103.递推方法计算概率与一维马尔科夫过程
一．基本原理
1.转移概率：对于有限状态集合
，定义：
为从状态到状态
的
S
)
|
(
1
,
i
n
j
n
j
i
X
X
P
P
i
j
转移概率.
2.马尔可夫链：若
，即未来状
ij
i
n
j
n
i
i
n
i
n
j
n
P
X
X
P
X
X
X
X
P
n
)
|
(
)
,
,
,
|
(
1
0
1
1
0
1
态
只受当前状态
的影响，与之前的
无关.
1
n
X
n
X
0
2
1
,
,
,
X
X
X
n
n
3.完备事件组：如果样本空间
中一组事件组
符合下列两个条件：
}
,
,
{
2
1
n
A
A
A
（1）
；
n
j
i
j
i
A
A
j
i
,2,1
,
,
,
（2）
.
k
n
k
A
1
则称
是
的一个完备事件组，也称是
的一个分割.
}
,
,
{
2
1
n
A
A
A
4.全概率公式： 设
是一个完备事件组，则有
}
,
,
{
2
1
n
A
A
A
)
|
(
)
(
)
(
1
k
n
k
k
A
B
P
A
P
B
P
5.一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻
时，
0
t
位于点
，下一个时刻，它将以概率
或者
)
(
N
i
i
x
（
）向左或者向右平移一个单位. 若记状态
表示：在时刻该点位
1
),
1,0
(
i
t
X
t
于位置
，那么由全概率公式可得：
)
(
N
i
i
x
)
|
(
)
(
)
|
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
X
X
P
X
P
X
X
P
X
P
X
P
另一方面，由于
，代入上式可得：
)
|
(
,
)
|
(
1
1
1
1
i
t
i
t
i
t
i
t
X
X
P
X
X
P
.
1
1
i
i
i
P
P
P
进一步，我们假设在
与
处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁
0
x
)
,0
(
N
m
m
m
x
时被吸收，不再游走.于是，
.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.
1
,0
0
m
P
P
进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为
，原地不动，其
a
概率为
，向右平移一个单位，其概率为
，那么根据全概率公式可得：
b
c
1
1
i
i
i
i
cP
bP
aP
P
有了这样的理论分析，下面我们看全概率公式及以为随机游走模型在2019 年全国1 卷中
的应用.
二．典例分析
例1．（2023·新高考1 卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则
此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率
均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人
是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2 次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
i
（3）已知：若随机变量
服从两点分布，且
，则
i
X
1
1
0
,
1,2,
,
i
i
i
P X
P X
q i
n
．记前
次（即从第1 次到第
次投篮）中甲投篮的次数为
，求
1
1
n
n
i
i
i
i
E
X
q
n
n
Y
E Y
．
解析：（1）记“第次投篮的人是甲”为事件
，“第次投篮的人是乙”为事件
，
i
iA
i
iB
所以，
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
|
|
P B
P A B
P B B
P A P B
A
P B P B
B
.
0.5
1 0.6
0.5 0.8
0.6
（2）设
，依题可知，
，则
i
i
P A
p
1
i
i
P B
p
，
1
1
1
1
1
|
|
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
P A
P A A
P B A
P A P A
A
P B P A
B
即
，构造等比数列
，设
1
0.6
1 0.8
1
0.4
0.2
i
i
i
i
p
p
p
p
ip
，解得
，则
，又
，所以
1
2
5
i
i
p
p
1
3
1
1
2
1
3
5
3
i
i
p
p
1
1
1
1
1
,
2
3
6
p
p
是首项为
，公比为
的等比数列，即
．
1
3
ip
1
6
2
5
1
1
1
1
2
1
2
1
,
3
6
5
6
5
3
i
i
i
i
p
p
（3）因为
，
，所以当
时，
1
1
2
1
6
5
3
i
ip
1,2,
,
i
n
*
N
n
，故
．
1
2
2
1
1
5
2
5
1
2
6
3
18
5
3
1
5
n
n
n
n
n
E Y
p
p
p
5
2
( )
1
18
5
3
n
n
E Y
例2．（23 届杭州二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工
智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的
应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，
，
，
，
，…，那么
2
t
X
1
t
X
t
X
1
t
X
1
t
X
时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态
，即
．
t
X
1
2
1
1
,
,
,
t
t
t
t
t
t
P X
X
X
X
P X
X
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为
，且每局赌赢可
50%
以赢得1 元，每一局赌徒赌输的概率为
，且赌输就要输掉1 元．赌徒会一直玩下去，
50%
直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0 元，即赌徒输光；一种是
赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为
，赌博过程如下图
*
N ,
A A
A
B
的数轴所示．
当赌徒手中有n 元（
，
）时，最终输光的概率为
，请回答下列问题：
0
n
B
N
n
P n
（1）请直接写出
与
的数值．
0
P
P B
（2）证明
是一个等差数列，并写出公差d．
P n
（3）当
时，分别计算
，
时，
的数值，并结合实际，解释当
100
A
200
B
1000
B
P A
时，
的统计含义．
B
P A
解析：（1）当
时，赌徒已经输光了，因此
. 当
时，赌徒到了终止赌博
0
n
0
1
P
n
B
的条件，不再赌了，因此输光的概率
.
