229
2026 年高二暑假讲义A 版
椭圆及其标准方程
1、椭圆的定义：
平面内一个动点P 到两个定点
1F 、
2
F 的距离之和等于常数
)
2
(
2
1
2
1
F
F
a
PF
PF
，这个动点
P 的轨迹叫椭圆. 这两个定点（
1F ,
2
F ）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（
1
2
|
|
F F
）叫作椭圆的焦距.
说明：对定义中限制条件“常数(大于
1
2
F F )”的理解
条件
结论
1
2
2a
F F
动点的轨迹是椭圆
1
2
2a
F F
动点的轨迹是线段
1
2
F F
1
2
2a
F F
动点不存在,因此轨迹不存在
2、定义的集合语言表述
集合
1
2
1
2
{
2
}
P
P PF
PF
a
F F
.
题型1
椭圆的定义及应用
题型4
点与椭圆的位置关系
题型2
求椭圆的标准方程
题型5
椭圆中的焦点三角形问题
题型3
判断方程是否表示椭圆
题型6
椭圆中的轨迹方程问题
知识点1
椭圆的定义
230
2026 年高二暑假讲义A 版
标准方程
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1(
0)
y
x
a
b
a
b
图形
焦点位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
焦点坐标
1
,0
F
c
,
2
,0
F c
1 0,
F
c
,
2 0,
F
c
焦距
1
2
2
F F
c
异同点
相同点:
大小、形状都相同,都有
0
a
b
,
0
a
c
；a ,b , c 的关系都满足
2
2
2
a
c
b
；
不同点：位置和焦点坐标不同
【常用结论】
①求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为
2
2
1(
0,
0,
)
x
y
m
n
m
n
m
n
；
②当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为
2
2
1(
0,
0,
)
Ax
By
A
B
A
B
且
，将点的坐标代入，
解方程组求得系数．
③与椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
有公共焦点的椭圆系方程为
2
2
2
2
2
1
)
x
y
b
a
b
;
④与椭圆
2
2
2
2
1(
0)
y
x
a
b
a
b
有公共焦点的椭圆系方程为
2
2
2
2
2
1
)
y
x
b
a
b
.
1、根据椭圆的定义判断点
0
0
(
,
)
P x
y
与椭圆的位置关系，有如下结论：
1
2
2
MF
MF
a
点P 在椭圆内部；
1
2
2
MF
MF
a
点P 在椭圆上；
1
2
2
MF
MF
a
点P 在椭圆外部．
知识点2
椭圆的标准方程
知识点3
点与椭圆的位置关系
231
2026 年高二暑假讲义A 版
2、对于点
0
0
(
,
)
P x
y
与椭圆的位置关系，有如下结论：
点
0
0
(
,
)
P x
y
在椭圆外
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
；
点
0
0
(
,
)
P x
y
在椭圆内
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
；
点
0
0
(
,
)
P x
y
在椭圆上
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
；
1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”．
2、性质：在椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
中,设
1F 和
2
F 是椭圆的两个焦点,
0
0
,
P x y
为椭圆上的任意
一点,
1
2
.
F PF
①焦点三角形的周长
2
2
L
a
c
②在焦点三角形
1
2
PF F 中,
2
1
2
2
1 cos
b
PF PF
③
1 2
2
2
0
1
1
sin
tan
2
2
PF F
S
PF PF
b
c y
④椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径,则焦半径的最大值为a
c
,最小值为a
c
.
例1、若椭圆
2
2
1
25
x
y
上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为（
）
A．5
B．2
C．7
D．6
【变式训练1】已知P 为椭圆
2
2
:
2
16
C x
y
上一点，
1
2
,
F F 分别为C 的左、右焦点，且
2
2
PF
，
则
1
2
PF
PF （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型1
椭圆的定义及应用
知识点4
焦点三角形
232
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练2】已知平面内两个定点
1( 3,0)
F
，
2(3,0)
F
，动点P 满足
1
2
|
|
|
| 10
PF
PF
，则点P 的轨
迹为（
）.
A．椭圆
B．线段
C．双曲线
D．抛物线
【变式训练3】已知椭圆
2
2
1
4
9
x
y
的两焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 为椭圆上任意一点，则
1
2
PF
PF
的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
【变式训练4】若椭圆
2
2
:
1
9
x
y
C
m
上一点到椭圆C 的两个焦点的距离之和为2m ，则m （
）
A．1
B．3
C．9
2
D．1或3
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
（2）c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
（3）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点
0,2
A
和
1 ,
3
2
B
【变式训练5】分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点
3,2
P
，且与椭圆
2
2
1
9
4
x
y
有相同的焦点．
(2)经过两点
2,
2
，
14
1, 2
．
题型2
求椭圆的标准方程
233
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练6】椭圆的两个焦点是
4,0
和
4,0 ，椭圆上的点M 到两个焦点的距离之和等于10，
则椭圆的标准方程是（
）
A．
2
2
1
5
4
x
y
B．
2
2
1
5
3
x
y
C．
2
2
1
25
9
x
y
D．
2
2
1
16
9
x
y
【变式训练7】已知曲线C 上任意一点
0
0
,
P x
y
都满足关系式
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2 5
x
y
x
y
，
则曲线C 的标准方程为（
）
A．
2
2
1
5
4
x
y
B．
2
2
1
4
3
x
y
C．
2
2
1
5
x
y
D．
2
2
1
4
5
x
y
例3、若方程
2
2
1
6
4
x
y
m
m
表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（
）
A．[4,5]
B．(4,6)
C．[5,
)
D．(5,6)
【变式训练8】已知曲线
2
2
1
2
1
x
y
m
m
表示椭圆，则实数m 的取值范围是（
）
A．( 1,2)
B．
1
1
1,
,2
2
2
C．(2,
)
D．(
, 1)
【变式训练9】“
3
k ”是“方程
2
2
1
3
2
4
x
y
k
k
表示焦点在y 轴上的椭圆”的（
）条件
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充分必要
D．既非充分又非必要
【变式训练10】已知方程
2
2
1
2
1
x
y
m
m
表示椭圆，则m 的取值范围是（
）
A．
, 2
B．
1,
C．
2,1
D．
, 2
1,
题型3
判断方程是否表示椭圆
234
2026 年高二暑假讲义A 版
例4、点
1,1 与椭圆
2
2
1
25
9
x
y
的位置关系为（
）
A．点在椭圆上
B．点在椭圆内
C．点在椭圆外
D．不确定
【变式训练11】若点
( 2,3)
A
是椭圆
2
2
2
: 2
x
E
y
m
某条弦的中点，则实数m 的值可以是（
）
A．11
B．10
C．3
D．4
【变式训练12】椭圆
2
2
1
16
8
x
y
的焦点为
1
2
,
F F ，点P 在此椭圆上，如果线段
1
PF 的中点在y 轴上，
那么
1
2
PF
PF 的值为（
）
A．1
3
B．3
2
C．2
D．3
例5、已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
E
，其左右焦点分别为
1
2
,
F F .点P 是椭圆E 上任意一点，则
1
2
PF F
的周长
为（
）
A．2
B．4
C．6
D．以上答案均不正确
【变式训练13】已知椭圆
2
2
:
1
4
2
x
y
的左焦点为F，A、B 为椭圆上两点，且直线AB 经过椭圆的
右焦点，则FAB
的周长为
．
【变式训练14】已知
1
2
,
F F 分别是椭圆
2
2
:
1
9
3
x
y
C
的左、右焦点，点P 在C 上，
1
2
90
PF F
，则
1
2
PF F
的面积为（
）
A．
6
B．2 2
C．2 6
D．4 2
题型4
点与椭圆的位置关系
题型5
椭圆中的焦点三角形问题
235
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练15】已知P 是椭圆
2
2
1
9
4
y
x
上的一点，
1
2
,
F F 是椭圆的两个焦点，且
1
2
60
F PF
，则
1
2
F PF
的面积是
.
