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专题03 函数的概念与性质
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 函数的有关概念
1、函数的概念：一般地，设
是非空的数集，如果对于集合
中的任意一个数
，按照某种确定的对
应关系
，在集合
中都有唯一确定的
和它对应，那么就称
为从集合
到集合
的一个函
数，记作
.
2、函数的三要素：
（1）在函数
中，
叫做自变量，
的取值范围
叫做函数的定义域；
（2）与
的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B
的子集．
（3）函数的对应关系：
.
3、相等函数与分段函数
（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等
的依据．
1
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（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量
取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为
分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分
构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。
知识点2 函数的单调性
1、单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1, x2，
当x1<x2 时，都有f ( x1)<f ( x2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数。
当x1<x2 时，都有f ( x1)>f ( x2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。
单调性的图形趋势（从左往右）
上升趋势 下降趋势
2、函数的单调区间
若函数y＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D
叫做y＝f(x)的单调区间．
【注意】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D⊆定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
3、函数单调性的性质
若函数f ( x)与g( x)在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：
（1）f ( x)与f ( x)+C （C 为常数）具有相同的单调性.
（2）f ( x)与−f ( x)的单调性相反.
（3）当a>0 时，af (x)与f ( x)单调性相同；当a<0 时，af (x)与f ( x)单调性相反.
（4）若f ( x)≥0，则f ( x)与√f ( x)具有相同的单调性.
（5）若f ( x)恒为正值或恒为负值，则当a>0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相反的单调性；
当a<0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相同的单调性.
2
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（6）f ( x)与g( x)的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗+ ↗=↗;（2）↘+ ↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
（7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，
若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
知识点3 函数的奇偶性
1、函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个x，都
有
，那么函数f(x)是偶函数
关于y 轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
有
，那么函数
是奇函数
关于原点对称
2、函数奇偶性的几个重要结论
（1）
为奇函数⇔
的图象关于原点对称；
为偶函数⇔
的图象关于y 轴对称．
（2）如果函数
是偶函数，那么
．
（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即
，x∈D，其中定义域D 是关于原点对称的
非空数集．
（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于
原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
知识点4 函数的周期性
1、周期函数的定义
对于函数
，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有
，那
么就称函数
为周期函数，称T 为这个函数的周期．
2、最小正周期：如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
的最小正周期．
知识点5 函数的对称性
1、关于线对称
若函数
满足
，则函数
关于直线
对称，特别地，当a＝b＝0 时，
函数
关于y 轴对称，此时函数
是偶函数．
2、关于点对称
若函数
满足
2
2
f
a
x
b
f x ，则函数
关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0
3
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时，
，则函数
关于原点对称，此时函数
是奇函数．
重难点01 求函数值域的七种方法
法一、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．
函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
【典例1】（23-24 高三·全国·专题）函数
（
）的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三·全国·专题）函数
的定义域为
，则值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
法二、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数
形结合．
（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便
于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．
（2）
f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后
确定靠下(或靠上)的部分为该
f x 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．
【典例1】（23-24 高三上·河南新乡·月考）对
，用
表示
，
中的较大者，记为
，若函数
，则
的最小值为 .
【典例2】（23-24 高三上·重庆北碚·月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命
名的“高斯函数”为：对于实数
，符号
表示不超过
的最大整数，例如
，
，定义函
数
，则函数
的值域为 .
法三、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.
【典例1】（23-24 高三上·全国·专题）函数
的值域是（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
【典例2】（2023 高三·江西萍乡·开学考）函数
的值域为 .
法四、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式
化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．
（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．
（2）换元的作用有两个：
①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即
可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．
②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理
【典例1】（2023 高三上·广东河源·开学考试）函数
的最大值为 .
【典例2】（23-24 高三·全国·专题）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
法五、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，
形如
ax
b
y
cx
d 或
2
ax
bx
e
y
cx
d
（a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法
以
ax
b
y
cx
d 为例，解题步骤如下：
第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成
a
e
y
c
cx
d 的形式，
第二步，求出函数
e
y
cx
d 在定义域范围内的值域，进而求出
ax
b
y
cx
d 的值域。
【典例1】（2024 高三·全国·专题练习）函数
的值域为 ．
【典例2】（2024 高三下·北京怀柔·模拟预测）已知函数
，则对任意实数x，函数
的值
域是（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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法六、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
f
ex
dx
c
bx
ax
y
2
2
将函数式化成关于x 的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域。应
用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。
另外，此种形式还可使用分离常数法解法。
【典例1】（23-24 高三·全国·专题练习）求函数
的值域.