0
P B
（2）记M：赌徒有n 元最后输光的事件，N：赌徒有n 元上一场赢的事件,
,即
，
(
)
(
) (
|
)
(
) (
|
)
P M
P N P M N
P N P M N
1
1
( )
(
1)
(
1)
2
2
P n
P n
P n
所以
，所以
是一个等差数列，设
1
1
P n
P n
P n
P n
{
}
P n
1
P n
P n
d
，则
，累加得
，故
1
2
1
0
P n
P n
d
P
P
d
，,
(0)
P
n
n
P
d
，得
，
(0)
P B
P
Bd
1
d
B
（3）
，由
得
,即
,当
时，
100
A
0
P n
P
nd
0
P A
P
Ad
( )
1
A
P A
B
200
B
，当
时，
，当
时，
，因此可知久赌无赢
50%
P A
1000
B
90%
P A
B
1
P A
家，
即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会
的概率输光．
100%
例3.（2023 广东茂名二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具
备“无记忆”的性质，即第
次状态的概率分布只跟第
次的状态有关，与第
1
n
n
次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形
1,
2,
3,
n
n
n
状、质地相同的2 个红球和1 个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行
次操作后，记甲盒子中黑球个数为
，甲盒中恰有1 个黑球的概率为
，恰有
*
N
n n
n
X
na
2 个黑球的概率为
.
nb
（1）求
的分布列；
1
X
（2）求数列
的通项公式；
na
（3）求
的期望.
n
X
解析：（1）由题可知，
的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
1
X
;
;
，
1
1
2
2
0
3
3
9
P X
1
1
1
2
2
5
1
3
3
3
3
9
P X
1
2
1
2
2
3
3
9
P X
故
的分布列如下表：
1
X
1
X
0
1
2
P
2
9
5
9
2
9
（2）由全概率公式可知：
1
1
n
P X
1
1
1
1
1
2
1
2
n
n
n
n
n
n
P X
P X
X
P X
P X
X
1
0
1
0
n
n
n
P X
P X
X
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
0
3
3
3
3
3
3
n
n
n
P X
P X
P X
，
5
2
2
1
2
0
9
3
3
n
n
n
P X
P X
P X
即：
，所以
，所以
，
1
5
2
2 1
9
3
3
n
n
n
n
n
a
a
b
a
b
1
1
2
9
3
n
n
a
a
1
3
1
3
5
9
5
n
n
a
a
又
，所以，数列
为以
为首项，以
为公比的等比
1
1
5
1
9
a
P X
3
5
na
1
3
2
5
45
a
1
9
数列，所以
，即：
.