【变式训练16】设
1
2
,
F F 为椭圆
2
2
:
1
8
4
x
y
C
的两个焦点，点P 在C 上，若
1
2
0
PF PF
，则
1
2
PF
PF
（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【变式训练17】已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 为椭圆C 上一点，若
1
2
7
2
PF
PF
，则
1
2
cos
F PF
（
）
A．5
7
B．3
7
C．5
14
D．3
14
例6-1、平面内，动点P 的坐标
,x y 满足方程
2
2
2
2
3
3
2 6
x
y
x
y
，则动点P 的
轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
24
21
x
y
B．
2
2
1
6
3
x
y
C．
2
2
1
6
3
x
y
D．
2
2
1
9
6
x
y
【变式训练18】已知圆
2
2
:
1
16
C
x
y
及点
1,0
A
，在圆C 上任取一点P ，连接CP ，将点P 折
叠到点A，记CP 与折痕l 的交点为M （如图）. 当点P 在圆C 上运动时，点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
4
3
x
y
B．
2
2
1
16
12
x
y
C．
2
2
1
4
3
x
y
D．
2
2
1
16
12
x
y
题型6
椭圆中的轨迹方程问题
236
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练19】已知动圆C 与圆
2
2
(
2)
25
x
y
内切，同时与圆
2
2
(
2)
1
x
y
外切，则动圆C 的
圆心轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
25
x
y
B．
2
2
1
25
24
x
y
C．
2
2
1
9
x
y
D．
2
2
1
9
5
x
y
例6-2、已知曲线
2
2
:
16
C x
y
，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP，P为垂足（若P 在x 轴上，
P即为P ），则线段PP的中点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
16
4
x
y
B．
2
2
1
16
8
x
y
C．
2
2
1
16
4
y
x
D．
2
2
1
16
8
y
y
【变式训练20】已知P 是椭圆
2
2
1
4
2
x
y
上的动点，过P 作y 轴的垂线，垂足为A ，若动点B 满足
3
PB
PA，则动点B 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
6
2
x
y
B．
2
2
1
16
2
x
y
C．
2
2
1
8
2
x
y
D．
2
2
1
12
2
x
y
【变式训练21】在圆
2
2
1
x
y
上任取一点P，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，M 是线段PD
上的点，且
1
3
PM
PD
，当点P 在圆上运动时，则点M 的轨迹方程是（
）
A．
2x +
2
9
4
y =1(y
0
)
B．
2x +
2
4
9
y =1(y
0
)
C．
2y +
2
9
4
x =1(y
0
)
D．
2y +
2
4
9
x =1(y
0
)
一、单选题
1、若椭圆
2
2
1
4
9
x
y
：
上一点P 与焦点
1F 的距离为1，则点P 与另一个焦点
2
F 的距离是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
2、已知动点
,
M x y 满足
2
2
2
2
3
3
6
x
y
x
y
，则动点M 的轨迹是（
）
A．射线
B．直线
C．线段
D．椭圆
3、椭圆
2
2
:
1
16
25
x
y
C
的两个焦点为
1F ，
2F ，椭圆C 上有一点P，则
1
2
PF F
的周长为（
）
A．12
B．18
C．16
D．20
237
2026 年高二暑假讲义A 版
4、若方程
2
2
1
3
1
x
y
m
m
表示椭圆，则实数m 的取值范围为（
）
A．
1,3
B．
3,1
C．
3,
1
1,1
D．
, 3
1,
5、已知曲线C：
2
2
9
x
y
（
0
y
），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段
'
PP ，P' 为垂足，若点M
满足
2
PM
MP'
，则点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
9
3
x
y
（
0
y
）
B．
2
2
1
9
x
y
（
0
y
）
C．
2
2
1
9
3
y
x
（
0
y
）
D．
2
2
1
9
y
x
（
0
y
）
6、已知F 是椭圆
2
2
:
1
2
x
C
y
的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点
4,4
Q
，则PQ
PF
的最大值
为（
）
A．5
2 2
B．5
2 2
C．3
2 2
D．3
2 2
二、多选题
7、已知直线:
4
l mx
ny
与圆
2
2
:
4
O x
y
相切，椭圆
2
2
:
1
9
5
x
y
C
，则（
）
A．点
( , )
P m n 在圆O 内
B．点
( , )
P m n 在圆O 上
C．点
( , )
P m n 在椭圆C 内
D．点
( , )
P m n 在椭圆C 上
8、已知圆
2
2
1 :
2
4
C
x
y
，圆
2
2
2 :
4
0
C
x
x
y
a
，则下列说法正确的是（
）
A．
4
a
B．若圆
1
C 与圆
2
C 有且仅有1 个公共点，则
0
a
C．若圆
1
C 与圆
2
C 相交弦长为4，则
16
a
D．当
32
a
时，若动圆M 与圆
1
C 外切，与圆
2
C 内切，则点M 的轨迹方程为
2
2
1
16
4
x
y
三、填空题
9、已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，过点
2
F 的直线与C 交于A ，B 两点，
则
1
, ,
A B F 三点能构成边长为4 的正三角形时，C 的方程为
．
10、已知椭圆
2
2
:
1
25
16
x
y
C
的左、右焦点分别为
1F 、
2
F ，P 是椭圆上一点，且满足
2
1
2
PF
F F
，则
238
2026 年高二暑假讲义A 版
1
PF
，
1
2
PF F
的面积为
．
四、解答题
11、求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)
1
b ，
15
c
，焦点在y 轴上；
(2)
10
a
，
6
c
．
(3)经过点
2 3,0
P
，
0,2
Q
两点；
12、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点的坐标分别是
4,0
，
4,0 ，并且经过点5
3 3
,
2
2
；
(2)经过两点
2,
2
，
14
1, 2
.
13、已知椭圆
2
2
2
1 0
2
4
x
y
b
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 在椭圆上，且直线
2
PF 与x 轴
垂直.
(1)证明：
2
1
2
4
PF
PF
b
；
(2)若
1
2
F PF
的角平分线恰好过点
1 ,0
4
D
，求
1
2
PF F
的面积.
239
2026 年高二暑假讲义A 版
椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
b
）
2
2
2
2
1
y
x
a
b
（
0
a
b
）
范围
a
x
a
，b
y
b
b
x
b
，a
y
a
顶点
1(
,0)
A
a
，
2( ,0)
A a
，
1(0,
)
B
b
，
2(0, )
B
b
1(0,
)
A
a
2(0, )
A
a
1(
,0)
B
b
2( ,0)
B b
轴长
短轴长＝2b ，长轴长＝2a
焦点
(
,0)
c
(0,
)
c
焦距
1
2
|
| 2
F F
c
对称性
对称轴：x 轴、y 轴
对称中心：原点
离心率
c
e
a
，
(0,1)
e
题型1
椭圆的简单几何性质
题型5
直线与椭圆的位置关系
题型2
由椭圆的简单几何性质求标准方程
题型6
椭圆的弦长及三角形面积问题
题型3
求椭圆离心率的值
题型7
椭圆的中点弦长问题
题型4
椭圆离心率中的参数问题
知识点1
椭圆的简单几何性质
240
2026 年高二暑假讲义A 版
注：
（1）椭圆离心率的范围、几何意义及其他表示方式
椭圆离心率e 的取值范围：
0,1 .
e
e , c
a
和b
a
之间可以相互转化,由
2
2
1
c
b
e
a
a
可推出
2
1
b
e
a
.由
2
1
b
e
a
可知,
当e 越趋近于1时, b
a
越趋近于0 ,此时椭圆越扁平；
当e 越趋近于0 时, b
a
越趋近于1,此时,椭圆越接近于圆.
因此,椭圆的离心率刻画了椭圆的“扁平程度”,离心率e 越大,椭圆越扁平,离心率e 越小,椭圆越接近
于圆.(当且仅当a
b
,
0
c
时,两个焦点重合,椭圆就变为圆,它的方程为
2
2
2
x
y
a
)
（2）椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
的图象中线段的几何特征（如下图）：
1
2
2
PF
PF
a
；
1
2
BF
BF
a
，
1
2
OF
OF
c
，
2
2
2
1
A B
A B
a
b
；
1
1
2
2
A F
A F
a
c
,
1
2
2
1
A F
A F
a
c
，
c
a
PF
c
a
1
；
1、位置关系的判断
直线y
kx
m
与椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的位置关系
联立
2
2
2
2
,
1,
y
kx
m
x
y
a
b
消去y 得一个关于x 的一元二次方程．
①
0
直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②
0
直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③
0
直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
知识点2
直线与椭圆的位置关系
241
2026 年高二暑假讲义A 版
2、直线与椭圆相交的弦长公式
（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
（2）求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
若直线
b
kx
y
l
:
与圆锥曲线相交与A 、B 两点，
)
,
(
),
,
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A（
则：
弦长
2
2
1
2
2
1
)
(
)
(
y
y
x
x
AB
2
2
1
2
2
1
)
(
)
(
kx
kx
x
x
2
1
2
1
x
x
k
弦长
AB
2
1
2
1
1
y
y
k
这里
1
2
|
|,
x
x
1
2
|
|,
y
y
的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
4
x
x
x
x
x x
；
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
4
y
y
y
y
y y
3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；
（3）写出根与系数的关系；
（4）将所求问题或题中关系转化为关于
1
2
x
x
，
1
2
x x 的形式；
（5）代入求解．
设直线l 交椭圆
2
2
1(
0,
0,
)
x
y
m
n
m
n
m
n
于
1
1
,
A x y
,
2
2
,
B x y
)两点, O 为坐标原点,记弦
AB 的中点为
0
0
0
,
(
M x y
x 0).
将点A 的坐标
1
1
,
x y
,点B 的坐标
2
2
,
x y
代入椭圆方程得
2
2
1
1
2
2
2
2
1,
1,
x
y
m
n
x
y
m
n
两式作差并整理得
1
2
1
2
1
2
1
2
0,
x
x
x
x
y
y
y
y
m
n
若
1
2
x
x
,则
1
2
1
2
1
2
1
2
y
y
y
y
n
x
x
x
x
m
,
即
0
1
2
1
2
0
y
y
y
n
x
x
x
m
,(这种方法为点差法)。从而
0
0
AB
y
n
k
x
m
,即
AB
OM
n
k
k
m
.
知识点3
中点弦问题与点差法
242
2026 年高二暑假讲义A 版
例1、求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出它们的草图：
(1)
2
2
9
36
x
y
；
(2)
2
2
9
5
45
x
y
.
【变式训练1】已知椭圆
2
2
1
5
x
y
m
的一个焦点坐标为
0, 2
，则实数m 的值为（
）
A．1
B．4
C．7
D．9
【变式训练2】已知椭圆
2
2
2
:
1
x
y
C
m
m
的短轴长为4，则m （
）
A．2
B．4
C．8
D．16
【变式训练3】已知
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
:
1
25
9
x
y
C
的两个焦点，点P 在C 上且不在x 轴上，则（
）
A．椭圆C 的长轴长为10
B．椭圆C 的离心率为3
5
C．椭圆C 的焦距为8
D．
1
2
PF F
的周长为10
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的5 倍，且过点
(5,0)
A
；
(2)离心率
3
5
e
，焦距为12.
题型1
椭圆的简单几何性质
题型2
由椭圆的简单几何性质求标准方程
243
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练4】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为6，离心率为2
3 ；
(2)经过点
3,0
P
，离心率为
6
3
，焦点在x 轴上；
(3)x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
【变式训练5】已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
，
(1)已知椭圆C 的一个焦点坐标为
1,0 ，且长轴长是短轴长的2 倍.求椭圆C 的方程；
(2)已知椭圆C 的离心率为
3
2
，直线
2
0
x
y
b
与圆
2
2
2
x
y
相切，求椭圆C 的方程.
例3、若椭圆
2
2
2
1
3
9
x
y
a
a
的焦距为8 ，则该椭圆的离心率为（
）
A．3
4
B．4
5
C．3
5
D．2
3
【变式训练6】已知椭圆C：
2
2
2
1
y
x
a
（
0
a
）的左顶点到上焦点的距离为2，则C 的离心率为（
）
A．1
2
B．
3
3
C．
3
2
D．
3
题型3
求椭圆离心率的值
244
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练7】设椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左，右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P在C上，若
1
2
0
PF PF
，
1
2
30
PF F
，则C 的离心率为（
）
A．3 1
B．
3
3
C．1
2
D．1
3
【变式训练8】已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别是
1
2
,
F F ，P 是椭圆外一点，直
线
1
PF 的倾斜角为π
3 ，
2
1
2
PF
F F
，线段
2
PF 的中点在C 上，则C 的离心率为（
）
A．1
2
B．3 1
C．
3
2
D．
6
3
【变式训练9】已知
1
2
,
F F 是椭圆C 的两个焦点，P 为C 上一点，且
1
2
1
2
120 ,
3
F PF
PF
PF
，则
C 的离心率为（
）
A．
13
4
B．13
8
C．
7
4
D．
7
8
例4、已知椭圆
2
2
1
4
x
y
m
的离心率
1
2
e
，则实数m
．
【变式训练10】已知椭圆C 的离心率为1
2 ，
1
2
,
F F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，若
1
2
PF F
的周
长为2 ，则椭圆C 的焦距为（
）
A．
2
3
B．
2
4
C．
2
5
D．
2
6
【变式训练11】设椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F 、
2F ，左顶点为A ，若椭圆C
的离心率为1
3 ，则
2
1
F A
AF 的值为
.