【典例2】（23-24 高三上·全国·专题练习）函数
，
的值域为 ．
法七、导数法：对可导函数
求导，令
，求出极值点，判断函数的单调性：
如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处；
如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。
【典例1】（23-24 高三上·辽宁·开学考试）函数
在区间
上的最大值为
，
【典例2】（23-24 高三上·山东济宁·月考）函数
的最小值
重难点02 常见奇函数、偶函数的类型及应用
1、
（
）为偶函数；
2、
（
）为奇函数；
3、
（
）为奇函数；
4、
（
）为奇函数；
5、
（
）为奇函数；
6、
为偶函数；
7、
为奇函数；
【典例1】（23-24 高三下·四川南充·二模）已知函数
，则函数
的图象
（ ）
A．关于点
对称
B．关于点
对称
6
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C．关于点
对称
D．关于点
对称
【典例2】（23-24 高三下·重庆·模拟预测）（多选）函数
，
，那么
（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
重难点03 函数周期性的常用结论及应用
1、（a 是不为0 的常数）
（1）若
f x
a
f x ，则
T
a ； （2）若
f x
a
f x
a ，则
2
T
a ；
（3）若
f x
a
f x ，则
2
T
a ； （4）若
1
f x
a
f x ，则
2
T
a ；
（5）若
1
f x
a
f x ，则
2
T
a ； （6）若
f x
a
f x
b ，则
T
a
b （
a
b ）；
2、函数对称性与周期性的关系
（1）若函数
关于直线
与直线
对称，那么函数的周期是
；
（2）若函数
关于点
对称，又关于点
对称，那么函数的周期是
；
（3）若函数
关于直线
，又关于点
对称，那么函数的周期是
.
3、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系
（1）①函数
是偶函数；②函数图象关于直线
对称；③函数的周期为
.
（2）①函数
是奇函数；②函数图象关于点
对称；③函数的周期为
.
（3）①函数
是奇函数；②函数图象关于直线
对称；③函数的周期为
.
（4）①函数
是偶函数；②函数图象关于点
对称；③函数的周期为
.
其中
，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
【典例1】（23-24 高三下·河北·模拟预测）定义在
上的函数
周期为
，且
为奇函数，则
（ ）
A．
为偶函数
B．
为偶函数
C．
为奇函数
D．
为奇函数
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【典例2】（23-24 高三下·江西·月考）（多选）已知
的定义域为
，若
的图象关于直线
对
称，且
为奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
重难点04 抽象函数的性质综合应用
1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某
处的函数值或某抽象代数式的值。常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令
等特
殊值求抽象函数的函数值。
2、判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
①若给出的是“和型”抽象函数
y
x
f
，判断符号时要变形为：
1
1
1
2
1
2
)
(
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
2
1
2
1
2
)
(
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
;
②若给出的是“积型”抽象函数
xy
f
，判断符号时要变形为：
1
1
2
1
1
2
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
1
2
2
1
2
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
.
3、求抽象函数解析式的方法
①换元法：用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出f(x)；
②凑合法：在已知f (g( x))=h( x)的条件下，把h( x)并凑成以g( x)表示的代数式，再利用代换即可求
f (x)；
③待定系数法：已知函数类型, 设定函数关系式, 再由已知条件，求出出关系式中的未知系数；
④利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式；
⑤赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f ( x) 的表达式；
⑥方程组法：一般等号左边有两个抽象函数(如f ( x),f (−x))，将左边的两个抽象函数看成两个变量，变
换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求f ( x)的解析式.
【典例1】（23-24 高三下·河南·月考）（多选）已知非常数函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
或
C．
是
上的增函数
D．
是
上的增函数
【典例2】（23-24 高三上·福建莆田·开学考试）已知函数
的定义域为R，并且满足下列条件：对任意
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x，y∈R，都有
，当
时，
.
（1）证明：
为奇函数；
（2）若
，解不等式
.
一、求函数定义域的依据
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围
1、分式的分母不能为零.
2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即
(
2 ,
)
n x
n
k k
N
其中
中
0,
x
奇次方根的被开方数取全体实数，即
(
2
1,
)
n x
n
k
k
N
其中
中，x
R
.
3、零次幂的底数不能为零，即
0
x 中
0
x
.
4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交
集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
【典例1】（23-24 高三下·四川南充·三模）函数
的定义域为 .
