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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（广东卷）01·参考答案
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
D
D
C
D
B
B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
ABD
ABD
BCD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
【解析】（1）因为
，
可设
，则
，
所以
； （5 分）
（2）由（1）知，
，
，所以
，
设
外接圆的半径为
，
则由正弦定理
，所以
,
所以
外接圆的半径为
；（9 分）
（3）因为
，由（1）知，
，则
，
所以
.（13 分）
16．（15 分）
【解析】（1）依题意，
，即
，由点
在
上，得
，
解得
，
，即
，
，半焦距
，因此双曲线
的方程为
，（5 分）
点
，
，在
中，设点
到直线
的距离为，
由
，解得
，
所以点
到直线
的距离为
.（7 分）
（2）记直线
，的倾斜角分别为
和
，由（1）得直线
的斜率
，
而
，则直线的斜率
，
所以直线的方程为
.（15 分）
17．（15 分）
【解析】（1）因为平面
平面
，平面
平面
，
在平面
内过
作
交
于
，则
平面
.
同理，因为平面
平面
，平面
平面
，
在平面
内过
作
交
于
，则
平面
.
又因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，而平面
平面
，
所以
重合，所以
平面
.（3 分）
因为
平面
，所以
，
因为
，点
为
的中点，所以
.
因为
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
．（5 分）
（2）如图，因为
平面
，取底面
的外心为
，
，则
，
过点
做
的平行线，在此线上取点
，使得
，则
为三棱锥
外接球的球心，
分析可得外接球的半径
，
所以三棱锥
外接球的体积为
．（8 分）
（3）如图，以点B 为坐标原点，直线AB，BD 分别为z 轴，y 轴，过点B 与平面ABD 垂直的直线为x
轴，建立空间直角坐标系，
则
，（9 分）
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
取
，则
，所以
，（11 分）
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
取
，则
，所以
，（13 分）
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
．（15 分）
18．（17 分）
【解析】（1）由题可知
，令
，得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
取得极大值
，
没有极小值. （4 分）
（2）设
，根据题意，当
时，
恒成立.
又
，
若
，则
，令
，得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，不符合题意，（6
分）
若
，令
，得
或
.
若
，则
恒成立，所以
在
上单调递增，
又当
时，
，不符合题意，
若
，则
，当
时，
，所以
在
上单调递增，（8 分）
当
时，
，不符合题意 ，
若
，则
，当
时，
，
当
时，
，所以
在
和
上单调递增，在
上单调
递减，
又因为
，所以
在
上成立，
要使
在
上也成立，只需
，即
，得
，
故
的取值范围是
.（10 分）
（3）由（1）可知
在
上单调递增，在
上单调递减，且当
时，
.
又由（2）知当
时，
，故可作出
，
在
上的大致图象如下，
除了点
，
的图象都在
的图象的下方，（13 分）
当
时，直线
与曲线
有两个交点，横坐标分别为
，
，
直线
与曲线
有两个交点，横坐标分别为
和
，
由图可知
.（17 分）
19．（17 分）
【解析】（1）由
及
知符合条件的集合
的个数即为集合
的不含元素1 且必须含有2 的
非空子集的个数，
等于
；（4 分）
（2）依题意
又
，故
解之得
；（9 分）
（3）①当
，且
，
时，集合中一定有5，8，一定没有1，2，3，4，9，10，可有可无
的是6，7，
故符合条件的集合
的个数为
，
所以
（11 分）
②易知
又
的可能取值为
，
，…，
，
，
，…，
，
，
，…，
，…，
，
（12 分）
故
又随机变量
是随机变量
的等差中项，故
（15 分）
所以
依题意
，故
，则
，
所以小帅的该项健康指标不正常. （17 分）