题型4
椭圆离心率中的参数问题
245
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练12】记椭圆
2
2
:
1
6
3
x
y
C m
m
的离心率为e，若
3 ,1
2
e
，则实数m 的取值范围为
（
）
A．
3,4
B．
3,6
C．
4,5
D．
4,6
例5、直线
1
x
y
a
b
与椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
b
）的位置关系为（
）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【变式训练13】若直线:l y
x
m
与椭圆
2
2
:
1
9
5
x
y
C
没有公共点，则m 的取值范围为
．
【变式训练14】已知椭圆C 的两焦点为
1
2,0
F
，
2
2,0
F
，P 为椭圆上一点，且到两个焦点的
距离之和为6.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若已知直线y
x
m
，当m 为何值时，直线与椭圆C 有公共点？
【变式训练15】已知椭圆M ：
2
2
2
2
1(
0)
y
x
a
b
a
b
的离心率为
6
3
，焦距为4.
(1)求椭圆M 的标准方程；
(2)若直线1l 与椭圆M 相切，且直线1l 与直线l ：
3 2
0
x
y
平行，求直线1l 的斜截式方程.
题型5
直线与椭圆的位置关系
246
2026 年高二暑假讲义A 版
例6、已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
3
2
，点
(2,1)
A
在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)直线:l y
x
m
与椭圆C 交于M，N 两点．
①求m 的取值范围；
②若
1
m ，求|
|
MN 的值．
【变式训练16】已知椭圆C 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
，
1F 、
2F 为其左、右焦点．
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)若直线y
x
m
被椭圆C 截得的线段长为8
3 ，求m 的值．
【变式训练17】过椭圆
2
2
1
2
x
y
的左焦点
1F 作倾斜角为60o的直线l ，与椭圆相交于A 、B 两点.
(1)求弦长AB ；
(2)求
OAB
△
的面积.
题型6
椭圆的弦长及三角形面积问题
247
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练18】已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
2
2 ，
1F ，
2F 分别是椭圆的左右焦点，
过点
1F 的直线交椭圆于
,
M N 两点，且
2
MNF
的周长为4 2
(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线:l y
x
m
与C 交于
,
A B 两点，求
OAB
△
面积的最大值．
例7、椭圆
2
2
1
16
9
x
y
中，以点
1,2
M
为中点的弦所在直线斜率为（
）
A．9
16
B．9
32
C．9
64
D．
9
32
【变式训练19】已知椭圆
2
2
1
9
4
y
x
与直线l 交于
,
A B 两点，若点
( 1,1)
P
为线段AB 的中点，则直线
l 的方程是（
）
A．9
4
5
0
x
y
B．9
4
13
0
x
y
C．4
9
5
0
x
y
D．4
9
13
0
x
y
【变式训练20】已知原点为O，椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
与直线:
1
0
l x
y
交于
,
A B 两点，线
段AB 的中点为M ，若直线OM 的斜率为
1
3
，则椭圆C 的离心率为（
）
A．1
2
B．
3
2
C．
5
1
2
D．
6
3
【变式训练21】已知椭圆C 的其中一个焦点为
0, 4
F
，过点F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若AB
的中点坐标为(
)
1, 1
-
，则C 的方程为（
）
A．
2
2
1
4
20
x
y
B．
2
2
1
24
8
x
y
C．
2
2
1
8
24
x
y
D．
2
2
1
20
4
x
y
题型7
椭圆的中点弦长问题
248
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、椭圆的标准方程为
2
2
1
9
16
x
y
，其焦点的坐标为（
）
A．
3,0 ，
3,0
B．
7,0 ，
7,0
C．
5,0 ，
5,0
D．
0, 7 ，
0,
7
2、中心为原点，焦点在y 轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为4 3 的椭圆方程为（
）
A．
2
2
1
4
16
x
y
B．
2
2
1
16
4
x
y
C．
2
2
1
4
x
y
D．
2
2
1
4
y
x
3、椭圆
2
2
1 :
1
9
4
x
y
E
与椭圆
2
2
2 :
1(0
4)
9
4
x
y
E
k
k
k
的（
）
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
4、已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
的长轴长是短轴长的2 倍，则E 的离心率为（
）
A．1
2
B．
3
3
C．
3
2
D．2 3
3
5、设椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左，右焦点分别为
1
2
,
F F ，过
2
F 作垂直于x 轴的直线交C 于
,
A B
两点，若
1
5,
6
F A
AB
，则C 的离心率为（
）
A．1
4
B．1
3
C．1
2
D．
3
2
6、已知椭圆
2
2
:
1
25
20
x
y
M
的左、右焦点分别是
1F ，
2
F ，左右顶点分别是
1A ，
2
A ，点P 是椭圆上异
于
1A ，
2
A 的任意一点，则下列说法正确的是（
）
A．
1
2
5
PF
PF
B．直线
1
PA 与直线
2
PA 的斜率之积为4
5
C．存在点P 满足
1
2
90
F PF
D．若△
1
2
F PF 的面积为4 5 ，则点P 的横坐标为
5
二、多选题
7、已知椭圆C ：
2
2
1
4
6
4
x
y
m
m
，下列选项正确的是（
）
A．当
1
2
m
时，C 的焦点在y 轴上
B．C 的长轴长为4 m
C．C 的短轴长与长轴长的平方和为定值
D．当
3
4
m
时，C 的焦点在x 轴上
249
2026 年高二暑假讲义A 版
8、已知
1
2
F
F
，
分别为椭圆
2
2
:
1
2
x
C
y
的左、右焦点，不过原点O 且斜率为1 的直线l 与椭圆C 交
于P，Q 两点，则下列结论正确的有（
）
A．椭圆C 的离心率为
2
2
B．椭圆C 的长轴长为2
C．若A，B 为左右顶点，则直线PA，PB 斜率乘积为
1
2
D．
OPQ
△
的面积的最大值为
2
2
三、填空题
9、已知椭圆
2
2
1 :
1(
0)
9
x
y
C
m
m
和椭圆
2
2
2 :
1
4
x
C
y
的离心率分别为
1e 和
2e ，若
1 2
3
6
e e
，则
m
．
10、已知椭圆E：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为A，B，若E 上存在点P 满足：
2
3
APB
，
则E 的离心率的取值范围是
．
四、解答题
11、写出分别满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为
6,0
，
6,0 ，且椭圆经过点
0,8 ；
(2)椭圆经过
0, 2
，
6,0 两点；
(3)焦距等于4 ，且椭圆经过点
2 6
2 6
,
3
3
P
．
250
2026 年高二暑假讲义A 版
12、已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为1
2 ，焦距为2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求椭圆C 中以
1
1, 2
P
为中点的弦所在的直线方程.
13、已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
C
b
b
x
a
a
y
，其中离心率为
2
2 ，且过点
2 ,1
2
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点
0,1 的直线l 被椭圆C 截得的弦长为3
2
2
，求直线l 的方程.
14、已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
3
2
，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)椭圆C 的右顶点为Q ，过点
1,0
T
的直线与椭圆C 相交于点M ，N ，若QMN
的面积是12
5 ，
求直线MN 的方程．
251
2026 年高二暑假讲义A 版
双曲线及其标准方程
1、定义：在平面内与两个定点
1F 、
2
F 的距离之差的绝对值等于非零常数（小于
1
2
F F ）的点的轨
迹叫做双曲线．两个定点
1F 、
2
F 称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为
1
2
F F ．
2、双曲线的集合表示：
1
2
1
2
2 ,0
2
P
M MF
MF
a
a
F F
注：
（1）在双曲线定义中,若
1
2
1
2
2 ,0
2
MF
MF
a
a
F F
,即“去掉绝对值符号”,则动点M 的轨迹
为双曲线的一支(靠近点
2
F ).
（2）2a 的大小与点M 的轨迹如下表所示.
条件
结论
1
2
0
2a
F F
动点M 的轨迹是双曲线
1
2
2a
F F
动点M 的轨迹是分别以
1F ,
2
F 为端点,与
2
1
F F
,
1
2
F F
同向的射线
1
2
2a
F F
动点M 不存在,因而轨迹不存在
2
0
a
动点M 的轨迹为线段
1
2
F F 的垂直平分线
题型1
双曲线的定义及应用
题型4
双曲线中的焦点三角形问题
题型2
求双曲线的标准方程
题型5
由双曲线方程求参数
题型3
判断方程是否表示双曲线
题型6
双曲线中的轨迹方程问题
知识点1
双曲线的定义
252
2026 年高二暑假讲义A 版
1、双曲线的两种标准方程：
标准方程
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1(
0,
0)
y
x
a
b
a
b
图形
焦点位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
焦点坐标
1
,0
F
c
,
2
,0
F
c
1 0,
F
c
,
2 0,
F
c
焦距
1
2
2
F F
c
异同点
相同点：大小、形状相同,都有
0
a
,
0
b
, a ,b ,c 的关系都满足
2
2
2.
b
c
a
不同点：焦点的位置和坐标不同.
2、双曲线与椭圆的比较
曲线
椭圆
双曲线
定义
1
2
2
PF
PF
a
1
2
2 ,2
2
F F
c a
c
1
2
2
MF
MF
a
1
2
2 ,2
2
F F
c
a
c
标准方程
2
2
2
2
1
x
y
a
b
或
2
2
2
2
1(
0)
y
x
a
b
a
b
2
2
2
2
1
x
y
a
b
或
2
2
2
2
1
y
x
a
b
(
0,
0)
a
b
图形特征
封闭的连续曲线
分两支,不封闭,不连续
根据标准方程
确定a ,b 的方
法
以大小分a ,b (如
2
2
1
4
9
x
y
中,9
4
,
则
2
2
9,
4
a
b
)
以正负分a ,b (如
2
2
1
4
9
x
y
中, 4
0
, 9
0
,则
2
2
4,
9
a
b
)
a ,b ,c 的关系
2
2
2
a
b
c
(a 最大)
2
2
2
c
a
b
(c 最大)
方程
2
2
1
x
y
m
n
既可以表示椭圆又可以表示双曲线.
（1）当方程表示椭圆时,m , n 应满足
0
m
n
或
0
n
m
.
知识点2
双曲线的标准方程
253
2026 年高二暑假讲义A 版
（2）当方程表示双曲线时,m , n 应满足
0
mn
,当
0
m
,
0
n
时,方程表示焦点在x 轴上的双曲线；
当
0
m
,
0
n
时,方程表示焦点在y 轴上的双曲线.若不确定焦点位置,则可设双曲线的方程为
2
2
1(
0)
x
y
mn
m
n
或
2
2
1(
0)
mx
ny
mn
.
