文档文本内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）
黄金卷·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B A C D C A D B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．AD 10．AC 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．44 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
令 ，则有 ，............................................................2分
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
因此当 时，则有 ，
因此当 时，则有 ，............................................................4分
当 时， 显然 ，
于是有当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增，
所以 ；............................................................6分（2）由 ，
因为 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，............................................................8分
由 ，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，............................................................11分
要想 在 上恒成立，
只需 ，因此 的取值范围为 .............................................................13分
16．（15分）
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，
【解析】（1）由题意知共有 个团队，
一次抽取2个团队的情况有 种，其中全是私家游团队的情况有 种，
故一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率是 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），.................................................3分
若一次抽取的3个团队全是私家游团队，则共有 种情况，
若一次抽取的3个团队全是跟团游团队，则共有 种情况，
所以在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，
这3个团队全是跟团游团队的概率为 ；............................................................7分
（2）由题意知，随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，4，................................................8分
， ，， ，
，............................................................13分
故 的分布列为
0 1 2 3 4
P
数学期望 ......................................15分
17．（15分）
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）为 ， ，
所以 ，所以 .............................................................3分
又 ，且 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .............................................................6分
（2）因为 ， ，
则 ，且 ，可知 ，
在平面 内过点A作 轴垂直于 ，
又由（1）知 平面 ，............................................................9分
分别以 ， 所在直线为 ， 轴建立如图所示空间直角坐标系 .
则 ， ， ， ..........................................................10分
因为 ，则 ，可得 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 得 ，............................................................13分
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .............................................................15分
18．（17分）
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）（1）设 ，
因为点N在曲线 上，所以 ，............................................................2分
因为 ，所以 ，............................................................4
分
代入 可得 ，
即 ，即 的方程为 ；............................................................6分
（2）因为以 为直径的圆经过点O，所以 ，
当C、D为椭圆顶点时， ............................................................8分
当C、D不是椭圆顶点时，可得直线OC的斜率存在且不等于零，
可设直线OC的方程为 ，则直线OD的方程为 ，由 ，得 ，
所以 ............................................................12分
同理可得， ， ，............................................................14分
所以
综上， 为定值 .............................................................17分
19．（17分）
【答案】（1） 、 ；（2）证明见解析；（3） 或
【解析】（1）由“ 数列”的定义可知，数列 、 为“ 数列”.
............................................................2分
（2）证明：若 ，则由①可知 ，
所以 或 ，且公差 ，............................................................3分
以下设 .
由①， 、 ， ， ，
两式作差得 ，
因为 ，所以 .
由①， 、 ， ， ，
两式作差得 ，
因为 ，所以 ，因此， .............................................................6分
若 ，则等差数列 是递减数列，
由① 为 中的项，因此， ，解得 ，由 且公差 ，所以 或 ， ， ，
由①， 为 中的项，且 ，
这与等差数列 递减矛盾，因此， 不成立.
综上， 且公差 .............................................................9分
（3）因为公差 ，所以 ，即 是递增数列.
若 ，因为 ，所以 ，
则 ，且 ，
由① 为 中的项，这与等差数列 是递增数列矛盾.
因此， ，............................................................11分
又由（2） ，故 .
由 ， 知， 且 中存在一项为正整数，取最小的正整数项 .
则由②， ，使得 且 ， .
因此 ，解得 ，
又 ，故 .............................................................13分
因为 是递增数列，
（i）若 ，则 ，此时 .
因为 ， ，
令 ，有 ，且 ，所以 满足条件①.
因为 ，
令 ， 有 ，所以 满足条件②. ......................................15分
（ii）若 ，则 ， .
因为 ，
.
令 ，则 ，且 ，所以 满足条件①.
因为 ，令 ， ，有 ，所以 满足条件②.
