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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）
黄金卷05·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B B A B B B D D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
AC ACD ACD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13．74 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（13分）
【解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
又 ， ， .
（2）由题意知： ，设直线 与 相切于点 ，
则 ，消去 得： ，解得： ，
则 ，解得： .
16．（本小题满分15分）
【解】（1）连接 ，
因为 依次是底面 上的两个三等分点，
所以四边形 是菱形，设 ，则 为 中点，且 ，
又因为 ，故 是等边三角形，
连接 ，则 ，
又因为 面 ， ，所以 面 ，
因为 面 ，所以 ，
因为 依次是底面 上的两个三等分点，所以 ，所以 ，
又因为AB是半球O的直径， P是半球面上一点，所以 ，
因为 面 ， ，所以 面 ，
又因为 面 ，所以
（2）因为点 在底面圆上的射影为 中点，
所以 面 ，
因为 面 ，所以 ，
又因为 ，
所以以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则
所以直线 与平面 所成角的正弦值为
17．（本小题满分15分）
【解】（1）依题意， 列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
合计 45 55 100
零假设 ：该中学学生喜欢足球与性别无关，
的观测值为 ，，根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
所以有 的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.
（2）依题意， 的所有可能取值为 ，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
数学期 .
18．（本小题满分17分）
【解】（1）不妨设 ， ，由 得 ，
所以点P处的切线方程为 ．
令 ，得 ，所以 ．
所以点Q为线段PR的中点．所以 ．
（2）设 ，由法线定义得 ，所以 ，
又 ，
即 ．
因为 ， ，所以 ， ．
因为 ， ，
所以 ．
设 ， ，
则 ．
令 ，得 ．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
所以当 时， ．
故 面积的最小值为 ．
19．（本小题满分17分）
【解】（1） 是 数表，（2）由题可知 .
当 时，有 ，
所以 .
当 时，有 ，
所以 .
所以
所以
或者 ，
或者 ，
或 ， 或 ，
故各数之和 ，
当 时，
各数之和取得最小值 .
（3）由于 数表 中共 个数字，
必然存在 ，使得数表中 的个数满足
设第 行中 的个数为
当 时，将横向相邻两个 用从左向右的有向线段连接，则该行有 条有向线段，
所以横向有向线段的起点总数
设第 列中 的个数为 .
当 时，将纵向相邻两个 用从上到下的有向线段连接，
则该列有 条有向线段，
所以纵向有向线段的起点总数
所以 ,
因为 ,所以 .
所以必存在某个 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，
即存在
使得 ，
所以 ，
则命题得证.