1
3
2
1
2
1
5
45
9
5
9
n
n
na
3
2
1
5
5
9
n
na
（3）由全概率公式可得：
1
2
n
P X
1
1
1
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
P X
P X
X
P X
P X
X
,
1
0
2
0
n
n
n
P X
P X
X
2
1
1
1
1
2
0
0
3
3
3
n
n
n
P X
P X
P X
即：
,又
,所以
,
1
2
1
9
3
n
n
n
b
a
b
3
2
1
5
5
9
n
na
1
1
2 3
2
1
3
9 5
5
9
n
n
n
b
b
所以
,又
,
1
1
1
1
1
]
1
1
1
1
[
5
5
9
3
5
5
9
n
n
n
n
b
b
1
1
2
2
9
b
P X
所以
,所以
,所以
,
1
1
1
1
2
1
1
0
5
5
9
9
5
45
b
1
1
1
0
5
5
9
n
nb
1
1
1
5
5
9
n
nb
所以
.
2
0 1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
E X
a
b
a
b
a
b
例4．足球是一项大众喜爱的运动.2022 卡塔尔世界杯揭幕战将在2022 年11 月21 日打
响，决赛定于12 月18 日晚进行，全程为期28 天.
校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球
时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每
次传球都能被接到．记开始传球的人为第1 次触球者，第
次触球者是甲的概率记为
，
n
nP
即
．
1
1
P
（1）求
（直接写出结果即可）；
3P
（2）证明：数列
为等比数列，并判断第19 次与第20 次触球者是甲的概率的大
1
4
nP
小．
解析：（1）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲
的三人中的一人，故传给甲的概率为
，故
．
1
3
3
1
3
P
（2）第
次触球者是甲的概率记为
，则当
时，第
次触球者是甲的概率为
n
nP
2
n
1
n
1
nP
，
第
次触球者不是甲的概率为
，则
，
1
n
1
1
nP
1
1
1
1
1
0
1
1
3
3
n
n
n
n
P
P
P
P
从而
，又
，
是以
为首项，公比为
的等比数
1
1
1
1
4
3
4
n
n
P
P
1
1
3
4
4
P
1
4
nP
3
4
1
3
列．
则
，∴
，
，
1
3
1
1
4
3
4
n
nP
18
19
3
1
1
1
4
3
4
4
P
19
20
3
1
1
1
4
3
4
4
P
，故第19 次触球者是甲的概率大
19
20
P
P
例5．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即
第
次状态的概率分布只跟第
次的状态有关，与第
次状态是“没有任
1
n
n
1,
2,
3,
n
n
n
何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2 个红球和1 个黑
球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行
次操作后，记甲盒子中黑球个数
*
N
n n
为
，甲盒中恰有1 个黑球的概率为
，恰有2 个黑球的概率为
.
n
X
na
nb
（1）求
的分布列；
1
X
（2）求数列
的通项公式；
na
（3）求
的期望.
n
X
解析：（1）由题可知，
的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
1
X
;
;
，
1
1
2
2
0
3
3
9
P X
1
1
1
2
2
5
1
3
3
3
3
9
P X
1
2
1
2
2
3
3
9
P X
故
的分布列如下表：
1
X
1
X
0
1
2
P
2
9
5
9
2
9
（2）由全概率公式可知：
1
1
n
P X
1
1
1
1
1
2
1
2
n
n
n
n
n
n
P X
P X
X
P X
P X
X
1
0
1
0
n
n
n
P X
P X
X
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
0
3
3
3
3
3
3
n
n
n
P X
P X
P X
，即：
，
5
2
2
1
2
0
9
3
3
n
n
n
P X
P X
P X
1
5
2
2 1
9
3
3
n
n
n
n
n
a
a
b
a
b
所以
，所以
，又
，所以，数列
1
1
2
9
3
n
n
a
a
1
3
1
3
5
9
5
n
n
a
a
1
1
5
1
9
a
P X
为以
为首项，以
为公比的等比数列，所以
3
5
na
1
3
2
5
45
a
1
9
，
1
3
2
1
2
1
5
45
9
5
9
n
n
na
即：
.