3、共焦点的双曲线系方程
与
双
曲
线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
有
公
共
焦
点
的
双
曲
线
系
方
程
为
2
2
2
2
2
2
1(
)
x
y
a
b
a
b
;(保证分母相加之和不变)
与
双
曲
线
2
2
2
2
1(
0,
0)
y
x
a
b
a
b
有
公
共
焦
点
的
双
曲
线
系
方
程
为
2
2
2
2
2
2
1
y
x
a
b
a
b
.
P 是双曲线
2
2
2
2
1
0,
0)
x
y
a
b
a
b
上任意一点,
1F ,
2
F 分别是双曲线的左、右焦点,当点P ,
1F ,
2
F 不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.
设
1
1
PF
r
,
2
2
PF
r
,
1
2
F PF
,
1
2
1
2
2 ,
F F
c
PF F
,
2
1
PF F
,则焦点三角形中有以
下常用关系式：
(1)定义:
1
2
2
r
r
a
.
(2)余弦定理的应用：
2
2
2
1
2
1 2
4
2
cos
c
r
r
rr
.
(3)面积公式：
1 2
2
1 2
1
S
sin
2
tan 2
PF F
P
b
c y
rr
.(注意与椭圆中焦点三角形面积公式的异同).
知识点3
双曲线的焦点三角形
254
2026 年高二暑假讲义A 版
例1、已知双曲线
2
2
:
1
4
21
x
y
C
的两个焦点分别为
1F ，2F ，双曲线C 上有一点P ，若
1
6
PF
，则
2
PF
（
）
A．2
B．10
C．2 或9
D．2 或10
【变式训练1】已知
(0, 2)
A
，
(0,2)
B
，动点P 满足
2
PA
PB
，则点P 的轨迹是（
）
A．椭圆
B．双曲线的一支
C．双曲线
D．射线
【变式训练2】双曲线C ：
2
2
1
25
144
x
y
上的点A 到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（
）
A．9
B．7
C．9 或29
D．7 或19
【变式训练3】已知动点
,
P x y 满足
2
2
2
x
y
2
2
2
2
x
y
，则动点P 的轨迹是（
）
A．双曲线
B．双曲线左支
C．双曲线右支
D．一条射线
例2、求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
5,
3
c
b
，焦点在x 轴上；
(2)
2 5
a
，经过点
(2, 5)
A
，焦点在y 轴上；
(3)双曲线过两点
15
16
(3,
),
(
,5)
4
3
P
Q
．
题型1
双曲线的定义及应用
题型2
求双曲线的标准方程
255
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练4】过点
2,2 且与椭圆
2
2
9
3
27
x
y
有相同焦点的双曲线方程为（
）
A．
2
2
1
6
8
x
y
B．
2
2
1
6
8
y
x
C．
2
2
1
2
4
x
y
D．
2
2
1
2
4
y
x
【变式训练5】化简方程
2
2
2
2
5
5
8
x
y
x
y
的结果是（
）
A．
2
2
1
4
3
x
y
B．
2
2
1
9
16
x
y
C．
2
2
6
25
1
1
x
y
D．
2
2
1
16
9
x
y
例3、已知双曲线
2
2
1
1
2
x
y
m
m
的焦点在x 轴上，则实数m 的取值范围是（
）
A．
,1
B．
1,2
C．
1,
D．
2,
【变式训练6】若方程
2
2
1
1
1
x
y
m
m
表示双曲线，则实数m 的取值范围是（
）
A．
1,1
B．
, 1
C．
1,
D．
, 1
1,
【变式训练7】关于x
y
，
的方程
2
2
1
4
3
x
y
m
m
，给出以下说法错误的为（
）
A．方程可以表示双曲线
B．方程可以表示椭圆
C．方程可以表示圆
D．当方程表示双曲线时，焦距为定值
例4、设P 是双曲线
2
2
:
1
4
x
C
y
右支上一点，
1F ，
2
F 分别是双曲线C 的左、右焦点，O 为坐标原
点，Q 为线段
1
PF 的中点，若
1
OQ ，则
1
PF 的值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
题型3
判断方程是否表示双曲线
题型4
双曲线中的焦点三角形问题
256
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练8】已知双曲线C：
2
2
1
4
x
y
的左右焦点为
1
2
,
F F ，过
2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于
,
A B 两点，若|
| 2
AB
，则
1
ABF
的周长为（
）
A．12
B．14
C．10
D．8
【变式训练9】设
1F ，
2
F 分别是双曲线
2
2
1
4
12
y
x
的下、上焦点，P 是该双曲线上的一点，且
1
2
3
5
PF
PF
，则
1
2
PF F
的面积等于（
）
A．12
B．24
C．12 3
D．24 3
【变式训练10】已知椭圆
2
2
1
12
x
y
a
与双曲线
2
2
1
3
y
x
有相同的焦点
1
2
,
F F ，且椭圆与双曲线在第
一象限的交点为P ，则
1
2
cos
F PF
的值为（
）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
【变式训练11】已知
1F ，
2F 分别是双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点，P 为C 上一点，
1
2
π
3
F PF
，且
1
2
F PF
的面积等于6 3 ，则b （
）
A．
6
B．6
C．
3
D．3
【变式训练12】已知双曲线的标准方程为
2
2
1
9
16
x
y
，左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，且双曲线上有一点
P 使得
1 2
25
PF F
S
，则点P 的坐标为
.
【变式训练13】设双曲线
2
2
:
1
9
16
x
y
C
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，坐标原点为O ，第一象限的点P
在双曲线C 上，连接PO 并延长交双曲线另一点Q ，若
1
1
3
F P
F Q
，则PQ （
）
A．4 3
B．8
C．4 5
D．4 7
257
2026 年高二暑假讲义A 版
例5、若双曲线
2
2
1
4
x
y
k
的一个焦点为
2 2,0 ，则k
．
【变式训练14】若双曲线
2
2
1
2
6
x
y
m
m
的焦距为6，则m （
）
A．5 或1
B．3
C．5
D．1
【变式训练15】“
9
t
”是方程“
2
2
1
9
7
x
y
t
t
”表示双曲线的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
例6、设
,
A B 两点的坐标分别为
3,0
，(3,0) ，直线AM 与BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为2
3 ，
则点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
3
9
6
x
y
x
B．
2
2
1
3
6
9
x
y
x
C．
2
2
1
3
9
6
y
x
x
D．
2
2
1
3
9
6
x
y
x
【变式训练16】已知
2,0
M
，圆
:
C
2
2
4
0
x
x
y
，动圆P 经过M 点且与圆C 相切，则动圆圆心
P 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
1
3
y
x
x
B．
2
2
1
3
3
x
y
x
C．
2
2
1
3
y
x
D．
2
2
1
3
x
y
【变式训练17】动点
,
M x y 与定点
0,3
F
的距离和它到直线
4
:
3
l y
的距离的比是常数3
2 ，则动点
M 的轨迹方程是
．
题型5
由双曲线方程求参数
题型6
双曲线中的轨迹方程问题
258
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、已知动点P 到点
5,5
A
的距离与它到点
5,5
B
的距离之差等于6，则点P 的轨迹为（
）
A．双曲线左支
B．双曲线右支
C．双曲线上支
D．双曲线下支
2、已知双曲线的标准方程为
2
2
1
4
5
x
y
k
k
，则该双曲线的焦距是（
）
A．1
B．3
C．2
D．4
3、已知双曲线
2
2
1
2
y
x
m
的焦距为2 3 ，则m 的值为（
）
A．4
B．2
C．1
D．2
4、已知双曲线
2
2
:
1
4
12
x
y
C
的两个焦点分别为
1F ，2F ，双曲线C 上有一点P ，若
1
5
PF
，则
2
PF
（
）
A．9
B．1
C．1 或9
D．11 或9
5、已知方程
2
2
1
5
2
2
1
x
y
m
m
表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是（
）
A．
5 ,
2
B．
1
1, 2
C．
5 1
,
2 2
D．
5 , 1
2
6、已知双曲线
2
2
:
1
4
5
y
x
C
的下焦点为F ，
3,7
A
，P 是双曲线C 上支上的动点，则PF
PA
的
最大值是（
）
A．不存在
B．8
C．7
D．6
二、多选题
7、已知曲线C ：
2
2
1
mx
ny
，下列说法正确的是（
）
A．若
0
n
m
，则C 是焦点在y 轴上的椭圆
B．若
0
m
n
，则C 是圆，其半径为1
n
C．若
0
mn
，则C 是双曲线
D．若
0
n
，
0
m
，则C 是两条直线
三、填空题
259
2026 年高二暑假讲义A 版
8、经过点
2 3
2,
,
3, 2 2
3
A
B
的双曲线的标准方程为
．
9、设点A，B 的坐标分别为( 5,0)
，(5,0) ，直线AM ，BM 相交于点M，且它们的斜率之积是4
9 ，
则动点M 的轨迹方程为
．
四、解答题
10、当m为何值时，方程
2
2
1
11
2
1
x
y
m
m
表示下列曲线：
(1)圆；
(2)椭圆；
(3)双曲线．
11、已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ．
(1)若双曲线C 与椭圆
2
2
1
4
x
y
有共同的焦点，且双曲线C 过点
(2,1)
Q
，求该双曲线的标准方程；
(2)若
1
b ，点P 在双曲线右支上，且
1
2
π
3
F PF
，求
1
2
F PF
的面积．
260
2026 年高二暑假讲义A 版
双曲线的简单几何性质
1、双曲线的简单几何性质
标准方程
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1(
0,
0)
y
x
a
b
a
b
图形
范围
,
x
a y
R
,
y
a x
R
对称性
对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点
顶点
双曲线和它的对称轴的两个交点
1
,0
A
a
,
2
,0
A a
1 0,
A
a
,
2 0,
A
a
轴
实轴长
1
2
2
A A
a
, a 叫做双曲线的实半轴长,虚轴长
1
2
2
B B
b
,b 叫做双曲线的虚半轴长
虚轴端点
1 0,
B
b
,
2 0,
B
b
1
,0
B
b
,
2
,0
B b
渐近线
与双曲线无限接近,但永远不相交的两条直线
直线
b
y
x
a
直线
a
y
x
b
离心率
(
1)
c
e
e
a
题型1
双曲线的简单几何性质
题型5
双曲线的渐近线方程
题型2
由双曲线的简单几何性质求标准方程
题型6
直线与双曲线的位置关系
题型3
求双曲线离心率的值
题型7
双曲线的弦长及三角形面积问题
题型4
双曲线离心率中的参数问题
题型8
双曲线的中点弦问题
知识点1
双曲线的简单几何性质
261
2026 年高二暑假讲义A 版
2、共轭双曲线
(1)当
1
时,双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
与
2
2
2
2
y
x
b
a
1 (
0,
0)
a
b
共渐近线,我们称这两
个双曲线互为共轭双曲线.