【典例2】（23-24 高三下·北京·开学考）函数
的定义域为 ．
二、函数解析式的四种求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
2、换元法：主要用于解决已知
f g x
的解析式，求函数
f x 的解析式的问题
（1）先令
g x
t ，注意分析t 的取值范围；
（2）反解出x，即用含t 的代数式表示x；
（3）将
f g x
中的x 度替换为t 的表示，可求得
f t 的解析式，从而求得
f x 。
3、配凑法：由已知条件
f g x
F x ，可将
F x 改写成关于
g x 的表达式，
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然后以x 替代g(x)，便得
f x 的解析式．
4、方程组法：主要解决已知
f x 与
f
x 、
1
f
x
、
1
f
x
……的方程，求
f x 解析式。
例如：若条件是关于
f x 与
f
x 的条件（或者与
1
f
x
）的条件，
可把x 代为x （或者把x 代为x
1
）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出
f x
【典例1】（23-24 高三上·甘肃兰州·月考）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三上·全国·专题练习）根据下列条件，求函数
的解析式
（1）已知
是一次函数，且满足
；
（2）已知函数
满足条件
对任意不为零的实数
恒成立
三、分段函数常见题型及解题方法
1、求函数值问题：根据所给自变量值的大小，选择相应的对应关系求值，有时每段交替使用求值。
2、解方程或解不等式：分类求出各子区间上的解，再将它们合并在一起，但要检验所求是否符合相应各
段自变量的取值范围。
3、求最值或值域：先求出各段上的最值或值域，然后进行比较得出最大值、最小值，合并得出值域。
4、图象及其应用：根据每段函数的定义域和解析式在同一坐标系中作出图象，作图时要注意每段图象端
点的虚实。
【典例1】（23-24 高三上·江苏连云港·月考）已知函数
则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三上·广东深圳·月考）已知函数
，则
的最大值为
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（23-24 高三上·河北廊坊·期中）已知函数
则满足
的
的取值
范围是 ．
四、函数单调性的应用及方法
1、比较函数值的大小：先将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决。
2、解函数不等式：根据函数的单调性条件脱去“
”，转化为自变量间的大小问题，应注意函数的定义
域。
3、利用函数的单调性求参数
（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参
数；
（2）需注意若函数在区间
上是单调的，则该函数在此区间上的任意子集区间上也是单调的。
【典例1】（23-24 高三上·天津南开·月考）已知奇函数
在
上是减函数，若
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三上·福建福州·月考）已知
为定义在
上的偶函数，在区间
上单调递减，
且满足
，则不等式
的解集为 .
【典例3】（23-24 高三上·全国·月考）若函数
在
上单调递增，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
五、函数的奇偶性及应用
1、判断函数的奇偶性：（1）定义法；（2）图像法；（3）性质法。
2、利用奇偶性求值：将待求函数值或不等式利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解。
3、根据函数的奇偶性求解解析式中的参数：根据
得到关于待求参数的恒等式，由系数
的对等行得参数的方程（组），进而求得参数的值。
4、涉及两个奇偶函数的和或差的解析式：求奇偶函数的解析式需要用
代替
后，利用奇偶函数的性质
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构造方程组求解。
【典例1】（23-24 高三下·重庆·三模）设函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三下·山东聊城·二模）已知函数
为
上的偶函数，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（23-24 高三下·陕西西安·模拟预测）已知函数
为奇函数，则实数
的值
为（ ）
A．
B．
C．1
D．
易错点1 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”
点拨：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为：
1、已知
)
(x
f
的定义域为A ，求
))
(
(
x
g
f
的定义域，其实质是
)
(x
g
的取值范围为A ，求x 的取值范围;
2、已知
))
(
(
x
g
f
的定义域为B ，求
)
(x
f
的定义域，其实质是已知
))
(
(
x
g
f
中的x 的取值范围为B ，求
)
(x
g
的范围（值域），此范围就是
)
(x
f
的定义域.
3、已知
))
(
(
x
g
f
的定义域，求
))
(
(
x
h
f
的定义域，要先按（2）求出
)
(x
f
的定义域.
【典例1】（23-24 高三上·河南南阳·月考）（1）已知y＝f(x)的定义域为[0,1]，求函数y＝f(x2+1)的定义域；
（2）已知y＝f(2x
1)
﹣
的定义域为[0,1]，求y＝f(x)的定义域；
【典例2】（23-24 高三上·黑龙江·期中）已知函数
的定义域是
，则函数
的
定义域是（ ）
12
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A．
B．
C．
D．
易错点2 忽略二次型式子中最高项的系数为0
点拨：在二次型函数
中，当
时为二次函数，其图象为抛物线；当
时为
一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意
项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨
论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。
【典例1】（23-24 高三上·重庆沙坪坝·月考）已知函数
的定义域为
，则实数k 的取
值范围为（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三上·陕西汉中·月考）函数
的定义域为
，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
易错点3 判断函数奇偶性时忽视定义域
点拨：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。
在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x 都有
，则
为奇函数；如果
对定义域内任意x 都有
，则
为偶函数，如果对定义域内存在
使
，
则
不是奇函数；如果对定义域内存在
使
，则
不是偶函数。
【典例1】（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的为（
）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x）＝（x＋1）
；
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（2）f（x）
（3）f（x）＝
.
易错点4 忽视抽象函数的定义域
点拨：解抽象函数不等式时需要注意函数的定义域，需在函数定义域前提下利用函数的单调性与奇偶性进
行求解。
【典例1】（23-24 高三下·广东佛山·开学考试）已知函数
在定义域
上是增函数，且
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三上·全国·专题练习）已知定义在
上的函数
是减函数，则满足
的x 的取值范围是 ．
易错点5 忽略分段函数单调性的分段点
点拨：分段函数的单调性与分段点息息相关，在判断分段函数的单调性或者根据分段函数单调性解参数的
题目中，除了考虑每一段的单调性还需要单独考虑分段点的情况。
【典例1】（23-24 高三下·重庆·开学考试）已知函数
在
上为减函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三上·江西上饶·月考）已知实数
且
,函数
在
上是增函
数,则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
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