3
2
1
5
5
9
n
na
（3）由全概率公式可得：
1
2
n
P X
1
1
1
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
P X
P X
X
P X
P X
X
,
1
0
2
0
n
n
n
P X
P X
X
2
1
1
1
1
2
0
0
3
3
3
n
n
n
P X
P X
P X
即：
,又
,所以
,
1
2
1
9
3
n
n
n
b
a
b
3
2
1
5
5
9
n
na
1
1
2 3
2
1
3
9 5
5
9
n
n
n
b
b
所以
,又
,
1
1
1
1
1
]
1
1
1
1
[
5
5
9
3
5
5
9
n
n
n
n
b
b
1
1
2
2
9
b
P X
所以
,所以
,
1
1
1
1
2
1
1
0
5
5
9
9
5
45
b
1
1
1
0
5
5
9
n
nb
所以
,所以
.
1
1
1
5
5
9
n
nb
2
0 1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
E X
a
b
a
b
a
b
例6（山东省济南市2023 高三下学期开学考试）甲、乙两人进行抛掷骰子游戏，两人轮流
抛掷一枚质地均匀的骰子．规定：先掷出点数6 的获胜，游戏结束．
（1）记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X 的分布
列和期望；
（2）已知甲先掷，求甲恰好抛掷n 次骰子并获得胜利的概率．
解析：（1）依题意，抛掷骰子一次获胜的概率
，
的可能值为1，2，3，4，
1
6
p
X
，
，
，
1
(
1)
6
P X
1
1
5
(
2)
(1
)
6
6
36
P X
2
1
1
25
(
3)
(1
)
6
6
216
P X
，
3
1
125
(
4)
(1
)
6
216
P X
所以
的分布列为；
X
X
1
2
3
4
P
1
6
5
36
25
216
125
216
期望
.
1
5
25
125
671
(
)
1
2
3
4
6
36
216
216
216
E X
（2）设甲抛掷第n 次骰子且不获胜的事件的概率为
，依题意，
，当
,
N
na n
1
5
6
a
2
n
时，
，因此数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，则
1
1
5
5
25
6
6
36
n
n
n
a
a
a
{
}
na
5
6
25
36
，当
时，甲恰好抛掷n 次骰子并获得胜利的概率
1
5
25
(
)
6
36
n
na
2
n
，显然当
时，
满足上式，
2
1
1
5
1
5
25
5
1
1
25
(
)
(
)
6
6
6
36
6
6
6
36
n
n
n
n
P
a
1
n
1
1
6
P
所以甲恰好抛掷n 次骰子并获得胜利的概率为
.
1
1
25
(
)
,
N
6
36
n
nP
n
三．习题演练
1.（23 届佛山二模）有
个编号分别为1，2，…，n 的盒子，第1 个盒子中有2 个白球1
n
个黑球，其余盒子中均为1 个白球1 个黑球，现从第1 个盒子中任取一球放入第2 个盒
子，再从第2 个盒子中任取一球放入第3 个盒子，以此类推，则从第2 个盒子中取到白球
的概率是______，从第
个盒子中取到白球的概率是______．
n
解析：记事件
表示从第
个盒子里取出白球，则
，
iA
1,2,
,
i i
n
1
2
3
P A
，
1
1
1
1
3
P A
P A
所以
，
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
1
5
3
3
3
3
9
P A
P A A
P A A
P A P A A
P A P A A
，
3
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
1
1
1
14
3
3
3
3
27
P A
P A
P A A
P A
P A A
P A
P A
P A
，
4
3
4
3
3
4
3
3
3
3
2
1
1
1
3
3
3
3
P A
P A
P A A
P A
P A A
P A
P A
P A
进而可得
，
，又
，
1
1
1
3
3
n
n
P A
P A
1
1
1
1
2
3
2
n
n
P A
P A
1
1
1
2
6
P A
，
，所以
是首项为
，公比为
的等
2
1
1
2
18
P A
2
1
1
1
1
2
3
2
P A
P A
1
2
n
P A
1
6
1
3
比数列，所以
，即
，故答案为：
；
1
1
1
1
1
1
2
6
3
2
3
n
n
n
P A
1
1
1
2
3
2
n
n
P A
5
9
.
1
1
1
2
3
2
n
2．从甲､乙､丙等5 人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球
传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球
传出.
（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量
，求
的分布列；
X
X
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1 次由甲将球传出，记
次传球后球
n
在甲手中的概率为
，
,
1,2,3,
np n
①直接写出
的值；
1
2
3
p
p
p
，，
②求
与
的关系式
，并求
.