(2)共轭双曲线的性质：①有相同的渐近线；②有相同的焦距；③
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
a
b
e
e
c
c
3、等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程形式为
2
2
1
0
x
y
,即
2
2
x
y
.
等轴双曲线的渐近线方程为y
x
,(渐近线互相垂直)实轴长和虚轴长相等,离心率
2.
e
4、共渐近线的双曲线系方程
①若渐近线方程为
n
y
x
m
，则双曲线方程可设为
2
2
2
2
(
0)
x
y
m
n
，
②若双曲线与
1
2
2
2
2
b
y
a
x
有公共渐近线，则双曲线的方程可设为
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
，焦点在x
轴上，
0
，焦点在y 轴上）
5、对双曲线离心率的理解
在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
中，双曲线
的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为
2
2
2
2
1
c
a
b
b
e
a
a
a
，所以当b
a
的值越大，
渐进线
b
y
x
a
的斜率越大，双曲线的“张口”越大，e 也就越大，故e 反映了双曲线的“张口”大
小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大．
4、渐近线方程的性质
①双曲线的焦点到其渐近线的距离是常数b .
②双曲线上任意一点到双曲线两条渐近线的距离之积为
2
2
2
a b
c
.
1、设直线:l y
kx
m
，双曲线
)
0
,0
(1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
联立解得：
知识点2
直线与双曲线的位置关系
262
2026 年高二暑假讲义A 版
0
2
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
m
a
mkx
a
x
k
a
b
（1）
0
m
时，
b
b
k
a
a
，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
b
k
a
，
b
k
a
，或k 不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）
0
m
时，k 存在时，若
0
2
2
2
k
a
b
，
a
b
k
，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲
线相交于一点；
若
2
2
2
0
b
a k
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( 2
)
4(
)(
)
a mk
b
a k
a m
a b
2
2
2
2
2
2
4
(
)
a b m
b
a k
0
时，
2
2
2
2
0
m
b
a k
，直线与双曲线相交于两点；
0
时，
2
2
2
2
0
m
b
a k
，直线与双曲线相离，没有交点；
0
时
2
2
2
2
0
m
b
a k
，
2
2
2
2
m
b
k
a
直线与双曲线有一个交点；相切
当k 不存在，a
m
a
时，直线与双曲线没有交点；m
a
m
a
或
直线与双曲线相交于两点；
注：直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，
直线与双曲线相交，只有一个交点．
2、弦长问题
设直线
:
0
l y
kx
m k
与双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
相交于两个不同的点
1
1
,
A x y
,
2
2
,
B x y
,则弦AB 的长为
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
AB
k
x
x
x x
k
x
x
或
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
4
1
AB
y
y
y y
y
y
k
k
.
3、中点弦问题
设直线l 与双曲线交于两点A , B ,则与椭圆的处理方法相同,将两交点A , B 的坐标代入双曲线方程,
再将所得两个等式相减,运用点差法即可建立直线AB 的斜率与弦AB 的中点M 的坐标之间的关系.
设直线l 与双曲线交于A , B 两点,弦AB 中点为M ,O 为坐标原点,
则当双曲线方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
时,
2
2
2
1
OM
AB
b
k
k
e
a
;
当双曲线方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
y
x
a
b
a
b
时,
2
2
2
1
.
1
OM
AB
a
k
k
b
e
263
2026 年高二暑假讲义A 版
例1、（多选）已知双曲线
2
2
:
1
4
21
y
x
C
，则下列说法正确的是（
）
A．C 的焦点坐标为
5,0
B．C 的实轴长为4
C．C 的离心率为5
2
D．C 的渐近线方程为
21
2
y
x
【变式训练1】双曲线
2
2
:
1
0
2
x
y
E
m
m
的实轴长是虚轴长的3 倍，则E 的焦距为（
）
A．2 5
B．4
C．4 5
D．2 2
【变式训练2】若双曲线
2
2
2
1
1
x
y
m
的实轴长为4，则m 的值为（
）
A．
3
B．
3
C．
15
D．15
【变式训练3】若双曲线
2
2
1
2
x
y
m
的焦点与椭圆
2
2
1
4
3
x
y
的长轴端点重合，则m 的值为（
）
A．2
B．4
C．2
D．4
【变式训练4】（多选）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
M
a
b
a
b
的焦距为4，两条渐近线的夹角为60，
则下列说法正确的是（
）
A．M 的离心率为2 3
3
B．M 的标准方程为
2
2
1
2
x
y
C．M 的渐近线方程为
3
y
x
D．直线
2
0
x
y
经过M 的一个焦点
例2、以椭圆
2
2
1
25
9
x
y
长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（
）
A．
2
2
1
25
9
x
y
B．
2
2
1
16
25
x
y
C．
2
2
1
16
9
x
y
D．
2
2
1
9
16
x
y
题型1
双曲线的简单几何性质
题型2
由双曲线的简单几何性质求标准方程
264
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练5】已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的一条渐近线方程是
3
3
y
x
，实轴的长度为
2 3 ，则双曲线C 的标准方程为（
）
A．
2
2
1
3
x
y
B．
2
2
1
2
x
y
C．
2
2
1
3
2
x
y
D．
2
2
1
2
3
x
y
【变式训练6】已知等轴双曲线过点
2,1 ，则该双曲线方程为（
）
A．
2
2
1
x
y
B．
2
2
5
x
y
C．
2
2
3
x
y
D．
2
2
3
y
x
【变式训练7】求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为5
3 ，且经过点
3,2 3
M
；
(2)渐近线方程为
1
2
y
x
，且经过点
2, 3
A
.
【变式训练8】根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)
4
a
，经过点
1
3
,
4 10
A
；
(2)与双曲线
2
2
16
4
x
y
1 有相同的焦点，且经过点
3 2,2 ；
(3)与双曲线
2
2
1
2
x
y
有公共的渐近线，且过点
2,
2 ．
265
2026 年高二暑假讲义A 版
例3、已知双曲线
2
2
2
1(
0)
12
y
x
b
b
的焦距为12，则该双曲线的离心率为（
）
A．
6
2
B．2
C．
3
D．2
【变式训练9】已知双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的渐近线方程为
4
3
y
x
，则该双曲线的离心率为（
）
A．3
2
B．5
3
C．4
5
D．4
3
【变式训练10】若双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的两条渐近线的夹角为60o，则该双曲线的离心率
为（）
A．
2
B．2
C．2 或2 3
3
D．2 3
3
或
3
【变式训练11】已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 在双曲线上，且
1
2
1
2
π ,
2
3
F PF
PF
PF
，则双曲线的离心率e
.
【变式训练12】双曲线C 的两个焦点为
1F 、
2F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过
1F 作圆D 的切
线与C 的两支分别交于M 、N 两点，且
1
2
3
cos
5
F NF
，则双曲线C 的离心率为（
）
A．
13
2
B．
41
3
C．
3
D．2 13
13
例4、已知双曲线
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
6
2
，则椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的离心率为（
）
A．
2
2
B．
3
3
C．
3
2
D．1
2
【变式训练13】设双曲线
2
2
1 :
1
x
C
y
m
，
2
2
2 :
1
2
y
C
x
的离心率分别为
1e ，2e .若
2
1
2
e
e
，则m
题型3
求双曲线离心率的值
题型4
双曲线离心率中的参数问题
266
2026 年高二暑假讲义A 版
（
）
A．1
2
B．2
C．4
D．8
【变式训练14】已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为F ，左顶点为A ，离心率为3，B
为C 上一点，且位于第一象限，若BF 垂直于x 轴，则直线AB 的斜率为（
）
A．1
B．2
C．3
D．2
【变式训练15】点P 是双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
上的点，
1F ，
2F 是其焦点，双曲线的离心率是
5
4 ，且
1
2
PF
PF
，若
1
2
F PF
的面积是9，则a
b
的值等于（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
例5、若双曲线C ：
2
2
2
1
0
x
y
a
a
上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方
程为（
）
A．
2
y
x
B．
3
y
x
C．
1
2
y
x
D．
1
4
y
x
【变式训练16】已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的渐近线方程为
1
3
y
x
，点
6, 3 在C 上，
则C 的焦距为（
）
A．2 3
B．2 5
C．2 6
D．2 10
【变式训练17】已知焦点在y 轴上的双曲线
2
2
2
1
3
4
x
y
m
m
的两条渐近线互相垂直，则m＝（
）
A．1
B．1
2
C．－4
D．1 或－4
【变式训练18】已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0
0
x
y
C
a
b
a
b
，
的左、右焦点分别为
1
2
F
F
，
，过
1F 的直线与
双曲线C 的左支交于A B
，两点.若
2
2
120
AB
AF
BAF
，
，则双曲线C 的渐近线方程为（
）
题型5
双曲线的渐近线方程
267
2026 年高二暑假讲义A 版
A．
3
y
x
B．
3
1
y
x
C．y
x
D．
6
y
x
【变式训练19】已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的左焦点为F ，直线
0
y
kx k
与C 的左､
右两支分别交于点
,
A B ，若
2
0,
3
a
FA FB
FA
，则C 的渐近线方程为（
）
A．
2 2
3
y
x
B．
2
3
y
x
C．
3 2
4
x
y
D．
3 2
2
x
y
例6、已知双曲线
2
2
4
x
y
，直线:
(
1)
l y
k x
，试确定实数k 的取值范围，使：
(1)直线l 与双曲线有两个公共点；
(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l 与双曲线没有公共点．
【变式训练20】已知点
1,
2
D
在双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
上，且双曲线的一条渐近线的方
程是
3
0
x
y
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若过点
0,1 且斜率为k 的直线l 与双曲线C 仅有一个交点，求实数k 的值．
题型6
直线与双曲线的位置关系
268
2026 年高二暑假讲义A 版
例7、已知双曲线C：
2
2
2
1
0
x
y
a
a
的焦距为2 5 且左右顶点分别为
1A ，
2
A ，过点
4,0
T
的直线
l 与双曲线C 的右支交于M，N 两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线MN 的斜率为
3
2
，求弦长MN .
【变式训练21】已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的实轴长为2，右焦点F 到渐近线的距离为2 .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线y
x
m
被双曲线C 截得的弦长为8 2 ，求实数m 的值.
