 面 ，所以 ，
因为 依次是底面 上的两个三等分点，所以 ，所以 ，
又因为AB是半球O的直径， P是半球面上一点，所以 ，
因为 面 ， ，所以 面 ，
又因为 面 ，所以
（2）因为点 在底面圆上的射影为 中点，
所以 面 ，
因为 面 ，所以 ，
又因为 ，
所以以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则
所以直线 与平面 所成角的正弦值为
17．（本小题满分15分）“村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵
州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风､
乡土味､欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.
某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了
男､女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足
不喜欢足球 合计
球
男生 20
女生 15
合计 100
附： .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)根据所给数据完成上表，依据 的独立性检验，能否有 的把握认为该中学学生喜欢足球与
性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的
概率均为 ，这名女生进球的概率为 ，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数 的
分布列和数学期望.
【解】（1）依题意， 列联表如下：
喜欢足
不喜欢足球 合计
球男生 30 20 50
女生 15 35 50
合计 45 55 100
零假设 ：该中学学生喜欢足球与性别无关，
的观测值为 ，
，根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
所以有 的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.
（2）依题意， 的所有可能取值为 ，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
数学期 .
18．（本小题满分17分）已知点P（非原点）在抛物线C： 上，点P处的切线分别交x，y轴于点
Q，R．
(1)若 ，求实数 的值．
(2)定义：过抛物线上一点，且垂直于在该点处切线的直线称为抛物线的法线．若抛物线C在点P处的法线
交抛物线C于另一点S，求 面积的最小值．
【解】（1）不妨设 ， ，由 得 ，所以点P处的切线方程为 ．
令 ，得 ，所以 ．
所以点Q为线段PR的中点．所以 ．
（2）设 ，由法线定义得 ，所以 ，
又 ，
即 ．
因为 ， ，
所以 ， ．
因为 ， ，
所以 ．
设 ， ，
则 ．
令 ，得 ．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
所以当 时， ．故 面积的最小值为 ．
19．（本小题满分17分）已知 是 个正整数组成的 行 列的数表，
当 时，记 ．设 ，若 满足如下两个性质：
① ；
②对任意 ，存在 ，使得 ，则称 为 数表．
(1)判断 是否为 数表，并求 的值；
(2)若 数表 满足 ，求 中各数之和的最小值；
(3)证明：对任意 数表 ，存在 ，使得 ．
【解】（1） 是 数表，
（2）由题可知 .
当 时，有 ，所以 .
当 时，有 ，
所以 .
所以
所以
或者 ，
或者 ，
或 ， 或 ，
故各数之和 ，
当 时，
各数之和取得最小值 .
（3）由于 数表 中共 个数字，
必然存在 ，使得数表中 的个数满足
设第 行中 的个数为
当 时，将横向相邻两个 用从左向右的有向线段连接，
则该行有 条有向线段，
所以横向有向线段的起点总数
设第 列中 的个数为 .当 时，将纵向相邻两个 用从上到下的有向线段连接，
则该列有 条有向线段，
所以纵向有向线段的起点总数
所以 ,
因为 ,所以 .
所以必存在某个 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，
即存在
使得 ，
所以 ，
则命题得证.