1
np
np
*
(
)
n
N
np
*
(
)
n
N
解析：（1）
可能取值为
，
；
；
X
1,2,3
1
2
3
2
3
5
3
1
10
C C
p X
C
2
1
3
2
3
5
3
2
5
C C
p X
C
，所以随机变量
的分布列为
3
0
3
2
3
5
1
3
10
C C
p X
C
X
X
1
2
3
P
3
10
3
5
1
10
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且
次传球后球在甲手中的概率为
n
，则有
记
表示事件“经过
次传球后，球
,
1,2,3,
np n
1
0,
p
2
2
2
1 ,
2
2
p
3
3
2
1 ,
2
4
p
n
A
n
在甲手中”，
所以
1
1
1
n
n
n
n
n
A
A
A
A
A
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
p
P A
A
A
A
P A
A
P A
A
1
1
1
1
1
0
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P A
P A
A
P A
P A
A
p
p
p
∣
∣
即
，所以
，且
，所以数列
1
1
1 ,
1,2,3
2
2
n
n
p
p
n
1
1
1
1
3
2
3
n
n
p
p
1
1
1
3
3
p
表示以
为首项，
为公比的等比数列，所以
所以
1
3
np
1
3
1
2
1
1
1
1
3
3
2
n
np
，即
次传球后球在甲手中的概率是
.
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
3
3
2
n
n
np
n
1
1
( 1)
1
3
2
n
n
3.（2019 全国1 卷）．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更
有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对
于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下
一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认
为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠
治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得
分；若施以乙药的白鼠治愈且施
1
以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得
分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0
1
分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α 和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求
的分布列；
X
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，
表示“甲药的累计得分为i
(
0,1,
,8)
ip i
时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则
，
，
0
0
p
8
1
p
1
1
i
i
i
i
p
ap
bp
cp
，其中
，
，
．假设
，
(
1,2,
,7)
i
(
1)
a
P X
(
0)
b
P X
(
1)
c
P X
0.5
．
0.8
（i）证明：
为等比数列；
1
{
}
i
i
p
p
(
0,1,2,
,7)
i
（ii）求
，并根据
的值解释这种试验方案的合理性．
4p
4p
解析：（1）由题意可知
所有可能的取值为：
，
，
X
1
0
1
；
；
1
1
P X
0
1
1
P X
1
1
P X
则
的分布列如下：
X
X
1
0
1
P
1
1
1
1
（2）
，
0.5
0.8
，
，
0.5 0.8
0.4
a
0.5 0.8
0.5 0.2
0.5
b
0.5 0.2
0.1
c
（i）
1
1
1,2,
,7
i
i
i
i
p
ap
bp
cp
i
即
1
1
0.4
0.5
0.1
1,2,
,7
i
i
i
i
p
p
p
p
i
整理可得：
1
1
5
4
1,2,
,7
i
i
i
p
p
p
i
1
1
4
1,2,
,7
i
i
i
i
p
p
p
p
i
是以
为首项，
为公比的等比数列
1
i
i
p
p
0,1,2,
,7
i
1
0
p
p
4
（ii）由（i）知：
1
1
0
1
4
4
i
i
i
i
p
p
p
p
p
，
，……，
7
8
7
1 4
p
p
p
6
7
6
1 4
p
p
p
0
1
0
1 4
p
p
p
作和可得：
8
8
0
1
7
8
0
1
1
1
1 4
4
1
4
4
4
1
1 4
3
p
p
p
p
p
1
8
3
4
1
p
4
4
0
1
2
3
4
4
0
1
1
8
4
1 4
4
1
3
1
1
4
4
4
4
1 4
3
4
1
4
1
257
p
p
p
p
p
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率
4p
为0.8 时，认为甲药更有效的概率为
，此时得出错误结论的概率非常
4
1
0.0039
257
p
小，说明这种实验方案合理.
注：1.虽然此时学生未学过全概率公式，但命题人也直接把
给
1
1
i
i
i
i
P
c
P
b
P
a
P
出，并没有让考生推导这个递推关系，实际上，由前面的基本原理，我们可以看到，这就
是一维随机游走模