【变式训练22】已知
1F ，
2F 分别是双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点，点M 为平面内
一点，线段
1F M 的中点在该双曲线右支上，N 在x 轴上，
1
1
2
2
F N
F F
，
1
|
|
|
| 4
MF
MN
，
2,3
A
为
双曲线C 上一点．
(1)求双曲线C 的渐近线方程；
(2)已知过A 的直线l 交该双曲线于A，B，
0,3
D
，DAB
的面积为6，求直线l 的方程．
题型7
双曲线的弦长及三角形面积问题
269
2026 年高二暑假讲义A 版
例8、直线l 与双曲线
2
2
1
4
x
y
交于
,
P Q 两点，线段PQ的中点为
4,1
M
，则直线l 的方程为（
）
A．
3
y
x
B．
3
y
x
C．
5
y
x
D．
5
y
x
【变式训练23】已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的实轴长为2 ，离心率为
3 .直线:l y
kx
m
与双曲线C 相交于A
B
、两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若AB 的中点为
2,1
M
，求直线l 的方程．
【变式训练24】已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的实轴长为2 3 ，且过点(3, 2)．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过双曲线C 的右焦点F 作斜率为1 的直线l，l 与双曲线C 交于A，B 两点，求｜AB｜；
(3)若O是坐标原点，M，N 是双曲线C 上不同的两点，且直线MN 的斜率为2，线段MN 的中点为P ，
求直线OP 的斜率．
题型8
双曲线的中点弦问题
270
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、双曲线C ：
2
2
1
5
75
x
y
的渐近线方程为（
）
A．
15
y
x
B．
1
15
y
x
C．
15
y
x
D．
15
15
y
x
2、已知双曲线
2
2
1
9
7
y
x
，则顶点到渐近线的距离为（
）
A．4 7
3
B．4 6
3
C．3 7
4
D．3 6
4
3、已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的渐近线方程为
1
3
y
x
，点
6,
3 在C 上，则C 的焦
距为（
）
A．2 3
B．2 5
C．2 6
D．2 10
4、已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
与椭圆
2
2
1
30
5
x
y
有相同的焦点，且离心率为5
3 ，则双曲线
C 的方程为（
）
A．
2
2
1
32
18
x
y
B．
2
2
1
3
4
x
y
C．
2
2
1
16
9
x
y
D．
2
2
1
9
16
x
y
5、斜率为1 的直线与双曲线
2
2
2
:
1
0
x
C
y
a
a
交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为
3,1 ，则a
（
）
A．2
B．
3
C．
6
D．2 3
6、过双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左焦点
1F 作其一条渐近线的垂线，垂足为H ，线段
2
HF 的中点
在另外一条渐近线上，则双曲线的离心率为（
）
A．2
B．
3
C．2
D．2 2
7、已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，若在C 上存在点P （不是
顶点），使得
2
1
1
2
3
PF F
PF F
，则C 的离心率的取值范围为（
）
A．
2,2
B．
3,2
C．1, 3
D．1, 2
271
2026 年高二暑假讲义A 版
二、多选题
8、已知双曲线
2
2
:
1
5
4
x
y
C
，则（
）
A．C 的离心率为3 5
5
B．双曲线
2
2
1
8
10
y
x
与C 有相同的渐近线
C．直线
3
y
与C 相交的弦长为
5
2
D．C 的焦点到渐近线的距离为
5
9、已知双曲线
2
2
:
1
3
y
E x
的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，点A 在渐近线上，且在第一象限，满足
1
AF
2
AF
，则下列说法正确的是（
）
A．双曲线E 的渐近线方程为
3
y
x
B．双曲线E 的离心率为
2
e
C．
1
2
AF F
△
的面积为4 3
D．
1
2
AF F
△
的内切圆的半径
3 1
r
三、填空题
10、双曲线C 的焦点在x 轴上，渐近线方程为
2
y
x
，焦距为2 5 ，则双曲线C 的方程为
11、已知双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
(
0,
0)
a
b
的右顶点为A，以A 为圆心，a 为半径作圆A，圆A 与双
曲线C 的一条渐近线交于
,
M N 两点，若
60
MAN
，则C 的离心率为
.
12、双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的左右焦点分别为
1F ，
2
F ，以线段
1
2
F F 为直径的圆与双曲线C
的渐近线在第一象限的交点为A ，若
1
2
2
AF
AF
，则b
a
.
四、解答题
13、符合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率
5
4
e
：
(2)渐近线方程是
2
y
x
，虚轴长为4．
272
2026 年高二暑假讲义A 版
14、已知双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
，
0
b
）的右焦点为
2(3,0)
F
，渐近线方程为
2
y
x
．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线的右焦点，倾斜角为30的直线l 交双曲线于A ，B 两点，求AB ．
15、已知A，B 分别为双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
的左、右顶点，其中一条渐近线方程为
3
2
0
x
y
，焦距为2 7 ．
(1)求双曲线E 的方程；
(2)设过
4,0
T
的直线与双曲线交于C，D 两点（C、D 与A、B 不重合），记直线AC，BD 的斜率
为
1k ，
2k ，证明：
1
2
k
k 为定值．
273
2026 年高二暑假讲义A 版
抛物线及其标准方程
我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F
叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线.
1、抛物线的标准方程
根据抛物线焦点位置的不同,抛物线的标准方程有以下四种不同的形式：
标准方程
²
2
(
0)
y
px p
²
2
(
0)
y
px p
²
2
(
0)
x
py p
²
2
(
0)
x
py p
图形
焦点坐标
,0
2
p
,0
2
p
0, 2
p
0,
2
p
准线方程
2
p
x
2
p
x
2
p
y
2
p
y
注：
（1）只有抛物线与轴的交点为坐标原点,焦点在坐标轴上时,抛物线才具有标准形式.抛物线的标准方
程、焦点坐标、准线方程只要确定其一,其余两者也就确定了.
（2）标准方程的特征：等号的左边是某个变量的平方且系数为1,等号的右边是另一个变量的一次单
项式.
（3）焦点在y 轴上的抛物线的标准方程
2
2
(
0)
x
py p
通常又可以写成
2
y
ax
,这与以前所学习
题型1
抛物线的定义及应用
题型4
抛物线中的轨迹方程问题
题型2
求抛物线的焦点与准线
题型5
利用抛物线定义求焦半径
题型3
求抛物线的标准方程
知识点1
抛物线的定义
知识点2
抛物线的标准方程
274
2026 年高二暑假讲义A 版
的二次函数的解析式一致,但需要注意由方程
2
y
ax
求焦点坐标和准线方程时,必须先将抛物线的方
程化成标准形式.
2、四种标准方程对应的抛物线的比较
相同点
不同点
(1)顶点都在原点.
(2)焦点都在坐标轴上.
(3)焦点到准线的距离都是p .
(4)准线与焦点所在的坐标轴垂直,准线与坐标轴的
交点与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等
于一次项系数的绝对值的1
4
,即2
4
2
p
p
.
(1)当焦点在x 轴上时,方程的右端为2 px
,左端为²y ;当
焦点在y 轴上时,方程的右端为2 py
,左端为²x .
(2)开口方向与x 轴(或y 轴)的正方向相同时,焦点在x 轴
(或y 轴)的正半轴上,方程一次项的系数为正数；开口方
向与x 轴(或y 轴)的正方向相反时,焦点在x 轴(或y 轴)
的负半轴上,方程一次项的系数为负数.
3．参数p 的几何意义
抛物线的标准方程中参数p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距),所以p 的值永远
大于0 .(当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现
0
p
的错误)
1、焦半径的定义
设抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上一点M
0
0
(
,
)
x
y
，焦点为F ，准线为l ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径，
过点M 作准线l 的垂线段MH ，由抛物线的定义可知，
0
2
p
MF
MH
x
．
2、用坐标表示焦半径公式
（1）抛物线
2
2
(
0)
y
px p
，
0
0
2
2
p
p
MF
x
x
．
（2）抛物线
2
2
(
0)
y
px p
，
0
0
2
2
p
p
MF
x
x
．
（3）抛物线
2
2
(
0)
x
py p
，
0
0
2
2
p
p
MF
y
y
．
知识点3
焦半径
275
2026 年高二暑假讲义A 版
（4）抛物线
2
2
(
0)
x
py p
，
0
0
2
2
p
p
MF
y
y
．
注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦
半径公式．
②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷．
3、用角α 表示的焦半径公式
如图,若倾斜角为的直线AB 过抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点F ,且与抛物线交于A , B 两点,则
1
cos
p
AF
,
.
1
cos
p
BF
由焦半径公式我们可以得到
1
1
2
AF
BF
p
,是一个定值.
例1、抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，(2,
)
A
m 是抛物线C 上一点，且|
|
4
AF
，则焦点F 到
坐标原点O 的距离是（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【变式训练1】已知抛物线
2
:
2
C y
x
，则抛物线C 的焦点到准线的距离是（
）
A．4
B．1
4
C．3
D．1
2
【变式训练2】与直线
2
y
相切，且与圆
2
2
3
1
x
y
外切的圆的圆心轨迹为（
）
A．椭圆
B．双曲线的一支
C．抛物线
D．圆
【变式训练3】已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，准线为l，点A 在抛物线C 上，点B 在准
线l 上，若
AFB
△
是边长为2 的等边三角形，则p 的值是（
）.
A．1
B．
3
C．2
D．2 3
题型1
抛物线的定义及应用
276
2026 年高二暑假讲义A 版
例2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程，并画出草图.
(1)
2
16
y
x
；
(2)
2
16
y
x
；
(3)
2
1
4
y
x
；
(4)
2
1
4
y
x
.
【变式训练4】若抛物线
2
2
(
0)
y
px p
经过点
1, 2
C
，则该抛物线的焦点坐标为
.
【变式训练5】抛物线
2
2
0
y
px p
的焦点与双曲线
2
2
1
3
x
y
的右焦点重合，则抛物线的准线方
程为（
）
A．
5
x
B．
4
x
C．
3
x
D．
2
x
【变式训练6】已知抛物线
2
: 4
0
C
x
my
恰好经过圆
2
2
:
1
2
1
M
x
y
的圆心，则抛物线C 的
焦点坐标为（
）
A．
0,1
B．
1,0
C．
1,0
D．
0, 1
例3、求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，准线方程为
4
y
；
(2)顶点在原点，且过点
3,2
；
(3)焦点在x 轴上，且抛物线上一点
3,
A
m 到焦点的距离为5.
题型2
求抛物线的焦点与准线
题型3
求抛物线的标准方程
277
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练7】已知抛物线C 关于y 轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线
2
6
0
x
y
上，则
抛物线C 的标准方程为（
）
A．
2
12
y
x
B．
2
8
x
y
C．
2
12
x
y
D．
2
12
x
y
【变式训练8】方程
2
2
(
1)
|
1|
x
y
x
可以化简为（
）
A．
2
2
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
2
x
y
D．
2
4
x
y
【变式训练9】顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离为3 的抛物线的标准方程为（
）
A．
2
3
x
y
B．
2
6
y
x
C．
2
12
x
y
D．
2
12
y
x
例4、若点P 到直线
1
x 和它到点
1,0 的距离相等，则点P 的轨迹方程为（
）
A．
2x
y
B．
2y
x
C．
2
4
x
y
D．
2
4
y
x
【变式训练10】已知动点P 到点
2,0
F
的距离比它到直线
1
x 的距离大1，则动点P 的轨迹方程
为（
）
A．
2
4
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
8
y
x
D．
2
8
y
x
【变式训练11】若圆C 与x 轴相切且与圆
2
2
4
x
y
外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（
）
A．
2
4
4
x
y
B．
2
4
4
x
y
C．
2
4
4
x
y
D．
2
4
4
x
y
【变式训练12】如图，已知点
2, 1
B
，BC
x
轴于点C，M 是线段OB 上任意一点，MD
x
轴
题型4
抛物线中的轨迹方程问题
278
2026 年高二暑假讲义A 版
于点D，ME
BC
于点E．OE 与MD 相交于点P，则P 的轨迹方程为（
）．
A．
2
0
2
y
x
x
B．
2
1
0
2
2
y
x
x
C．
2
0
2
x
y
x
D．
2
4
0
2
x
y
x
【变式训练13】设
1,0
F
，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，且
,
0
MN
NP MN NF
，当点N 在y
轴上运动时，点P 的轨迹方程为（
）
A．
2
1
2
y
x
B．
2
1
4
y
x
C．
2
2
y
x
D．
2
4
y
x
例5、设抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F，已知点
( ,2 3)
A x
在C 上，则|
|
AF （
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式训练14】已知抛物线
2
:
2
C x
y
的焦点为F ，点
(3,
)
M
m 在C 上，则|
|
MF （
）
A．11
2
B．5
C．4
D．7
2
【变式训练15】已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F ，点A在C 上，过点A作C 的准线的垂
线，垂足为B ．若直线BF 的方程为
2
4
y
x
，则AF （
）
A．6
B．8
C．10
D．12
【变式训练16】M 是抛物线
2
y
x
上一点，F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，若
2π
3
OFM
，
则|
|
MF （
）
题型5
利用抛物线定义求焦半径
279
2026 年高二暑假讲义A 版
A．1
B．2
C．4
D．1
2
【变式训练17】过抛物线
2
2
y
x
的焦点F 的直线l 交该抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限，若
5
2
AF
，则直线l 的斜率为（
）
A．1
B．4
3
C．2
D．5
2
一、单选题
1、抛物线
2
4
x
y
的焦点到准线的距离为（
）
A．4
B．2
C．1
2
D．1
4
2、已知抛物线
2
:
2
C y
x
的焦点为
,
F A为C 上一点，且A 的横坐标为2，则AF （
）
A．5
2
B．3
C．2 2
D．
2
2
2
3、物线
2
1
2
x
y
的准线方程为（
）
A．
1
8
y
B．
1
8
x
C．
1
2
y
D．
1
2
x
4、已知抛物线C 的方程为
2
8
0
x
y
，则抛物线的焦点坐标为（
）
A．
2,0
B．
4,0
C．
0, 2
D．
0, 4
5、已知抛物线
2
:
4
C x
y
的焦点为F ，准线为l ，与y 轴平行的直线与l 和抛物线C 分别交于
,
A B 两
点，且直线AF 的倾斜角为150，则AB （
）
A．2 3
B．2 2
C．6
D．4
6、设抛物线
2
:
8
C x
y
的焦点为
,
4,5
F A
，点B 在C 上，则FAB
的周长的最小值为（
）
A．8
B．10
C．12
D．16
7、如图，设抛物线
2
:
4
C x
y
的焦点为F ，过x 轴上一点A 作直线l 交C 于B ，D 两点，若
5
2
FB
，
7
FD
，则
BD
AB （
）
280
2026 年高二暑假讲义A 版
A．4
B．3
C．7
2
D．9
5
二、多选题
8、已知点
0
0
,
P x y
在抛物线
2
:
4
C y
x
上，点F 为抛物线C 的焦点，则（
）
A．焦点F 的坐标为
1,0
B．抛物线C 的准线方程为
2
x
C．若
0
2
y
，则
2
PF
D．
1
PF
9、设抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F，准线为l，点A 在C 上，以F 为圆心，FA 为半径的圆记为W.
过点A 作l 的垂线，垂足为B，且点B 在圆W 上，则（
）
A．准线l 的方程是
2
x
B．
ABF
△
为等边三角形
C．设线段BF 与y 轴的交点为D，则AD
BF
D．直线4
3
16
0
x
y
与圆W 相交
三、填空题
10、已知抛物线C ：
2
20
y
x
，则抛物线C 的准线方程为
．
11、如图，M 是抛物线
2
4
y
x
上的一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角
60
xFM
，FM
.
281
2026 年高二暑假讲义A 版
12、双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，以右焦点
2
F 为焦点的抛物线
2
2
0
y
px p
与双曲线交于第一象限的点P ，若
1
2
1
2
3
PF
PF
F F
，则双曲线的离心率
e
.
四、解答题
13、根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)准线方程为
3
2
y
；
(2)对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于2；
(3)对称轴是y 轴，经过点(1, 2)
．
14、如图，A 地在B 地东偏北45°方向相距2 2km处，且B 与东西方向的高铁线l （近似看成直线）
相距4km．已知曲线形公路PQ上任意一点到B 地的距离等于到l 的距离，现要在公路旁建造一个变
电房M （变电房与公路之间的距离忽略不计）．
(1)试建立适当的平面直角坐标系，求公路PQ所在曲线的方程．
(2)问：变电房M 应建在相对A 地的什么位置（方位和距离），才能使得从M 到
,
A B 两地架设电路所
用电线长度最短？并求出最短长度．
282
2026 年高二暑假讲义A 版
抛物线的简单几何性质
标准方程
px
y
2
2
（
0
p
）
px
y
2
2
（
0
p
）
py
x
2
2
（
0
p
）
py
x
2
2
（
0
p
）
图形
范围
0
x
，y
R
0
x
，y
R
0
y
，x
R
0
y
，x
R
对称轴
x 轴
x 轴
y 轴
y 轴
焦点坐标
)
0,
2
( p
F
)
0,
2
(
p
F
)
2
,0
(
p
F
)
2
,0
(
p
F
准线方程
2
p
x
2
p
x
2
p
y
2
p
y
顶点坐标
(0,0)
O
离心率
1
e
通径长
2p
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）．
2、以抛物线
2
2
(
0)
y
px p
与直线的位置关系为例：
题型1
抛物线的简单几何性质
题型4
抛物线的焦点弦问题
题型2
由抛物线的简单几何性质求标准方程
题型5
抛物线的弦长及三角形面积问题
题型3
直线与抛物线的位置关系
题型6
抛物线的中点弦长问题
知识点1
抛物线的简单几何性质
知识点2
直线与抛物线的位置关系
283
2026 年高二暑假讲义A 版
（1）直线的斜率k 不存在，设直线方程为x
a
，
若
0
a
，直线与抛物线有两个交点；
若
0
a
，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若
0
a
，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率k 存在.
设直线:l y
kx
b
，抛物线
2
2
(
0)
y
px p
，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组
2
2
y
kx
b
y
px
，的解的个数，
即二次方程
2
2
2
2(
)
0
k x
kb
p x
b
（或
2
2
2
2
0
k y
py
bp
）解的个数．
①若
0
k
，
则当
0
时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当
0
时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当
0
时，直线与抛物线相离，无公共点．
②若
0
k
，则直线y
b
与抛物线
2
2
(
0)
y
px p
相交，有一个公共点．
1、直线与抛物线相交弦长问题
设AB 为抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的弦，
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，弦AB 的中点为
0
0
(
,
)
M x y
．
（1）弦长公式：
2
1
2
1
2
2
1
1
1
AB
k
x
x
y
y
k
（k 为直线AB 的斜率，且
0
k
）．
（2）中点弦斜率：
0
AB
p
k
y
,
（3）中点弦直线方程：直线AB 的方程为
0
0
0
(
)
p
y
y
x
x
y
．
2、焦点弦的常考性质
假设抛物线方程为
px
y
2
2
.过抛物线焦点的直线l 与抛物线交于
B
A,
两点，其坐标分别为
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
.
知识点3
直线与抛物线相交弦长问题
284
2026 年高二暑假讲义A 版
性质1、
，
2
|
|
p
x
AF
A
2
|
|
p
x
BF
B
,
p
x
x
AB
B
A
|
|
.
性质2、抛物线
px
y
2
2
的焦点为F，
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
是过F 的直线与抛物线的两个交点，则
2
2
1
2
2
1
,
4
p
y
y
p
x
x
.
注：一般地，如果直线l 恒过定点
)
0,
(m
M
与抛物线
)
0
(
2
2
p
px
y
交于
B
A,
两点，那么
pm
y
y
m
x
x
B
A
B
A
2
,
2
.于是，若
AB
OB
OA
恒过定点
)
0,
2
( p
.
性质3、已知倾斜角为直线的l 经过抛物线
px
y
2
2
的焦点F ，且与抛物线交于
B
A,
两点，则
p
FB
FA
P
BF
p
AF
2
|
|
1
|
|
1
cos
1
|
|,
cos
1
|
|
，
.
)
1
1(
2
|
|
sin
2
sin
2
|
|
2
2
2
k
p
AB
p
S
p
AB
OAB
，
，
.
性质4、已知直线l 经过抛物线
px
y
2
2
的焦点F ，且与抛物线交于
B
A,
两点，若弦AB 中点的坐
标为
)
,
(
0
0 y
x
，则
)
2
(
2
|
|
0
p
x
AB
.
性质5、（1）以AB 为直径的圆与准线相切.
（2）以MN 为直径的圆与AB 切于焦点F ；
（3）以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切；
（4）以焦半径BF 为直径的圆与与y 轴相切；
例1、抛物线
2
8
y
x
的焦点为F ，点P 在抛物线上，若
5
PF
，则点P 的坐标为（
）
A．
3,2 6
B．
3, 2 6
或
3,2 6
C．
3,2 6
D．
3, 2 6
或
3,2 6
【变式训练1】已知直线:
1
0
l x
y
过抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点F ，且与抛物线C 交于
,
A B
题型1
抛物线的简单几何性质
285
2026 年高二暑假讲义A 版
两点，则线段AB 的中点到准线的距离为（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
【变式训练2】已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为
,
F O 为坐标原点，点A 在抛物线上，且
2
120
AF
OFA
，
，则p （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练3】设抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F ，过F 的直线交C 于
1
2
,3 2 ,
,
2
A x
B x
两
点，过
,
A B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为
,
M N ，则
2
2
|
|
|
|
MF
NF
（
）
A．32
B．28
C．20
D．16
例2、顶点在坐标原点，焦点在x 轴正方向上，顶点到准线的距离为2 ，则抛物线的方程为（
）
A．
2
4
y
x
B．
2
8
y
x
C．
2
2
y
x
D．
2y
x
【变式训练4】若抛物线
2
2
0
y
px p
上一点
0
6,
P
y
到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为
（
）
A．
2
16
y
x
B．
2
12
y
x
C．
2
8
y
x
D．
2
6
y
x
【变式训练5】已知O 为坐标原点，F 为抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点，点
0,4
M x
在C 上，且
2
MF
OF
，则C 的方程为（
）．
A．
2
4
y
x
B．
2
8
y
x
C．
2
2
y
x
D．
2y
x
【变式训练6】抛物线
2
2
0
y
px p
的焦点为F ，O为坐标原点，A 为抛物线上一点，且
2
AF
OF
，
题型2
由抛物线的简单几何性质求标准方程
286
2026 年高二暑假讲义A 版
OAF
△
的面积为4 ，则抛物线方程为（
）
A．
2
8
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
16
y
x
D．
2
15
2
y
x
例3、直线
2
0
x
y
与抛物线C ：
2y
ax
的图象相切，则C 的准线方程为（
）
A．
2
x
B．= 1
x
C．=
2
y
D．
1
y
【变式训练7】若命题p：
2
k
，命题q：直线
1
y
kx
与抛物线
2
y
x
=
无公共点，则q 是p 的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练8】过点
1,4 且与抛物线
2
4
y
x
恰有一个公共点的直线的条数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式训练9】（多选）设抛物线
2
:
4
C x
y
的焦点为F ，过点F 的直线与C 交于M，N 两点，则下
列选项中正确的是（
）
A．抛物线C 的准线方程为
1
y
B．若
3
MF
，则点M 的纵坐标为2
C．以MN 为直径的圆与直线
1
y 相切
D．以MF 为直径的圆与直线
1
y 相切
【变式训练10】已知抛物线
2
:
4
E y
x
，直线x
m
与E 分别交于
,
A B 不同的两点，直线x n
与E 分
别交于
,
C D 不同的两点，且
2
CD
AB
，
,
0
m n
，则n
m
.
题型3
直线与抛物线的位置关系
287
2026 年高二暑假讲义A 版
例5、抛物线
: ²
2
C y
px
（
0
p
）的准线方程为
3
x ，过C 的焦点F 作斜率为2 的直线与C 交
于A ，B 两点，则AB （
）
A．9
B．12
C．13
D．15
【变式训练11】在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线
2
6
y
x
的焦点，A、B 是抛物线上两个不同
的点．若AF
BF
5
，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（
）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【变式训练12】已知抛物线
2
4
y
x
的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且
8
FA FB
，
则AB （
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【变式训练13】设抛物线
2
4
y
x
的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A，B 两点，已知
2
AF
BF
，则AB （
）
A．9
2
B．4
C．7
2
D．3
【变式训练14】已知抛物线
2
:
4
E y
x
，过点
1,0
F
的直线l 与抛物线E 交于
,
A B 两点，
且
5
2
AF
FB
，则直线l 的斜率为
.
【变式训练15】
（多选）已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F ，经过点F 且斜率为
3 的直线l 与
抛物线C 交于点
,
A B 两点（点A 在第一象限），若
8
AF
，则以下结论正确的是（
）
A．
4
p
B．
3
AF
BF
C．
1
1
1
2
AF
BF
D．
32 3
3
AOB
S
题型5
抛物线的焦点弦问题
288
2026 年高二暑假讲义A 版
例5、
（1）斜率为1
2 的直线经过抛物线
2
8
x
y
的焦点，且与抛物线相交于A，B 两点，则AB
；
（2）过抛物线
2
2
y
x
的焦点F 的直线交抛物线于A，B 两点，若
25
12
AB
，AF
BF
，则
AF
．
【变式训练16】已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F ，过焦点F 的直线与抛物线C 交于点,
A B ．若
BO
BF
（O 为坐标原点），则
OAB
△
的面积为（
）
A．
2
2
B．3 2
2
C．2
D．2 2
【变式训练17】已知抛物线C 顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点
5, 2 5
，一条斜率为
3 的
直线过抛物线C 的焦点，且与C 交于A，B 两点，
(1)求抛物线方程；
(2)求弦AB 的长度；
【变式训练18】已知抛物线
2
2
0
y
px p
的焦点为F，点
3,
M
m 在抛物线上，且
5
MF
．
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点F 的直线l 交抛物线于A、B 两点，若
16
AB
，求直线l 的方程．
题型5
抛物线的弦长及三角形面积问题
289
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练19】已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F ，点
0
0
,
P x
y
在抛物线C 上，且PF
x
轴
时，
4
PF
.
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)若直线:
1
0
l x
y
与抛物线C 交于
,
A B 两点，求
ABF
△
的面积.
【变式训练20】已知点A 是抛物线
2
16
y
x
上的动点，过点A 向x 轴作垂线段，垂足为B ，垂线段AB
中点为C ，设C 的轨迹为曲线E .
(1)求曲线E 的方程；
(2)设过点
10
F
,
且斜率为1 的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，O为坐标原点，求OMN
的面积.
例6、已知F 为抛物线
2
:
8
C y
x
的焦点，过F 的直线交C 于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标
为4，则AB （
）
A．8
B．10
C．12
D．16
题型6
抛物线的中点弦长问题
290
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练21】过抛物线
2
:
6
E y
x
的焦点的直线与该抛物线交于
,
A B 两点，若线段AB 的中点的纵
坐标为1，则AB （
）
A．12
B．35
3
C．20
3
D．11
3
【变式训练22】已知斜率为2 的直线与曲线
2
:
8
C y
x
交于
,
A B 两点，则线段A B的中点M 的轨迹
方程为（
）
A．
4(
2)
y
x
B．
4( 4 2
4 2)
x
y
C．
1
2
2
y
x
D．
2( 4
4)
x
y
【变式训练23】已知抛物线C ：
2
2
0
6
x
py
p
的焦点为F ，点
4,
A
m 在抛物线C 上，且
=5
AF
.
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点为
1,2
P
，求直线l 的方程．
【变式训练24】已知直线
2
2
0
x
y
与抛物线C：
2
2
0
y
px p
交于M，N 两点，
8 15
MN
，
O 为坐标原点．
(1)求p；
(2)过点
3,2
P
作直线l 交抛物线C 于A，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求三角形OAB 的面积．
291
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、已知抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上与焦点距离等于9的点的纵坐标为6 2 ，则该抛物线标准方程为（
）
A．
2
12
y
x
B．
2
24
y
x
C．
2
12
y
x
或
2
24
y
x
D．
2
12
y
x
或
2
6
y
x
2、斜率为1的直线经过抛物线
2
1
4
y
x
的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，则线段AB 的长为（
）
A．8
B．13
2
C．11
2
D．4
3、已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
，过焦点的直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，当直线l 的斜率为
2
2
时，|
16
|
AB
，则p （
）
A．8
3
B．16
3
C．4
3
D．4
4、已知抛物线
2
8
y
x
，经过其焦点F 的直线交曲线于,
A B 两点，且满足
3
AF
FB
，则
ABO
S
（
）
A．
3
3
B．4 3
3
C．16 3
3
D．10 3
3
5、以抛物线
2
4
C
x
y
：
的焦点F 为端点的射线与C 及C 的准线l 分别交于A
B
，
两点，过点B 且平行
于y 轴的直线交C 于点P ，过点A且平行于y 轴的直线交l 于点Q ，且
4
3
AQ
，则
PBF
△
的周长为
（
）
A．6
B．10
C．12
D．14
6、已知抛物线
2
:
2
(
0)
y
px p
的焦点F 与双曲线
2
2
4
1
2
x
y
的一个焦点重合，过F 的直线与交
于点A，B，且与的准线交于点D ，若|
| 4
BD
且|
| |
|
AF
FB
，则|
|
|
|
AF
FB 的值为（
）
A．2
B．2
C．3
D．4
二、多选题
7、已知抛物线
2
:
6
C y
x
的焦点为F，过F 作一条倾斜角为π
3 的直线l 交C 于A，B 两点( A在第一
象限)，AD 与准线垂直，垂足为D .则（
）
A．
ADF
△
为等边三角形
292
2026 年高二暑假讲义A 版
B．
2
AF
BF
C．
8
AB
D．
12
DF
BF
8、设O为坐标原点，直线
3(
1)
y
x
过抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点，且与C 交于
,
M N 两点，
l 为C 的准线，则（
）
A．
2
p
B．
8
|
|
3
MN
C．以MN 为直径的圆与l 相切
D．OMN
的面积为4 3
3
三、填空题
9、过抛物线
2
:
2
E y
x
＝
焦点的直线交E 于
,
A B 两点，线段AB 中点M 到y 轴距离为1，则AB
．
10、已知直线
2
y
kx
与抛物线
2
:
2
C y
x
有且只有一个公共点，则实数k 的值是
.
11、已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F ，过焦点F 的直线l 与C 相交于P ，Q 两点，且
1
1
2
3
PF
FQ
，若
54
PQ
，则直线l 的斜率为
.
四、解答题
12、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C：
2
2
0
y
px p
上一点
0
1,
M
y
到焦点的距离为2.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线
2
4
y
x
与抛物线C 相交于A，B 两点，求
AOB
V
的面积.
293
2026 年高二暑假讲义A 版
13、已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
过点(2,
2)，且其一个焦点与抛物线
2
8
y
x
的焦点重合.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线AB 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点
( 2,1)
M
是线段AB 的中点，求直线AB 的方程.
14、已知抛物线
2
:
2
0
E y
px p
与双曲线
2
2
1
9
12
x
y
的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，Q ，
且
8 3
PQ
.
(1)求抛物线E 的方程；
(2)过点
3,0
M
的直线l 与抛物线E 相交于
,
A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B.
（i）若
2
AB
BM
，求直线l 的方程.
（ii）证明：直线AB必过定点.
